18 Bài tập Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 3)

Chia sẻ: Nguyễn Văn Ngoan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

463
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

18 Bài tập Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng gồm có lời giải chi tiết giúp các bạn có thể tự kiểm tra, củng cố lại kiến thức của mình chuẩn bị cho kỳ thi đạt được kết quả cao. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 18 Bài tập Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 3)

18 bài tập Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 3) File word có lời giải chi tiết Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác MBC, cạnh bên 2a SC = . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) . 3 a 6 a 6 a 6 a 6 A. d = B. d = C. d = D. d = 12 6 4 8 Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90 , BC = 2a, ACB = 30 . Mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính khoảng cách từ trung điểm của AB đến mặt phẳng ( SBC ) . a 21 a 21 a 21 a 21 A. B. C. D. 2 7 14 21 Câu 3. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác A ' AC là tam giác vuông cân, A ' C = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ') là: a 6 a 6 a a 6 A. B. C. D. 3 2 6 4 Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc SA với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của SB. Tỷ số khi khoảng cách từ điểm M đến mặt a a phẳng ( SCD ) bằng là: 5 3 A. 2 B. 2 C. D. 1 2 Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và SA = 4cm, AB = 3cm, AC = 4cm và BC = 5cm . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng (đơn vị cm): 2 72 A. d ( A; ( SBC ) ) = B. d ( A; ( SBC ) ) = 17 17 6 34 3 C. d ( A; ( SBC ) ) = D. d ( A; ( SBC ) ) = 17 17
Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4cm. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy là trung điểm H của AB. Biết rằng SH = 2 cm. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) là: A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2 HA . Gọi M là trung điểm của SC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SB = 3SN . Khẳng định nào sau đây là sai: 4 A. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABC ) bằng lần khoảng cách từ N đến mặt phẳng 3 ( ABC ) B. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng một nửa khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) 1 C. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SAC ) bằng khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) 3 3 D. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SAB ) 2 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Tam giác SAD cân tại S và thuộc mặt uuur uuuur r phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thỏa mãn SM + 2CM = 0 . Tỷ số khoảng cách D đến mặt phẳng ( SAB ) và từ M đến mặt phẳng ( SAB ) là: 2 3 1 A. B. C. D. 2 3 2 2 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, biết tam giác ABC đều cạnh 20cm và mặt phẳng ( SCD ) tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ A đến ( SCD ) là: A. 20 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 30 cm Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và mặt phẳng đáy bằng 45°. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) . a 2 a a 2 3a A. d = B. d = C. d = D. d = 2 2 4 2
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy là tam giác đều cạnh a. Biết SB = a 5 , khoảng cách từ trung điểm của SA đến mặt phẳng ( SBC ) là: 2a 57 a 3 a 57 a 57 A. B. C. D. 19 4 19 19 Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB. Biết tam giác SAB đều, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) là: a 15 a 15 a 10 2a 15 A. B. C. D. 5 10 2 15 Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trung điểm H của cạnh AD. Biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 2a 21 . Độ dài cạnh SA là: 7 2a A. B. 2a C. 2a 2 D. 3a 3 Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a; BC = 2a . Hình chiếu vuông 3a góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trung điểm của AC. Biết SB = , khoảng cách từ điểm C 2 đến mặt phẳng ( SAB ) là: 2a a 2 A. B. a 2 C. D. 2a 2 5 2 Câu 15. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a . Hình chiếu vuông góc của B ' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC = 2 HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( B ' AC ) bằng. 2a 3a 3 a A. B. a 3 C. D. 3 2 2 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các a cạnh AB, CD. Biết SH ⊥ ( ABCD ) , khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SHM ) bằng . Tính khoảng 2 cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) khi ∆SAB là tam giác đều.
a 21 a 21 a 21 a 21 A. d = B. d = C. d = D. d = 21 14 7 3 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2 AB . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu của S trên ( ABCD ) . Biết diện tích tam giác SAB bằng 1cm 2 và d ( B; ( SAD ) ) = 2cm . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. A. 32 B. 16 C. 8 D. 72 Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60°. Gọi H nằm trên đoạn AD sao cho HD = 2 HA . Khi SA = 3 3 , tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SBD ) . 9 21 21 2 21 3 21 A. d = B. d = C. d = D. d = 14 7 7 7
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Chọn đáp án C Gọi I là trung điểm của MB. Gọi G là trọng tâm của tam giác MBC suy ra SG ⊥ ( ABC ) . Từ G kẻ GH ⊥ AB , kẻ GK ⊥ SH với H �AB, K �SH . Nên GK ⊥ ( SAB ) � d ( G; ( SAB ) ) = GK . a 13 2 a 13 Ta có IC = MC 2 + MI 2 = , GC = IC = 4 3 6 a 3 1 a 3 � SG = SC 2 − GC 2 = , GH = MC = 6 3 6 1 1 a 6 a 6 Do đó ∆SGH vuông cân tại G nên GK = SH = . = 2 2 6 12 3a 6 a 6 Mà d ( C ; ( SAB ) ) = 3d ( G; ( SAB ) ) = = 12 4 Câu 2. Chọn đáp án B Gọi H là trung điểm của AB � SH ⊥ AB � SH ⊥ ( ABC ) . Xét tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, AC = a 3 . Đặ t SH = x nên a2 13a 2 SB = x 2 + , SC = SH 2 + HC 2 = x 2 + 4 4 a2 a a Mà SB 2 + SC 2 = BC 2 � x 2 = � x = � SH = 4 2 2 Kẻ HK ⊥ BC , HI ⊥ SK với K �BC , I �SK nên HI ⊥ ( SBC ) . ﾵ = a 3 � 1 = 1 + 1 = 28 Mặt khác HK = HB.sin B 4 HI 2 HK 2 SH 2 3a 2 a 21 a 21 � HI = � d ( H ; ( SBC ) ) = 14 14
a 21 Mà d ( A; ( SBC ) ) = 2d ( H , ( SBC ) ) = 2 HI = 7
Câu 3. Chọn đáp án C +) d ( A, ( BCD ') ) = d ( D, ( BCD ' ) ) Hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' � D ' D ⊥ ( BCD ) . Kẻ AP ⊥ CD ' ( P �� CD ') d ( D, ( BCD ' ) ) = DP � d ( D, ( BCD ') ) = DP � d ( A, ( BCD ' ) ) = DP +) Hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' � A ' A ⊥ AC � ∆A ' AC vuông cân thì chỉ có thể vuông cân tại A a D ' D = A' A = A 'C a 2 � A ' A = AC = = � 2 2 AC a DC = = 2 2 1 1 1 2 4 a a +) = + = + DP 2 D ' D 2 DC 2 a 2 a 2 � DP = � d ( A, ( BCD ' ) ) = 6 6 Câu 4. Chọn đáp án B 1 1 +) d ( M , ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) 2 2 +) Kẻ AP ⊥ SD ( P �� SD ) d ( A, ( SCD ) ) = AP 1 a 2a � AP = d ( M , ( SCD ) ) = � AP = 2 5 5 1 1 1 5 1 1 SA +) 2 = 2 − 2 = 2− 2 = 2� = 2 AS AP AD 4a a 4a a Câu 5. Chọn đáp án C +) Ta có AB 2 + AC 2 = 32 + 42 = 25 = BC 2 � ∆ABC vuông tại A. +) Kẻ AK ⊥ BC ( K �BC ) , AP ⊥ SK ( P �SK ) � d ( A, ( SBC ) ) = AP
1 1 1 1 1 1 +) 2 = 2 + 2 = 2 + 2 + AP AS AK AS AB AC 2 1 1 1 17 6 34 = 2 + 2+ 2 = � AP = 4 3 4 72 17 6 34 � d ( A, ( SBC ) ) = 17
Câu 6. Chọn đáp án B +) d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) +) Kẻ HK ⊥ BD ( K �BD ) , HP ⊥ SK ( P �SK ) � d ( H , ( SBD ) ) = HP � d ( A, ( SBD ) ) = 2 HP BH +) ∆HBK vuông cân tại K � HK = = 2. 2 1 1 1 1 1 +) 2 = 2 + 2 = + � HP = 1 HP HS HK 2 2 � d ( A, ( SBD ) ) = 2 Câu 7. Chọn đáp án A d ( M , ( ABC ) ) MC 1 d ( N , ( ABC ) ) NB 2 +) = = ; = = d ( S , ( ABC ) ) SC 2 d ( S , ( ABC ) ) SB 3 d ( M , ( ABC ) ) 1 2 3 � = : = � A sai. d ( N , ( ABC ) ) 2 3 4 d ( M , ( SAB ) ) MS 1 +) = = B đúng. d ( C , ( SAB ) ) CS 2 d ( N , ( SAC ) ) NS 1 +) = = C đúng. d ( B, ( SAC ) ) BS 3 1 d ( M , ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) 2 +) D đúng. d ( C , ( SAB ) ) CA = =3 d ( H , ( SAB ) ) HA Câu 8. Chọn đáp án B uuur uuuur r +) Từ SM + 2CM = 0 M thuộc đoạn thẳng SC và SM = 2MC .
d ( M , ( SAB ) ) MS 2 +) = = d ( C , ( SAB ) ) CS 3 2 2 � d ( M , ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) 3 3 d ( D, ( SAB ) ) 3 � = d ( M , ( SAB ) ) 2
Câu 9. Chọn đáp án C Kẻ HK ⊥ CD ( K �CD ) , HP ⊥ SK ( P �SK ) d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HP (ﾵ ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SKH ﾵ = 60 3 � d ( A, ( SCD ) ) = HP = HK sin 60�= HK 2 1 S ABCD = 2S ABC = 2. .20.20sin 60 = 200 3 2 1 1 S ABCD = HK . ( AB + CD ) = HK . ( 20 + 20 ) 2 2 3 � 20 HK = 200 3 � HK = 10 3 � d ( A, ( SCD ) ) = .10 3 = 15cm . 2 Câu 10. Chọn đáp án C d ( O, ( SBC ) ) OC 1 1 +) = = � d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) d ( A, ( SBC ) ) AC 2 2 AP Kẻ AP ⊥ SB � d ( A, ( SBC ) ) = AP � d ( O, ( SBC ) ) = 2 +) (ﾵ ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SDA ﾵﾵ � SDA = 45��AD = SA = a 1 1 1 1 1 2 � 2 = 2+ 2 = 2+ 2 = 2 AP SA AB a a a a 2 a 2 � AP = � d ( O, ( SBC ) ) = 2 4 Câu 11. Chọn đáp án C a 3 Dựng AM ⊥ BC � AM = AC sin C = a sin 60�= 2 BC ⊥ SA Dựng AN ⊥ SM . Do � BC ⊥ AN BC ⊥ AM Lại có AN ⊥ SM � AN ⊥ ( SBC )
1 1 1 Mặt khác SA = SB 2 − AB 2 = 2a, 2 = 2+ AN SA AM 2 2a 57 � AN = = d ( A, ( SBC ) ) 19 d ( K , ( SBC ) ) KS 1 Gọi K là trung điểm của SA ta có = = d ( A, ( SBC ) ) AS 2 1 a 57 � d ( K , ( SBC ) ) = AN = 2 19 Câu 12. Chọn đáp án A a 3 Ta có: SH = (do tam giác SAB đều) 2 Dựng HE ⊥ BC ; HF ⊥ SE � HF ⊥ ( SBC ) � d ( H , ( SBC ) ) = HF a 3 Mặt khác HE = HB sin 60 = 4 1 1 1 a 15 Lại có = + � HF = HF 2 HE 2 SH 2 10 a 15 Do AN = 2 HB � d A = 2d H = 5 Câu 13. Chọn đáp án B Dựng HE ⊥ BC . Lại có SH ⊥ BC � BC ⊥ ( SHE ) Dựng HF ⊥ SE . Khi đó HF ⊥ ( SBC ) Do AD / / BC AD / / ( SBC ) 2a 21 � d ( A; ( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) = HF = 7 1 1 1 Lại có = + � SH = a 3 HF 2 HE 2 SH 2 Khi đó SA = SH 2 + AH 2 = 2a
Câu 14. Chọn đáp án B Ta có: BH = AC = AB 2 + BC 2 a 5 = 2 2 2 Do đó SH = SB 2 − BH 2 = a Dựng HE ⊥ AB; HF ⊥ SE khi đó HF ⊥ ( SAB ) BC Do vậy d ( H , ( SCD ) ) = HF . Lại có HE = = a 2 1 1 1 a 2 Mặt khác 2 = 2 + 2 � HF = HF HE SH 2 Lại có CA = 2 HA � d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H , ( SAB ) ) = a 2 Câu 15. Chọn đáp án B Ta có: BC = 3a 2 � HB = a 2 Lại có B ' H = BB '2 − HB 2 = a 2 Dựng HE ⊥ AC ; HF ⊥ B ' E � HF ⊥ ( B ' AC ) HE CH 2 Ta có = = � HE = 2a AB BC 3 HE.B ' H 2a � HF = = HE 2 + B ' H 2 3 d ( B, ( B ' AC ) ) BC 3 Mặt khác = = d ( H , ( B ' AC ) ) HC 2 3 Do đó d = .HF = a 3 . 2 Câu 16. Chọn đáp án C Ta có SH ⊥ ( ABCD ) � SH ⊥ BH � BH ⊥ HM � BH ⊥ ( SHM ) .
a AB = a 3 AB a 3 Nên d ( B, ( SHM ) ) = BH = �� SH = = 2 HM = a 2 2 3 AB Note. Vì ∆SAB là tam giác đều nên SH = 2 Từ H kẻ HK ⊥ SM , K SM nên HK ⊥ ( SCD ) . Khi đó d ( H , ( SCD ) ) = HK . Xét tam giác SHM vuông tại H. 1 1 1 a 21 a 21 Có 2 = 2 + 2 � HK = � d ( H , ( SCD ) ) = HK SH HM 7 7 a 21 Mà AB / / ( SCD ) � d ( H , ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 7 Câu 17. Chọn đáp án A x Đặt AB = x � AH = và AD = 2 x � S ABCD = 2 x 2 2 Có 1 2 SH ⊥ ( ABCD ) � SH ⊥ AB � S ∆SAB = .SH .x = 1 � SH = . 2 x Từ H kẻ HK vuông góc với SA, K SA . Mà AD ⊥ ( SAB ) HK ⊥ AD � � HK ⊥ ( SAD ) � d ( H , ( SAD ) ) = HK HK ⊥ SA 2 Mặt khác d ( B, ( SAD ) ) = 2d ( H , ( SAD ) ) � d ( H , ( SAD ) ) = 2 2 Xét tam giác SHA vuông tại H, đường cao HK, HK = . 2 1 1 1 x2 4 Có = + � 2 = + 2 � x = 2. HK 2 SH 2 AH 2 4 x Vậy S ABCD = 2 x 2 = 2.42 = 32 . Câu 18. Chọn đáp án C Ta có AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ( ABCD ) .
SA � (ﾵ SB, ( ABCD ) ) = (ﾵSB, AB ) = SBA ﾵ = 60�� AB = = 3 tan 60 Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến ( SBD ) . Lại có ba cạnh SA, AB, AD đôi một vuông góc với nhau. 1 1 1 1 1 2 3 21 Nên h 2 = SA2 + AB 2 + AD 2 = + �h= 7 ( ) 2 2 3 3 3 2 2 21 Mà d ( H , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) = 3 7