4 Đề chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 (2013 - 2014) - Kèm Đ.án

Chia sẻ: Nguyen Phuoc Vinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

776
lượt xem 128
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giúp cho các bạn học sinh có thêm tư liệu ôn tập và đánh giá năng lực của mình trước kì thi học sinh giỏi sắp tới. Mời các bạn cùng tham khảo 4 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm 2013 - 2014 gồm đề thi của các môn như Toán, Tiếng Anh... Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 4 Đề chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 (2013 - 2014) - Kèm Đ.án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HOÁ Năm học 2013 - 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21/03/2014 Số báo danh (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) ........................  xy  x   xy  x  Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức A   x  1   1 :  1   x 1  .  xy  1 1  xy   xy  1 xy  1      1. Rút gọn biểu thức A. 2. Cho 1  1  6 . Tìm giá trị lớn nhất của A. x y Câu II (5,0 điểm). 1.Cho phương trình x 2  2m  2 x  m 2  2m  4  0 . Tìm m để phương trình 2 1 1 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 2   . x  x2 x1 x2 15m 1 x  y  z  1 2. Giải hệ phương trình  4 4 4 .  x  y  z  xyz Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). 2. Tìm x, y, z  N thỏa mãn x2 3  y z. Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân. 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng. 3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD. Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B  3 1 3  1 . x y xy ----- HẾT ----- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HOÁ Năm học 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21/03/2014 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Ý Lời giải (vắn tắt) Điểm I 1 Điều kiện: xy  1 . 0,25 (4,0đ) (2,5đ)  x  1 1  xy      xy  1   xy  11  xy  : xy  x A  xy  11  xy   xy  11  xy    xy  x  xy  1   x  1 1  xy    xy  11  xy  0,50  x  1 1  xy    xy  x  xy  1   xy  11  xy     xy  11  xy    xy  x  xy  1   x  1 1  xy  0,50  1 x  1 . x y  xy xy 1,25 2 (1,5đ) Theo Côsi, ta có: 6  1  1  2 1  1  9. x y xy xy 0,50 1 Dấu bằng xảy ra  1  1  x = y = . x y 9 0,50 1 Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = . 9 0,50 II 1 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện: (5,0đ) (2,5đ)    ' 0  m  2   m 2  2m  4  0  m  0 (*) 2 0,50  x1  x2  4  2m Với m  0 theo Vi-et ta có:  .  x1.x2  m 2  2m  4 0,25 2 1 1 2 1 1 Ta có      (1) 2 2 x  x2 x1 x2 15m 1 x1  x2   2 x1 x2 x1 x2 15m 2 0,50 1 1 1  2  2  m  6m  4 m  2 m  4 15m 0,50 1 1 1 4    . Đặt m   t do m  0  t  0 4 4 m   6 m   2 15 m 0,50 m m 1 1 1 t  4 Ta cos (1) trở thành     t  4 ( do t  0 ) t  6 t  2 15 t  12 0,50 4 Với t  4 ta có m   4  m  2 thỏa mãn (*) m 0,25
2 Ta có: (2,5đ) x4  y 4 y 4  z 4 z 4  x4 0,50 x4  y4  z 4     x 2 y 2  y 2 z 2  z2 x2 = 2 2 2 x2 y 2  y2 z2 y 2 z2  z 2 x2 z 2 x2  x2 y 2 0,50 =    xyyz  yzzx  zxxy = 2 2 2 = xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1). 0,50 x  y  z 1 Dấu bằng xảy ra   x yz x  y  z  1 3  1 1 1 0,50 Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x  ; y  ; z    3 3 3 III 1 Giả sử (a + b2)  (a2b – 1), tức là: a + b2 = k(a2b – 1), với k  *  (4,0đ) (2,0đ)  a + k = b(ka2 – b)  a + k = mb (1) 2 2 Ở đó m   mà: m = ka – b  m + b = ka (2) 0,50 Từ (1) và (2) suy ra: (m – 1)(b – 1) = mb – b – m + 1   (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3) Do m > 0 (điều này suy ra từ (1) do a, k, b > 0) nên m  1 (vì m  ). Do b > 0 nên b – 1  0 (do b  )  (m – 1)(b – 1)  0. Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka)  0. 0,50 Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka  0  k + 1  ka  1  k(a – 1) (4) Vì a – 1  0 (do a  , a > 0) và k  , k > 0 nên từ (4) có: a  1  k(a  1)  0   k(a  1)  1   a  2   k  1  0,25 - Với a = 1. Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2   m  1  2   b  1  1   b  2  m  1  1 b  3     b 1  2 Vậy, trường hợp này ta có: a = 1, b = 2 hoặc a = 1, b = 3. 0,25 b  1 - Với a = 2 (vì k = 1). Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0   . m  1 Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1. Khi m = 1: Từ (1) suy ra a + k = b  b = 3. Lúc này được: a = 2, b = 3. 0,25 Tóm lại, có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn bài toán là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1). 0,25 2 Ta có x2 3  y  z  x  2 3  y  z  2 yz (2,0đ) 0,50   x  y  z   2 3  2 yz   x  y  z   4 3  x  y  z   12  4 yz (1) 2
2 4 yz   x  y  z   12 TH1. Nếu x  y  z  0 Ta có 3 (2) vô lý 4 x  y  z  0,50 ( do x, y, z  N nên vế phải của (2) là số hữu tỷ ). x  y  z  0 TH2. x  y  z  0 khi đó 1   (3) 0.50  yz  3 x  4 x  4   Giải (3) ra ta được  y  1 hoặc  y  3 thử lại thỏa mãn 0,50 z  3 z  1   IV (6,0đ) 1 E (2.5đ) D M I H F A C O B Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (giả thiết) nên 0,50 AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,50 hay FMB  900 . Mặt khác FCB  900 (giả thiết).Do đó FMB  FCB  1800 . 0,50 Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp  CBM  EFM 1 (vì cùng bù với CFM ). 0,50 Mặt khác CBM  EMF  2  (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AM ). Từ (1) và (2)  EFM  EMF . Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E. 0,50 (Có thể nhận ra ngay EMF  MBA  MFE nên suy ra EMF cân) DIF Gọị H là trung điểm của DF. Suy ra IH  DF và DIH   3 . 2 2 0,50 (2.5đ) Trong đường tròn  I  ta có: DMF và DIF lần lượt là góc nội tiếp và góc 1 ở tâm cùng chắn cung DF. Suy ra DMF  DIF (4). 2 0,50
Từ (3) và (4) suy ra DMF  DIH hay DMA  DIH . Trong đường tròn  O  ta có: DMA  DBA (góc nội tiếp cùng chắn DA ) 0,50 Suy ra DBA  DIH . 0,50 Vì IH và BC cùng vuông góc với EC nên suy ra IH // BC. Do đó 0,50 o o DBA  HIB  180  DIH  HIB  180  Ba điểm D, I, B thẳng hàng. 3(1đ) 1 Vì ba điểm D, I, B thẳng hàng  ABI  ABD  sđ AD . 2 0,50 1 Mà C cố định nên D cố định  sđ AD không đổi. 2 Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD. 0,50 1 1  2xy Ta có: B  3  1  1  1  . (x  y)  3xy(x  y) xy 1  3xy xy xy(1  3xy) 0.25 (x  y)2 1 Theo Côsi: xy   . 4 4 1  2xy Gọi Bo là một giá trị của B, khi đó, x, y để: Bo   xy(1  3xy)  3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + 1 = 0 (1) Để tồn tại x, y thì (1) phải có nghiệm xy   = Bo2 – 8Bo + 4  0   Bo  4  2 3  0.25  Bo  4  2 3  Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B > 0. Do đó ta có: Bo  4  2 3 . V(1đ) 2  Bo Với Bo  4  2 3  xy   3  3  x(1  x)  3  3  6Bo 62  3 6 2  3  2 3 2 3 1 1 1 1 0.25  x2  x  3  3  0  x  3 ,x  3 . 6 2  3 2 2 2 3 2 3 1 1 1 1 Vậy, Bmin  4  2 3 , đạt được khi x  3 , y 3 2 2 2 3 2 3 1 1 1 1 hoặc x  3 , y 3 . 0.25 2 2 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NINH BÌNH NĂM HỌC: 2013-2014 –––––––––– Môn: TIẾNG ANH ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 07 trang) Chú ý: - Thí sinh làm bài vào đề thi này. - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì, kể cả từ điển. SECTION 1. LISTENING: I. Part 1: Listen and fill in the blank with ONE word. (20 points) Time stands still in London Time stood still in London on May 27. Big Ben, the 147-year-old clock that is famous around the world, ___1___ stopped for ___2___ minutes. The clock’s minute hand froze at 10.20 PM and then started moving again at 11.50 PM. ___3___ are baffled and cannot explain why the clock stopped. It is usually very reliable and rarely loses even one second. Big Ben is well known for both its ___4___ and its hourly chimes. It miraculously ___5___ the bombing attacks on London during World War II. It even managed to keep time to within one and a half seconds of GMT (Greenwich Mean Time). However, it hasn’t always been so ___6___: snow caused the clock to ring in the New Year ten minutes late in ___7___. Many people ___8___ believe Big Ben is either the name of the clock itself or of the clock tower. In fact, it is neither. Big Ben is the name of the 13-ton bell that ___9___ on every hour. It was ___10___ after Sir Benjamin Hall, who ordered the clock’s construction. The official name for the tower that houses Big Ben is St. Stephen’s Tower. Write your answers here: 1 ………….. 2........................... 3........................... 4........................... 5.......................... 6 ………….. 7........................... 8........................... 9........................... 10........................ II. Part 2: Listen to a biologist, Paul Hart who tells about his trip across Africa. For each question, choose the correct answer A, B, or C (10 points) 1. Why did Paul choose the part of Africa where he visited? A. It is good for walking B. It will soon change C. He had been there before 2. How many scientists were there in Paul’s team? A. 6 B. 7 C. 11 3. What made the team’s journey slow?
A. clearing paths through the forest B. finding somewhere safe to camp C. carrying heavy equipment 4. Whom was Paul angry towards to the end of the trip? A. the local guide B. some of the team C. fisherman 5. Where was Paul asked to go on another trip? A. Australia B. London C. Africa Write your answers here: 1 …………….. 2.......................... 3........................... 4........................... 5.......................... SECTION 2. PHONETICS: III. Choose the word whose underlined part is pronounced differently from the rest in each group. (10pts) 1. A. parachute B. mechanic C. Christmas D. scheme 2. A. southern B. northern C. mouths D. months 3. A. shadow B. vanish C. Danish D. Spanish 4. A. have B. many C. shadow D. thank 5. A. exhibition B. exhaust C. exhibit D. exist Write your answers here: 1 …………….. 2.......................... 3........................... 4........................... 5.......................... IV. Choose the word that has the stress pattern different from that of the other words. (10pts) 1. A. advertise B. advertisement C. teenager D. surrounding 2. A. economic B. introduce C. religion D. souvenir 3. A. earthquake B. literature C. disappear D. generous 4. A. preference B. disappointed C. unpolluted D. documentary 5. A. recommend B. spectator C. individual D. unexpected Write your answers here: 1. …………… 2. ………………. 3. …………….. 4. ……………… 5. ……………… SECTION 3. LEXICO- GRAMMAR: V. Choose the best answer to complete the following sentences. (30 pts) 1. I can't make ________ what is happening. A. away B. over C. out D. on 2. A ________ is being offered for information leading to the arrest of the bank robber. A. prize B. reward C. notice D. repayment 3. This dish ________. Is it spicy? A. smells well B. is smelling good C. is smelled well D. smells good 4. Who was the first American person ________ on the moon? A. walking B. who walked C. walked D. to walk
5. She is one of the few people ________. A. to whom I look up B. I look up C. who look up to D. to who I look up 6. I live in Dalat, ________ is one of the most beautiful cities of Vietnam. A. in which B. that C. which D. where 7. Neither the students nor the teacher ________ come. A. has B have C. is D. are 8. On the way to the town, they stop ________a rest. A. taking B. to take C. to have D. having 9. It costs about fifty dollars to have a tooth ________. A. filling B. to fill C. filled D. being filled 10. The roof was damaged and water ________ from the ceiling in wet weather. A. spilled B. dripped C. drained D. dropped 11. ________little we may like it, old age comes to most of us. A. In spite of B. So C. As D. However 12. The newspaper did not mention the ________ of the damage caused by the fire. A. range B. amount C quantity D. extent 13. The judge ________ him fifty dollars for parking his car illegally. A. charged B. fined C. punished D. prohibited 14. You can take a taxi ________ you don't mind waiting. A. except B. unless C. provided D. apart 15. They live in a large ________ house on the edge of London. A. detached B. single C. separated D. divided Write your answers here: 1 ………….. 2........................... 3........................... 4........................... 5.......................... 6 ………….. 7........................... 8........................... 9........................... 10........................ 11 ………….. 12.......................... 13.......................... 14.......................... 15........................ VI. Identify the mistake in each sentence and correct it. (10pts) 1. So far Linda has been writing 5 novels on the problems teenagers have to cope with in the A B C D new world. 2. Pele, from Brazil, is considered one of the greatest football player of all time. A B C D 3. Is it important that the secretary finishes the typing today? A B C D 4. Preserving natural resources means reserved them for our future. A B C D 5. There has been quite a few objections to the new policy. A B C D Write your answers here:
1 2 3 4 5 Mistake ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. Correction ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. VII. Give the correct forms of the words given in brackets. (10pts) 1. The university has ________ the use of dictionaries during language examinations. (author) 2. It is very difficult to find Mrs. Burton's shop, for it was ________ from all others in the street. (distinguish) 3. He is very generous. Everyone admires his ________. (selfish) 4. ________ skill is the one skill that can grant you the opportunity to get a good job. (lead) 5. ________ are alarmed by the rate at which tropical rainforests are being destroyed. (Conserve) Write your answers here: 1 …………….. 2.......................... 3........................... 4........................... 5.......................... VIII. Give the correct forms of the verbs given in brackets. (10pts) 1. What tune (play) ________ when we came in? 2. She was badly hurt when her car hit another car. If she (wear) ________ her seat belt, she (not hurt) ________ so badly. 3. If you don't hurry, all the tickets (sell) ________ by the time we (get) ________ there. Write your answers here: 1 …………….. 2.......................... 3........................... 4........................... 5.......................... SECTION 4. READING: IX. Choose the best answer to complete the passage.(20 pts) UNICEF means the United Nations Children's Fund. It serves children in (1) ________ all over the world. It helps children of (2) ________ races, nationalities, religions and political systems in more than 140 worldwide countries. The (3) ________ of UNICEF is to help provide a better life for children and their mothers. UNICEF (4) ________ both long-term assistance and emergency. UNICEF was (5) ________ in 1946 to help bring food and medicine to children who suffered during World War two in Europe. It began (6) ________ a temporary agency, but became a permanent part of the United Nations in 1953 (7) ________ the need for its services around the world. UNICEF's primary concern is to help governments of developing countries improve the (8) ________ of life for almost one billion children. UNICEF's main office is in the United Nations, New York City, (9) ________ it also has more than 40 offices and 100 programs worldwide. In 1965, UNICEF won the Nobel Peace Prize (10) ________ its work helping children and building brighter future. 1. A. communities B. organizations C. groups D. society 2. A. every B. all C. some D. few 3. A. view B. purpose C. opinion D. intention
4. A. receives B. gets C. takes D. gives 5. A. found B. produced C. created D. built up 6. A. like B. with C. for D. as 7. A. due to B. in spite of C. since D. for 8. A. cost B. level C. character D. quality 9. A. and B. besides C. but D. moreover 10. A. as B. with C. for D. in Write your answers here: 1 ………….. 2........................... 3........................... 4........................... 5.......................... 6 ………….. 7........................... 8........................... 9........................... 10........................ X. Read the following passage and then choose the correct answer A, B, C or D. (10 pts) One of the most important discoveries of the nineteenth century was a method of using natural gas for cooking and heating. Large amounts of natural gas are found in the United States, usually several feet below the surface of the earth. Natural gas is most often found in places where petroleum, the oil from which gasoline is made, is found. Often the natural gas must be removed before the oil itself can be reached. For many years after natural gas was first discovered, it was thought to have no value. Finally, however, people began to understand its use and to find ways of storing it and moving it from place to place. Today natural gas is stored in large tanks and used for lighting, cooking and heating. It has also been used for electric generators and hybrid cars recently. In many ways natural gas is one of our finest fuels. It can be used for cooking without making the room hot. It is cheap and can be moved easily from one place to another through long pipelines, some of which are hundreds of miles in length. 1. It can be inferred from the passage that ________. A. natural gas is useless B. people once wasted natural gas C. natural gas is moved in trucks D. natural gas is found where there is no petroleum 2. This passage as a whole is about ________. A. discovering natural gas B. finding petroleum C. using natural gas and petroleum D. natural gas and its use 3. Which of the following is NOT true about natural gas? A. It is not used for heating. B. It moves through pipes. C. It is cheap. D. It can be stored. 4. According to the passage, the easiest way to move natural gas from one place to another is ________. A. to liquidize it and move it through pipelines. B. to liquidize it and move it by trucks. C. through pipelines. D. to store it in large tanks to move. 5. How many uses of natural gas are mentioned? A. two B. three C. four D. five
Write your answers here: 1 …………….. 2.......................... 3........................... 4........................... 5.......................... XI. Read the text below and think of the word which best fits each space. Use only ONE word in each space. (20 pts) Speech is one of the most important (1) ________ of communicating. It consists of far more than just making noises. To talk and also to be (2) ________ by other people, we have to speak a language, that is, we have to use combinations of (3) ________ that everyone agrees stand for particular object or idea. Communication would be impossible if everyone made up their own language. (4) ________ a language properly is very important. The basic (5) ________ of English is not very large, and only about 2000 words are needed to (6) ________ it quite well. But the more words you know, the more ideas you can (7) ________ and the more precise you can be about their exact meaning. Words are the (8) ________ thing we use in communicating what we want to say. The (9) ________ we say the words is also important. Our tone of voice can express many motions and (10) ________ whether we are pleased or angry, for instance. Write your answers here: 1 ………….. 2........................... 3........................... 4........................... 5.......................... 6 ………….. 7........................... 8........................... 9........................... 10........................ SECTION 5. WRITING: XII. Complete each of the following sentences in such a way that it means exactly the same as the sentence printed before it. (20 pts) 1. You must submit articles for the magazine by June 18th . The final date .............................................................................................................................. 2. When are the council going to do something about the city's traffic problem? It's high time something ........ ........................... ................................. ..................................... . 3. They estimated the price, including all the costs. Taking ....................................................................... ................................................................. 4. Nothing was done about it. Nobody ...................................... ........................... ..................................................................... 5. It is not a habit of mine to sleep in the afternoon. I am ........................................................................................ ..................................................... 6. I didn't see her again for ten years.
Five years .............................................. ................................. .................................................... 7. Driving on the left feels strange to me. I am not used ........................................................................ ....................................................... 8. I can't understand him because he speaks so quickly. If he didn't .............. ............................... ..................................................................................... 9. Please don't make me annoyed by such silly questions. I'd rather ................................................. ..................................................................................... 10. People think that the prisoner was recaptured while drinking in the pub. The prisoner .............. ............................ ...................................................................................... XIII. Complete the sentence using the words given. Make all the changes and additions if neccessary. (20 pts) 1. We / be / close friends/ because / we / have / many things/ common. .............................................................. ...................................................................................... 2. Passover/ celebrate/ every country/ world/? ..................................................................................................................................................... 3. We/ decide/ go/ short walk/ before/ sit down/ lunch. ..................................................................... ................................................................................ 4. After/ walk/ three hours/ we/ stop/ let/ others/ catch/ up/ us. ......................................................................... ............................................................................ 5. There/ be/ more/ and/ challenges/ school children today/ early age. ......................................................................... ............................................................................ 6. Take/ tests / another challenge/ school children. ......................................................................... ............................................................................. 7. It/ wrong/ you/ not/ give/ her/ chance/ talk. ........................................................................ .............................................................................. 8. He/ suggest/ use/ gas/ instead/ burn/ coal/ for/ cook. ........................................................................ .............................................................................. 9. Jack London/ bear/ January 13th/ 1876/ San Francisco/ California. .............................................................................. ........................................................................ 10. Solar panels/ install / roof/ house/ energy/ sun. ............................................................................. ........................................................................ ____The end____ m 20 là 200 : 10 = 20
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 QUẢNG NGÃI Ngày thi : 22/3/2014 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1:(4 điểm) a) Cho a;b là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn 2a2+a = 3b2+b. ab Chứng minh là phân số tối giản. 2a+2b+1 b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: 15x2 − 7y2 = 9 Bài 2: (4 điểm) 3 3 a) Cho   x  ; x≠0 và 3  2x  3  2x  a . 2 2 6  2 9  4x 2 Tính giá trị biểu thức P  theo a. x 1 1 1 b) Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn    2. 1 a 1 b 1 c Tìm giá trị lớn nhất của Q=abc Bài 3: (4 điểm) x2 a) Giải phương trình:  x  1 x  2   4  x  1  12 . x 1  1   1  b) Giải hệ phương trình: 2 x 1    3 và 2 y  1   1.  xy  xy Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn AB đó, sao cho E thuộc cung AF và EF=  R . Gọi H là giao điểm của AF và BE; C là giao điểm của AE 2 và BF; I là giao điểm của CH và AB.  a) Tính số đo CIF b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bài 5: (2 điểm) Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung. --------------Hết------------- NGUYỄN VĂN HÂN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÁT – TỊNH HÒA – SƠN TỊNH – QUẢNG NGÃI.
BÀI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014 Môn : TOÁN Ngày thi : 22/3/2014 Câu 1: 1) 2a2+a = 3b2+b ⇔ 2a2+a −2b2−b = b2 ⇔ (a−b)(2a+2b+1) = b2 Gọi (a−b,2a+2b+1) = d Ta có: a – b ⋮ d, 2a+2b+1⋮d⇒ (a−b) (2a+2b+1) ⋮ d2 ⇒ b2 ⋮ d2 ⇒ b⋮d Mà a – b ⋮ d ⇒ a⋮d a⋮d; b⋮d mà 2a+2b+1⋮ d nên 1⋮d ⇒ d=1 Vậy phân số đã cho tối giản. 2) Giả sử cặp số nguyên dương (x; y) là nghiệm của phương trình: 15x2 − 7y2 = 9 (1) =>15x2 − 9 =7y2=>7y2  3 => y2  3 => y  3 Đặt y = 3z và thay vào (1) ta có 15x2 − 63z2 = 9 =>5x2 − 21z2 = 3(2) => x  3 Đặt x = 3t và thay vào (2) ta có 45t2 − 21z2 = 3=>15x2 − 7z2 = 1(3) Nếu z 0(mod3) => VP 0(mod3). VT 1(mod3). Vô lí Nếu z 1(mod3) => z2 1(mod3) => − 7z2 2(mod3) . VP 2(mod3). VT 1(mod3). Vô lí Nếu z 2(mod3) => z2 1(mod3) =>− 7z2 2(mod3) VP 2(mod3). VT 1(mod3). Vô lí Vậy không tìm được cặp số nguyên dương (x; y) nào là nghiệm của phương trình đã cho. Câu 2: 3 3 6  2 9  4x 2 a) Cho   x  ; x≠0 và 3  2x  3  2x  a .Tính giá trị biểu thức P  theo a. 2 2 x 2 P 3  2x+2  3  2x  3  2x   3  2x   3  2x  3  2x   3  2x  3  2x x x x 4x 4   . x  3  2x  3  2x  a 1 1 1 b) Cho ba số dương a , b , c và thỏa mãn điều kiện :    2 .Tìm giá trị lớn 1 a 1 b 1 c nhất của Q = a.b.c 1 1 1 b c bc Giải :Ta có :  1 1   2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c (1  b)(1  c) 1 ca 1 ab Tương tự : 2 , 2 1 b (1  c )(1  a) 1  c (1  a )(1  b) 1 1 1 abc Nhân các bất đẳng thức vừa nhận được ta có : . . 8 1 a 1 b 1 c (1  a)(1  b)(1  c ) 1 1 1 Hay : abc  . Dấu = xãy ra khi a = b = c = . Vậy maxQ = 8 2 8 Bài 3: (4 điểm) NGUYỄN VĂN HÂN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÁT – TỊNH HÒA – SƠN TỊNH – QUẢNG NGÃI.
x2 a) Giải phương trình  x  1 x  2   4  x  1  12 . ĐK : x≤ - 2 ; x > 1. x 1   x  1 x  2   4  x  2  x  1  12  0 . Đặt t   x  2x 1 ta có phương trình t2 + 4t – 12 = 0 => t =2 hoặc t = - 6 (loại) (x+2)(x-1) = 2 => x2 + x – 6 = 0 => x = 2(nhận) hoặc x = - 3 (nhận)   1   2 x 1  3   xy b)Giải hệ phương trình:  .  2 y 1  1   1      xy   1   1 3  3 1 2 x  1  xy 3 1  xy 2 x 2  2 x  2 y (Công vê)          2 y  1  1   1 1  1  1  2  3  1 ( tru vê)     xy 2 y x  y 2 x 2 y   xy   4 9 1    ( Nhân vê) =>x 2  8xy-9y 2  0   x  y  x  9y   0 x  y 4x 4y  x  y; x  9y(loai) 3 2 1  2     2  x  1. 2 x 2 x x Vậy nghiệm của hệ là x = y = 1. Bài 4: (6 điểm)  a) Tính số đo CIF   1  Tứ giác BFHI nội tiếp => HIF  HBF  sd EF  300 (tam giác OEF đều) 2 b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. Ta có AE.AC = AC(AC –CE) = AC2 – AC.AE C BF.BC = BC(BC –CF) = BC2 – BC.CF AE.AC+BF.BC = AC2 + BC2 – AC.AE – BC .CF F MÀ AC.AE = BC.CF =CO2 – R2 2AC 2  2BC2  AB2 AB2 CO 2  => AC2 + BC2 =2CO2 + E 4 4 2 AB H Suy ra : AE.AC+BF.BC = 2CO2 + – CO2 + R2 – CO2 + R2 = 3R2 4 A AE.AC+BF.BC= 3R2 Cố định. I O B C c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. E P Ta có SABEF = SAOF + SFOE + SEOB F R2 3 SFOE = (Vì tam giác FOE là tam giác đều cạnh R) 4 NGUYỄN VĂN HÂN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÁT – TỊNH HÒA – SƠN TỊNH – QUẢNG NGÃI. A M Q O N B
1 1 FM  EN SAOF + SEOB = OA.FM+ OB.EN = R. = R.PQ (PQ là đường trung bình của hình thang 2 2 2 EFMN) R2 3 R 3 SABEF = + R.PQ mà PQ ≤ OP = . 4 2 R 2 3 R 2 3 3R 2 3 Do đó SABEF = + = khi Q trùng với O hay EF // AB. 4 2 4 Bài 5: (2 điểm) Gọi cạnh hình vuông ABCD nhỏ nhất chứa bên trong 5 đường tròn có bán kính bằng 1cm và đôi một không có quá 1 điểm trong chung là x (cm). Từ đây suy ra các tâm của 5 đường tròn này nằm trong hình vuông MNPQ có cạnh bằng x – 2 cm. (vì tâm của các đường tròn các đường tròn cách cạnh hình vuông ít nhất 1cm). x 2 Chia hình vuông MNPQ thành 4 hình vuông nhỏ có độ dài mỗi cạnh là (cm) . (hình vẽ) 2 Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai tâm đường tròn cùng thuộc một hình vuông. Giả sử hai tâm đó là O1.O2. A Vì hai đường tròn này có không quá 1 điểm chung nên O1O2 B không nhỏ hơn hai lần bán kính và không lớn hơn độ dài đường chéo M N O3 x 2 O1 của hình vuông cạnh (cm) . 2 1cm O2 (x  2) 2 1cm Hay 2 ≤ O1.O2 ≤ 2 (x  2) 2 O4 O5 =>  2  x 2  2 2  x  2 2 2 Q P 2 D Vậy cạnh hình vuông nhỏ nhất chứa 5 đường tròn có bán kính Xcm C bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung là 22 2 NGUYỄN VĂN HÂN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÁT – TỊNH HÒA – SƠN TỊNH – QUẢNG NGÃI.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO TỈNH THANH HOÁ Năm học 2013 - 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian Số báo danh giao đề) Ngày thi: 21/03/2014 ........................ (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)  xy  x   xy  x x 1  . Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức A   x  1   xy  1 1  xy  1 :  1         xy  1 xy  1   1. Rút gọn biểu thức A. 2. Cho 1  1  6 . Tìm giá trị lớn nhất của A. x y Câu II (5,0 điểm). 1.Cho phương trình x 2  2m  2 x  m 2  2m  4  0 . Tìm m để phương trình 2 1 1 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 2   . x  x2 x1 x2 15m 1 x  y  z  1 2. Giải hệ phương trình  4 4 4 .  x  y  z  xyz Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). 2. Tìm x, y, z  N thỏa mãn x2 3  y  z . Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân. 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng. 3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B  3 1 3  1 . x y xy ----- HẾT ----- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO TỈNH THANH HOÁ Năm học 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21/03/2014 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Điể Câu Ý Lời giải (vắn tắt) m I 1 Điều kiện: xy  1 . 0,25 (4,0đ (2,5đ  x  1 1  xy    xy  x  xy  1   xy  11  xy  ) ) A :  xy  11  xy   xy  11  xy    xy  x  xy  1   x  1 1  xy    xy  11  xy  0,50  x  1 1  xy    xy  x  xy  1   xy  11  xy     xy  11  xy    xy  x  xy  1   x  1 1  xy  0,50  1 x  1 . x y  xy xy 1,25 2 Theo Côsi, ta có: 6  1  1  2 1  1  9 . (1,5đ x y xy xy 0,50 ) 1 Dấu bằng xảy ra  1  1  x = y = . x y 9 0,50 1 Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = . 9 0,50 II 1 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện: (5,0đ (2,5đ ' 0  m  2   m 2  2m  4   0  m  0 (*) 2 ) ) 0,50  x  x  4  2m Với m  0 theo Vi-et ta có:  1 2 2 .  x1.x2  m  2m  4 0,25 2 1 1 2 1 1 Ta có 2 2      (1) x1  x2 x1 x2 15m x1  x2   2 x1 x2 x1 x2 15m 2 0,50 1 1 1  2  2  m  6m  4 m  2 m  4 15m 0,50 1 1 1 4    . Đặt m   t do m  0  t  0 4 4 m   6 m   2 15 m 0,50 m m 1 1 1 t  4 Ta cos (1) trở thành     t  4 ( do t  0 ) t  6 t  2 15 t  12 0,50
4 Với t  4 ta có m   4  m  2 thỏa mãn (*) m 0,25 2 Ta có: (2,5đ ) x4  y 4 y 4  z 4 z 4  x4 0,50 x4  y4  z 4     x 2 y 2  y 2 z 2  z2 x2 = 2 2 2 x2 y 2  y 2 z 2 y 2 z 2  z 2 x2 z 2 x2  x2 y 2 =    xyyz  yzzx  zxxy = 0,50 2 2 2 = xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1). 0,50 x  y  z 1 Dấu bằng xảy ra   x yz x  y  z  1 3 1 1 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x  ; y  ; z     0,50  3 3 3 III 1 Giả sử (a + b 2)  (a2b – 1), tức là: a + b2 = k(a2b – 1), với k  * (4,0đ (2,0đ ) )   a + k = b(ka2 – b)  a + k = mb (1) Ở đó m   mà: m = ka2 – b  m + b = ka2 (2) 0,50 Từ (1) và (2) suy ra: (m – 1)(b – 1) = mb – b – m + 1   (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3) Do m > 0 (điều này suy ra từ (1) do a, k, b > 0) nên m  1 (vì m  ). Do b > 0 nên b – 1  0 (do b  )  (m – 1)(b – 1)  0. Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka)  0. 0,50 Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka  0  k + 1  ka  1  k(a – 1) (4) Vì a – 1  0 (do a  , a > 0) và k  , k > 0 nên từ (4) có: a  1  k(a  1)  0   k(a  1)  1   a  2   k  1  0,25