150 bài toán nhị thức Newton và xác suất

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán<br /> <br /> 6<br /> <br /> Chuyên đề<br /> <br /> T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600<br /> <br /> TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON<br /> Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON<br />


<br /> <br /> I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững<br />  Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:<br /> n<br /> <br /> ( a + b)n = ∑ Cnk .an − k .b k = Cn0 an + Cn1 an −1 b + Cn2 an − 2 b2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 abn −1 + Cnn bn .<br /> k =0<br /> <br />  Nhận xét trong khai triển nhị thức:<br /> + Trong khai triển ( a ± b)n có n + 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu<br /> và số hạng cuối thì bằng nhau: Cnk = Cnn− k .<br /> + Số hạng tổng quát dạng: Tn +1 = Cnk .an − k .b k và số hạng thứ N thì k = N − 1 .<br /> + Trong khai triển ( a − b)n thì dấu đan nhau, nghĩa là + , rồi − , rồi + , ….…<br /> + Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.<br /> + Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được<br /> những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:<br /> x =1<br /> • (1 + x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn →<br /> Cn0 + Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn = 2n.<br /> x =−1<br /> <br /> • (1 − x)n = Cn0 xn − Cn1 xn −1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( −1)n Cnn ⇒ Cn0 − Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n Cnn = 0.<br />  Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):<br /> + Hoán vị: Pn = n ! = n.( n − 1).(n − 2)...3.2.1, (n ≥ 1). .<br /> + Chỉnh hợp: Ank =<br /> + Tổ hợp: Cnk =<br /> <br /> n!<br /> , (1 ≤ k ≤ n) . .<br /> (n − k )!<br /> <br /> Ak<br /> n!<br /> = n , (1 ≤ k ≤ n) và Cnk + Cnk +1 = Cnk ++11 .<br /> k !.( n − k )!<br /> k!<br /> <br /> II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước<br /> 1) Khai triễn dạng: (axp + bx q )n kết hợp với việc giải phương trình chứa Ank , Cnk , Pn .<br /> BT 1.<br /> <br /> Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức:<br /> <br /> a)  x +<br /> <br /> <br /> 5<br /> <br /> 12<br /> <br /> 1<br />  , ∀x ≠ 0.<br /> x<br /> <br /> ĐS: 924.<br /> <br /> <br /> 1 <br /> b)  x 3 − 2  ⋅<br /> x <br /> <br /> <br /> ĐS: −8064.<br /> <br /> x 3<br /> d)  +  ⋅<br /> 3 x<br /> <br /> ĐS: 495.<br /> <br /> <br /> 1 <br /> f)  2 x +<br />  , ( x > 0).<br /> 5<br /> x<br /> <br /> <br /> 10<br /> <br /> 1<br /> <br /> c)  2 x −  , ∀x ≠ 0.<br /> x<br /> <br /> <br /> 12<br /> <br /> ĐS: 6528.<br /> <br /> 17<br /> <br /> 7<br /> <br />  1<br /> <br /> + 4 x 3  , ∀x ≠ 0.<br /> h) <br /> ĐS: 24310.<br /> <br /> 3 2<br />  x<br /> <br /> Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:<br /> <br /> <br /> 1 <br /> g)  3 x +<br />  , ∀x > 0.<br /> 4<br /> x<br /> <br /> <br /> BT 2.<br /> <br /> ĐS: 924.<br /> 18<br /> <br /> 12<br /> <br /> 1<br /> <br /> e)  + x  , ∀x > 0.<br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> ĐS: −10.<br /> <br /> ĐS: 35.<br /> <br /> a) (2 x − 3 y )17 .<br /> <br /> M = x8 y9 .<br /> <br /> 9<br /> ĐS: −39.28.C17<br /> .<br /> <br /> b) ( x + y)25 .<br /> <br /> M = x12 y13 .<br /> <br /> 13<br /> ĐS: C25<br /> .<br /> <br /> c) ( x − 3)9 .<br /> <br /> M = x4 .<br /> <br /> ĐS: −35.C95 .<br /> <br /> Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607<br /> <br /> Page - 113 -<br /> <br /> Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán<br /> <br /> T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600<br /> <br /> d) (1 − 3x)11 .<br /> <br /> M = x6 .<br /> <br /> 6<br /> ĐS: 36.C11<br /> .<br /> <br /> e) (3 x − x 2 )12 .<br /> <br /> M = x15 .<br /> <br /> 3<br /> ĐS: −39.C12<br /> .<br /> <br /> f) ( x 2 − 2 x)10 .<br /> <br /> M = x16 .<br /> <br /> ĐS: 3360.<br /> <br /> M = x 31 .<br /> <br /> 3<br /> ĐS: C40<br /> .<br /> <br /> <br /> 2<br /> h)  x 2 −  , ∀x ≠ 0.<br /> x<br /> <br /> <br /> M = x11 .<br /> <br /> 3<br /> ĐS: −2 3.C10<br /> .<br /> <br /> i) ( 3 x −2 + x)7 .<br /> <br /> M = x2 .<br /> <br /> ĐS: 35.<br /> <br /> <br /> x<br /> j)  xy +  , ∀xy ≥ 0, y ≠ 0.<br /> y<br /> <br /> <br /> M = x6 y 2 .<br /> <br /> ĐS: 45.<br /> <br /> k) (1 + x + x 2 + x 3 )5 .<br /> <br /> M = x10 .<br /> <br /> ĐS: 101.<br /> <br /> 40<br /> <br /> <br /> 1<br /> g)  x + 2  , ∀x ≠ 0.<br /> x<br /> <br /> <br /> 10<br /> <br /> 10<br /> <br /> 5<br /> <br /> BT 3.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 10<br /> <br /> 5<br /> <br /> l) x(1 − 2 x) + x (1 + 3x) .<br /> <br /> M=x .<br /> <br /> ĐS: 3320.<br /> <br /> m) (2 x + 1)4 + (2 x + 1)5 + (2 x + 1)6 + (2 x + 1)7 .<br /> <br /> M = x5 .<br /> <br /> ĐS: 896.<br /> <br /> Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau:<br /> 5<br /> <br /> <br /> 1<br /> a)  x +  , ∀x ≠ 0.<br /> x<br /> <br /> <br /> n = 4.<br /> <br /> ĐS: 120.<br /> <br /> b) (3 − x)15 .<br /> <br /> n = 13.<br /> <br /> ĐS: 12285.<br /> <br /> <br /> 1<br /> c)  x −  , ∀x > 0.<br /> x<br /> <br /> <br /> n = 6.<br /> <br /> 5<br /> ĐS: C15<br /> .<br /> <br /> d) (2 − 3x)25 .<br /> <br /> n = 21.<br /> <br /> 20<br /> ĐS: 2 5.320.C25<br /> .<br /> <br /> 15<br /> <br /> BT 4.<br /> <br /> Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)<br /> a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 = 5Cn1 . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị<br /> n<br /> <br />  2 3<br /> 1 <br /> thức Newton của <br /> x+<br />  , x>0 ?<br /> 4<br /> x<br /> n−5<br /> <br /> ĐS: C74 = 35.<br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br /> b) Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức  − x 3  , ∀x ≠ 0, biết n là số tự nhiên thỏa mãn<br /> x<br /> <br /> <br /> hệ thức: Cnn−−46 + n.An2 = 454 ?<br /> ĐS: n = 8; − 1792.<br /> <br /> 1<br /> c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển:  x. 3 x +<br /> <br /> 5 28<br /> x<br /> <br /> n<br /> n −1<br /> n−2<br /> thỏa mãn điều kiện: Cn + Cn + Cn = 79 ?<br /> <br /> d) Cho a = 5log 5<br /> <br /> 3<br /> <br /> 9x −1 + 7<br /> <br /> và b = 5<br /> <br /> 1<br /> − log 5 ( 3x−1 + 1)<br /> 5<br /> <br /> n<br /> <br /> <br />  , ∀x ≠ 0, biết rằng n là số tự nhiên<br /> <br /> ĐS: 792.<br /> <br /> . Tìm các số thực x , biết rằng số hạng chứa a 3 trong khai<br /> <br /> 8<br /> <br /> triển Newton: ( a + b) bằng 224 .<br /> <br /> ĐS: x = 1 ∨ x = 2.<br /> n<br /> <br /> x<br /> e) Tìm các giá trị của x , biết trong khai triển  2 lg(10 − 3 ) + 5 2( x − 2)lg 3  có số hạng thứ 6 bằng 21<br /> <br /> <br /> <br /> và Cn1 + Cn3 = 2Cn2 .<br /> <br /> ĐS: x = 0 ∨ x = 2 .<br /> 2<br /> n<br /> <br /> 2<br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br /> f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3C + 2 A = 3n + 15 . Tìm số hạng chứa x10 trong khai<br /> n<br /> <br /> <br /> 3<br /> triển nhị thức Newton:  2 x 3 − 2  , ∀x ≠ 0 .<br /> x <br /> <br /> <br /> 4<br /> ĐS: C10<br /> .2 6.34.x10 .<br /> <br /> g) Cho khai triển: (1 + 2 x)n = ao + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n với n ∈ ℕ ∗ . Biết rằng a3 = 2014 a2 .<br /> Tìm n ?<br /> Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607<br /> <br /> ĐS: n = 6044 .<br /> Page - 114 -<br /> <br /> Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán<br /> <br /> T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600<br /> n<br /> <br /> <br /> 2 <br /> h) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:  3 x +<br />  , x > 0. Biết rằng n thỏa mãn điều<br /> x<br /> <br /> 6<br /> ĐS: C15<br /> .26 = 320320 .<br /> kiện: Cn6 + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 = 2Cn8+ 2 .<br /> n<br /> <br />  a<br /> <br /> i) Cho n ∈ ℤ + và a , b , (b > 0). Biết trong khai triển nhị thức Newton <br /> + b  có hạng tử chứa<br />  b<br /> <br /> 4 9<br /> a b , tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau ?<br /> ĐS: 5005a6 b6 .<br /> <br /> j) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: Cnn− 3 − Cn2−1 = Cn1 −1Cnn++32 . Tìm hệ số của số hạng chứa x11<br /> n<br /> <br /> <br /> n <br /> 8<br /> ĐS: C12<br /> .48.<br /> trong khai triển: P = x 3  xn − 8 −<br />  , x ≠ 0.<br /> x<br /> 3<br /> <br /> <br /> k) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cnn+−11 = An2 + 160 . Tìm hệ số của x7 trong<br /> <br /> khai triển: (1 − 2 x 3 )(2 + x)n ?<br /> 2<br /> <br /> ĐS: −2224 .<br /> <br /> 3 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 12<br /> <br /> l) Cho P = (1 − x + x − x ) = ao + a1 x + a2 x + .. + a12 x . Tìm a7 ?<br /> <br /> ĐS: −40 .<br /> <br /> m) Tìm hệ số của x trong khai triển: P = x(1 − 2 x) + x (1 + 3 x) , biết rằng An2 − Cnn+−11 = 5 .<br /> n<br /> <br /> 5<br /> <br /> 2n<br /> <br /> 2<br /> <br /> n) Cho P( x) = ( x + 1)10 ( x + 2) = x11 + a1 x10 + a2 x9 + .. + a10 x + a11 . Tìm a5 ?<br /> 20<br /> <br /> ĐS: 3320.<br /> ĐS: 672.<br /> <br /> 10<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> o) Cho: P ( x ) =  x − 2  +  x 3 −  , ∀x ≠ 0. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sẽ gồm<br /> x<br /> <br /> x <br /> <br /> bao nhiêu số hạng ?<br /> ĐS: 29 số hạng.<br /> <br /> 2) Khai triễn dạng: (a + bx p + cx q )n kết hợp với việc giải phương trình chứa Akn , Ckn , Pn .<br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> k<br /> <br /> Viết P( x) = ( a + bx p + cxq )n =  a + ( bx p + cx q )  = ∑ Cnk a n− k ( bx p + cx q )k = ∑ Cnk an − k ∑ C ki ( bx p )k −i .(cxq )i<br /> k =0<br /> k =0<br /> i =0<br /> n<br /> <br /> k<br /> <br /> = ∑∑ Cnk a n − k .C ki .(bx p ) k − i .( cx q )i , với k , i ∈ ℕ.<br /> k =0 i =0<br /> <br /> BT 5.<br /> <br /> Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:<br /> a) (1 + x + 3 x 2 )10 .<br /> <br /> M = x4 .<br /> <br /> 2 10<br /> <br /> b) (1 + 2 x + 3 x ) .<br /> 2 5<br /> <br /> d) (2 + x − 3 x ) , ∀x ≥ 0.<br /> <br /> ĐS: −230.<br /> <br /> 3<br /> <br /> ĐS: −10.<br /> <br /> 8<br /> <br /> M=x .<br /> <br /> ĐS: 238.<br /> <br /> 10<br /> <br /> M=x .<br /> <br /> ĐS: 101.<br /> <br /> M = x8 .<br /> <br /> ĐS: −27159.<br /> <br /> M=x .<br /> <br /> 5<br /> <br /> M=x .<br /> <br /> e) ( x + x − 1) .<br /> 3 8<br /> <br /> f) (1 + x − x ) .<br /> 2<br /> <br /> ĐS: 38400.<br /> <br /> 2<br /> <br /> M=x .<br /> <br /> c) (1 + x + 2 x ) .<br /> <br /> 2<br /> <br /> ĐS: 8085.<br /> <br /> 17<br /> <br /> M=x .<br /> <br /> 2 10<br /> <br /> 2<br /> <br /> ĐS: 1695.<br /> <br /> 4<br /> <br /> 3 5<br /> <br /> g) (1 + x + x + x ) .<br /> 12<br /> <br /> <br /> 1<br /> h)  1 − x 4 −  , ∀x ≠ 0.<br /> x<br /> <br /> <br /> BT 6.<br /> <br /> Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)<br /> a) Cho (1 + x − x 2 )10 = ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a20 x 20 . Tìm a8 ?<br /> <br /> ĐS: a8 = 45 .<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> <br /> b) Cho P ( x ) =  − ( x + x 2 )  , ∀x ≠ 0. Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển<br /> x<br /> <br /> <br /> P( x) biết n thỏa: Cn3 + 2n = An2+1 .<br /> <br /> ĐS: −98.<br /> n<br /> <br /> <br /> 1 <br /> <br /> c) Tìm hệ số x 4 trong khai triển biểu thức  x + 3  1 −   , (x > 0) ? Biết rằng n là số nguyên<br /> x <br /> <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> dương thỏa mãn 3Cn +1 + 8Cn + 2 = 3Cn+ 1 .<br /> ĐS: 4422 .<br /> Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607<br /> <br /> Page - 115 -<br /> <br /> Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán<br /> <br /> T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600<br /> <br /> d) Cho khai triển nhị thức: (1 − 2 x + x 3 )n = ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a3 n x 3n . Xác định hệ số a6 , biết<br /> 15<br /> <br /> rằng: ao +<br /> <br /> a<br /> a1 a2<br /> 1<br /> +<br /> + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 33nn =   ⋅<br /> 2 22<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> ĐS: a6 = −150 .<br /> <br /> e) Cho: (1 + 2 x)10 (3 + 4 x + 4 x 2 )2 = ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a14 x14 . Tìm a6 ?<br /> <br /> ĐS: a6 = 482496 .<br /> <br /> 2<br /> <br />  x2<br /> <br /> f) Tìm hệ số của x10 trong khai triển Newton:  + x + 1  .( x + 2)3n với n là số tự nhiên thỏa<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> mãn điều kiện: An3 + Cnn − 2 = 14n .<br /> <br /> ĐS: a10 = 2956096 .<br /> <br /> 3) Khai triển (axp + bxq )n ; (a + bxp + cx q )n kết hợp tính tổng đơn giản<br /> Khai triển Newton: ( a + b)n = Cn0 an + Cn1 an −1b + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 abn −1 + Cnn bn , với:<br /> <br /> <br /> <br /> Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần. Nếu trong biểu thức không có số mũ tăng hoặc<br /> giảm thì nó (a hoặc b) có thể bằng 1 .<br /> Nếu dấu của biểu thức đan nhau thì khai triển sẽ có dạng ( a − b)n .<br /> <br /> <br /> <br /> Trong biểu thức có Cn0 + Cn2 k + Cn4 k ... (toàn chẵn hoặc toàn lẻ) thì đó là dấu hiệu nhận dạng khai<br /> triển hai biểu thức dạng ( a − b)n và ( a + b)n khi chọn a , b rồi cộng lại (khi toàn chẵn) hoặc trừ đi<br /> (khi toàn lẻ) theo từng vế.<br /> <br /> BT 7.<br /> <br /> Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x 2 )n là 1024. Tìm hệ số của x12 ?<br /> <br /> ĐS: n = 10; 210.<br /> <br /> n<br /> <br /> BT 8.<br /> <br /> 1<br /> <br /> Tìm hệ số của x6 trong khai triển  + x 3  , với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ<br /> x<br /> <br /> số trong khai triển bằng 1024 ?<br /> ĐS: n = 10; 210.<br /> n<br /> <br /> BT 9.<br /> <br />  2<br /> <br /> Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển P ( x ) =  3 + x 5  với x > 0 . Biết n thỏa mãn<br /> x<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> n −1<br /> n<br /> 8<br /> điều kiện: Cn + Cn + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cn + Cn = 4095 .<br /> ĐS: C12<br /> .2 4 = 7920 .<br /> 8<br /> <br /> BT 10. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2 + x)n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn<br /> điều kiện: 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n − 2 Cn2 − 3n − 3 Cn3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n Cnn = 2048 .<br /> <br /> 10<br /> ĐS: a10 = C11<br /> .2 = 22 .<br /> <br /> BT 11. Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( x − 3 x 2 )n , (x > 0), biết rằng n là số nguyên dương và tổng<br /> các hệ số trong khai triển bằng −2048 ?<br /> <br /> BT 12. Tìm hệ số của x<br /> n<br /> <br /> 10<br /> <br /> 0<br /> n<br /> <br /> điều kiện: 3 C − 3<br /> <br /> ĐS: −4455.<br /> n<br /> <br /> trong khai triển nhị thức (2 + x) , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn<br /> n −1<br /> <br /> n<br /> <br /> Cn1 + 3n − 2 Cn2 − 3n − 3 Cn3 + ... + ( −1) Cnn = 2048 .<br /> <br /> ĐS: 22 .<br /> <br /> BT 13. Tìm hệ số của x19 trong khai triển biểu thức P = (2 x − 1)9 .( x + 2)n , biết rằng n là số nguyên<br /> dương: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2048 ?<br /> <br /> ĐS: 8960 .<br /> 2n<br /> <br /> 7<br /> <br /> BT 14. Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức (2 – 3x) , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn<br /> điều kiện: C21n + 1 + C23n +1 + C25n +1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C22nn++11 = 1024 ?<br /> <br /> ĐS : a7 = −2099520 .<br /> <br /> 2 n<br /> <br /> 4<br /> <br /> BT 15. Tìm hệ số x trong khai triển (1 + x + 2 x ) , biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:<br /> C20n + C22n + C24n + ... + C22nn = 512 .<br /> 5<br /> <br /> ĐS: 105 .<br /> 2 3n<br /> <br /> BT 16. Hãy tìm hệ số của x trong khai triển: P( x) = (1 − 2 x + 4 x ) .<br /> 2<br /> 4<br /> 6<br /> 8<br /> 1006<br /> Biết rằng: C2014<br /> + C2014<br /> + C2014<br /> + C2014<br /> + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2014<br /> = 2 503n − 1 với n là số nguyên dương.<br /> 3<br /> 4<br /> 5<br /> ĐS: a5 = −2C12<br /> C31 4 2 − 8C12<br /> C43 41 + ( −2)5 C12<br /> C55 .<br /> <br /> BT 17. Tìm hệ số chứa x18 trong khai triển P( x) = ( x + 2)13 ( x 2 − 2 x + 4)n . Biết n nguyên dương thỏa mãn<br /> điều kiện: C21n +1 + C22n+ 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2nn +1 = 2 20 − 1 .<br /> <br /> Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607<br /> <br /> ĐS: a18 = 15138816 .<br /> <br /> Page - 116 -<br /> <br /> Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán<br /> <br /> T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600<br /> <br /> 4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a + bx)n .<br /> Xét khai triển nhị thức Newton ( a + bx)n có số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk a n− k b k x k .<br /> Đặt ak = Cnk an− k b k , 0 ≤ k ≤ n thì dãy hệ số là {ak } . Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này thỏa<br /> a ≥ ak +1<br /> hệ phương trình:  k<br /> ⇒ ko ⇒ ako max = Cnko an − ko b ko .<br /> ≥<br /> a<br /> a<br />  k<br /> k −1<br />  1 2x <br /> BT 18. Trong khai triển  +<br /> <br /> 3 3 <br /> <br /> 11<br /> <br /> thành ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a11 x11 . Hãy tìm k để hệ số ak lớn nhất và<br /> <br /> 28 8<br /> .C11 .<br /> 311<br /> BT 19. Cho khai triển : (1 + 2 x)n = a0 + a1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + an xn , trong đó n ∈ ℤ và các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn<br /> ĐS: ak max =<br /> <br /> tính nó ? (0 ≤ k ≤ 11, k : nguyên)<br /> <br /> hệ thức a0 +<br /> <br /> a<br /> a1<br /> + ⋅ ⋅ ⋅ + nn = 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., an ? ĐS: amax = 126720.<br /> 2<br /> 2<br /> n<br /> <br /> 1 x<br /> BT 20. Cho khai triển  +  = a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an x n . Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 ,..., an ?<br /> 2 3<br /> 1001<br /> Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn Cn2Cnn − 2 + 2Cnn − 2Cnn −1 + Cn1Cnn −1 = 11025 ? ĐS: amax =<br /> ⋅<br /> 62208<br /> BT 21. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1 + x)n có tỉ số hai hệ số liên tiếp trong<br /> khai triễn trên bằng<br /> <br /> 7<br /> ?<br /> 15<br /> <br /> ĐS: n = 21 .<br /> <br /> 5) Tìm số hạng hữu tỉ ( hoặc số hạng là số nguyên) trong khai triển (a + b)n .<br /> m<br /> <br /> r<br /> <br /> Xét khai triển ( a + b)n có số hạng tổng quát: Cnk an − k b k = Cnk .α p .β q với α , β là các số hữu tỉ. Số<br /> m<br />  p ∈ℕ<br /> <br /> hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ: <br /> k ∈ ℕ , 0 ≤ k ≤ n ) ⇒ ko ⇒ Cnko an − ko b ko là số hạng cần tìm.<br /> (<br /> r ∈ℕ<br />  q<br /> <br /> BT 22. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức: ( 3 + 3 2)n , biết rằng n là số nguyên dương<br /> 3<br /> <br /> thỏa mãn điều kiện: ( Pn ) .Cnn .C2nn .C3nn = P27 .<br />  1 3 <br /> BT 23. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển: <br /> + 5<br />  2<br /> <br /> <br /> ĐS: C93 33.21 và C99 2 3.<br /> 3n +1<br /> <br /> . Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn<br /> <br /> điều kiện: Cnn + 2Cnn −1 + Cnn − 2 = Cn2+n2− 3 .<br /> <br /> ĐS:<br /> <br /> 0<br /> C10<br /> <br /> 32<br /> <br /> ;<br /> <br /> 6<br /> C10<br /> 2 3.52<br /> <br /> 32<br /> <br /> ⋅<br /> <br /> III. Chứng minh hoặc tính tổng<br /> 1) Sử dụng những nhận xét cơ bản hoặc tính chất, công thức Akn , Cnk , Pn .<br /> <br /> • Trong khai triển ( a − b)n thì dấu đan nhau, nghĩa là + , rồi − , rồi + , ….…<br /> • Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.<br /> 1<br /> 1<br /> • Vận dụng linh hoạt tính chất: Cnk + Cnk +1 = Cnk ++11 , Cnk = Cnn − k và<br /> .C k =<br /> .C k +1 .<br /> k + 1 n n + 1 n +1<br /> • Khi gặp tổng giữa các tích của hai công thức tổ hợp (⋅ ⋅ ⋅ + Cni .Cnj + ⋅ ⋅ ⋅), lúc đó thường so sánh<br /> hệ số của biến cùng bậc với nhau, chẳng hạn so sánh khai hệ số của số mũ cùng bậc của hai<br /> khai triển: (1 − x 2 )n với (1 − x)n ( x + 1)n ......<br /> Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607<br /> <br /> Page - 117 -<br /> <br />