35 đề thi đại học 2010_Đáp án

Chia sẻ: Trung Tuyet Mai Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

155
lượt xem 73
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu '35 đề thi đại học 2010_đáp án', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 35 đề thi đại học 2010_Đáp án

MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 Hướng dẫn giải giải ĐỀ SỐ 1 Câu I: 2) Gọi M(m; 2) Î d. Phương trình đường thẳng D qua M có dạng: y = k( x - m) + 2 . Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) Û Hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: ì - x3 + 3 x2 - 2 = k( x - m) + 2 (1) ì 5 ï ï í 2 Û ím < -1 hoaëc m > 3 ï -3 x + 6 x = k î (2) ïm ¹ 2 î Câu II: 1) Đặt t = 2 x + 3 + x + 1 > 0. (2) Û x = 3 2) 2) Û (sin x + cos x) é 4(cos x - sin x) - sin 2 x - 4 ù = 0 ë û p 3p Û x=- + kp ; x = k2p ; x = + k2p 4 2 33 7 3 33 Câu III: (sin4 x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x) = + cos 4 x + cos8 x Þ I = p 64 16 64 128 V1 SM SN SM 1 Câu IV: Đặt V1=VS.AMN; V2=VA..BCNM; V=VS.ABC; . = = . (1) V SB SC SB 2 2 4a SM 4 V 2 V 3 3 AM = a; SM= Þ = Þ 1 = Þ 2 = Þ V2 = V (2) 5 5 SB 5 V 5 V 5 5 3 1 a . 3 a3 . 3 V = SDABC .SA = Þ V2 = 3 3 5 Câu V: a 4 + b4 ³ 2a2 b2 (1); b4 + c 4 ³ 2b2 c2 (2); c 4 + a4 ³ 2c2 a2 (3) Þ a 4 + b4 + c 4 ³ abc(a + b + c) Þ a4 + b 4 + c 4 + abcd ³ abc( a + b + c + d ) 1 1 Þ £ (4) Þ đpcm. 4 4 4 a + b + c + abcd abc(a + b + c + d ) Câu VI.a: 1) A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x2 + y 2 - 4 x - 8y + 10 = 0 x y z 2) Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ ( P) : + + = 1 a b c ì4 5 6 ì 77 uu r uur + + =1 ïa b c ïa = 4 IA = (4 - a;5; 6), JA = (4;5 - b; 6) ï ï ï Þ í-5b + 6c = 0 Þ íb = 77 uuur uur ï JK = (0; -b; c), IK = (- a; 0; c) ï 5 ï-4a + 6c = 0 î ïc = 77 ï î 6 Câu VII.a: a + bi = (c + di) Þ |a + bi| = |(c + di) | n n Þ |a + bi|2 = |(c + di)n |2 = |(c + di)|2n Þ a2 + b2 = (c2 + d2)n Câu VI.b: 1) Tìm được C (1; -1) , C2 (-2; -10) . 1 11 11 16 + Với C1 (1; -1) Þ (C): x2 + y 2 - x+ y + = 0 3 3 3 91 91 416 + Với C2 (-2; -10) Þ (C): x2 + y 2 - x + y + =0 3 3 3 2) Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ^ (Oxy) Þ (P): 5x – 4y = 0 (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ^ (Oxy) Þ (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta có (D) = (P)Ç(Q) Þ Phương trình của (D) Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 ìx = a ì x= 2 Câu VII.b: í vôùi a > 0 tuyø yù vaø í îy = a î y= 1 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 2 Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành: x3 - 3mx2 + 9 x - 7 = 0 (1) Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1; x2 ; x3 . Ta có: x1 + x2 + x3 = 3m Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1) ém = 1 -1 - 15 Þ -2m + 9m - 7 = 0 Û ê 3 . Thử lại ta được : m= ê m = -1 ± 15 2 ê ë 2 é kp êx = Câu II: 1) sin2 3 x - cos2 4 x = sin2 5 x - cos2 6 x Û cos x(cos7 x - cos11x) = 0 Û ê 2 êx = kp ê ë 9 2) 0 < x £ 1 3 x+7 -2 2 - 5 - x2 1 1 7 Câu III: A = lim + lim = + = x®1 x -1 x®1 x -1 12 2 12 2 Câu IV: VANIB = 36 Câu V: Thay x = F - 3 y vào bpt ta được: 50 y 2 - 30 Fy + 5F2 - 5F + 8 £ 0 Vì bpt luôn tồn tại y nên D y ³ 0 Û - 25 F 2 + 250 F - 400 ³ 0 Û 2 £ F £ 8 Vậy GTLN của F = x + 3 y là 8. Câu VI.a: 1) AF1+AF2 = 2a và BF +BF2 = 2a Þ AF1 + AF2 + BF + BF2 = 4a = 20 1 1 Mà AF1 + BF2 = 8 Þ AF2 + BF = 12 1 2) B(4;2; -2) Câu VII.a: x = 2; x = 1 - 33 é 2 2 2 Câu VI.b: 1) Phương trình đường tròn có dạng: ê( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a) ê( x - a) + ( y - a ) = a ë (b) a) Þ ê a = 1 é b) Þ vô nghiệm. ëa = 5 Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1 và ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 r uu uur r r x -1 y -1 z + 2 2) u = éud ; nP ù = (2;5; -3) . D nhận u làm VTCP Þ D : ë û = = 2 5 -3 Câu VII.b: Toạ độ các điểm cực trị lần lượt là: A(m;3m + 1) và B(-3m; -5m2 + 1) 2 Vì y1 = 3m2 + 1 > 0 nên để một cực trị của (Cm ) thuộc góc phần tư thứ I, một cực trị của (Cm ) ìm > 0 ï 1 thuộc góc phần tư thứ III của hệ toạ độ Oxy thì í-3m < 0 Û m> . ï-5m2 + 1 < 0 5 î Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 3 Câu I: 2) Giả sử A(a; a3 - 3a 2 + 1), B(b; b3 - 3b 2 + 1) (a ¹ b) Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y ¢ (a) = y ¢ (b) Û (a - b)(a + b - 2) = 0 Û a + b - 2 = 0 Û b = 2 – a Þ a ¹ 1 (vì a ¹ b). AB2 = (b - a)2 + (b3 - 3b2 + 1 - a3 + 3a2 - 1)2 = 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 AB = 4 2 Û 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 = 32 Û ê a = 3 Þ b = -1 é ë a = -1 Þ b = 3 Þ A(3; 1) và B(–1; –3) Câu II: 1) (1) Û ( x + 3) x - 1 = 4 x Û x = 3; x = -3 + 2 3 é 5p 2p æ pö æp ö êx = +k (k Î Z ) (a) 2) (2) Û sin ç 2 x - ÷ = sin ç - x ÷ Û ê 18 3 è 3ø è2 ø ê x = 5p + l 2p (l Î Z ) (b) ê ë 6 æ pö 5p Vì x Î ç 0; ÷ nên x= . è 2ø 18 p p p p - 2 2 2 2 Câu III: Đặt x = –t Þ ò f ( x ) dx = ò f ( -t )( -dt ) = ò f ( -t ) dt = ò f ( - x ) dx -p p p p - - 2 2 2 2 p p p 2 2 2 Þ2 ò f ( x)dx = ò é f ( x) + f (- x)ù dx = ë û ò cos4 xdx -p p -p - 2 2 2 3 1 1 3p cos4 x =+ cos2 x + cos 4 x Þ I = . 8 2 8 16 1 uuur uuu uuu a3 2 r r Câu IV: V = é AH, AK ù . AO = ë û 6 27 Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: a ab2 c ab2 c ab c ab(1 + c) ab abc =a- ³a- =a- ³a- =a- - (1) 1+ b c 2 1+ b c 2 2b c 2 4 4 4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 b bc2 d bc2 d bc d bc (1 + d ) bc bcd =b- ³b- =b- ³b- =b- - (2) 1+ c2 d 1 + c2 d 2c d 2 4 4 4 c cd 2 a cd 2 a cd a cd (1 + a ) cd cda =c- ³c- =c- ³c- =c- - (3) 1+ d 2 a 1 + d 2a 2d a 2 4 4 4 d da2 b da2 b da b da (1 + b ) da dab =d- ³d- =d- ³d- =d- - (4) 1+ a 2 b 1 + a2 b 2a b 2 4 4 4 Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: a b c d ab + bc + cd + da abc + bcd + cda + dab + + + ³4- - 1+ b c 2 1+ c d2 1+ d a 2 1+ a b 2 4 4 Mặt khác: 2 æa+c+b+d ö · ab + bc + cd + da = ( a + c )( b + d ) £ ç ÷ = 4 . Dấu "=" xảy ra Û a+c = b+d è 2 ø Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 2 2 æa+bö æc+dö · abc + bcd + cda + dab = ab ( c + d ) + cd ( b + a ) £ ç ÷ (c + d ) + ç ÷ (b + a) è 2 ø è 2 ø æa+b c+dö Û abc + bcd + cda + dab £ ( a + b )( c + d ) ç + ÷ = ( a + b )( c + d ) è 4 4 ø 2 æa+b+c+d ö Û abc + bcd + cda + dab £ ç ÷ = 4 . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = d = 1. è 2 ø a b c d 4 4 Vậy ta có: + + + ³4- - 2 2 2 1+ b c 1+ c d 1+ d a 1+ a b 2 4 4 a b c d Û + + + ³ 2 Þ đpcm. 2 2 2 1+ b c 1+ c d 1+ d a 1 + a2 b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. Câu VI.a: 1) Ptts của d: í x = t ì . Giả sử C(t; –4 + 3t) Î d. î y = -4 + 3t uuu uuu r r 1 1 ( ) 2 3 é t = -2 S= AB. AC .sin A = AB2 . AC 2 - AB. AC = Û 4t 2 + 4t + 1 = 3 Û ê 2 2 2 ët = 1 Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1). r uu uuu r r r 2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = é np , ABù = ( 0; -8; -12 ) ¹ 0 ë û Þ (Q) :2 y + 3z - 11 = 0 Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 nên: ìb + c = 0 ì b = -2 (1 + i)2 + b(1 + i ) + c = 0 Û b + c + (2 + b)i = 0 Û í Ûí î2 + b = 0 îc = 2 Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 2) Phương trình mặt phẳng (a) chứa AB và song song d: (a): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng (b) chứa OC và song song d: (b): 3x – 3y + z = 0 ì6x + 3y + 2z - 12 = 0 D là giao tuyến của (a) và (b) Þ D: í î3x - 3y + z = 0 é z = -1 êz = 2 Câu VII.b: z4 – z3 + 6 z 2 – 8z –16 = 0 Û ( z + 1)( z - 2)( z 2 + 8) = 0 Û ê ê z = 2 2i ê z = -2 2i ë Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 4 9 9 Câu I: 2) x4 - 5 x2 + 4 = log2 m có 6 nghiệm Û log12 m = Û m = 12 4 = 144 4 12 4 ì p p Câu II: 1) (1) Û í- cos 2 x - cos x cos 2 x = 2 cos 2 x Û cos2x = 0 Û x = + k 2 îsin 2 x ¹ 0 4 2 2 t2 - 2 2) Đặt t = x - 2x + 2 . (2) Û m £ (1 £ t £ 2),do x Î [0;1 + 3] t +1 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 t2 - 2 t 2 + 2t + 2 Khảo sát g(t) = với 1 £ t £ 2. g'(t) = > 0 . Vậy g tăng trên [1,2] t +1 (t + 1)2 t2 - 2 2 Do đó, ycbt Û bpt m £ có nghiệm t Î [1,2] Û m £ max g(t ) = g(2) = t +1 tÎ[1;2] 3 3 t2 Câu III: Đặt t = 2x + 1 . I = ò 1 1+ t dt = 2 + ln2. 1 uuuuu uuu uuuu r r r a3 15 1 uuur uuuuu r Câu IV: VAA BM = A A 1. é AB, AM ù = ë û ; SDBMA = é MB, MA 1 ù = 3a2 3 1 6 3 1 2 ë û 3V a 5 Þ d= = . S 3 1 3 5 Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si: ( x + y ) ³ xy ; ( y + z ) ³ 3 xy ; ( z + x ) ³ 5 xy Þ đpcm 2 2 2 Câu VI.a: 1) B, C Î (Oxy). Gọi I là trung điểm của BC Þ I(0; 3; 0) . · = 450 Þ a = · = 450 . MIO NIO 3æ 3ö 3 2) VBCMN = VMOBC + VNOBC = ç a + ÷ đạt nhỏ nhất Û a = Û a = 3 . 3 è aø a Câu VII.a: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Þ x = y = 0. Câu VI.b: 1) 2x + 5y + z - 11 = 0 2) A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A¢ là điểm đối xứng với A qua (P) Þ A '(3;1;0) Để M Î (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với A¢B Þ M(2;2; -3) . log2 x + 1 é 1 Câu VII.b: (log x 8 + log 4 x2 ) log2 2 x ³ 0 Û ³ 0 Û ê0 < x £ 2 . log2 x ê ë x >1 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 5 æ 3 ö Câu I: 2) Gọi M ç x0 ;2 + ÷ Î(C). è x0 - 1 ø -3 3 Tiếp tuyến d tại M có dạng: y = ( x - x0 ) + 2 + ( x0 - 1)2 x0 - 1 æ 6 ö Các giao điểm của d với 2 tiệm cận: A ç1; 2 + ÷ , B(2x0 –1; 2). è x0 - 1 ø SDIAB = 6 (không đổi) Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB 6 é x0 = 1 + 3 Û = 2 x0 - 1 Þ ê Þ M1( 1 + 3; 2 + 3 ); M2( 1 - 3;2 - 3 ) x0 - 1 ê x0 = 1 - 3 ë ì 2(1 - cos x)sin x(2cos x - 1) = 0 p Câu II: 1) (1) Û í Û 2cosx – 1 = 0 Û x = ± + k 2p îsin x ¹ 0, cos x ¹ 0 3 ì( x 2 - 2) 2 + ( y - 3) 2 = 4 ï ì x2 - 2 = u 2) (2) Û í . Đặt í ï( x - 2 + 4)( y - 3 + 3) + x - 2 - 20 = 0 îy -3 = v 2 2 î Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 ìu 2 + v 2 = 4 ìu = 2 ìu = 0 Khi đó (2) Û í Ûí hoặc í îu.v + 4(u + v) = 8 îv = 0 îv = 2 ì x = 2 ì x = -2 ì x = 2 ì x = - 2 ï ï Þ í ;í ;í ;í îy = 3 îy = 3 ïy = 5 ïy = 5 î î 1 1 t 1 Câu III: Đặt t = sin2x Þ I= ò e (1 - t )dt = 2 e 20 4 3 tan a tan 2 a tan 2 a 1 1 1 Câu IV: V= a. . Ta có = . . £ 3 (2 + tan a ) 2 3 (2 + tan a ) 2 3 2 + tan a 2 + tan a 2 + tan a 27 2 2 2 4a 3 3 Þ V max = khi đó tan 2 a =1 Þ a = 45 o . 27 Câu V: Với x, y, z > 0 ta có 4( x3 + y 3 ) ³ ( x + y )3 . Dấu "=" xảy ra Û x = y Tương tự ta có: 4( y 3 + z 3 ) ³ ( y + z )3 . Dấu "=" xảy ra Û y = z 4( z + x ) ³ ( z + x) . 3 3 3 Dấu "=" xảy ra Û z = x Þ 3 4( x3 + y 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) + 3 4( z 3 + x3 ) ³ 2( x + y + z ) ³ 6 3 xyz æ x y z ö 6 Ta lại có 2 ç 2 + 2 + 2 ÷ ³ . Dấu "=" xảy ra Û x = y = z èy z x ø 3 xyz æ 1 ö ì xyz = 1 Vậy P ³ 6 ç 3 xyz + ç ÷ ³ 12 . Dấu "=" xảy ra Û í Ûx=y=z=1 è 3 xyz ÷ ø îx = y = z Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1. Câu VI.a: 1) A(–2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(–1; –2) 2) Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu VII.a: Nhận xét: 10 x 2 + 8 x + 4 = 2(2 x + 1)2 + 2( x 2 + 1) æ 2x + 1 ö æ 2x + 1 ö 2 2x + 1 (3) Û 2 ç 2 ÷ - m ç 2 ÷ + 2 = 0 . Đặt = t Điều kiện : –2< t £ 5 . è x +1ø è x +1 ø x2 + 1 2t 2 + 2 12 Rút m ta có: m= . Lập bảng biên thiên Þ 4 < m £ hoặc –5 < m < -4 t 5 r Câu VI.b: 1) Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là n = (a; b) (a2 + b2 ¹ 0) r => VTPT của BC là: n1 = (-b; a ) . Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0 Û ax + by –2a –b =0 BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 Û – bx + ay +4b + 2a =0 -b 3b + 4a éb = -2a Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) Û = Ûê a +b 2 2 a +b 2 2 ëb = - a · b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – 4 =0 · b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ 2 =0 ì 2 x – y + 10 z – 47 = 0 2) í î x + 3y – 2z + 6 = 0 Câu VII.b: (4) Û ( mx + 1)3 + mx + 1 = ( x - 1)3 + ( x - 1) . Xét hàm số: f(t)= t 3 + t , hàm số này đồng biến trên R. f ( mx + 1) = f ( x - 1) Û mx + 1 = x - 1 Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm. -2 · -1 < m < 1 phương trình có nghiệm x = m -1 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 · m = –1 phương trình nghiệm đúng với "x ³ 1 · Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm. Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 6 9 Câu I: 2) M(–1;2). (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û m > - ; m ¹ 0 4 -3 ± 2 2 Tiếp tuyến tại N, P vuông góc Û y '( xN ). y '( xP ) = -1 Û m = . 3 3 Câu II: 1) Đặt t = 3x > 0 . (1) Û 5t 2 - 7t + 3 3t - 1 = 0 Þ x = log 3 ; x = - log 3 5 5 ìlog 3 ( x + 1) - log 3 ( x - 1) > log 3 4 (a) ï 2) í ïlog 2 ( x - 2 x + 5) - m log ( x 2 - 2 x + 5) 2 = 5 2 (b) î · Giải (a) Û 1 < x < 3. · Xét (b): Đặt t = log 2 ( x 2 - 2 x + 5) . Từ x Î (1; 3) Þ t Î (2; 3). æ 25 ö (b) Û t 2 - 5t = m . Xét hàm f (t ) = t 2 - 5t , từ BBT Þ m Î ç - ; -6 ÷ è 4 ø Câu III: Cộng (a), (b), (c) ta được: ( x - 3) + ( y - 3) + ( z - 3) = 0 (d ) 3 3 3 · Nếu x>3 thì từ (b) có: y 3 = 9 x( x - 3) + 27 > 27 Þ y > 3 từ (c) lại có: z 3 = 9 y ( y - 3) + 27 > 27 Þ z > 3 => (d) không thoả mãn · Tương tự, nếu x y=3; thay vào (c) => z=3. Vậy: x =y = z =3 Câu IV: I là trung điểm AD, HL ^ SI Þ HL ^ ( SAD ) Þ HL = d ( H ;( SAD )) MN // AD Þ MN // (SAD), SK Ì (SAD) a 21 Þ d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) = d(H, (SAD)) = HL = . 7 1 - (1 - a) 1 - (1 - b) 1 - (1 - c) æ 1 1 ö ÷ - ( 1- a + 1- b + 1- c ) 1 Câu V: T = + + =ç + + 1- a 1- b 1- c è 1- a 1- b 1- c ø 1 1 1 9 Ta có: + + ³ ; 0 < 1 - a + 1 - b + 1 - c < 6 (Bunhia) 1- a 1- b 1- c 1- a + 1- b + 1- c 9 6 1 6 ÞT³ - 6= . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = . minT = . 6 2 3 2 æ2 6ö æ4 7ö Câu VI.a: 1) B ç ; ÷ ; C1 (0;1); C2 ç ; ÷ è5 5ø è5 5ø 2) (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (Q) chứa Ox Þ (Q): ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (Q): y – 2z = 0. Câu VII.a: Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4 Phương trình Û ( z - 2i )( z 2 - 2 z + 4) = 0 Û z = 2i; z = 1 + 3i; z = 1 - 3i Þ z = 2 . Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Î Oy é· = 600 (1) AMB Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB Þ ê ê· = 1200 (2) AMB ë Vì MI là phân giác của · nên: AMB (1) Û · = 300 Û MI = IA AMI Û MI = 2R Û m2 + 9 = 4 Û m = ± 7 sin 300 (2) Û · = 600 Û MI = IA 2 3 4 3 AMI 0 Û MI = R Û m2 + 9 = Vô nghiệm Vậy có hai điểm sin 60 3 3 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 M1(0; 7 ) và M2(0; - 7 ) 2) Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) Þ M (2; 1; 4); N (2; 1; 0) Þ Phương trình mặt cầu (S): ( x - 2)2 + ( y - 1) 2 + ( z - 2) 2 = 4. Câu VII.b: Đặt u = e x - 2 Þ J = é 4 - (eb - 2)2 / 3 ù . Suy ra: lim J = 3 3 ë û .4 = 6 2 b ® ln 2 2 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 7 Câu I: 2) xB, xC là các nghiệm của phương trình: x 2 + 2mx + m + 2 = 0 . 1 1 ± 137 SD KBC = 8 2 Û BC .d ( K , d ) = 8 2 Û BC = 16 Û m = 2 2 p Câu II: 1) (1) Û (cos x – sin x) 2 - 4(cos x – sin x) – 5 = 0 Û x = + k 2p Ú x = p + k 2p 2 ì æ3ö 3 ï(2 x)3 + ç ÷ = 18 ï è yø 3 ìa + b = 3 2) (2) Û í . Đặt a = 2x; b = . (2) Û í ï 3æ 3ö y î ab = 1 ï2 x. y ç 2 x + y ÷ = 3 î è ø æ3- 5 6 ö æ3+ 5 6 ö Hệ đã cho có nghiệm: ç ç ; ÷,ç ; ÷ è 4 3+ 5 ÷ ç 4 ø è 3- 5 ÷ ø 3 Câu III: Đặt t = cosx. I = (p + 2) 16 1 a3 3 1 a 2 13 3 3a Câu IV: VS.ABC = S SAC .SO = = S SAC .d ( B; SAC ) . S SAC = Þ d(B; SAC) = 3 16 3 16 13 t - 2t + 1 2 Câu V: Đặt t = 31+ 1- x . Vì x Î [-1;1] nên t Î [3;9] . (3) Û m = 2 . t-2 t 2 - 2t + 1 48 Xét hàm số f (t ) = với t Î [3;9] . f(t) đồng biến trên [3; 9]. 4 £ f(t) £ . t-2 7 48 Þ 4£m£ 7 Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 Þ IA = 3 2 m -1 é m = -5 Û = 3 2 Û m -1 = 6 Û ê 2 ëm = 7 2) Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ³ HI => HI lớn nhất khi A º I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi uuur qua A và nhận AH làm VTPT Þ (P): 7 x + y - 5 z - 77 = 0 . Câu VII.a: Áp dụng BĐT Cô–si ta có: a3 1 + b 1 + c 3a b3 1 + c 1 + a 3b c3 1 + a 1 + b 3c + + ³ ; + + ³ ; + + ³ (1 + b)(1 + c) 8 8 4 (1 + c)(1 + a ) 8 8 4 (1 + a )(1 + b) 8 8 4 a3 b3 c3 a + b + c 3 3 3 abc 3 3 Þ + + ³ - ³ - = (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a)(1 + b) 2 4 2 4 4 Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1. a -b-5 2S DABC Câu VI.b: 1) Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 Þ d(C; AB) = = 2 AB Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 éa - b = 8 (1) æ a +5 b-5ö Þ a -b -5 =3Û ê ; Trọng tâm G ç ; ÷ Î (d) Þ 3a –b =4 (3) ëa - b = 2 (2) è 3 3 ø S 3 · (1), (3) Þ C(–2; 10) Þ r = = p 2 + 65 + 89 S 3 · (2), (3) Þ C(1; –1) Þ r = = p 2+2 5 2) (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 - m = IM (m < 13) . Gọi H là trung điểm của MN Þ MH= 4 Þ IH = d(I; d) = -m - 3 r uur r éu; AI ù ë û (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) Þ d(I; d) = r =3 u Vậy : -m - 3 =3 Û m = –12 Câu VII.b: Điều kiện x, y > 0 ìlog 2 ( x 2 + y 2 ) = log 2 2 + log 2 ( xy ) = log 2 (2 xy ) ï í ï x 2 - xy + y 2 = 4 î ì x 2 + y 2 = 2xy ï ì(x - y)2 = 0 ìx = y ìx = 2 ì x = -2 Û í 2 Û í Û í Û í hay í ï x - xy + y = 4 î xy = 4 î xy = 4 îy = 2 î y = -2 2 î Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 8 Câu I: 2) Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 . Toạ độ các điểm cực trị là: A(0; m 2 - 5m + 5), B ( 2 - m ;1 - m), C (- 2 - m ;1 - m) Tam giác ABC luôn cân tại A Þ DABC vuông tại A khi m = 1. 1 Câu II: 1) · Với -2 £ x < : x + 2 - 3 - x < 0, 5 - 2 x > 0 , nên (1) luôn đúng 2 1 5 5 · Với < x < : (1) Û x + 2 - 3 - x ³ 5 - 2 x Û 2 £ x < 2 2 2 é 1ö é 5ö Tập nghiệm của (1) là S = ê -2; ÷ È ê 2; ÷ ë 2ø ë 2ø p p 2) (2) Û (sin x - 3)(tan 2 x + 3) = 0 Û x = - + k ; k Î Z 6 2 p 5p Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên x = ; x = 3 6 1 1- x é pù p Câu III: · Tính H = ò x = cos t; t Î ê 0; ú Þ H = 2 - dx . Đặt 0 1+ ë 2û x 2 1 ìu = ln(1 + x) 1 · Tính K = ò 2 x ln (1 + x ) dx . Đặt í Þ K= 0 î dv = 2 xdx 2 Câu IV: Gọi V, V1, và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình V S ABCD .SA SA chóp S.ABCD: = = 2. = 13 V1 S BCD .HK HK V V +V V V Ta được: = 1 2 = 1 + 2 = 13 Û 2 = 12 V1 V1 V1 V1 a+c Câu V: Điều kiện abc + a + c = b Û b = vì ac ¹ 1 và a, b, c > 0 1 - ac Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 p Đặt a = tan A, c = tan C với A, C ¹+ kp ; k Î Z . Ta được b = tan ( A + C ) 2 2 2 3 (3) trở thành: P = 2 - + tan A + 1 tan ( A + C ) + 1 tan C + 1 2 2 = 2cos 2 A - 2cos 2 ( A + C ) + 3cos 2 C = cos 2 A - cos(2 A + 2C ) + 3cos 2 C = 2sin(2 A + C ).sin C + 3cos 2 C 2 10 æ 1 ö 10 Do đó: P £ 2 sin C - 3sin 2 C + 3 = - ç sin C - ÷ £ 3 è 3ø 3 ì 1 ï sin C = 3 ï Dấu đẳng thức xảy ra khi: í sin(2 A + C ) = 1 ï ïsin(2 A + C ).sin C > 0 î 1 2 2 Từ sin C = Þ tan C = . Từ sin(2 A + C ) = 1 Û cos(2 A + C ) = 0 được tan A = 3 4 2 10 æ 2 2ö Vậy max P = Û ç a = ç ; b = 2; c = ÷ 3 è 2 4 ÷ ø æ 2 5ö Câu VI.a: 1) C ç ; - ÷ , AB: x + 2 y + 2 = 0 , AC: 6 x + 3 y + 1 = 0 è 3 3ø 2) Phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với d2: 2 x - 5 y + z + 2 = 0 x -1 y -1 z -1 Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: A ( -5; -1;3) Þ d: = = 3 1 -1 Câu VII.a: Xét (1 + x ) = Cn + Cn .x + Cn .x + Cn .x + ... + Cn .x n 0 1 2 2 3 3 n n · Lấy đạo hàm 2 vế n (1 + x ) n -1 = Cn + 2Cn .x + 3Cn .x 2 + ... + nCn .x n -1 1 2 3 n 2 2 2 2 2 · Lấy tích phân: n ò (1 + x ) n -1 dx = Cn ò dx + 2Cn ò xd x + 3Cn ò x 2 d x + ... + nCn ò x n -1d x 1 2 3 n 1 1 1 1 1 Þ C + 3C + 7C + ... + ( 2 - 1) C = 3 - 2 1 n 2 n 3 n n n n n n · Giải phương trình 3n - 2n = 32 n - 2n - 6480 Û 32 n - 3n - 6480 = 0 Þ 3n = 81 Û n = 4 Câu VI.b: 1) Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2 é 4 - 3b = b éb =1 Tâm I Î D nên: I = ( 6 - 3b; b ) . Ta có: 6 - 3b - 2 = b Û ê Ûê ë 4 - 3b = -b ëb = 2 Þ (C): ( x - 3) + ( y - 1) = 1 hoặc (C): x 2 + ( y - 2 ) = 4 2 2 2 2) Lấy M Î ( d1 ) Þ M (1 + 2t1 ; -1 - t1 ; t1 ) ; N Î ( d 2 ) Þ N ( -1 + t; -1; -t ) uuuu r Suy ra MN = ( t - 2t1 - 2; t1 ; -t - t1 ) ì 4 uuuu r r ï t=5 ï Þ M = æ ;- ;- ö 1 3 2 ( d ) ^ mp ( P ) Û MN = k.n; k Î R* Û t - 2t1 - 2 = t1 = -t - t1 Û í ç ÷ ït = -2 è5 5 5ø ï1 5 î 1 3 2 Þ d: x - = y + = z + 5 5 5 é x = -1 Câu VII.b: Từ (b) Þ y = 2 x+1 .Thay vào (a) Û x 2 = 1 + 6log 4 2 x +1 Û x 2 - 3 x - 4 = 0 Û ê ëx = 4 Þ Nghiệm (–1; 1), (4; 32). Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 9 Câu I: 2) YCBT Û phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 ì D ' = 4m 2 - m - 5 > 0 ï 5 7 Û ï f (1) = -5m + 7 > 0 Û < m < í 4 5 ï S = 2m - 1 < 1 ï2 î 3 2 p p Câu II: 1) (1) Û cos4x = Û x=± + k 2 16 2 ì x2 + 1 ï + y+ x-2= 2 ì x2 + 1 ï y ï =1 ì x =1 ì x = -2 2) (2) Û í 2 Ûí y Û í hoặc í ï x + 1 ( y + x - 2) = 1 ïy + x - 2 =1 î y=2 î y=5 ï y î î 3 1 Câu III: Đặt t = 4 x + 1 . I = ln - 2 12 3 3 1 1 a 2 3 3a 3 Câu IV: VA.BDMN = VS.ABD = . SA.SABD = .a 3 . = 4 4 3 4 4 16 Câu V: Đặt A = x + xy + y , B = x - xy - 3 y 2 2 2 2 · Nếu y = 0 thì B = x 2 Þ 0 £ B £ 3 x x 2 - xy - 3 y 2 t2 - t - 3 · Nếu y ¹ 0 thì đặt t = ta được B = A. 2 = A. 2 y x + xy + y 2 t + t +1 t2 - t - 3 Xét phương trình: = m Û (m–1)t + (m+1)t + m + 3 = 0 (1) 2 t + t +1 2 (1) có nghiệm Û m = 1 hoặc D = (m+1)2 – 4(m–1)(m+3) ³ 0 -3 - 4 3 -3 + 4 3 Û £m£ 3 3 Vì 0 £ A £ 3 nên –3– 4 3 £ B £ –3+ 4 3 æ 2 2ö æ8 8ö Câu VI.a: 1) A ç - ; - ÷ , C ç ; ÷ , B(– 4;1) è3 3 ø è 3 3 ø x-2 y-2 z 2) I(2;2;0). Phương trình đường thẳng KI: = = . Gọi H là hình chiếu của I trên (P): 3 2 -1 H(–1;0;1). Giả sử K(xo;yo;zo). ì x0 - 2 y0 - 2 z0 ï = = 1 1 3 Ta có: KH = KO Û í 3 2 -1 Þ K(– ; ; ) ï ( x + 1) 2 + y 2 + ( z - 1) 2 = x 2 + y 2 + z 2 4 2 4 î 0 0 0 0 0 0 Câu VII.a: Từ (b) Þ x = 2y hoặc x = 10y (c). Ta có (a) Û ln(1+x) – x = ln(1+y) – y (d) 1 -t Xét hàm số f(t) = ln(1+t) – t với t Î (–1; + ¥) Þ f ¢(t) = -1 = 1+ t 1+ t Từ BBT của f(t) suy ra; nếu phương trình (d) có nghiệm (x;y) với x ¹ y thì x, y là 2 số trái dấu, nhưng điều này mâu thuẩn (c). Vậy hệ chỉ có thể có nghiệm (x, y) với x = y. Khi đó thay vào (3) ta được x = y = 0 Câu VI.b: 1) Gọi (d) là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có: æ 1 1ö (d ) : x + y + 1 = 0, I = (d ) Ç ( AD ) Þ I ç - ; - ÷ Þ N (-1; 0) (I là trung điểm MN). è 2 2ø AB ^ CH Þ pt ( AB) : x - 2 y + 1 = 0, A = ( AB ) I ( AD ) Þ A(1; 1) . AB = 2AM Þ AB = 2AN Þ N là trung điểm AB Þ B ( -3; -1) . æ 1 ö pt ( AM ) : 2 x - y - 1 = 0, C = ( AM ) I (CH ) Þ C ç - ; -2 ÷ è 2 ø 2) Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5) Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1) x+ 2 y -7 z -5 Phương trình đường thẳng D: = = 5 -8 -4 ì 2 x - 1 + sin(2 x + y - 1) = 0 (1) Câu VII.b: PT Û í î cos(2 + y - 1) = 0 x (2) p Từ (2) Þ sin(2 x + y - 1) = ±1 . Thay vào (1) Þ x = 1 Þ y = -1 - + kp 2 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 10 Câu I: 2) AB = (xA – xB) + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) 2 2 Þ AB ngắn nhất Û AB2 nhỏ nhất Û m = 0. Khi đó AB = 24 p Câu II: 1) PT Û (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 Û 1– sinx = 0 Û x = + k 2p 2 2) BPT Û log 2 x - log 2 x 2 - 3 > 5(log 2 x - 3) (1) 2 Đặt t = log2x. (1) Û t 2 - 2t - 3 > 5(t - 3) Û (t - 3)(t + 1) > 5(t - 3) ét £ -1 é 1 ê ét £ -1 é log 2 x £ -1 ê0 < x £ 2 Û ê ìt > 3 Ûê Ûê ÛÛ ë3 < t < 4 ë3 < log 2 x < 4 ê ê í(t + 1)(t - 3) > 5(t - 3) 2 ë8 < x < 16 ëî 3 1 3 1 Câu III: Đặt tanx = t . I = ò (t 3 + 3t + + t -3 )dt = tan 4 x + tan 2 x + 3ln tan x - +C t 4 2 2 tan 2 x Câu IV: Kẻ đường cao HK của DAA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1. A1 H . AH a 3 Ta có AA1.HK = A1H.AH Þ HK = = AA1 4 Câu V: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có: 1 + 1 24 1 + a 2009 + a 2009 + a 2009 + a 2009 ³ 2009.2009 a 2009 .a 2009 .a 2009 .a 2009 = 2009.a 4 (1) 14+ ... 3 + 2005 Tương tự: 1 + 1 24 1 + b 2009 + b 2009 + b 2009 + b 2009 ³ 2009.2009 b 2009 .b 2009 .b 2009 .b 2009 = 2009.b 4 (2) 14+ ... 3 + 2005 1 + 1 24 1 + c 2009 + c 2009 + c 2009 + c 2009 ³ 2009.2009 c 2009 .c 2009 .c 2009 .c 2009 = 2009.c 4 (3) 14+ ... 3 + 2005 Từ (1), (2), (3) ta được: 6015 + 4(a 2009 + b 2009 + c 2009 ) ³ 2009(a 4 + b 4 + c 4 ) Û 6027 ³ 2009(a 4 + b 4 + c 4 ) . Từ đó suy ra P = a 4 + b 4 + c 4 £ 3 Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3. Câu VI.a: 1) Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: x - 7 y + 17 x + y -5 é x + 3 y - 13 = 0 ( D1 ) = Ûê 12 + (-7) 2 12 + 12 ë3 x - y - 4 = 0 ( D2 ) Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D1 , D2 KL: x + 3 y - 3 = 0 và 3x - y + 1 = 0 2) Kẻ CH ^ AB’, CK ^ DC’ Þ CK ^ (ADC’B’) nên DCKH vuông tại K. 49 49 Þ CH 2 = CK 2 + HK 2 = . Vậy phương trình mặt cầu: ( x - 3) 2 + ( y - 2) 2 + z 2 = 10 10 Câu VII.a: Có tất cả C42 . C52 .4! = 1440 số. uuur ì A Î (d1 ) ì A(a; -1 - a ) ì MA = (a - 1; -1 - a ) ï Câu VI.b: 1) í Ûí Þ í uuur î B Î (d 2 ) î B (2b - 2; b) ï MB = (2b - 3; b) î Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 ì æ 2 1ö ïA - ;- ì A ( 0; -1) ï Þ í ç 3 3 ÷ Þ (d ) : x - 5 y - 1 = 0 hoặc í è ø Þ (d ) : x - y - 1 = 0 ï B (-4; -1) ï B (4;3) î î 2) Phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d1): 3x + 2 y + z - 3 = 0 . ì3 x + 2 y + z - 3 = 0 ì x = -1 ï ï Toạ độ giao điểm A của (d2) và (a) là nghiệm của hệ í x + 1 = 0 Û íy = 5 / 3 ïx + y - z + 2 = 0 ïz = 8 / 3 î î x y -1 z -1 Đường thẳng cần tìm là AM có phương trình: = = 3 2 5 Câu VII.b: Ta có: P = (1 + x 2 (1 - x) ) = å C8k x 2 k (1 - x) k . Mà (1 - x)k = å Cki (-1)i x i 8 8 k k =0 i =0 Để ứng với x8 ta có: 2k + i = 8;0 £ i £ k £ 8 Þ 0 £ k £ 4 . Xét lần lượt các giá trị k Þ k = 3 hoặc k = 4 thoả mãn. Do vậy hệ số của x8 là: a = C83C32 (-1) 2 + C84C40 ( -1)0 = 238 . Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 11 Câu I: Sử dụng điều kiện tiếp xúc Þ M(0;1) và M(0;–1) Câu II: 1) Đặt log( x 2 + 1) = y . PT Û y 2 + ( x 2 - 5) y - 5 x 2 = 0 Û y = 5 Ú y = - x 2 Nghiệm: x = ± 99999 ; x = 0 2) PT Û (cos x - 1)(cos x - sin x - sin x.cos x + 2) = 0 Û x = k 2p . Vì x - 1 < 3 Û -2 < x < 4 nên nghiệm là: x = 0 ìu = ln( x 2 + x + 1) 3 p Câu III: Đặt í Þ I= 2+ îdv = xdx 4 12 3 ab a 2 + b 2 + c 2 Câu IV: Std = 2c Câu V: Vì 0 < x < 1 Þ 1 - x 2 > 0 Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 2 x 2 + (1 - x 2 ) + (1 - x 2 ) 3 2 2 x 3 3 2 = ³ 2 x (1 - x 2 )2 Þ ³ x(1 - x 2 ) Þ ³ x 3 3 3 3 1- x 2 2 y 3 3 2 z 3 3 2 Tương tự: ³ y ; ³ z 1- y 2 2 1- z 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 1 Khi đó: P ³ (x + y2 + z2 ) ³ ( xy + yz + zx) = Þ Pmin = Ûx= y=z= 2 2 2 2 3 Câu VI.a: 1) Gọi A = d Ç (P) Þ A(1; -3;1) . Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: - x + 2 y + z + 6 = 0 D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ D: { x = 1 + t ; y = -3; z = 1 + t 2) Xét hai trường hợp: d ^ (Ox) và d ^ (Ox) Þ d: 4 x + 9 y - 43 = 0 ì z - w - zw = 8 ì zw = -5 ì zw = -13 Câu VII.a: PT Û í Ûí (a) Ú í (b) î( z - w) + 2( z - w) - 15 = 0 îz - w = 3 î z - w = -5 2 ì -3 + i 11 ì -3 - i 11 ì 5 + i 27 ì 5 - i 27 ïw = ïw = ïw = ïw = ï 2 ï 2 ï 2 ï 2 (a) Û í Úí ; (b) Û í Úí ï z = 3 + i 11 ï z = 3 - i 11 ï z = -5 + i 27 ï z = -5 - i 27 ï î 2 ï î 2 ï î 2 ï î 2 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 æ 7 14 ö Câu VI.b: 1) Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G ç ; ;0 ÷ . è3 3 ø Ta có: MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4 MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 æ 7 14 ö ³ GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M º G ç ; ;0 ÷ . è3 3 ø 2) B = AB I Ox Þ B (1;0) , A Î AB Þ A ( a;3 7(a - 1) ) Þ a > 1 (do xA > 0, y A > 0 ). Gọi AH là đường cao D ABC Þ H (a;0) Þ C (2a - 1;0) Þ BC = 2(a - 1), AB = AC = 8(a - 1) . Chu vi D ABC = 18 Û a = 2 Þ C (3;0), A ( 2;3 7 ) . ìu = x - 1 ìu + u 2 + 1 = 3v ï Câu VII.b: Đặt í . Hệ PT Û í îv = y - 1 ïv + v 2 + 1 = 3u î Þ 3u + u + u 2 + 1 = 3v + v + v 2 + 1 Û f (u ) = f (v) , với f (t ) = 3t + t + t 2 + 1 t + t2 +1 Ta có: f ¢ (t ) = 3t ln 3 + > 0 Þ f(t) đồng biến t2 +1 Þ u = v Þ u + u 2 + 1 = 3u Û u - log 3 (u + u 2 + 1) = 0 (2) ( ) Xét hàm số: g (u ) = u - log3 u + u 2 + 1 Þ g '(u ) > 0 Þ g(u) đồng biến Mà g (0) = 0 Þ u = 0 là nghiệm duy nhất của (2). KL: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ PT. Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 12 ì y coù CÑ, CT Câu I: 2) (Cm) và Ox có đúng 2 điểm chung phân biệt Û í Û m = ±1 î yCÑ = 0 hoaëc yCT = 0 ì(2 cos x - 1)(sin x cos x + 2) = 0 ï p Câu II: 1) PT Û Û í Û x = + k 2p ï î 2sin x + 3 ¹ 0 3 2) Đặt 2 x = u > 0; 3 2 x +1 - 1 = v . éx = 0 ìu 3 + 1 = 2v ï ì 3 ïu + 1 = 2v ìu = v > 0 PT Û í Ûí Ûí 3 Û ê ê x = log -1 + 5 ïv + 1 = 2u ï(u - v)(u + uv + v + 2) = 0 îu - 2u + 1 = 0 3 2 2 î î ê ë 2 2 p p p 2 cos tdt 2 cos xdx Câu III: Đặt x = - t Þ dx = - dt Þ I = ò =ò 0 (sin t + cos t ) 0 (sin x + cos x ) 3 3 2 p p p 2 dx 12 dx 1 p 4 1 Þ 2I = ò = ò = - cot( x + ) = 1 Þ I = 0 (sin x + cos x ) 2 p 2 0 sin 2 ( x + ) 2 4 0 2 4 æ pö æ pö Câu IV: j = · Î ç 0; ÷ Þ VSABC = (sin j - sin 3 j ) . Xét hàm số y = sin x - sin 3 x trên khoảng ç 0; ÷ . a3 SCA è 2ø 6 è 2ø a3 a3 3 1 æ pö Từ BBT Þ (VSABC ) max = ymax = khi sin j = , j Î ç 0; ÷ 6 9 3 è 2ø -1 1 Câu V: Đặt t = 2 - x - 2 + x Þ t ' = -
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 x y Câu VI.a: 1) PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): + = 1 (a,b>0) a b 3 1 Cô - si 3 1 M(3; 1) Î d 1 = + ³ 2 . Þ ab ³ 12 . a b a b ì a = 3b ï ìa = 6 Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 2 3ab = 12 Þ (OA + 3OB) min = 12 Û í 3 1 1Ûí ïa = b = 2 îb = 2 î x y Phương trình đường thẳng d là: + = 1 Û x + 3y - 6 = 0 6 2 2) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Þ (Q): x + y - z - 3 = 0 d là giao tuyến của (P) và (Q) Þ d: { x = 2; y = t + 1; z = t M Î d Þ M (2; t + 1; t ) Þ AM = 2t 2 - 8t + 11 . Vì AB = 12 nên D MAB đều khi MA = MB = AB 4 ± 18 æ 6 ± 18 4 ± 18 ö Û 2t 2 - 8t - 1 = 0 Û t = Þ M ç 2; ; ÷ 2 è 2 2 ø Câu VII.a: Ta có (1 - x) n = Cn0 - Cn x + Cn2 x 2 - .... + (-1) n Cnn x n = B 1 1 1 1 1 1 1 2 1 Vì ò (1 - x) n dx = , ò Bdx = C 0 - Cn + Cn + ... + (-1) n Cn Þ n + 1 = 13 Þ n = 12 n n +1 n +1 n 0 0 2 3 12 n-k 2 2 ·( + x 5 ) n = å C12 .( 3 ) k ( x 5 ) k , Tk +1 = C12 .212 - k .x8 k - 36 Þ 8k - 36 = 20 Û k = 7 k x3 k =0 x Þ Hệ số của x 20 là: C12 .25 = 25344 7 ìx = t Câu VI.b: 1) Phương trình tham số của D: í . M Î D Þ M(t; 3t – 5) î y = 3t - 5 7 7 S MAB = S MCD Û d ( M , AB ). AB = d ( M , CD ).CD Û t = -9 Ú t = Þ M (-9; -32), M ( ; 2) 3 3 2) Gọi AB là đường vuông góc chung của D1 , D2 : A(2t ; t ; 4) Î D1 , B(3 + s; - s; 0) Î D2 AB ^ D1, AB ^ D2 Þ A(2;1; 4), B(2;1;0) Þ Phương trình mặt cầu là: ( x - 2)2 + ( y - 1) 2 + ( z - 2)2 = 4 Câu VII.b: Hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 = -m - 2, x2 = -m + 2 . Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là AB = ( y2 - y1 )2 + ( x2 - x1 )2 = 2 x1 - x2 = 4 2 (không đổi) Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 13 ( 2m - 1) 2 1 1 Câu I: 2) AB = + 4 ³ 2 . Dấu "=" xảy ra Û m = Þ AB ngắn nhất Û m = . 2 2 2 p p Câu II: 1) Đặt t = sin x - cos x , t ³ 0 . PT Û t – t2 = 0 Û x = + kp ; x = l , (k , l Î Z ) 4 2 ì(m - 1) x + 2(m - 3) x + 2m - 4 = 0 (1) 4 2 ï 2) Hệ PT Û í x2 + 2 . ïy = 2 î x +1 ì2 x 2 + 1 = 0 ï · Khi m = 1: Hệ PT Û í x2 + 2 (VN ) ï y= 2 î x +1 · Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t ³ 0 . Xét f (t ) = (m - 1)t 2 + 2(m - 3)t + 2m - 4 = 0 (2) Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt Û (1) có ba nghiệm x phân biệt Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 ì f (0) = 0 ï Û (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 Û í 2 ( m - 3) Û ... Û m = 2 . ïS = > î 1- m 1 1 Đặt: t = 1 - x 2 Þ I = ò ( t 2 + t 4 ) dt = ... = 8 Câu III: · I = ò x3 1 - x 2 dx 0 0 15 e xe x + 1 e d ( e x + ln x ) e ee + 1 ·J= ò x (e 1 x + ln x ) dx = ò 1 e + ln x x = ln e x + ln x 1 = ln e Câu IV: Ta có A'M, B'B, C'N đồng quy tại S. Đặt V1 = VSBMN, V2 = VSB'A'C' , V = VMBNC'A'B'. SB a - x a (a - x) Ta có = Þ SB = , (0< x < a) SB ' a x V æa-xö 3 x 1 a4 Xét phép vị tự tâm S tỉ số k = 1- ta có: 1 = ç ÷ . Mà V2 = S D A ' B ' C ' .SB ' = . a V2 è a ø 3 6x a 4 æ æ x ö ö a3 é æ x ö æ x ö ù 3 3 2 a4 æ x ö Þ V1 = ç1 - ÷ ; Do đó: V = V2 - V1 = ç1 - ç1 - ÷ ÷ = ê1 + ç 1 - ÷ + ç1 - ÷ ú 6x è a ø 6x ç è a ø ÷ 6 ë è a ø è a ø û è ø ê ú a3 é æ x ö æ x ö ù 1 2 2 1 æ xö æ xö Theo đề bài V = a 3 Û ê1 + ç1 - ÷ + ç1 - ÷ ú = a 3 Û ç1 - ÷ + ç1 - ÷ - 1 = 0 (*) 3 6 ê è aø è aø ú 3 ë û è aø è aø æ xö 1 3- 5 Đặt t = ç 1 - ÷ , t > 0 (vì 0< x
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 -3 Cô - si d = d1 + d2 = |x0 + 1| + |y0 - 2| = |x0 + 1| + x0 + 1 ³2 3. Dấu "=" xảy ra khi x0 = -1 ± 3 ìu + v = 1 ìu + v = 1 Câu II: 1) Đặt u = x , v = y (u ³ 0, v ³ 0) . Hệ PT Û í Ûí . îu + v = 1 - 3m îuv = 3 3 3 1 ĐS: 0 £ m £ . 4 p 2) Dùng công thức hạ bậc. ĐS: x = k (k Î Z ) 2 p 2 Câu III: I = - 2 3 1 1 a3 3 a Câu IV: V = ya(a + x) . V 2 = a 2 (a - x)(a + x)3 . Vmax = khi x = . 6 36 8 2 1 1 1 1 4 Câu V: Áp dụng BĐT Côsi: ( x + y )( + ) ³ 4 Þ + ³ . x y x y x+ y 1 1æ 1 1 ö 1 æ1 1 1 1ö Ta có: £ ç + £ + + + . 2 x + y + x 4 è x + y x + z ÷ 16 ç x y x z ÷ ø è ø Tương tự cho hai số hạng còn lại. Cộng vế với vế ta được đpcm. æ2 4 3ö æ2 4 3ö æ2 4 3ö æ2 4 3ö Câu VI.a: 1) Có hai cặp điểm A ç ; ÷, Bç ;- ÷; Aç ; - ÷, Bç ; ÷ è7 7 ø è7 7 ø è7 7 ø è7 7 ø 2) (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 – 3 2 = 0 ìx = 2 Câu VII.a: í îy = 5 Câu VI.b: 1) Áp dụng công thức tính bán kính qua tiêu: FA = x1 + 2, FB = x2 + 2. AB = FA = FB = x1 + x2 + 4. 2) Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M Î D nên M ( -1 + 2t ;1 - t; 2t ) . AM + BM = (3t ) 2 + (2 5) 2 + (3t - 6) 2 + (2 5) 2 r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t; 2 5 và v = -3t + 6; 2 5 . ( ) ( ) ìr ( 3t ) ( ) 2 ï| u |= + 2 5 2 r r r r r r ï Ta có í r ( ) Þ AM + BM =| u | + | v | và u + v = 6;4 5 Þ| u + v |= 2 29 ï| v |= ( 3t - 6 ) ( ) 2 + 2 5 2 ï î r r r r Mặt khác, ta luôn có | u | + | v |³| u + v | Như vậy AM + BM ³ 2 29 r r 3t 2 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v cùng hướng Û = Û t =1 -3t + 6 2 5 Þ M (1;0; 2 ) và min ( AM + BM ) = 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 ( 11 + 29 ) 1 3 Câu VII.b: f ( x) = l- 3ln ( 3 - x ) ; f '( x) = -3 (3 - x ) ' = (3 - x ) 3- x p p 6 2 t 6 1 - cos t 3 p 3 Ta có: ò sin 2 dt = p ò 2 dt = p ( t - sin t )|0 = p é(p - sin p ) - ( 0 - sin 0 )ù = 3 p 0 0 ë û Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 p 6 2 t ò sin 2dt ì 3 > 3 p 0 ï ì 2x -1 ï x -3 x + 2 < 0 é x < -2 Khi đó: f '( x) > Û í3 - x x + 2 Û í( )( ) Û ê1 x+2 ï x < 3; x ¹ -2 ï x < 3; x ¹ -2 ê < x 0 Þ M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. uuur uuur Mặt khác: PM /(C ) = MA.MB = 3MB 2 Þ MB = 3 Þ BH = 3 Þ IH = R 2 - BH 2 = 4 = d [ M ,(d )] Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0). éa = 0 -6a - 4b d [ M ,(d )] = 4 Û =4Ûê . a +b 2 2 ê a = - 12 b ê ë 5 Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. æ 2 1 1ö 2) Phương trình mp(ABC): 2x + y – z – 2 = 0. H ç ; ; - ÷ è 3 3 3ø Câu VII.a: Đặt t = log 2 x . PT Û t - (7 - x)t + 12 - 4 x = 0 Û t = 4; t =3 – x Û x = 16; x = 2 2 uuu r Câu VI.b: 1) Ta có: AB = ( -1; 2 ) Þ AB = 5 . Phương trình AB: 2 x + y - 2 = 0 . I Î (d ) : y = x Þ I ( t ; t ) . I là trung điểm của AC và BD nên: C (2t - 1; 2t ), D(2t ; 2t - 2) 4 Mặt khác: S ABCD = AB.CH = 4 (CH: chiều cao) Þ CH = . 5 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 é 4 æ5 8ö æ8 2ö | 6t - 4 | 4 êt = 3 Þ C ç 3 ; 3 ÷ , D ç 3 ; 3 ÷ Ngoài ra: d ( C; AB ) = CH Û = Ûê è ø è ø 5 5 êt = 0 Þ C ( -1;0 ) , D ( 0; -2 ) ë æ5 8ö æ8 2ö Vậy C ç ; ÷ , D ç ; ÷ hoặc C ( -1;0 ) , D ( 0; -2 ) è 3 3ø è 3 3ø 2) Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH Þ ( P) ^ d1 Þ ( P ) : x + y - 2 z + 1 = 0 B = ( P ) Ç d 2 Þ B (1;4;3) Þ phương trình BC : { x = 1 + 2t ; y = 4 - 2t ; z = 3 Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có: (Q ) : x - 2 y + z - 2 = 0 Þ K (2;2;4) Þ M (1;2;5) (K là trung điểm của CM). x -1 y - 4 z - 3 1 uuu uuu r r Þ ptAB : = = , do A = AB Ç d1 Þ A(1; 2;5) Þ SD ABC = é AB, AC ù = 2 3 . ë û 0 2 -2 2 Câu VII.b: PT Û f ( x) = 2008 - 2007 x - 1 = 0 với x Î (– ¥ ; + ¥ ) f ¢ (x) = 2008 x.ln 2008 - 2007; f ¢¢ ( x) = 2008 x ln2 2008 > 0, "x Þ f ¢ ( x ) luôn luôn đồng biến. Vì f (x) liên tục và lim f ¢ ( x) = -2007; lim f ¢ ( x) = +¥ Þ $x0 để f ¢' ( x0 ) = 0 x®-¥ x®+¥ Từ BBT của f(x) Þ f(x) = 0 không có quá 2 nghiệm. Vậy PT có 2 nghiệm là x = 0; x = 1 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 16 Câu I: 2) MN: x + 2y + 3 = 0. PT đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y = 2x + m. Gọi A, B Î (C) đối xứng nhau qua MN. Hoành độ của A và B là nghiệm của PT: 2x - 4 = 2 x + m Þ 2x + mx + m + 4 = 0 2 ( x ≠ –1) (1) x +1 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có D = m2 – 8m – 32 > 0 Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm của (1) æ x1 + x2 ö æ m mö Trung điểm của AB là I ç ; x1 + x2 + m ÷ º I ç - ; ÷ ( theo định lý Vi-et) è 2 ø è 4 2ø Ta có I Î MN Þ m = –4, (1) Þ 2x2 – 4x = 0 Þ A(0; –4), B(2;0) ìcos 2 x = 1 ì x = kp 3x ï ï Câu II: 1) PT Û cos2x + cos =2Û í 3x Û í m8p (k ; m Î ¢ ) Û x = 8np 4 ïcos 4 = 1 î ïx = 3 î 2x + 1 2) Nhận xét; x = ± 1 là các nghiệm của PT. PT Û 3x = . 2x - 1 Dựa vào tính đơn điệu Þ PT chỉ có các nghiệm x = ± 1. x x p p 1 + 2sin cos p 1 + sin x 1 x 2 e x dx 2 x Câu III: Ta có 1 + cos x = 2 x 2= x + tan . K = 2 ò 2x 0 + ò e x tan dx = e 2 2 2 cos 2 2 cos 2 0 2cos 2 2 2 Câu IV: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm của BC · = a . AMS Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, I Î SO; N là hình chiếu của I trên SM, MI là phân giác của · = a . AMS a 3 Ta có SO = OM tana = tana ( Với a là độ dài của cạnh đáy) 6 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 a2 a2 a2 2 3 Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2 Û tan 2 a + = 1- Þa= 12 12 4 4 + tan 2 a a a tan 4p tan 3 a 2 2 r = OI = OM.tan = . Vậy V = 2 4 + tan a 3 ( 4 + tan a ) 2 2 3 Câu V: Vì a + b + c = 2 nên độ dài mỗi cạnh nhỏ hơn 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: 1 – a, 1 – b, 1 – c 1 3 – (a + b + c) ³ 3 3 (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 Û ³ (1 - a )(1 - b)(1 - c) > 0 27 28 56 Û ³ ab + bc + ca - abc > 1 Û 2 < 2ab + 2bc + 2ca + 2abc £ 27 27 56 52 Û 2 < ( a + b + c) 2 - (a 2 + b 2 + c 2 + 2abc) £ Û £ a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 27 27 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 3 Câu VI.a: 1) Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Þ A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 Þ B(–4; –7) A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy Þ BC: y + 7 = 0 2a 2a 8a 2 - 24a + 36 2) Gọi A(a; 0; 0) Î Ox Þ d ( A; ( P)) = = ; d ( A; d ) = 22 + 12 + 22 3 3 2a 8a 2 - 24a + 36 d(A; (P)) = d(A; d) Û = Û 4a 2 = 8a 2 - 24a + 36 Û 4a 2 - 24a + 36 = 0 3 3 Û 4(a - 3) = 0 Û a = 3. Vậy có một điểm A(3; 0; 0). 2 1 + tan 2 x Câu VII.a: Vì cosx ≠ 0 nên chia tử và mẫu của hàm số cho cos3x ta được: y = 2 tan 2 x - tan 3 x 1+ t æ pù 2 Đặt t = tanx Þ t Î (0; 3] . Khảo sát hàm số y = 2 3 trên nửa khoảng ç 0; ú 2t - t è 3û t 4 + 3t 2 - 4t éx = 0 y’ = ; y’ = 0 Û ê (2t - t ) ëx =1 2 3 2 p Từ BBT Þ giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi x = . 4 Câu VI.b: 1) M Î (D) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) 6 N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b = 0; b = 5 æ 38 6 ö æ 8 4ö Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M ç ; ÷ , N ç - ; ÷ è 5 5ø è 5 5ø uuu r 2) Ta có AB = (6; -4;4) Þ AB//(d). Gọi H là hình chiếu của A trên (d) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P) ^ (d) Þ (P): 3x – 2y + 2z + 3 = 0 H = (d)Ç (P) Þ H(–1;2;2). Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua (d) Þ H là trung điểm của AA¢ Þ A¢(–3;2;5). Ta có A, A¢, B, (d) cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M = A¢BÇ(d) . Lập phương trình đường thẳng A¢B Þ M(2;0;4) Câu VII.b: Gọi β = r( cosj + isinj) Þ β3 = r3( cos3j + isin3j) ìr = 3 3 ìr = 3 3 æ 2p 2p ö ï ï Ta có: r ( cos3j + isin3j) = 3 ç cos + i sin ÷ Þ í 3 2p Þí 2p k 2p è 3 3 ø ï3j = + k 2p ïj = + î 3 î 9 3 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)