33 Đề kiểm tra chất lượng HK2 môn Toán lớp 11

Chia sẻ: Nguyễn Lê | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:122

Thêm vào BST

Báo xấu

110
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự kỳ kiểm tra chất lượng. Mời các em và giáo viên tham khảo 33 đề kiểm tra chất lượng học kỳ 2 môn Toán lớp 11 sẽ giúp bạn định hướng kiến thức ôn tập và rèn luyện kỹ năng, tư duy làm bài kiểm tra đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 33 Đề kiểm tra chất lượng HK2 môn Toán lớp 11

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II Môn: Toán lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút ( không kể phát đề) Phần chung cho các thí sinh ( 8,0 điểm) Câu I. (3,0 điểm) Tính các giới hạn: x 2  3x  4 2n 2  3n  1 1. lim x2  2x  5  2  2. lim x 1 x2 1 3. lim n2  2 2x  1 Câu II. (2,0 điểm) Cho hàm số y  (1). x 5 1. Chứng minh rằng với x  5 thì y   x  5  .y '  2 . 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1), biết tiếp tuyến cùng với hai 1 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng . 8 Câu III. (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Góc giữa AB và mặt phẳng (SBC) là 600. SCB  30,BC  2a . 1. Chứng minh rằng SB vuông góc với (SAC). 2. Chứng minh rằng SA vuông góc với BC. 3. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tính SH theo a. Phần Riêng (2,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn. Câu IVa. (2,0 điểm) 1. Tính đạo hàm của hàm số y  x.sin x  cos x . 2. Cho hàm số y  (m 2  m).x 3  3(m  4).x 2  3(m  3)x  1 . Tìm m để y’(1)=12. B. Theo chương trình Nâng cao Câu IVb. ( 2,0 điểm) 3  1. Tính đạo hàm của hàm số y  x 2  1 .  2. Cho hàm số y  3 sin x  cos x  x. 2 . Tìm x để y’=0. -----------------------------Hết-----------------------------
UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO Môn: Toán. Lớp 11 TẠO Thời gian làm bài: 90 phút ( Không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 29 tháng 04 năm 2010 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 ĐIỂM ) Câu I: ( 2,5 điểm ) Cho hàm số f ( x)  x 2  x  2  x 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tìm giới hạn lim f ( x) x  Câu II: ( 2,5 điểm )  x2  5 x  6  khi x  3 1. Cho hàm số f ( x)   x  3 1 khi x  3  Xét tính liên tục của hàm số trên R ? x 1 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  , biết tiếp tuyến đó có hệ số x 1 góc k = -2. Câu III ( 2,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA= a 2 . 1. Chứng minh rằng ( SAC)  (SBD). 2. Cho C’ là trung điểm của SC. Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua A,C’ và song song với BD. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( P ). II.PHẦN RIÊNG ( 3,0 ĐIỂM ) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần( Phần một hoặc phần hai ) 1. Theo chương trình chuẩn ( 3,0 điểm ) Câu IV.a ( 1,5 điểm ) sin x  cos x Tính đạo hàm của các hàm số y sin x  cos x Câu V.a ( 1,5 điểm ) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ Tính góc giữa hai đường thẳng A’M và C’N. 2. Theo chương trình nâng cao ( 3,0 điểm ) Câu IV.b ( 1,5 điểm ) x2  4 Cho hàm số y  . Tìm x sao cho y’
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II THÁI BÌNH Môn : TOÁN 11 THPT Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH (8 điểm) Câu 1. (2 điểm) 2x 1 1) Tính giới hạn: lim x  1  3x 2  x 1  khi x>3 2) Cho hàm số: f ( x)   x  3 .Tìm a để hàm số liên tục tại x=3 x  a khi x
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II THÁI BÌNH Môn : TOÁN 11 THPT Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH (8 điểm) Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số: y  x  2 x  2 1) Tính giá trị y’(1); y”(1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến dod song song 5 với đường thẳng (d) y  x  3 4 Câu 2.( 2.5 điểm) 1  3 3x  2 1) Tính giới hạn : lim x 2 x2  4  x2  1  1  x  0 . Tìm a để hàm số liên tục tại x=0 và tính 2) Cho hàm số: f ( x)   x a x=0  đạo hàm của hàm số tại x=0 với giá trị a vừa tìm. Câu 3.( 3.0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AB=AA’=a. Gọi M là trung điểm của BC. 1) Chứng minh (AMB’)  (BCC’B’) và AB”  BC’ 2) Chứng minh: A’B // (AMC’) 3) Tính góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (AB’C’) Câu 4.( 0.5 điểm) Chứng minh rằng với mọi x  k , ta có: 10sin x sin11x  cos10 x  1 2 cos 2 x  4 cos 4 x  6cos 6 x  8cos 8 x  10cos10 x  2sin 2 x PHẦN RIÊNG (2 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần để làm (phần A hoặc phần B) Phần A:Câu 5a: Cho hàm số: f ( x)  sin 2 2012 x 1) Tìm x sao cho f '( x)  2012 2) Chứng minh rằng phương trình: f ( x)  4024 x  1 có ít nhất một nghiệm thuộc  khoảng (0; ) 2012 Phần B:Câu 5b: 1) Cho hàm số f ( x)  cos 2 2 x . Tìm x sao cho 4.f(x)+f’(x)=4 2) Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân, biết tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 64
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II NĂM HỌC 2007-2008 THÁI BÌNH Môn : TOÁN 11 THPT Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1. (3 điểm) 5u1  10u5  0 1) Tìm số hạng đầu u 1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết :   S 4  14 2) Cho hàm số f ( x)  2 sin 2 x  2 cos 2 x  x .   a) Tính f /   2 b) Giải phương trình f / ( x)  0 Câu 2.( 2 điểm) 1  4x  3 1  6xx 1) Tính giới hạn : lim x0 x2  2 x  khi x  2 2) Cho hàm số: f ( x)   x  1  1 . Tìm a để hàm số liên tục tại x=2. a khi x=2  Câu 3.(2.0 điểm) Cho hàm số f ( x)  2 x3  4 x 2  1 (1) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y= -2x+3 2. Chứng minh rằng phương trình f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt Câu 4.( 3.0 điểm) Tứ diện SABC có 3 đỉnh A,B,C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và AC=2a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=a 1) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng(SBC) 2) Trong mp (SAB) vẽ AH vuông góc với SB tại H, chứng minh rằng AH  (SBC) 3) Tính độ dài đoạn AH 4) Từ trung điểm O của đoạn thẳng AC vẽ OK vuông góc với mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (SBC) tại K. Tính độ dài đoạn OK
SỞ GD - ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ THI HỌC KỲ II TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MÔN TOÁN 11 (Chương trình chuẩn) Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) ---------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 1: (1,5 điểm) Tính giới hạn của các hàm số sau: 1) A  lim  2 x  3x  1 4 2 x  x2 + 2x  5 2) B  lim x 2  x2 x3 3) C  xlim3  2 x7 Bài 2: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau trên R:  x 2  5x  6  neá x  1 u f ( x)   x  1  3x  4 neá x 1 u  Bài 3: (1,5 điểm) Tìm đạo hàm cấp 1 của các hàm số sau: 5x  3 1) y  3x  2 2) y  (x  2) 4  x 2 2 3) y  tan 2 x  cot 2 x  cos x Bài 4: (2 điểm) 1) Cho hàm số y  f  x  x3  2x2  1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = – 1. 2 2) Cho hàm số g  x   x  2 x  12 . Giải bất phương trình g '  x   0 Bài 5: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA = a. 1) Chứng minh các tam giác SBC, SCD là các tam giác vuông. 2) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) 3) Tính khoảng cách từ điểm B đến đến mặt phẳng (SAC) 4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) ------------------ Hết -----------------
ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN TOÁN - KHỐI 11 Bài Câu Đáp án Điểm  3 1  A  lim  2 x 4  3x2  1  lim  x4  2  2  4     0,25đ x  x  x x     1 3 1 Vì lim x4   ; lim  2  2  4   2  0  0,25đ x  x   x x   x2 + 2x  5 0,25đ B  lim   x 2 x2 1 2  Vì lim  x 2 + 2 x  5   3  0; lim  x  2   0; x  2  0 khi x  2   0,25đ x 2 x 2 C  lim x3  lim  x  3 2 + x  7   0,25đ x 3 2  x  7 x 3 4 x7 3  x  3  2 + x  7  2+ x7  lim  4  lim 0,25đ x 3 x  3 1 x 3 x2  5x  6 0,25đ * Xét trên  ;1  1;    : f  x   liên tục x 1 * Xét tại x = 1 x 2  5x  6  x 1 x  6  lim x  6  7 0,25đ 2 Ta có: lim f  x   lim  lim   x 1 x1 x 1 x1 x 1 x1 f (1)  3.1  4  7 Vì lim f  x   f (1) nên hàm số liên tục tại x = 1 0,25đ x 1 Vậy hàm số trên liên tục trên R. 0,25đ 5  3x  2   3  5 x  3  0,25đ y' 2  3x  2  1 15 x 10  15 x  9 1  2  2 0,25đ  3x  2   3x  2  ' 2 x y '  ( x  2) ' 4  x 2    4  x 2 ( x  2)  4  x 2  2 4  x2 ( x  2) 0,25đ 3 2   0,25đ x2  2x 2 x 2  2 x  4   4  x2    .....    4  x2  4  x2    ' ' y'  2x    2x  2cos x  cos x  ' 2 2 0,25đ cos 2 x sin 2 x 3 2 2  8   2  2  2cos x sin x   .....  2  s in 2 x  0,25đ cos 2 x sin 2 x  sin 4 x  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1 là: 0,25đ y = f’(-1)(x + 1) + f(-1) 1 Ta có: f ' x  3x2  4x  f ’(-1) = -1 0,5đ f(-1) = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = -1(x + 1) + 2 hay y = - x + 1 0,25đ 4 Ta có: g '  x   1  2 x 2  12 '  1 2 2x  1 2x  ....... 0,25đ 2 2 2 2 x  12 2 x  12 x  12 2x g '  x   0  1  0  x2 12  2x 0,25đ 2 2 x 12 x  0 2x  0 2x  0   2    x  2  x  2 0,5đ  x  12  4x2 3x2 12  0   x  2
S H A D O 1 B C * Chứng minh các tam giác SBC, SCD vuông (có thể chứng minh 2 cách khác nhau) Ta có: BC  BA (vì ABCD hình vuông) BC  SA (vì SA  (ABCD)) 0,5đ  BC  SB hay SBC vuông tại B Ta có: CD  DA (vì ABCD hình vuông) CD  SA (vì SA  (ABCD)) DA và SA cắt nhau nằm trong (SAD) 0,5đ  BC  (SAD)  BC  SD hay SDC vuông tại D * Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) Ta có: BD  AC (vì BD và AC là đường chéo hình vuông) BD  SA (vì SA  (ABCD)) 2 0,5đ AC và SA cắt nhau nằm trong (SAC)  BD  (SAC) Mà BD  (SBD) nên (SBD)  (SAC) 0,5đ 5 * Tính khoảng cách từ điểm B đến đến mặt phẳng (SAC) Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có: BO  AC (vì BD  AC) BO  SA (vì SA  (ABCD)SO) 3 AC và SA cắt nhau nằm trong (SAC)  BO  (SAC) hay O là hình chiếu vuông góc của B lên (SAC) 0,5đ Vậy d  B;  SAC    BO  a 2 0,5đ 2 * Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) - Ta có : (SBC)  (SCD) = SC -Vì hai tam giác vuông SBC = SDC (SC chung; BC = CD) nên Gọi BH là đường cao của BSC thì DH cũng là đường cao của DSC tức là: BH  SC; DH  SC và BH = DH Suy ra   BSC  ;  DSC     BH; DH  0,5đ Xét SAB: SB  SA2  AB2  a2  a2  a 2 1 1 1 1 1 3 a 2 Xét SBC:  2  2  2  2  BH  DH  4 BH 2 SB BC 2 2a a 2a 3 Xét BHD cân có trung tuyến HO là đường phân giác nên BHD  2 BHO a 2 BO 3 Xét OHB vuông tại O có: sin BHO   2   BHO  60 o BH a 2 2 3 o  BHD  2BHO  120 0,5đ Vây   BSC  ;  DSC    180 o 120o  60o
ĐỀ THI HỌC KỲ II MÔN: TOÁN - KHỐI 11 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian thu và phát đề) A. Mục đích yêu cầu kiểm tra - Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi học xong học kỳ II lớp 11. I. MA TRẬN NHẬN THỨC Tầm Trọng số Tổng Thang quan điểm Chủ đề hoặc mạch kiến thức, kĩ năng Điểm 10 trọng Dãy số và giới hạn 20 2 40 2,0 Hàm số liên tục 5 3 15 1,0 Đạo hàm và tiếp tuyến 40 2 80 4,0 Véc tơ trong không gian 10 3 30 1,0 Quan hệ vuông góc 25 2 50 2,0 Tổng 100% 225 10,0 II. MA TRẬN ĐỀ THI HỌC KÌ I Chủ đề 1 2 3 4 Điểm 10 1 1 Dãy số và giới hạn 2,0 2,0 1 1 Hàm số liên tục 1,0 1,0 1 1 Đạo hàm và tiếp tuyến 4,0 4,0 1 1 Véc tơ trong không gian 1,0 1,0 1 1 Quan hệ vuông góc 2,0 2,0 3 2 5 Tổng 8,0 2,0 10,0
III. BẢNG MÔ TẢ TIÊU CHÍ LỰA CHỌN CÂU HỎI, BÀI TẬP Câu 1a. Tính giới hạn của dãy số Câu 1b. Tính giới hạn hàm số Câu 2. Tìm tham số để hàm số liên tục tại một điểm Câu 3a. Giải bất phương trình của đạo hàm đa thức bậc ba Câu 3b. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm đa thức bậc ba tại điểm y’’ = 0 Câu 4a. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Câu 4b. Sử dụng véc tơ chứng minh hai đường thẳng vuông góc Câu 4c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ĐỀ THI HỌC KÌ II MÔN: TOÁN – KHỐI 11 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian thu và phát đề) Câu 1: (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau: x2  4x  5 1. lim( 2n  1  3n  2) 2. lim x 1 2x  2  3 1  sin 2 x  1  Nếu x  0  x2 Câu 2: (1,0 điểm) Cho hàm số : f ( x)   (1) 2  2m  m Nếu x  0   3 Tìm tham số m để hàm số (1) liên tục tại x = 0 3 2 Câu 3: (4,0 điểm) Cho hàm số y  x  3x  4 có đồ thị (C) 1. Giải phương trình y '  0 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y ''  0 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. 1. Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng (BB’D’D) 2. Gọi M là trung điểm của BC, N’ là trung điểm của A’B’. Chứng minh rằng AM vuông góc với D’N’ 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và A’C’ ------------------------Hết-------------------
ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Biểu điểm I. 2,0 1. 1 2 lim( 2n  1  3n  2)  lim( n(2  )  n(3  )) 0,5 n n 1 2 0,5  lim n .lim( 2   3  )  .( 2  3)   n n 2. 2 x  4x  5 ( x  1)( x  5) lim  lim 0,5 x 1 2x  2 x 1 2( x  1) x 5 6  lim  2 0,5 x 1 2 3 Câu II 1,0 Ta có: 3 1  sin 2 x  1 sin 2 x lim f ( x )  lim  lim 0,25 x 0 x 0 x2 x0 2 3 x ( (1  x sin x) 2  3 1  x sin x  1) sinx 2 1 1  lim( ) . lim  x0 x x0 3 (1  x sin x)2  3 1  x sin x  1 3 0,25 Để hàm số (1) liên tục tại x = 0 thì 2m 2  m 1 0,25 lim f ( x)  f (0)    2m 2  m  1 x 0 3 3  m  1  2m  m  1  0   2 1 0,25 m   2 Câu III 4,0 1. Ta có: y '  3 x 2  6 x 1,0 y '  0  3x 2  6 x  0  0  x  2 1,0 2. Ta có: y ''  6 x  6  0  x  1 0,5 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm 0,5 Khi đó: x0  1  y0  2 Hệ số góc của tiếp tuyến: y '(1)  3 0,5 Phương trình tiếp tuyến: y  3( x  1)  2  3 x  5 0,5 Câu IV 3,0 1. BB '  ( ABCD )  BB '  AC  Ta có:   AC  ( BB ' D ' D ) 1,0 BD  AC 
B M C N A D 0,5 K B' C' N' A' D' H E 2. Gọi N là trung điểm của AB khi đó NN’ // DD’ do đó DN là hình chiếu của D’N’ lên (ABCD) 0,25 Ta chứng minh DN  AM Thật vậy: Trong hình vuông ABCD ta có: uuuu uuu uuuu r r r AM  AB  BM  uuuu uuur uuu uuuu uuu uuu  r r r r r uuur uuu uuu   AM .DN  ( AB  BM ).( DA  AN ) r r DN  DA  AN   0,5         1 2 1 2    AB.DA  AB.AN  BM.DA  BM.AN  a  a  0 2 2  AM  DN Theo định lí ba đường vuông góc thì suy ra AM  D' N' 0,25 3. Kẻ D’E // A’C’ cắt A’B’ tại E Dựng A 'H  ED ' và A 'K  AH  A 'K  (AED ') 0,25 A’C’ // ED’ => A’C’ // (AED’) => d(A’C’;AD’) = d(A’C’;(AED’)) = d(A’;(AED’)) = A’K 1 a 2 Xét AA 'H  tại H có A 'H  B'D  và AA’ = a 2 2 a 2 AA '.A 'H a. a A 'K   2  0,25 AA '2  A 'H 2 2 a2 3 a  2 a Vậy: d(A’C’;AD’) = 3
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG THPT DTNT CON CUÔNG MÔN: TOÁN – KHỐI 11 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian thu và phát đề) Câu 1: (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau: x2  4 x  5 1. lim( 2n  1  3n  2) 2. lim x1 2x  2  3 1  sin 2 x  1  Nếu x  0  x2 Câu 2: (1,0 điểm) Cho hàm số : f ( x )   (1) 2  2m  m Nếu x  0   3 Tìm tham số m để hàm số (1) liên tục tại x = 0 Câu 3: (4,0 điểm) Cho hàm số y  x3  3 x 2  4 có đồ thị (C) 1. Giải phương trình y '  0 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y ''  0 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. 1. Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng (BB’D’D) 2. Gọi M là trung điểm của BC, N’ là trung điểm của A’B’. Chứng minh rằng AM vuông góc với D’N’ 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và A’C’ ---------------------- Hết -------------------- Giám thị không giải thích gì thêm!
TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI KIỂM TRA HỌC KÌ 2 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC I. PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm) Câu I. (3,0 điểm) Cho hàm số y = f (x ) = x 4 + 2x 2 + 3 . 1) Tính lim f (x ) . x® - ¥ 2) Giải bất phương trình f ¢x ) £ 0 . ( 3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8 . Câu II. (3,0 điểm) - 2x + 1 1) Cho hàm số f (x ) = . Tính lim f (x ) và lim f (x ) . x- 1 x® + ¥ x ® 1- g(x ) - g(2) 2) Cho hàm số g(x ) = (2x - 1) x 2 + x + 3 . Tính lim . x® 2 x- 2 3) Tính đạo hàm của hàm số y = cos x + x . sin x . Câu III. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều A BC .A ¢ ¢ ¢ có cạnh đáy bằng a , cạnh bên BC bằng a 3 . Gọi j là góc giữa hai đường thẳng A B ¢ và B C . Tính cos j . II. PHẦN TỰCHỌN (3,0 điểm) Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu IVa. (2,0 điểm) Cho hình chóp S .A B CD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và A B . Hai mặt phẳng (SA B ) và (SND ) cùng vuông góc với mặt phẳng (A BCD ) , góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (A BCD ) bằng 60° . 1) Chứng minh đường thẳng A M vuông góc với mặt phẳng (SND ) . 2) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SA M ) . Câu Va. (1,0 điểm) ì sin x ï ï , khi x ¹ 0 Cho hàm số f (x ) = ï x í . Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x 0 = 0 . ï - 1, khi x = 0 ï ï î B. Theo chương trình Nâng cao Câu IVb. (2,0 điểm) Cho hình chóp S .A B CD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , A B ; I là giao điểm A M và DN . Hai mặt phẳng (SA M ) và (SDN ) cùng vuông góc với mặt phẳng (A BCD ) , góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (A BCD ) bằng 60° . 1) Chứng minh hai đường thẳng A M và SD vuông góc với nhau. 2) Tính theo a khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SDM ) . Câu Vb. (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x 4 - 3x 3 + 2x - 4 = 0 có nghiệm. ------------------------HẾT------------------------ Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên học sinh: .............................................. Lớp: ....................................................... Chữ kí của giám thị 1: .......................................... Chữ kí của giám thị 2: ..............................
TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI KIỂM TRA HỌC KÌ 2 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung Điểm 4 2 Câu I. (3 điểm) y = f (x ) = x + 2x + 3 1) (1 điểm) lim f (x ) x® - ¥ æ 2 3ö Với mọi x ¹ 0 , ta có: f (x ) = x 4 + 2x 2 + 3 = x 4 ç1 + 2 + 4 ÷. ç ÷ ÷ 0.25 ç è x x ø÷ Vì lim x 4 = + ¥ 0.25 x® - ¥ æ 2 3ö và lim ç1 + 2 + 4 ÷ = 1 > 0 ç ÷ ÷ 0.25 x® - ¥ ç è x ÷ x ø nên theo Quy tắc tính giới hạn vô cực ta có lim f (x ) = + ¥ . 0.25 x® - ¥ 2) (1 điểm) Giải bất phương trình f ¢x ) £ 0 . ( Ta có: f ¢ x ) = 4x 3 + 4x ( 0.25 f ¢ x ) = 0 Û 4x 3 + 4x = 0 Û x = 0 ( 0.25* Bảng xét dấu f ¢x ) ( x - ¥ 0 +¥ 0.25* f ¢ x ) = 4x 3 + 6x ( - 0 + f ¢x ) £ 0 Û x £ 0 . ( 0.25 2) (1 điểm) Viết pttt của đồ thị hàm số đã cho, biết tt có hệ số góc bằng 8 . Tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số y = f (x ) = x 4 + 2x 2 + 3 tại điểm 0.25 M 0 (x 0 ; f (x 0 ))có phương trình là : y = f ¢ x 0 )(x - x 0 ) + f (x 0 ) . ( Ta có: Hệ số góc của d bằng 8 Û f ¢ x 0 ) = 8 ( 3 3 0.25 Û 4x 0 + 4x 0 = 8 Û 4x 0 + 4x 0 - 8 = 0 Û x 0 = 1 ; Khi đó f (x 0 ) = f (1) = 6 . 0.25 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 8(x - 1) + 6 Û y = 8x - 2 . 0.25 Câu II. (3 điểm) - 2x + 1 1) (1 điểm) Cho hàm số f (x ) = . Tính lim f (x ) và lim f (x ) . x- 1 x® + ¥ x ® 1- 1 - 2+ lim f (x ) = lim x 0.25 x® + ¥ x® + ¥ 1 1- x = - 2. 0.25 Vì lim(- 2x + 1) = - 1 < 0 , lim(x - 1) = 0 và x - 1 < 0, " x Î - ¥ ;1 - x® 1 - x® 1 ( ) 0.25 nên lim f (x ) = + ¥ . - 0.25 x® 1 1
g(x ) - g(2) 2) (1 điểm) Cho hàm số g(x ) = (2x - 1) x 2 + x + 3 . Tính lim . x- 2 x® 2 g(x ) - g(2) Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, ta có: lim = g¢ . (2) 0.25 x® 2 x- 2 ¢ ( Ta có: g ¢ x ) = (2x - 1) ¢ x 2 + x + 3 + (2x - 1) x 2 + x + 3 ( ) 0.25* 2x + 1 = 2 x 2 + x + 3 + (2x - 1) 0.25 2 x2 + x + 3 17 g(x ) - g(2) 17 Þ g¢ = (2) . Suy ra lim = . 0.25 2 x® 2 x- 2 2 3) Tính đạo hàm của hàm số y = cos x + x . sin x . Ta có: y ¢ = (cos x )¢ + (x sin x )¢; 0.25* (cos x ) ¢ = - sin x ; 0.25 (x sin x )¢ = (x )¢sin x + x (sin x )¢ = sin x + x cos x . 0.25 Suy ra y ¢= x cos x 0.25 Câu III.( (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều A B C .A ¢B ¢ ¢ có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng C a 3 . Gọi j là góc giữa hai đường thẳng A B ¢ và BC . Tính cos j . A C Vì BC P BC ¢ nên j là góc giữa hai đường 0.25 thẳng cắt nhau A B ¢ và B ¢ ¢. C B Ta tính được A B ¢= A C ¢ = 2a . 0.25 a 3 Áp dụng định lí côsin trong tam giác A B ¢ ¢ ta có: C 0.25 · C B ¢ 2 + B ¢ ¢ - AC ¢ A C 2 2 1 cos A B ¢ ¢ = = . A' C' 2 ×B ¢ ×B ¢ ¢ A C 4 a · 1 B' Suy ra cos j = cos A B ¢ ¢ = . C 0.25 4 Câu IVa. (2,0 điểm) 1) (1 điểm) +) Ta có: ì (SA B ) Ç (SND ) = SN ï S ï ï ï (SA B ) ^ (A BCD ) Þ SN ^ (A BCD ) 0.25 í ï ï (SND ) ^ (A BCD ) ï ï î Þ SN ^ A M 0.25 H · · +) D DA N = D A BM Þ A MB = DNA . A D · · Ta lại có: A MB + BA M = 90° . Suy ra 0.25 N O · · DNA + BA M = 90° Þ A M ^ DN . B M C +) Từ A M ^ DN và A M ^ SN suy ra A M ^ (SND ) . 0.25 2) (1 điểm) +) Vì SN ^ (A BCD ) nên góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (A BCD ) là · 0.25 SDN = 60° . 2
a 5 a 15 Vì tam giác SND vuông tại N nên SN = ND t an D = t an 60° = . 2 2 +) Vì đường thẳng B N cắt mặt phẳng (SA M ) tại A và B A = 2NA nên d ( B ,(SA M )) = 2.d (N ,(SA M )) . 0.25 Gọi O = A M Ç DN . Kẻ NH vuông góc với SO tại H . Vì A M ^ (SND ) nên A M ^ NH . Suy ra NH ^ (SA M ) . Do đó d (N , (SA M )) = NH . Vì tam giác NA D vuông tại A và có A O là đường cao nên A N 2 = NO .ND AN 2 æ ö æ 5ö 2 Þ ON = ça ÷ : ça ÷ = a . = ç ÷ ç ÷ ÷ 0.25 ND ç2 ø ç 2 ø 2 5 ÷ è ÷ ç è ÷ ÷ Vì tam giác SNO vuông tại N và có NH là đường cao nên 0.25 1 1 1 304 a 285 2 = 2 + 2 = 2 .Suy ra d (B ,(SA M )) = 2.NH = . NH NO NS 15a 38 Câu Va. (1,0 điểm) Ta có: f (0) = - 1 0.25 sin x và lim f (x ) = lim = 1. 0.5 x® 0 x x® 0 Vì lim f (x ) ¹ f (0) nên hàm số đã cho gián đoạn tại điểm x 0 = 0 . 0.25 x® 0 Câu IVb. (2,0 điểm) 1) (1 điểm) +) Ta có: S ì (SA M ) Ç (SDN ) = SI ï ï ï ï (SA M ) ^ (A BCD ) í Þ SI ^ (A BCD ) 0.25 ï ï (SDN ) ^ (A BCD ) ï ï î · +) D DA N = D A BM Þ A MB = DNA . · · · Ta lại có: A MB + BA M = 90° . Suy ra 0.25 K A 600 D · · DNA + BA M = 90° Þ A M ^ DN . N I Trong mặt phẳng (A BCD ) , có A M ^ ID ; H hơn nữa ID là hình chiếu vuông góc của B 0.5 M C SD trên (A BCD ) . Theo Định lí ba đường vuông góc, ta suy ra A M ^ SD . 2) (1 điểm) +) Vì SI ^ (A BCD ) nên góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (A BCD ) là · SDI = 60° . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông A ND , ta tính được 2a 5 2a 15 0.25 ID = . Trong tam giác vuông SID , ta có SI = ID t an D = . 5 5 Kẻ IH vuông góc với MD tại H , kẻ IK vuông góc với SH tại K . Suy ra IK ^ (SMD ) . Do đó d (I ,(SMD )) = IK . 0.25 6 5 0.25 Ta tính được IH = a. 25 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SIH , ta có: 1 1 1 35 3a 0.25 2 = 2 + 2 = 2 . Suy ra d (I ,(SMD )) = IK = IK IH IS 9a 35 3
Câu Vb. (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x 4 - 3x 3 + 2x - 4 = 0 có nghiệm. Xét hàm số f (x ) = x 4 - 3x 3 + 2x - 4 . 0.5 Ta có: f (0) = - 4, f (3) = 2 Þ f (0) ×f (3) < 0 . Vì f (x ) là hàm đa thức nên nó liên tục trên ¡ . Do đó f (x ) liên tục trên đoạn é 3ù. 0; ê ú 0.25 ë û Suy ra phương trình f (x ) = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 3). 0.25 --------------------------Hết-------------------------- 4