201 Bài tập phương trình vi phân

Chia sẻ: Lâm Chí Cường | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

2.824
lượt xem 887
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "201 Bài tập phương trình vi phân" sau đây. Tài liệu ngoài việc cung cấp các dạng bài tập toán phương trình vi phân hữu ích còn kèm theo hướng dẫn giải cho từng bài cụ thể, giúp các bạn dễ dàng kiểm tra và ôn tập hiệu quả hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 201 Bài tập phương trình vi phân

www.VNMATH.com 1 . . ` ˆ ˆ BAI TAP PHU O NG TR` INH VI PHAN . 1) . . ' nh: Giai phu o ng tr 2xy y” = y 2 − 1 2xpp = p2 − 1 √ dx 2pdp . 2 V i x(p − 1) = 0 ta co : o = ⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± C1 x + 1 p2 − 1 x √ dy 2 3 p= = C1 + 1 ⇒ y = (C1 x + 1) 2 + C2 dx 3C1 ’ HD giai: - Dat . y =p: 2) . . ' Giai phu o ng tr nh: √ y.y” = y ’ HD giai: . V i o - Dat . y = p ⇒ y” = p dp dy . . '. nh tro thanh: (ham theo y). Phu o ng tr √ yp dp =p dy p=0 . . . . ta d u o c phu o ng tr . nh: dy dy √ √ = 2 y + C1 ⇒ dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔ y dx dy dx = √ 2 y + C1 . ' e o T d nghi^m t^ ng qua t: u o . Ngoai ra x= √ y− C1 √ ln |2 y + C1 | + C2 2 y = c: ~ h ng cu ng la nghi^m. a e . 3) . . ' nh: Giai phu o ng tr a(xy + 2y) = xyy ’ HD giai: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay N^ u e y = 0, . . . . . . . ta co phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v i o ~ cu ng la nghi^m. e . 2a a−y dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C y x Ngoai ra y=0 4) . . ' nh: Giai phu o ng tr y” = y ey ’ HD giai: . V ip o . V i o - Dat . y = p ⇒ y” = p dp dy . . thay vao phu o ng tr nh: p dp = pey dy ey dy y ) = − ey + C1 C1 1 ln(ey + C1 ) C1 dy dy dp = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx dy dx e + C1 1 1 dy ey + C1 − ey = dy = (y − C1 = 0 ta co : ey + C1 C1 ey + 1 C1 =0: ´ nˆ u C1 = 0 e ´ nˆ u C1 = 0. e  −e−y dx . nhu v^y: a = 1 . ey + C1  (y − ln |ey + C1 |) C1 Ngoai ra y = C : h ng la m^t nghi^m a o e . . 5) . . ' Giai phu o ng tr nh: xy = y(1 + ln y − ln x) . v i o y(1) = e 2 www.VNMATH.com y y (1 + ln ), d at y = zx d u.o.c: xz = z ln z . . x x dx y dz = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx • z ln z = 0 ⇒ z ln z x x y(1) = e → C = 1. V^y y = xex a . ’ HD giai: . . - . Du a phu o ng tr nh v^: e y = 6) . . ' Giai phu o ng tr nh: y”(1 + y) = y 2 + y ’ HD giai: - Dat . y = z(y) ⇒ z = z dz dy . . thay vao phu o ng tr nh: dy dz = z+1 y+1 ⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔ • C1 = 0 ⇒ (∗) • C1 = 0 ⇒ (∗) Ngoai ra cho cho dy = dx (∗) C1 y + C1 − 1 y =C −x 1 ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 y = C, y = C − x; 2 x2 1 ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 y=C la nghi^m. e . ' To m lai nghi^m t^ ng qua t: e o . . 7) . . ' nh: Giai phu o ng tr y = y2 − ' ’ HD giai: Bi^ n d o i (3) v^ dang: x2 y = (xy)2 − 2 (∗) e ^ e . - at z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra: D . xz = z 2 + z − 2 ⇔ V^y TPTQ: a . z2 dx dz = ⇔ +z−2 x 3 z−1 = Cx z+x xy − 1 = Cx3 . xy + 2 yy” + y 2 = 1 8) . . ' nh: Giai phu o ng tr ’ HD giai: - Dat . y = z(y) ⇒ y” = z. dz dy z C1 dy ⇔ z2 = 1 + 2 dz = 2 1−z y y dy C1 dy ⇒ =± 1+ 2 ⇔± = dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2 dx y C1 1+ 2 y 2 2 ' Nghi^m t^ ng qua t: y + C1 = (x + C2 ) e o . . . ' Bi^ n d o i phu o ng tr e ^ nh v^: e 9) . . ' Giai phu o ng tr nh: √ 2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0 ’ HD giai: y − dy = y 3x + 4 1 .y = − √ ; x = 0, x = −1 2x(x + 1) x+1 . . ' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh thu^n nh^ t: a a . 3x + 4 2 1 Cx2 dx = ( − )dx ⇔ y = √ 2x(x + 1) x 2(x + 1) x+1 www.VNMATH.com Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o 3 C =− ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o . . 1 1 ⇒ C = − + ε. 2 x x x2 1 y=√ ( + ε) x+1 x y(0) = 0 y (0) = 0 10) . . ' Giai phu o ng tr nh: y” = e2y ' thoa ’ HD giai: - Dat . z = y → y” = z. dz dy . . '. phu o ng tr nh tro thanh z. z2 e2y dz = e2y ⇔ = +ε dy 2 2 1 a u o y (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^y z 2 = e2y − 1. T. d : . 2 √ dy √ 2y dy ’ ´ √ = e −1⇒ z= = x + ε. d ˆ i biˆ n t = e2y − 1 ¯o e dx e2y − 1 √ arctg e2y − 1 = x + ε 1 ' y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^y nghi^m ri^ng thoa d i^u ki^n d bai: y = ln(tg 2 x + 1). a e e e e ^ e . . . 2 11) . . ' nh: T m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr e e . ~ ' thoa ma n d u ki^n d au i^ e e ^ . xy + 2y = xyy y(−1) = 1. - . Du a v^ e ’ HD giai: . . nh lai: Vi^ t phu o ng tr e . . . nh ta ch bi^ n: e phu o ng tr ' t ch ph^n t^ ng qua t: a o ri^ng c^n t e a m la: x(1 − y)y = −2y ; 1−y dx dy = −2 y x do y(−1) = 1 n^n e y ≡ 0. x2 ye−y = C . . . Thay d i^u ki^n vao ta d u o c e e . . C= x2 ye1−y = 1. y = ux, . . ~ ' nh: ha y giai phu o ng tr 1 . e V^y t a ch ph^n a . 12) B ng ca ch d at a . xdy − ydx − x2 − y 2 dx = 0. (x > 0) . . ' gia n u o c . . ’ - nh . √ HD giai: Dat y = ux; du = udx + xdu thay vao phu o ng tr . .va ~ 1 − u2 dx = 0. Ro rang u − ±1 la nghi^m. khi u ≡ ±1 d u.a phu o ng e . du dx . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x > 0). = 1 − u2 x y . . ' V^y NTQ cu a phu o ng tr a = ln x + C . nh: y = ±x; arcsin . x x: xdu − tr nh v^ ta ch bi^ n: e e 13) . . ' nh: T m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr e e . ~ ' thoa ma n d u ki^n d au i^ e e ^ . xy = y(1) = 0. x2 − y 2 + y ’ HD giai: xy = d at . x2 − y 2 + y ⇐⇒ y = 1− y2 y + x2 x u= y x hay y = ux . . phu o ng tr nh thanh: y = xu + u √ du dx xu = 1 − u2 ⇐⇒ √ = x 1 − u2 suy ra 4 www.VNMATH.com ⇐⇒ arcsin u = ln Cx ~ ' thoa ma n d i^u ki^n d u e e a ^ . y(1) = 0 khi C = 1. V^y nghi^m a e . . y = ±x. 14) . . ' nh: T m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr e e . ~ ' thoa ma n d u ki^n d au i^ e e ^ . y sin x = y ln y π y( ) = e. 2 ’ HD giai: y sin x = y ln y ⇐⇒ dx dy = y ln y sin x ~ ' thoa ma n d i^u ki^n e e . x C tan x 2 ⇐⇒ ln y = C tan ⇐⇒ y = e 2 x tan π 2. a d u y( ) = e khi C = 1. V^y y = e a ^ . 2 (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0 y(0) = 1. 15) . . ' T m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr e e nh: . ~ ' thoa ma n d u ki^n d au i^ e e ^ . z =⇒ dy = dz − dx (2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C ~ ' thoa ma n d i^u ki^n d u y(0) = 1 khi C = 2. e e a ^ . ’ HD giai: - Dat x + y = . . . phu o ng tr nh thanh: ' gia i ra x − 2z − 3 ln |z − 2| = C . V^y a . 16) B ng ca ch d at a . . . nh: phu o ng tr 1 ~ ' r^i d at z = ux,ha y giai o . z (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 y= 1 . . d u o c: . z (u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0 ’ HD giai: - Dat . y = (z 2 − x2 )dz + 2zxdx = 0; r^i d at o . z = ux, . . du o c . ⇐⇒ ⇐⇒ ln |x| + ln thay dx u2 − 1 + 3 du = 0 x u +u u2 + 1 x(u2 + 1) = ln C ⇐⇒ =C |u| u u= 1 xy . . d u o c nghi^m . e . 1 + x2 y 2 = Cy . 17) . . ' ' nh sau: T m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr e o . y − xy = x + x3 ’ HD giai: . . - ^ ' Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p 1 va co nghi^m t^ ng qua t la a e o . x2 y = Ce 2 . . x2 +1 2 www.VNMATH.com 18) . . ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr e o nh sau: . 5 y − y = y2. ’ HD giai: . . - ^ ' nh ta ch bi^ n va co nghi^m t^ ng qua t la e e o Day la phu o ng tr . ln | y | = x + C. y+1 y = ex x 19) . . ' T m nghi^m cua ca c phu o ng tr e nh sau: . y + ’ HD giai: . . - ^ ' Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p 1 va co nghi^m t^ ng qua t la a e o . ex C x y = +e − . x x 20) . . ' T m nghi^m cua ca c phu o ng tr e nh sau: . y − y = y3. ’ HD giai: . . - ^ ' Day la phu o ng tr nh ta ch bi^ n va co nghi^m t^ ng qua t la e e o . C + x = ln |y| − arctgy. 21) . . ' Giai phu o ng tr nh: y = y y + sin , x x . v i o y(1) = π 2 ’ HD giai: y = zx ⇒ y = z x + z , z x = sin x ⇔ ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o . . V^y: a . . . '. nh tro thanh: phu o ng tr tg y = x. 2x dz dx z z = ⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx sin z x 2 2 y π tg = Cx; y(1) = ⇒ C = 1. 2x 2 22) . . ' Giai phu o ng tr nh: y y (x − y cos )dx + x cos dy = 0 x x . . . . . phu o ng tr nh d u o c d u a v^ dang: . e . ’ HD giai: - Dat . y =z ⇒y =zx+z x x cos z.z + 1 = 0 ⇔ V^y TPTQ: a . cos zdz = − dx + C ⇔ sin z = − ln |x| + C x sin y = − ln |x| + C x (y 2 − 1)x2 y 2 + y (x4 − y 4 ) = 0 23) . . ' Giai phu o ng tr nh: ’ HD giai: . . . . ' ' La phu o ng tr nh d ng c^ p nhu ng gia i kha ph c tap. a a u .