Bài 4: biến đổi tổng thành tích

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

210
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

sin a − sin b = 2 cos a + b sin a − b 2 2 cos a − cos b = −2sin a + b sin a − b 2 2sin a + sin b = 2 sin a + b cos a − b ; 2 2 cos a + cos b = 2 cos a + b cos a − b ; 2 2 Bài 1. giải phương trình: sin x + sin 2 x + sin 3 x = 1 + cos x + cos 2 x (1)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài 4: biến đổi tổng thành tích

Bài 10. Bi n i t ng, hi u thành tích, tich thành t ng BÀI 4. BI N I T NG, HI U THÀNH TÍCH I. S d ng công th c bi n i t ng, hi u thành tích sin a + sin b = 2 sin a + b cos a − b ; sin a − sin b = 2 cos a + b sin a − b 2 2 2 2 cos a + cos b = 2 cos a + b cos a − b ; cos a − cos b = −2sin a + b sin a − b 2 2 2 2 Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: sin x + sin 2 x + sin 3 x = 1 + cos x + cos 2 x (1) Gi i (1) ⇔ ( sin 2 x + sin x ) + sin 2 x = (1 + cos 2 x ) + cos x ⇔ 2 sin 2 x cos x + sin 2 x = 2 cos 2 x + cos x ⇔ sin 2 x ( 2 cos x + 1) = cos x ( 2 cos x + 1) 2 { ⇔ cos x ( 2 cos x + 1) ( 2 sin x − 1) = 0 ⇔ x ∈ π + k π ; ± 2π + 2k π ; π + 2k π ; 5π + 2k π 3 6 6 } Bài 2. Gi i phương trình: 1 + cos x + cos 2 x + cos 3x = 0 (1) Gi i (1) ⇔ ( cos 2 x + cos x ) + (1 + cos 3 x ) = 0 ⇔ 2 cos 3x cos x + 2 cos 2 3 x = 0 2 2 2 ( 2 2 ) 2 2 2 3 { ⇔ 2 cos 3x cos 3 x + cos x = 0 ⇔ 4 cos 3 x cos x.cos x = 0 ⇔ x ∈ π + k π ; π + 2k π 2 3 } Bài 3. Gi i phương trình: cos10 x − cos 8 x − cos 6 x + 1 = 0 (1) Gi i (1) ⇔ ( cos10 x − cos 6 x ) + (1 − cos 8 x ) = 0 ⇔ −2 sin 8 x sin 2 x + 2 sin 2 4 x = −4 sin 4 x cos 4 x sin 2 x + 4 sin 4 x sin 2 x cos 2 x = 0 ⇔ −4 sin 4 x sin 2 x ( cos 4 x − cos 2 x ) = 0 ⇔ 8 sin 4 x sin 2 x sin 3 x sin x = 0 { ⇔ sin 3x = 0 ∨ sin 4 x = 0 ⇔ x ∈ k π ; k π 3 4 } Bài 4. Gi i phương trình: 9 sin x + 6 cos x − 3sin 2 x + cos 2 x = 8 (1) Gi i (1) ⇔ 9 sin x + 6 cos x − 6 sin x cos x + 1 − 2 sin 2 x = 8 ⇔ 9sin x + 6cos x (1 − sin x) − 2sin 2 x − 7 = 0 ⇔ 6cos x (1 − sin x) + (1 − sin x)( 2sin x − 7) = 0 ⇔ (1 − sin x ) ( 6 cos x + 2 sin x − 7 ) = 0 257
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương a) Xét 1 − sin x = 0 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = π + 2k π 2 b) Xét: 6 cos x + 2 sin x − 7 = 0 ( 2 ) ⇔ 2 sin x + 6 cos x = 7 Do a 2 + b 2 = 2 2 + 6 2 = 40 < 49 = 7 2 = c 2 ⇒ ( 2 ) vô nghi m V y nghi m c a (1) là x = π + 2k π ( k ∈ » ) 2 Bài 5. Gi i phương trình: 1 + sin x + cos 3 x = cos x + sin 2 x + cos 2 x (1) Gi i (1) ⇔ (1 − cos 2 x ) + ( cos 3x − cos x ) + sin x − sin 2 x = 0 ⇔ 2sin 2 x − 2sin 2x sin x + sin x − 2sin x cos x = 0 ⇔ sin x ( 2sin x − 2sin 2x + 1 − 2cos x) = 0 ⇔ sin x [ 2 sin x (1 − 2 cos x ) + (1 − 2 cos x )] = 0 ⇔ sin x (1 − 2 cos x ) ( 2 sin x + 1) = 0 2 3 6{ ⇔ sin x = 0 ∨ cos x = 1 ∨ sin x = − 1 ⇔ x ∈ k π; ± π + 2k π ; − π + 2k π ; 7 π + 2k π 2 6 } ( ) Bài 6. Gi i phương trình: sin π − 4 x + sin 3 x + sin x = 1 (1) 6 2 Gi i ( ) ( ) (1) ⇔ ( sin 3x + sin x ) + sin π − 4 x − sin π = 0 ⇔ 2 sin 2 x cos x − 2 cos π − 2x sin 2x = 0 6 6 6  ( 6  ) 18 3 6{ ⇔ 2 sin 2 x cos x − cos π − 2 x  = 0 ⇔ x ∈ π + 2k π ; π + 2k π  } ( ) Bài 7. Gi i phương trình: cos π − 2 x + 2 cos x = − 1 (1) 3 2 Gi i ( ) (1) ⇔ cos π − 2 x + cos x + cos x + cos π = 0 3 3 ( ) ( ) ( ) { ⇔ 2 cos π − x cos π − 3 x + cos π + x  = 0 ⇔ x ∈ − 2π + 2k π ; π + k π 6 2   6 2 6 2   3 2 } Bài 8. Gi i phương trình: 2 sin x + cos 3x + sin 2 x = 1 + sin 4 x (1) Gi i (1) ⇔ 2 sin x + cos 3x = 1 + sin 4 x − sin 2 x ⇔ 2 sin x + cos 3 x = 1 + 2 cos 3 x sin x 2 6 { ⇔ ( 2sin x − 1) ( cos 3x − 1) = 0 ⇔ sin x = 1 ∨ cos 3x = 1 ⇔ x ∈ π + 2k π ; 5π + 2k π ; 2k π 6 3 } Bài 9. Gi i phương trình: 1 + sin x + cos x = 2 + tan x (1) cos x Gi i (1) ⇔ ( sin x + cos x − 1) ( ) 1 − 1 = 0 ⇔ x = 2k π cos x 258
Bài 10. Bi n i t ng, hi u thành tích, tich thành t ng II. S D NG CÔNG TH C BI N I TÍCH THÀNH T NG 1. Công th c s d ng sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ; cos a.cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b ) sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ; cos a sin b = sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: ( sin x + 3 cos x ) sin 3 x = 2 (1) Gi i (1) ⇔ sin x sin 3 x + 3 cos x sin 3 x = 2 ⇔ 1 ( cos 2 x − cos 4 x ) + 3 ( sin 4 x + sin 2 x ) = 2 2 2  3   3  ⇔  1 cos 2 x + sin 2 x  −  1 cos 4 x − sin 4 x  = 2 2 2  2 2  ( 3 ) 3( ) 3 ( 3 ) ( ⇔ cos 2 x − π − cos 4 x + π = 3 ⇔ cos 2 x − π = − cos 4 x + π = 1 ⇔ x = π + k π 6 ) ( ) ( Bài 2. Gi i phương trình: 4 cos x.sin π + x sin π − x = cos 2 x (1) 6 6 ) Gi i   6( ) ( 6   ) 3 ( (1) ⇔ 2 cos x  2 sin π + x sin π − x  = cos 2 x ⇔ 2 cos x cos 2 x − cos π = cos 2 x ) ⇔ 2 cos x.cos 2 x − 2 1 ⋅ cos x = cos 2 x ⇔ cos 3x + cos x − cos x = cos 2 x 2 ⇔ cos 3 x = cos 2 x ⇔ x = 2k π ( k ∈ » ) 5 3 Bài 3. Gi i phương trình: 8 sin x = + 1 (1) cos x sin x Gi i i u ki n: sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π ( 2 ) 2 V i i u ki n (2) thì (1) 8 sin x ( sin x cos x ) = 3 sin x + cos x ⇔ sin x sin 2 x = 3 sin x + cos x ⇔ 2 ( cos x − cos 3 x ) = 3 sin x + cos x 3 ⇔ cos x − 3 sin x = 2 cos 3 x ⇔ 1 cos x − sin x = cos 3 x 2 2 ( ) { ⇔ cos π cos x − sin π sin x = cos 3x ⇔ cos x + π = cos 3x ⇔ x ∈ − π + nπ ; π + nπ 3 3 3 12 2 6 } 259
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 4. Gi i phương trình: cos 3 x. tg 5 x = sin 7 x (1) Gi i i u ki n: cos 5 x ≠ 0 ⇔ 5 x ≠ π + k π ⇔ x ≠ π + k π ( 2) 2 10 5 V i i u ki n (2) thì (1) ⇔ cos 3 x ⋅ sin 5 x = sin 7 x cos 5 x ⇔ 2 sin 5 x cos 3x = 2 sin 7 x cos 5 x ⇔ sin 8 x + sin 2 x = sin12 x + sin 2 x 12 x = 8 x + 2k π ⇔ sin 8 x = sin12 x ⇔  12 = π − 8 x + 2k π { ⇔ x ∈ nπ ; π + nπ 2 20 10 } Th các nghi m v a tìm vào i u ki n (2): x ≠ π + k π 10 5 V i x = nπ , xét phương trình nπ = π + k π ⇔ 5n = 1 + 2k 2 2 10 5 n = 2m + 1 5n − 2k = 1 ⇔ 5n − 2k = 5 × 1 − 2 × 2 ⇔ 5 ( n − 1) = 2 ( k − 2 ) ⇔  (m ∈ »)  k = 5m + 2 T ó suy ra th a mãn (2) thì x = mπ ( m ∈ » ) V i x = π + nπ , xét phương trình π + k π = π + nπ 20 10 10 5 10 20 ⇔ 4k + 2 = 1 + 2n ⇔ 2 ( n − 2k ) = 1 vô nghi m n, k ∈ » Suy ra nghi m x = π + nπ th a mãn i u ki n (2) 20 10 ( ) ( ) ( ) ( Bài 5. GPT: sin x sin π + x sin π − x + 4 3 cos x cos x + 2π cos x + 4π = 2 (1) 3 3 3 3 ) Gi i (1) ⇔ 2 sin x cos 2 x − cos 2π  − 2 3 cos x cos ( 2 x + π ) + cos π  = 2   3     3 ( ⇔ 2 sin x cos 2 x + sin x − 2 3 cos − cos 2 x + 1 = 2 2 ) ⇔ ( sin 3x − sin x ) + sin x + 3 ( sin 3 x + cos x ) − 3 cos x = 2 3 ⇔ sin 3x + 3 cos 3 x = 2 ⇔ 1 sin 3 x + cos 3 x = 1 2 2 6 6 ( ⇔ cos π cos 3 x + sin π sin 3 x = 1 ⇔ cos 3 x − π = 1 6 ) ⇔ 3 x − π = 2k π ⇔ 3 x = π + 2 k π ⇔ x = π + 2k π 6 6 18 3 260
Bài 10. Bi n i t ng, hi u thành tích, tich thành t ng Bài 6. Gi i phương trình: 2 sin 3 x (1 − 4 sin 2 x ) = 1 (1) Gi i N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì sin x = ±1 khi ó VT (1) = 2 ( 3sin x − 4 sin 3 x )(1 − 4 sin 2 x ) = ±6 ⇒ Vô lý Nhân 2 v c a (1) v i cos x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 2 sin 3 x (1 − 4 sin 2 x ) cos x = cos x ⇔ 2 sin 3 x 1 − 4 (1 − cos 2 x )  cos x = cos x   ⇔ 2sin 3x ( 4cos 3 x − 3cos x ) = cos x ⇔ 2sin 3x.cos3x = cos x ⇔ sin 6x = cos x = sin π − x 2 ( )  6 x = π − x + 2k π  x = π + 2k π  2  14 7 ( k ∈ ») ⇔ ⇔ π + x + 2k π π + kπ 6 x = x =  2  10 5 Bài 7. Gi i phương trình: cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = cos x.cos 2 x.cos 3 x + 2 (1) Gi i (1) ⇔ cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = 1 ( cos 3 x + cos x ) cos 3 x + 2 2 ⇔ cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = 1 cos 2 3x + 1 cos x cos 3 x + 2 2 2 ⇔ cos 3 x + cos 4 x + cos 6 x = 1 (1 + cos 6 x ) + 1 ( cos 4 x + cos 2 x ) + 2 4 4 ⇔ 3 ( cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x ) = 9 ⇔ cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = 3 4 4 ⇔ cos 2 x = cos 4 x = cos 6 x = 1 ⇔ cos 2 x = 1 ⇔ x = k π Bài 8. Gi i phương trình: cos x.cos x .cos 3 x − sin x sin x sin 3 x = 1 (1) 2 2 2 2 2 Gi i (1) ⇔ 1 cos x ( cos 2 x + cos x ) − 1 sin x ( cos x − cos 2 x ) = 1 2 2 2 ⇔ cos x ( cos 2 x + cos x ) − sin x ( cos x − cos 2 x ) = 1 ⇔ cos 2 x ( cos x + sin x ) + (1 − sin 2 x ) − sin x cos x = 1 ⇔ cos 2 x ( cos x + sin x ) − sin x ( sin x + cos x ) = 0 ⇔ ( cos x + sin x ) ( cos 2 x − sin x ) = 0 ⇔ ( cos x + sin x ) (1 − 2 sin 2 x − sin x ) = 0 2 4 { ⇔ tan x = −1 ∨ sin x = −1 ∨ sin x = −1 ⇔ x ∈ −π + k π ; −π + k π ; ( −1) π + ( k + 1) π 2 k 6 } 261
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 9. Gi i phương trình: sin 5 x = 5 cos 3 x.sin x (1) 2 2 Gi i N u cos x = 0 là nghi m thì sin x = ±1 và cos x = −1 nên t (1)⇒ sin 5 x = ±1 : Vô lý. 2 2 2 ( Nhân 2 v c a (1) v i 2 cos x ≠ 0 ta có: 2 ) 2 2 ( 2 2 ) (1) ⇔ 2 sin 5 x cos x = 5 cos 3 x 2 sin x cos x ⇔ sin 3 x + sin 2 x = 5 cos 3 x.sin x ⇔ ( 3sin x − 4 sin 3 x ) + 2 sin x cos x = 5 cos 3 x sin x ⇔ 0 = sin x [5 cos 3 x − 4 cos 2 x − 2 cos x + 1] = sin x ( cos x − 1) ( 5 cos 2 x + cos x − 1) sin x = 0  x Xét:  v i chú ý cos x ≠ 0 nên sin 2 = 0 ta có nghi m x = 2k π cos x = 1 2 cos x = 1  Xét 5 cos 2 x + cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = −1 − 21 = cos α ∨ cos x = −1 + 21 = cos β 10 10 ⇔ x = ±α + 2k π; x = ±β + 2k π ( k ∈ » ) Bài 10. Gi i phương trình: tan x − 3cot x = 4 sin x + 3 cos x  (1)   Gi i (1) ⇔ sin x − 3cos x = 4 ( sin x + 3 cos x ) cos x sin x 2 2  3  ⇔ sin x − 3cos x = 8  1 sin x + cos x  . i u ki n: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π cos x sin x 2 2  3 1 − cos 2 x − 3 (1 + cos 2 x ) = 4 sin 2 x cos π sin x + sin π cos x 2 2 ( 3 3 ) ⇔ −1 − 2 cos 2 x = 4 sin 2 x sin ( x + π ) = 2 cos ( x − π ) − cos ( 3 x + π )  3   3 3  ⇔cos 2π − cos2x = cos ( x − π) − cos ( 3x + π) ⇔cos2x + cos ( x − π) − cos ( 3x + π) + cos 2π = 0 3 3 3 3   3 3 2 cos ( 3x − π ) cos ( x + π ) − cos ( 3x + π )  = 4 cos ( 3x − π ) sin ( x + π ) sin ( x + π ) = 0 2 6   2 6 2 2   2 6 3 2 6 ⇔ sin ( x + π ) = 0 ∨ sin ( x + π ) = 0 ∨ cos ( 3x − π ) = 0 ⇔ x ∈ { −π + k π ; 4π + 2k π} . 2 6 3 2 6 3 9 3 262
Bài 10. Bi n i t ng, hi u thành tích, tich thành t ng 263