Bài giảng "Ánh xạ tuyến tính" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa và tính chất, ma trận của ánh xạ tuyến tính, chuyển cơ sở, trị riêng và vector riêng, chéo hóa ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Ánh xạ tuyến tính - Phan Đức Tuấn
- ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Khoa Toán - ĐHSP - ĐHĐN
Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 1 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1
Cho U , V là 2 không gian vector trên trường K. Ánh xạ
T : U → V được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu:
i. T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ U
ii. T (ku) = kT (u), ∀k ∈ K , ∀u ∈ U .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 2 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chú ý 1.1
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:
T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 3 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chú ý 1.1
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:
T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U .
Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính gọi là
phép biến đổi tuyến tính.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 3 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chú ý 1.1
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:
T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U .
Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính gọi là
phép biến đổi tuyến tính.
Để đơn giản ta viết T(u)=Tu.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 3 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 4 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 4 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 4 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty.
T (kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 4 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.2
Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định bởi Tp(t) = p0 (t), là ánh
xạ tuyến tính.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 5 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.2
Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định bởi Tp(t) = p0 (t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 5 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.2
Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định bởi Tp(t) = p0 (t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T [p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)]0 = p0 (t) + q0 (t) =
Tp(t) + Tq(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 5 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.2
Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định bởi Tp(t) = p0 (t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T [p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)]0 = p0 (t) + q0 (t) =
Tp(t) + Tq(t).
Tkp(t) = [kp(t)]0 = k.p0 (t) = kTp(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 5 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= ((x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= ((x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2 , 2x1 − y1 + 2x2 − y2 )
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= ((x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2 , 2x1 − y1 + 2x2 − y2 )
= (x1 + 3y1 , 2x1 − y1 ) + (x2 + 3y2 , 2x2 − y2 )
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
- Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2 ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= ((x1 + x2 ) + 3(y1 + y2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2 , 2x1 − y1 + 2x2 − y2 )
= (x1 + 3y1 , 2x1 − y1 ) + (x2 + 3y2 , 2x2 − y2 )
= Tu1 + Tu2 .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
