200 câu bài tập tích phân - Trần Sỹ Tùng

Chia sẻ: Đỗ Thúy Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

1.102
lượt xem 378
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tổng hợp kiến thức và bài tập cơ bản về tích phân, cách giải bài toán tích phân theo từng dạng cụ thể. Giúp các bạn ôn tập toán nhanh và hiệu quả cho kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 200 câu bài tập tích phân - Trần Sỹ Tùng

www.laisac.page.tl Trần Sĩ Tùng 200 CÂU TÍCH PHÂN tập Tích phân 2 C T C P Â Bài 0 Â Í H TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Trần Sỹ Tùng Dạng 1: Tách phân thức 2 x2 Câu 1. I =ò dx 2 1 x - 7 x + 12 2 æ 16 9 ö 2 · I = ò ç1 + - ÷dx = ( x + 16 ln x - 4 - 9 ln x - 3 ) 1 = 1 + 25ln 2 - 16 ln 3 . 1 è x -4 x -3ø 2 dx Câu 2. I =ò 1 x + x3 5 1 1 1 x · Ta có: =- + + x 3 ( x 2 + 1) x x3 x2 + 1 é 1 1 ù2 3 1 3 Þ I = ê - ln x - + ln( x 2 + 1)ú = - ln 2 + ln 5 + ë 2x 2 2 û1 2 2 8 5 3x 2 + 1 2 4 13 7 14 Câu 3. I =ò dx · I = - ln + ln + ln 2 4 3 x - 2 x - 5x + 6 2 3 3 15 6 5 Dạng 2: Đổi biến số 2 3 ( x - 1)2 1 æ x -1 ö æ x - 1 ö¢ 1 æ x -1 ö Câu 4. I =ò dx · Ta có: f ( x ) = . ç ÷ .ç ÷ ÞI = ç ÷ +C (2 x + 1)4 3 è 2x + 1 ø è 2x + 1 ø 9 è 2x + 1 ø 1 ( 7 x - 1)99 Câu 5. I =ò dx 101 0 ( 2 x + 1) 1 99 99 æ 7x - 1 ö dx 1 1 æ 7x - 1 ö æ 7x - 1 ö · I = òç ÷ = òç ÷ dç ÷ 0 è 2x + 1 ø ( 2 x + 1)2 9 0 è 2 x + 1 ø è 2 x + 1 ø 100 1 1 æ 7x - 1 ö 1 1 é 100 ù = × ç ÷ = ë2 - 1û 9 100 è 2 x + 1 ø 0 900 1 5x 1 Câu 6. I =ò dx · Đặt t = x 2 + 4 Þ I = 2 2 8 0 (x + 4) 4 3 3 1 1 æ1 t ö 1 3 Câu 7. I= ò dx · Đặt t = x 2 Þ I = ò ç t - t 2 + 1 ÷dt = 4 ln 2 1 x ( x 4 + 1) 2 1 è ø 3 dx Câu 8. I= ò 1 x 6 (1 + x 2 ) Trang 1
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 3 1 1 3 t6 æ 4 2 1 ö 117 - 41 3 p · Đặt : x = Þ I =- ò dt = ò çt - t +1- 2 ÷ dt = + t 1 t2 + 1 3 è t +1ø 135 12 3 2 2 dx x 4 .dx 1 32 5 dt Câu 9. I =ò · I =ò . Đặt t = x Þ I = ò 1 x.( x10 + 1)2 5 10 1 x .( x + 1) 2 5 1 t (t + 1)2 2 1 x7 1 2 (t - 1)3 1 1 Câu 10. I = ò dx · Đặt t = 1 + x 2 Þ dt = 2 xdx Þ I = ò t 5 dt = 4 . 25 0 (1 + x 2 )5 21 2 2 1 - x7 (1 - x 7 ).x 6 1 128 1 - t Câu 11. I = ò dx · I =ò dx . Đặt t = x 7 Þ I = ò dt 1 x (1 + x 7 ) 1 x 7 .(1 + x 7 ) 7 1 t (1 + t ) 2 x 2001 Câu 12. I = ò .dx 1 (1 + x 2 )1002 2 2 x 2004 1 1 2 · I =ò .dx = ò .dx . Đặt t = + 1 Þ dt = - 3 dx . 1 x 3 (1 + x 2 )1002 1 3æ 1 ö 1002 x2 x x ç 2 + 1÷ èx ø 11 x 2000 .2 xdx 2 Cách 2: Ta có: I = ò (1 + x 2 )2000 (1 + x 2 )2 . Đặt t = 1 + x Þ dt = 2 xdx 20 1000 1 2 (t - 1)1000 1 2æ 1ö æ 1ö 1 Þ I= ò dt = ò ç 1 - ÷ d ç1 - ÷ = 2 1 t1000t 2 2 1è t ø è t ø 2002.21001 1 Câu 13. I = ò x 5 (1 - x 3 )6 dx 0 -dt 11 6 1 æ t 7 t8 ö 1 · Đặt t = 1 - x 3 Þ dt = -3x 2dx Þ dx = ÞI = ò t (1 - t )dt = ç - ÷ = 3x 2 30 3 è 7 8 ø 168 1 xdx Câu 14. I = ò 0 ( x + 1)3 x x + 1-1 1 1 · Ta có: = = ( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 Þ I = ò é( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 ùdx = 3 3 0ë û 8 ( x + 1) ( x + 1) 2 1 + x2 Câu 15. I = ò dx 11+ x4 1 2 1+ 1+ x x 2 . Đặt t = x - 1 Þ dt = æ 1 + 1 ö dx · Ta có: = ç ÷ 1+ x4 1 x è x2 ø x2 + x2 3 3 2 dt 1 2æ 1 1 ö 1 t - 2 3/ 2 1 æ 2 -1ö Þ I=ò = òç - ÷ dt = .ln = ln ç ÷ 1 t2 - 2 2 2 t- 1è 2 t+ 2ø 2 2 t+ 2 1 2 2 ç 2 +1÷ è ø Trang 2
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 2 1 - x2 Câu 16. I = ò dx 11+ x4 1 5 2 -1 2 1- x 12 æ 1 ö dt · Ta có: = x . Đặt t = x + Þ dt = ç 1 - ÷ dx Þ I = - ò . 1+ x 2 1 4 x è 2 x ø 2 2 t +2 x + x2 du 5 5 Đặt t = 2 tan u Þ dt = 2 ; tan u = 2 Þ u1 = arctan 2; tan u = Þ u2 = arctan 2 2 2 cos u u2 2 2 2æ 5 ö Þ I= ò du = (u2 - u1 ) = ç arctan - arctan 2 ÷ 2 u1 2 2 è 2 ø 1 x4 + 1 Câu 17. I = ò dx 6 0 x +1 x4 + 1 ( x 4 - x 2 + 1) + x 2 x4 - x2 + 1 x2 1 x2 · Ta có: = = + = + x6 + 1 x6 + 1 ( x 2 + 1)( x 4 - x 2 + 1) x6 + 1 x2 + 1 x6 + 1 1 1 1 1 d (x3 ) p 1p p Þ I =ò dx + ò ( x 3 )2 + 1 dx = 4 + 3 4 = 3 0 x2 + 1 30 1 2 -1 1- x 2 x2 2 1 4 Câu 18. I = ò dx · Ta có: I = ò dx . Đặt t = x + Þ I = ln 3 1 x 5 1x+x 1 +x x 1 xdx 1 1 dt 11 dt p Câu 19. I = ò . · Đặt t = x 2 Þ I = ò = ò = 4 x + x +1 2 2 0 t2 + t + 1 2 0 2 2 6 3 0 æ 1ö æ 3ö çt + ÷ + ç ÷ è 2ø è 2 ø 1+ 5 2 x2 + 1 Câu 20. I = ò dx 1 x 4 - x2 + 1 1 2 1+ x +1 x2 1 æ 1 ö · Ta có: = . Đặt t = x - Þ dt = ç 1 + ÷ dx x4 - x2 + 1 1 x è x2 ø x2 + -1 x2 p 1 4 dt du p Þ I =ò . Đặt t = tan u Þ dt = Þ I = ò du = 2 0t +1 cos2 u 0 4 3 3 x2 Câu 21. I= ò dx 0 x4 - 1 3 3 3 2 3 æ x 1 1 1 ö 1 p · I= ò dx = ò ç 2 + ÷ dx = ln(2 - 3) + 0 ( x 2 - 1)( x 2 + 1) 2 0 è x - 1 x2 + 1 ø 4 12 Trang 3
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 x Câu 1. I =ò dx 2 3x + 9 x - 1 x · I =ò dx = ò x (3 x - 9 x 2 - 1)dx = ò 3 x 2dx - ò x 9 x 2 - 1dx 2 3x + 9 x - 1 3 1 1 2 + I1 = ò 3x dx = x + C1 3 + I 2 = ò x 9 x - 1dx = ò 9 x 2 - 1 d (9 x 2 - 1) = (9 x 2 - 1) 2 + C2 2 18 27 3 1 Þ I= (9 x 2 - 1) 2 + x 3 + C 27 x2 + x Câu 2. I =ò dx 1+ x x x2 + x x2 x · ò dx = ò dx + ò dx . 1+ x x 1+ x x 1+ x x x2 4 2 + I1 = ò dx . Đặt t= 1 + x x Û t 2 - 1 = x x Û x 3 = (t 2 - 1)2 Û x 2dx = t(t - 1)dt 1+ x x 3 ( ) 3 4 2 4 3 4 4 4 Þ ò 3 (t - 1)dt = 9 t - 3 t + C = 9 1+ x x - 3 1 + x x + C1 x 2 d (1 + x x ) 4 + I2 = ò dx = ò = 1 + x x + C2 1+ x x 3 1+ x x 3 ( ) 3 4 Vậy: I = 1+ x x +C 9 4 3 2x + 1 t2 Câu 3. I =ò dx · Đặt t = 2 x + 1 . I = ò 1 + t dt =2 + ln 2 . 01+ 2x + 1 1 6 dx 3 1 Câu 4. I =ò · Đặt t = 4 x + 1 . I = ln - 2 2x + 1 + 4x + 1 2 12 1 1 2 Câu 5. I = ò x 3 1 - x 2 dx · Đặt: t = 1 - x 2 Þ I = ò ( t 2 - t 4 ) dt = . 0 0 15 1 1+ x Câu 6. I =ò dx 01+ x 1 1 3 t +t æ 2 ö 11 · Đặt t = x Þ dx = 2t.dt . I = 2ò dt = 2 ò ç t 2 - t + 2 - ÷dt = - 4 ln 2 . 0 t +1 0 è 1+ t ø 3 3 x -3 Câu 7. I =ò dx 0 3 x +1 + x + 3 Trang 4
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 2 2 2 2t 3 - 8t 1 3 · Đặt t = x + 1 Þ 2tdu = dx Þ I = ò dt = ò (2t - 6)dt + 6 ò dt = -3 + 6 ln 2 t +1 2 1t + 3t + 2 1 1 0 3 Câu 8. I= òx x + 1dx -1 1 æ t7 t4 ö 1 3 3 2 9 3 · Đặt t = x + 1 Þ t = x + 1 Þ dx = 3t dt Þ I = ò 3(t - 1)dt = 3 ç - ÷ = - 0 è 7 4 ø0 28 5 x2 + 1 Câu 9. I =ò dx 1 x 3x + 1 2 æ t2 - 1 ö ç ÷ +1 4ç 3 ÷ 2tdt 2tdt 24 2 4 dt · Đặt t = 3x + 1 Þ dx = Þ I =òè ø . = ò (t - 1)dt + 2 ò 3 2 t2 - 1 3 92 2 2 t -1 .t 3 4 4 2æ1 3 ö t -1 100 9 = ç t - t ÷ + ln = + ln . 9è3 ø2 t + 1 2 27 5 3 2x2 + x - 1 Câu 10. I = ò dx 0 x +1 · Đặt x + 1 = t Û x = t 2 - 1 Þ dx = 2tdt 2 2 2 æ 4t 5 ö 2(t 2 - 1)2 + (t 2 - 1) - 1 54 Þ I =ò 2tdt = 2ò (2t 4 - 3t 2 )dt = ç - 2t 3 ÷ = 1 t 1 è 5 ø1 5 1 x 2dx Câu 11. I = 2 ò 0 ( x + 1) x +1 · Đặt t = x + 1 Þ t 2 = x + 1 Þ 2tdt = dx 2 2 2 2 æ t3 (t 2 - 1)2 æ 1ö 1ö 16 - 11 2 ÞI = ò .2tdt =2 ò ç t - ÷ dt = 2 ç - 2t - ÷ = 1 t3 1 è tø è3 t ø1 3 4 x +1 Câu 12. I = ò dx 2 0 (1 + 1 + 2x ) dx t 2 - 2t · Đặt t = 1 + 1 + 2 x Þ dt = Þ dx = (t - 1)dt và x = 1 + 2x 2 1 4 (t 2 - 2t + 2)(t - 1) 1 4 t 3 - 3t 2 + 4t - 2 1 4æ 4 2ö Ta có: I = ò dt = ò dt = ò ç t - 3 + - ÷dt 22 t2 22 t2 2 2è t t2 ø 1 æ t2 2ö 1 = ç - 3t + 4 ln t + ÷ = 2 ln 2 - 2ç 2 è t÷ ø 4 8 x -1 Câu 13. I = ò 2 dx 3 x +1 Trang 5
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 8 ( ) 8 æ x 1 ö ( 3 + 2 ) - ln ( 8 + 3) é 2 2 ù · I= òç ç 2 - ÷dx = ë x + 1 - ln x + x + 1 û ÷ 3 = 1 + ln 3 è x +1 x2 + 1 ø 1 Câu 14. I = ò ( x - 1)3 2 x - x 2 dx 0 1 1 3 2 · I = ò ( x - 1) 2 x - x dx = ò ( x 2 - 2 x + 1) 2 x - x 2 ( x - 1)dx . Đặt t = 2 x - x 2 Þ I = - 2 . 0 0 15 2 2 x3 - 3x 2 + x Câu 15. I = ò dx 0 x2 - x + 1 2 3 ( x 2 - x )(2 x - 1) 4 · I =ò dx . Đặt t = x 2 - x + 1 Þ I = 2 ò (t 2 - 1)dt = . 0 x2 - x + 1 1 3 2 x 3dx Câu 16. I = ò 3 0 4 + x2 3 3 2 4 3æ8 3 ö · Đặt t = 4 + x 2 Þ x 2 = t 3 - 4 Þ 2 xdx = 3t 2dt Þ I = ò (t - 4t )dt = - 2 ç 5 + 4 2 ÷ 23 è ø 4 1 dx Câu 17. I = ò -1 1 + x + 1 + x2 1 1 1 + x - 1 + x2 1 + x - 1 + x2 1 1æ1 ö 1 1 + x2 · Ta có: I = ò dx = ò dx = ò ç + 1÷ dx - ò dx 2 2 2x 2 -1 è x ø 2x -1 (1 + x ) - (1 + x ) -1 -1 1 1æ1 ö 1 1 + I1 = ò ç x + 1÷ dx = 2 é ln x + x ù |-1 = 1 2 -1 è ë û ø 1 2 1 + x2 t 2dt + I2 = ò dx . Đặt t = 1 + x 2 Þ t 2 = 1 + x 2 Þ 2tdt = 2 xdx Þ I2= ò =0 2x 2 -1 2 2(t - 1) Vậy: I = 1 . Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1 . 1 1 (x ) -x 3 3 1 æ 1 1 ö3 1 · Ta có: I = ò ç - 1÷ . dx . Đặt t = 1 -1 Þ I = 6 . Câu 18. I = ò dx 1 x4 1 è x2 ø x3 x2 3 3 2 4 - x2 Câu 19. I = ò dx 1 x 2 4 - x2 · Ta có: I = ò xdx . Đặt t = 4 - x 2 Þ t 2 = 4 - x 2 Þ tdt = - xdx 2 1 x 0 0 t(-tdt ) 0 t2 0 4 æ t-2 ö æ 2- 3 ö ÞI= ò = ò dt = ò (1 + )dt = ç t + ln ÷ = - ç 3 + ln ÷ 4 - t2 t2 - 4 t2 - 4 è t+2 ø ç 2+ 3 ÷ 3 3 3 3 è ø Trang 6
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 2 5 5 x dt 1 15 Câu 20. I = ò dx · Đặt t = x 2 + 5 Þ I = ò = ln . 2 4 7 2 ( x 2 + 1) x 2 + 5 3t -4 27 x -2 Câu 21. I = ò dx 3 2 1 x+ x 3 3 t3 - 2 é 2 2t 1 ù æ 2 ö 5p · Đặt t = 6 x Þ I = 5 ò dt = 5 ò ê1 - + - ú dt = 5 ç 3 - 1 + ln 3 ÷ - 12 1 t(t 2 + 1) 1 ë t t2 + 1 t2 + 1û è ø 1 1 Câu 22. I = ò dx 0 x2 + x + 1 1+ 3 2 2dt 1+ 3 3+ 2 3 · Đặt t = x + x + x + 1 Þ I = ò = ln(2t + 1) = ln 1 2t + 1 1 3 3 x2 Câu 23. I = ò dx 0 (1 + 1 + x )2 (2 + 1 + x )2 4 æ 42 36 ö 4 · Đặt 2 + 1 + x = t Þ I = ò ç 2t - 16 + - ÷ dt = -12 + 42 ln 3è t t2 ø 3 3 x2 Câu 24. I = ò dx 0 2( x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1 2 2 2t (t 2 - 1)2 dt 2 2 2 · Đặt t = x + 1 Þ I = ò = 2 ò (t - 1)2 dt = (t - 1)3 = 1 t(t + 1)2 1 3 1 3 2 2 3 x - x 3 + 2011x Câu 25. I = ò dx 1 x4 1 2 2 3 -1 2 2 · Ta có: I = x2 dx + 2011 dx = M + N ò x3 ò x3 1 1 1 3 7 2 2 3 -1 - x 2 1 3 2 213 7 M= ò dx . Đặt t = 3 -1 Þ M = - ò t 3dt = - 1 x3 x2 2 0 128 2 2 2 2 2 2 2011 é 2011 ù -3 14077 N= ò dx = ò 2011x dx = ê - ú = 1 x3 1 ë 2 x2 û 1 16 3 14077 21 7 Þ I= - . 16 128 1 dx Câu 26. I = ò 3 0 (1 + x 3 ). 1 + x 3 3 3 2 2 3 3 t2 dt · Đặt t = 1 + x Þ I = ò dt = ò 2 2 1 4 3 1 2 3 t .(t - 1) 3 t .(t - 1) 3 Trang 7
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 2 - æ 1ö 3 3 2 3 2 3 2 ç1 - 3 ÷ dt dt è t ø = ò = ò = ò dt 2 2 1 1 1 t4 é æ 1 öù 3 æ 1 ö 3 t 2 . êt 3 ç 1 - 3 ÷ ú t 4 ç1 - 3 ÷ ë è t øû è t ø 1 1 1 1 - 2 æ 1 ö2 2 -2 1 2 1 3dt 2 u 3 1 1 ç u3 ÷ 1 Đặt u = 1 - Þ du = Þ I=ò du = òu 3 du = ç ÷ = u3 = t3 t4 0 3 30 3ç 1 ÷ 3 2 ç ÷ 0 è 3 ø0 2 2 x4 Câu 27. I = ò æ 1ö 2 dx 3 ç x - x ÷ x +1 è ø · Đặt t = x 2 + 1 3 3 4 3 3 (t 2 - 1)2 t - 2t 2 + 1 1 19 2 æ4+ 2 ö Þ I =ò dt = ò dt = ò t 2 dt + ò dt = + ln ç ÷ 2 t2 - 2 2 t2 - 2 2 2t 2 -2 3 4 ç4- 2 ÷ è ø Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 1æ ö 1- x Câu 28. I = ò ç ç - 2 x ln (1 + x ) ÷ dx ÷ 0 è 1+ x ø 1 1- x é pù p · Tính H = ò dx . Đặt x = cos t; t Î ê 0; ú Þ H = 2 - 0 1+ x ë 2û 2 1 ìu = ln(1 + x ) 1 · Tính K = ò 2 x ln(1 + x )dx . Đặt í Þ K= 0 î dv = 2 xdx 2 2 5 Câu 29. I = ò (x + x 2 ) 4 - x 2 dx -2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 ·I= ò (x + x ) 4 - x dx = òx 4 - x dx + òx 4 - x 2 dx = A + B. -2 -2 -2 2 5 + Tính A = òx 4 - x 2 dx . Đặt t = - x . Tính được: A = 0. -2 2 2 + Tính B = òx 4 - x 2 dx . Đặt x = 2sin t . Tính được: B = 2p . -2 Vậy: I = 2p . Trang 8
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Câu 30. I = ò 2 (3 - 4 - x 2 dx ) 1 2x4 2 2 3 4 - x2 · Ta có: I = ò dx - ò dx . 4 1 2x 1 2x4 2 3 3 2 -4 7 + Tính I1 = ò dx = ò x dx = 16 . 4 21 1 2x 2 4 - x2 + Tính I 2 = ò dx . Đặt x = 2sin t Þ dx = 2 cos tdt . 1 2x 4 p p p 2 12 cos tdt 12 2 æ 1 ö 12 3 cot dt = - ò cot 2 t.d (cot t ) = 8ò 8ò Þ I2 = = tç 4 2 ÷ 8p 8 p sin t p è sin t ø 6 6 6 1( Vậy: I = 7 - 2 3) . 16 1 x 2dx Câu 31. I = ò 0 4 - x6 1 1 dt · Đặt t = x 3 Þ dt = 3 x 2 dx Þ I = 3 ò 4 - t2 . 0 p 6 é pù 1 p Đặt t = 2sin u, u Î ê 0; ú Þ dt = 2 cos udu Þ I = ò dt = . ë 2û 30 18 p 2 2 2- x t Câu 32. I = ò dx · Đặt x = 2 cos t Þ dx = -2sin tdt Þ I = 4 ò sin2 dt = p - 2 . 0 x+2 0 2 1 x 2dx Câu 33. I = ò 0 3 + 2x - x2 1 x 2dx · Ta có: I = ò . Đặt x - 1 = 2 cos t . 0 22 - ( x - 1)2 p 2p 2 2 3 (1 + 2 cos t ) 2sin t p 3 3 Þ I =- ò dt = ò ( 3 + 4 cos t + 2 cos2t ) dt = 2 + 2 -4 2p 4 - (2 cos t )2 p 3 2 1 p 2 6 p 3 1 Câu 34. ò 1 - 2 x 1 - x 2 dx · Đặt x = sin t Þ I = ò (cos t - sin t )cos tdt = + - 0 0 12 8 8 Trang 9
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Tích phân từng phần 3 Câu 35. I = ò x 2 - 1dx 2 ì x ìu = x 2 - 1 ïdu = ï dx · Đặt í Þí x2 - 1 ïdv = dx î ïv = x î 3 3 x 3 é 2 1 ù Þ I = x x2 - 1 - ò x. dx = 5 2 - ò ê x -1 + ú dx 2 2 x2 - 1 2ê ë 2 x -1ú û 3 3 dx =5 2- ò x 2 - 1dx - ò = 5 2 - I - ln x + x 2 - 1 3 2 2 2 x2 - 1 5 2 1 Þ I= - ln ( 2 + 1) + ln 2 2 4 1 Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x = vì é 2;3ù Ï [ -1;1] ë û cos t Trang 10
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác 8cos2 x - sin 2 x - 3 Câu 1. I =ò dx sin x - cos x (sin x - cos x )2 + 4 cos 2 x · I =ò dx = ò é( sin x - cos x - 4(sin x + cos x ) ùdx ë û sin x - cos x = 3cos x - 5sin x + C . cot x - tan x - 2 tan 2 x Câu 2. I = ò dx sin 4 x 2 cot 2 x - 2 tan 2 x 2 cot 4 x cos 4 x 1 · Ta có: I = ò dx = ò dx = 2ò 2 dx = - +C sin 4 x sin 4 x sin 4 x 2sin 4 x æ pö cos2 ç x + ÷ è 8ø Câu 3. I = ò dx sin 2 x + cos 2 x + 2 æ pö 1 + cos ç 2 x + ÷ 1 è 4 ø dx · Ta có: I = ò 2 2 1 + sin æ 2 x + p ö ç ÷ è 4ø æ ö ç cos æ 2 x + p ö ÷ 1 ç ç ÷ dx ÷ è 4 ø dx + = çò ò 2÷ 2 2 ç 1 + sin æ 2 x + p ö é æ pö æ p öù ÷ ç ÷ ç è 4ø êsin ç x + ÷ + cos ç x + ÷ ú ÷ è ë è 8ø è 8 øû ø æ æ pö ö 1 çç cos ç 2 x + ÷ ÷ è 4 ø dx + 1 dx = ò 2 2 ç 1 + sin æ 2 x + p ö 2 ò æ 3p ö ÷ ÷ ç ç ÷ sin2 ç x + ÷÷ è è 4ø è 8 øø 1 æ æ pö æ 3p ö ö = ç ln 1 + sin ç 2 x + ÷ - cot ç x + ÷÷ + C 4 2çè è 4ø è 8 ø÷ø p dx Câu 4. I= ò 2+ p 3 sin x - cos x 3 p 1 dx 1p dx 1 · I= ò = I= ò = . 2p æ pö 4p 2æ x p ö 4 3 1 - cos ç x + ÷ 2sin ç + ÷ 3 è 3ø 3 è2 6ø p 6 1 Câu 5. I= ò 2 sin x - dx 0 3 p p 1 6 6 1 1 2 · Ta có: I = 2 ò p dx = ò p dx 0 sin x - sin 0 sin x - sin 3 3 Trang 11
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng p p ææ x p ö æ x p öö p 6 cos cos ç ç + ÷ - ç - ÷ ÷ 6 =ò dx = ò 3 è è 2 6 ø è 2 6 ø ø dx 0 sin x - sin p 0 2 cos x + p .sin x - p æ ö æ ö 3 ç2 6÷ ç2 6÷ è ø è ø p æx pö p æx pö 6 cos ç - ÷ 6 sin ç + ÷ p p 1 è 2 6 ødx + 1 è2 6ø æx pö æx pö = ò ò æ x p ö dx = ln sin ç 2 - 6 ÷ 6 - ln cos ç + ÷ 6 = ..... 2 0 æx pö sin ç - ÷ 20 cos ç + ÷ è ø 0 è2 6ø 0 è2 6ø è2 6ø p 2 Câu 6. I = ò (sin 4 x + cos4 x )(sin 6 x + cos6 x )dx . 0 33 7 3 33 · Ta có: (sin 4 x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x ) = + cos 4 x + cos8 x Þ I = p. 64 16 64 128 p 2 Câu 7. I = ò cos2 x(sin 4 x + cos4 x )dx 0 p p 2 æ 1 ö 1 ö 1 2æ · I = ò cos2 x ç 1 - sin2 2 x ÷ dx = ò ç 1 - sin2 2 x ÷ d (sin 2 x ) = 0 0 è 2 ø 2 0è 2 ø p 2 Câu 8. I = ò (cos3 x - 1) cos2 x.dx 0 p p 2 2 ·A = 5 ò cos xdx = ò (1 - sin2 x )2d (sin x ) = 8 0 0 15 p p 2 2 12 p B= ò cos x.dx = 2ò (1 + cos 2 x ).dx = 4 0 0 8 p Vậy I = – . 15 4 p 2 Câu 9. I = ò cos 2 x cos 2 xdx 0 p p p 2 12 1 2 · I = ò cos2 x cos2 xdx = (1 + cos 2 x ) cos2 xdx = ò (1 + 2 cos2 x + cos 4 x )dx 0 2ò0 4 0 p 1 1 p 2 = ( x + sin 2 x + sin 4 x ) = 4 4 0 8 p 3 Câu 10. I = ò 2 4sin x dx 0 1 + cos x Trang 12
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 4sin3 x 4sin3 x (1 - cos x ) · = = 4sin x - 4sin x cos x = 4sin x - 2sin 2 x 1 + cos x sin2 x p ÞI =ò 2 (4sin x - 2 sin 2 x )dx =2 0 2p Câu 11. I = ò 1 + sin xdx 0 2p 22p 2p æ x xö x x æx pö · I= ò ç sin + cos ÷ dx = ò sin + cos dx = 2 ò sin ç + ÷ dx 0 è 2 2ø 0 2 2 0 è2 4ø é 3p ù ê2 2p æx pö æx pö ú = 2 ê ò sin ç + ÷dx - ò sin ç + ÷ dx ú = 4 2 ê0 è2 4ø 3p è2 4ø ú ê ë 2 ú û p p 4 4 dx 28 Câu 12. I = ò · Ta có: I = ò (1 + 2 tan2 x + tan 4 x )d (tan x ) = . 0 6 cos x 0 15 Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 sin 2 xdx Câu 13. I = ò 3 + 4sin x - cos2 x 2sin x cos x 1 · Ta có: I = ò dx . Đặt t = sin x Þ I = ln sin x + 1 + +C 2sin 2 x + 4 sin x + 2 sin x + 1 dx Câu 14. I = ò sin x.cos5 x 3 dx dx · I =ò 3 3 2 = 8ò 3 sin x. cos x. cos x sin 2 x. cos 2 x æ 3 ö 1 3 1 Đặt t = tan x . I = ò ç t 3 + 3t + + t -3 ÷ dt = tan 4 x + tan 2 x + 3 ln tan x - +C è t ø 4 2 2 tan 2 x 2t Chú ý: sin 2 x = . 1 + t2 dx Câu 15. I = ò sin x.cos3 x dx dx dx 2t · I =ò = 2ò . Đặt t = tan x Þ dt = ; sin 2 x = 2 2 2 sin x.cos x.cos x sin 2 x.cos x cos x 1 + t2 dt t2 + 1 1 t2 tan 2 x Þ I = 2ò =ò dt = ò (t + )dt = + ln t + C = + ln tan x + C 2t t t 2 2 1 + t2 Trang 13
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 2011 sin 2011 x - sin 2009 x Câu 16. I = ò cot xdx sin5 x 1 2011 1 - 2011 sin 2 x cot xdx = - cot 2 x · Ta có: I = ò ò cot xdx sin 4 x sin 4 x 2 4024 8046 2011 (1 + t 2 )tdt 2011 2011 2011 2011 Đặt t = cot x Þ I = ò t = t + t +C 4024 8046 4024 8046 2011 2011 = cot 2011 x + cot 2011 x + C 4024 8046 p 2 sin 2 x.cos x Câu 17. I = ò dx 0 1 + cos x p 2 2 sin x.cos2 x (t - 1)2 · Ta có: I = 2 ò dx . Đặt t = 1 + cos x Þ I = 2 ò dt = 2 ln 2 - 1 0 1 + cos x 1 t p 3 2 Câu 18. I = ò sin x tan xdx 0 p p 3 sin x 3 (1 - cos2 x )sin x · Ta có: I = ò sin2 x. dx = ò dx . Đặt t = cos x 0 cos x 0 cos x 1 2 1 - u2 3 Þ I = -ò du = ln 2 - 1 u 8 p 2 Câu 19. I = ò sin x(2 - 1 + cos2 x )dx p 2 p p · Ta có: I = ò 2 sin2 xdx - ò sin2 x 1 + cos2 xdx = H + K p p 2 2 p p 2 p p + H = ò 2sin xdx = ò (1 - cos 2 x )dx = p - = p p 2 2 2 2 p p p 2 + K = ò sin 2 x 2 cos2 x = - 2 ò sin 2 x cos xdx = - 2 ò sin 2 xd (sin x ) = p p p 3 2 2 2 p 2 ÞI = - 2 3 Trang 14
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân p 3 dx Câu 20. I = ò sin2 x.cos4 x p 4 p 3 dx dx · I = 4. ò 2 2 . Đặt t = tan x Þ dt = . p sin 2 x.cos x cos2 x 4 3 3 3 æ 1 (1 + t 2 )2 dt æ1 2ö t3 ö 8 3-4 I= ò = ò ç 2 + 2 + t ÷ dt = ç - + 2t + ÷ = 1 t2 1 èt ø è t 3 ø1 3 p 2 sin 2 x Câu 21. I = ò ( 2 + sin x ) dx 0 2 p p 2 2 sin 2 x sin x cos x · Ta có: I = ò (2 + sin x )2 dx = 2 ò (2 + sin x )2 dx . Đặt t = 2 + sin x . 0 0 3 3 3 t-2 æ1 2 ö æ 2ö 3 2 Þ I = 2ò dt = 2ò ç - ÷ dt = 2 ç ln t + ÷ = 2 ln - 2 t2 2è t t2 ø è t ø2 2 3 p 6 sin x Câu 22. I = ò cos 2 x dx 0 p p 6 6 sin x sin x · I= ò cos 2 x dx = ò 2 cos2 x - 1 dx . Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx 0 0 p 3 Đổi cận: x = 0 Þ t = 1; x = Þt= 6 2 3 1 2 1 1 2t - 2 1 3-2 2 Ta được I = - ò dt = ln = ln 2 1 2t - 1 2 2 2t + 2 3 2 2 5-2 6 2 p 2 2 11 t 1 Câu 23. I = sin x 3 ò e .sin x.cos x. dx · Đặt t = sin2 x Þ I = ò e (1 - t )dt = 2 e - 1 . 0 20 p 2 1 3 Câu 24. I = ò sin x × sin2 x + dx · Đặt t = cos x . I = (p + 2) p 2 16 6 p 4 sin 4 x Câu 25. I = ò dx 0 sin 6 x + cos6 x Trang 15
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng p 1 4 4æ 1 sin 4 x 3 2 1 ö 4 2 · I= ò dx . Đặt t = 1 - sin 2 2 x Þ I = ò ç - 3 t ÷dt = 3 t = . 4 1 3 3 1è ø 0 1 - sin2 2 x 4 4 p 2 sin x Câu 26. I = ò dx 3 0 ( sin x + 3 cos x ) æ pö · Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos ç x - ÷ ; è 6ø ææ pö pö 3 æ pö 1 æ pö sin x = sin ç ç x - ÷ + ÷ = sin ç x - ÷ + cos ç x - ÷ èè 6ø 6ø 2 è 6ø 2 è 6ø æ pö p p sin ç x - ÷ dx 2 3 è 6ø 1 2 dx 3 ÞI= ò 16 0 æ + p ö 16 0 ò æ pö = 6 cos3 ç x - ÷ cos2 ç x - ÷ è 6ø è 6ø p 4 sin x 1 - cos2 x Câu 27. I = ò cos2 x dx p - 3 p p p 4 4 0 4 sin x sin x sin x sin x · I= ò 1 - cos2 x .dx = ò sin x dx = ò sin x dx + ò sin x dx p cos2 x p cos2 x p cos2 x 2 -0 cos x - - - 3 3 3 p 0 2 sin x 4 sin 2 x 7p = - ò dx + ò dx = - 3 - 1. p cos2 x 0 cos2 x 12 - 3 p 6 1 Câu 28. I = ò sin x + dx 0 3 cos x p æ ppö p 6 sin ç x + ÷ 1 1 1 è 16 3 ø dx . 6 · I=ò dx = ò dx = ò 0 sin x + 3 cos x 20 æ pö 20 æ pö sin ç x + ÷ 1 - cos2 ç x + ÷ è 3ø è 3ø 1 2 æ pö æ pö 1 1 1 Đặt t = cos ç x + ÷ Þ dt = - sin ç x + ÷ dx Þ I = ò dt = ln 3 è 3ø è 3ø 2 0 1- t 2 4 p 2 Câu 29. I = ò 1 - 3 sin 2 x + 2 cos2 xdx 0 Trang 16
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân p p p 2 3 2 · I= ò sin x - 3 cos x dx = I = ò sin x - 3 cos x dx + ò sin x - 3 cos x dx = 3 - 3 0 0 p 3 p 2 sin xdx Câu 30. I = ò (sin x + cos x )3 0 p p 2 2 p cos tdt cos xdx · Đặt x = - t Þ dx = -dt Þ I = ò (sin t + cos t )3 = ò (sin x + cos x )3 2 0 0 p p p 2 dx 12 dx 1 p 1 4 Þ 2I = ò (sin x + cos x )2 = 2 ò = - cot( x + ) = 1 Þ I = 0 p 0 sin 2 ( x + ) 2 4 0 2 4 p 2 7sin x - 5cos x Câu 31. I = ò (sin x + cos x )3 dx 0 p p 2 2 sin xdx cos xdx · Xét: I1 = ò ; I2 = ò . 3 3 0 ( sin x + cos x ) 0 ( sin x + cos x ) p Đặt x = - t . Ta chứng minh được I1 = I2 2 p p 2 dx 2 dx 1 p p Tính I1 + I2 = ò = ò = tan( x - ) 2 = 1 2 p 2 4 0 0 ( sin x + cos x ) 0 2 cos2 ( x - ) 4 1 Þ I1 = I 2 = Þ I = 7I1 – 5I 2 = 1 . 2 p 2 3sin x - 2 cos x Câu 32. I = ò (sin x + cos x )3 dx 0 p p 2 2 p 3cos t - 2sin t 3cos x - 2sin x · Đặt x = - t Þ dx = -dt Þ I = ò (cos t + sin t )3 dt = ò (cos x + sin x )3 dx 2 0 0 p p p 2 2 2 3sin x - 2 cos x 3cos x - 2sin x 1 1 Þ 2I = I + I = ò (sin x + cos x )3 dx + ò (cos x + sin x )3 dx = ò (sin x + cos x )2 dx = 1 Þ I= . 0 0 0 2 p x sin x Câu 33. I = ò 1 + cos2 x dx 0 p p (p - t )sin t sin t · Đặt x = p - t Þ dx = -dt Þ I = ò dt = p ò dt - I 2 2 0 1 + cos t 0 1 + cos t Trang 17
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng p p sin t æp p ö p2 d (cos t ) Þ 2I = p ò dt = -p ò =p ç + ÷Þ I = 2 2 è4 4ø 8 0 1 + cos t 0 1 + cos t p 2 cos4 x sin x Câu 34. I = ò cos3 x + sin3 x dx 0 p 0 4 p sin t cos t 2 sin 4 x cos x · Đặt x = - t Þ dx = -dt Þ I = - ò dt = ò cos3 x + sin3 x dx 2 3 3 p cos t + sin t 0 2 p p p 2 4 4 2 3 3 cos x sin x + sin x cos x sin x cos x(sin x + cos x ) 12 1 Þ 2I = ò dx = ò dx = sin 2 xdx = 0 3 sin x + cos x 3 0 3 sin x + cos x3 2ò0 2 1 Þ I= . 4 p é 2 1 ù Câu 35. I = ò ê 2 - tan 2 (cos x )ú dx 0 ê cos (sin x ) ë ú û p · Đặt x = - t Þ dx = -dt 2 p p é 2 1 ù 2é 1 ù Þ I=òê - tan 2 (sin t )ú dt = ò ê - tan 2 (sin x )ú dx 2 2 0 ê cos (cos t ) ë ú û 0 ê cos (cos x ) ë ú û p p é 12 1 ù 2 Do đó: 2 I = ò ê + - tan2 (cos x ) - tan2 (sin x )ú dx = 2 ò dt = p 2 2 0 ê cos (sin x ) cos (cos x ) ë ú û 0 p Þ I= . 2 p 4 cos x - sin x Câu 36. I = ò dx 0 3 - sin 2 x p p 2 4 4 du 2 cos tdt p · Đặt u = sin x + cos x Þ I = ò . Đặt u = 2sin t Þ I = ò = ò dt = . 1 4 - u2 p 4 - 4sin2 t p 12 6 6 p 3 sin x Câu 37. I = ò dx 0 cos x 3 + sin 2 x sin x cos x · Đặt t = 3 + sin2 x = 4 - cos2 x . Ta có: cos2 x = 4 - t 2 và dt = dx . 2 3 + sin x p p 15 15 3 3 2 2 æ sin x sin x.cos x dt 1 1 1 ö I= ò .dx = ò dx = ò = ò ç - ÷dt 0 cos x 3 + sin2 x 0 cos2 x 3 + sin 2 x 4 - t2 4 èt+2 t-2ø 3 3 Trang 18
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 15 1æ 3+2 ö 1 t+2 = ln 2 = ç ln 15 + 4 - ln ÷ = 1 ( ( ) ln 15 + 4 ) - ln ( 3 + 2 ) . 4 t-2 4ç 15 - 4 ÷ 3-2 ø 2 3 è 2p 3 x + ( x + sin x )sin x Câu 38. I = ò p dx sin3 x + sin2 x 3 2p 2p 3 x 3 dx · I =ò p dx + ò p . sin x 2 1 + sin x 3 3 2p ìu = x 3 x ï ìdu = dx p + Tính I1 = ò dx . Đặt í dx Þ í Þ I1 = p 2 sin x dv = îv = - cot x 3 3 ï î sin 2 x 2p 2p 2p 3 dx dx dx + Tính I 2 =ò = 3 = òp3 =4 - 2 3 p 1 + sin x òp æp ö 2æp xö 3 3 1 + cos ç - x ÷ 3 2 cos ç - ÷ è2 ø è 4 2ø p Vậy: I = +4-2 3. 3 p 2 sin 2 x Câu 39. I=ò dx 0 cos2 x + 4sin 2 x p 2 udu 2 2 2sin x cos x 22 2 · I= ò dx . Đặt u = 3sin 2 x + 1 Þ I = ò 3 = ò du = 0 3sin 2 x + 1 1 u 31 3 p æ pö 6 tan ç x - ÷ Câu 40. I = è 4 ødx ò cos2 x 0 p æ pö p 6 tan ç x - ÷ 6 2 · I= è 4 ødx = - tan x + 1 dx . Đặt t = tan x Þ dt = 1 dx = (tan 2 x + 1)dx ò cos 2 x ò 2 cos2 x 0 0 (tan x + 1) 1 1 3 dt 1 3 1- 3 Þ I =- ò = = . 2 t +1 0 2 0 (t + 1) p 3 cot x Câu 41. I = ò dx æ p sin x.sin x + pö ç ÷ 6 è 4ø p 3 cot x 1 · I = 2ò dx . Đặt 1 + cot x = t Þ dx = - dt p 2 sin x (1 + cot x ) sin2 x 6 3 +1 t -1 3 +1 æ 2 ö Þ I= 2 ò dt = 2 ( t - ln t ) 3 +1 = 2ç - ln 3 ÷ t è 3 ø 3 +1 3 3 Trang 19
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng p 3 dx Câu 42. I = ò sin2 x.cos4 x p 4 p 3 dx dt · Ta có: I = 4. ò . Đặt t = tan x Þ dx = 2 2 p sin 2 x.cos x 1 + t2 4 3 3 (1 + t 2 )2 dt 3 1 1 t3 8 3-4 Þ I= ò = ò ( + 2 + t 2 )dt = (- + 2t + ) = 1 t2 1 t 2 t 3 3 1 p 4 sin x Câu 43. I = ò 5sin x.cos2 x + 2 cos x dx 0 p 4 tan x 1 · Ta có: I = ò 5tan x + 2(1 + tan2 x ). cos2 x dx . Đặt t = tan x , 0 1 1 1æ 2 t 1 ö 1 2 Þ I =ò 2 dt = ò ç - ÷ dt = ln 3 - ln 2 0 2t + 5t + 2 3 0 è t + 2 2t + 1 ø 2 3 p 4 sin 2 xdx Câu 44. I = ò p cos4 x (tan 2 x - 2 tan x + 5) - 4 dt 1 t 2 dt 2 1 dt · Đặt t = tan x Þ dx = Þ I= ò = 2 + ln -3ò 1 + t2 -1 t 2 - 2t + 5 3 -1 t 2 - 2t + 5 1 0 dt t -1 1 p 2 3p Tính I1 = ò . Đặt = tan u Þ I1 = ò du = . Vậy I = 2 + ln - . -1 t 2 - 2t + 5 2 2 p 8 3 8 - 4 p 2 sin2 x Câu 45. I = ò sin 3 x dx . p 6 p p 2 2 2 sin x sin x · I= ò 3sin x - 4sin3 x dx = ò 4 cos2 x - 1 dx p p 6 6 3 0 2 dt 1 dt 1 Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx Þ I = - ò = ò = ln(2 - 3) 2 4t - 1 4 1 4 3 0 t2 - 2 4 p 2 sin x - cos x Câu 46. I = ò p dx 1 + sin 2 x 4 Trang 20