Bài giảng Cơ học lượng tử - ĐH Phạm Văn Đồng

Chia sẻ: Cuahapbia | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:109

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học lượng tử được biên soạn với tinh thần chú trọng đến các ý nghĩa vật lý nhiều hơn các tính toán phức tạp, nhằm cung cấp cho người đọc các kiến thức nền tảng về cơ học của thế giới vi mô cùng với một bức tranh toàn cảnh về sự phát triển của lý thuyết lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học lượng tử - ĐH Phạm Văn Đồng

TRƯỜNG ĐH PHẠM VĂN ĐỒNG ĐỖ MƯỜI BÀI GIẢNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Lưu hành nội bộ Quảng Ngãi, tháng 7/2019 0
Lời nói đầu Cuốn bài giảng cơ học lượng tử này được biên soạn cho sinh viên sư phạm của bộ môn Vật lý, trường Đại học Phạm Văn Đồng. Bài giảng được biên soạn với tinh thần chú trọng đến các ý nghĩa vật lý nhiều hơn các tính toán phức tạp, nhằm cung cấp cho người đọc các kiến thức nền tảng về cơ học của thế giới vi mô cùng với một bức tranh toàn cảnh về sự phát triển của lý thuyết lượng tử. Tài liệu chính khi biên soạn bài giảng này là cuốn sách cơ học lượng tử của các tác giả (GS.TSKH Lê Văn Hoàng [1], David J. Griffiths [2]) Người biên soạn chân thành cảm ơn và ghi nhận những ý kiến quý báu của đồng nghiệp để tài liệu hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ: dmuoi@pdu.edu.vn, phone: 0985949460 Tp. Quảng Ngãi, tháng 07 năm 2019 Người biên soạn Đỗ Mười 1
MỤC LỤC 1. LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ........................................................................................................ 5 1.1. Bức xạ của vật đen và lý thuyết Planck ........................................................................................ 5 1.1.1. Khái niệm về bức xạ vật đen .................................................................................................. 5 1.1.2. Lý thuyết cổ điển giải thích bức xạ vật đen ........................................................................... 6 1.1.3. Lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck .................................................................... 8 1.1.4. Ý nghĩa của lý thuyết Planck................................................................................................ 10 1.2. Hiệu ứng quang điện và lý thuyết Einstein ................................................................................. 11 1.2.1. Hiệu ứng quang điện ............................................................................................................ 11 1.2.2. Lý thuyết cổ điển.................................................................................................................. 12 1.2.3. Lý thuyết Einstein ................................................................................................................ 12 1.2.4. Ý nghĩa của lý thuyết Einstein ............................................................................................. 13 1.3. Quang phổ vạch nguyên tử và lý thuyết Bohr ............................................................................. 13 1.3.1. Quang phổ vạch.................................................................................................................... 13 1.3.2. Sự bất lực của vật lý cổ điển ................................................................................................ 15 1.3.3. Lý thuyết Bohr ..................................................................................................................... 15 1.3.4. Ý nghĩa của lý thuyết Bohr .................................................................................................. 17 1.4. Hiệu ứng Compton ...................................................................................................................... 17 1.4.1. Hạt photon hay sóng điện từ ................................................................................................ 17 1.4.2. Thí nghiệm tán xạ Compton ................................................................................................. 18 1.4.3. Giải thích hiệu ứng Compton ............................................................................................... 19 1.4.4. Ý nghĩa của hiệu ứng Compton............................................................................................ 20 1.5. Kết luận ....................................................................................................................................... 20 2. LƯỠNG TÍNH SÓNG – HẠT ........................................................................................................... 23 2.1. Giả thuyết de Broglie .................................................................................................................. 23 2.1.1. Lịch sử phát triển ý tưởng .................................................................................................... 23 2.1.2. Lưỡng tính sóng – hạt .......................................................................................................... 24 2.1.3 Ý nghĩa lịch sử của giả thuyết de Broglie ............................................................................. 25 2.2. Thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của electron .................................................................. 26 2.2.1. Các mốc lịch sử .................................................................................................................... 26 2.2.2. Thí nghiệm Davisson – Germer ........................................................................................... 26 2.2.3. Kết quả thí nghiệm và giải thích bằng sóng electron ........................................................... 27 2
3. HÀM SÓNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH SHRӦDINGER ...................................................................... 29 3.1. Khái niệm hàm sóng ................................................................................................................... 29 3.2. Phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian ........................................................................... 30 3.2.1. Phương trình Schrӧdinger cho hạt tự do .............................................................................. 30 3.2.2. Phương trình Schrӧdinger cho hạt vi mô bất kỳ................................................................... 32 3.3. Phương trình Schrӧdinger dừng .................................................................................................. 33 3.4. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng .................................................................................................. 34 4. NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI ................................................................................ 36 4.1. Giao thoa electron ....................................................................................................................... 36 4.2. Phát biểu nguyên lý chồng chất trạng thái vi mô ........................................................................ 38 4.3. So sánh nguyên lý chồng chất lượng tử với cổ điển ................................................................... 39 5. CÁC CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU .............................................................................................. 41 5.1. Hạt chuyển động trong hố thế ..................................................................................................... 41 5.1.1. Hố thế vuông góc thành cao vô hạn ..................................................................................... 41 5.1.2. Hạt chuyển động qua rào thế dạng bậc thang....................................................................... 44 5.1.3. Dao động tử điều hòa ........................................................................................................... 48 5.2. Phương pháp đại số giải phương trình Schrӧdinger .................................................................... 54 6. HÀM SÓNG, TOÁN TỬ VÀ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ................................................................................................................................. 58 6.1. Hàm sóng .................................................................................................................................... 58 6.2. Toán tử ........................................................................................................................................ 60 6.2.1. Khái niệm ............................................................................................................................. 60 6.2.2. Các phép tính trên toán tử .................................................................................................... 60 6.2.3. Toán tử Hermite ................................................................................................................... 61 6.2.4. Bài toán hàm riêng trị riêng của toán tử Hermite ................................................................. 61 6.3. Mô tả đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử ............................................................................. 62 6.3.1. Tiên đề về đại lượng vật lý................................................................................................... 62 6.3.2. Tiên đề tương ứng ................................................................................................................ 63 6.4. Sự phụ thuộc của đại lượng vật lý vào thời gian và các đại lượng bảo toàn ............................... 64 6.4.1. Toán tử đạo hàm của đại lượng vật lý theo thời gian ........................................................... 64 6.4.2. Các đại lượng bảo toàn trong cơ học lượng tử ..................................................................... 65 7. ĐO ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ VI MÔ .................................................................................................. 66 3
7.1. Đo đại lượng vật lý...................................................................................................................... 66 7.2. Giá trị trung bình của đại lượng vật lý ........................................................................................ 66 7.3. Hai đại lượng vật lý đồng thời xác định ...................................................................................... 67 7.4. Hệ thức bất định Heisenberg ....................................................................................................... 67 7.5. Ví dụ về ứng dụng hệ thức bất định ............................................................................................ 68 7.5.1. Động năng tối thiểu của hạt trong hố thế ............................................................................. 68 7.5.2. Phát hiện ra khối lượng hạt pion .......................................................................................... 69 8. CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM – NGUYÊN TỬ HYDRO........................... 71 8.1. Moment động lượng quỹ đạo ...................................................................................................... 71 8.1.1. Toán tử moment động lượng quỹ đạo .................................................................................. 71 8.1.2. Tọa độ cầu ............................................................................................................................ 72 8.2. Hàm riêng, trị riêng của toán tử moment động lượng quỹ đạo ................................................... 73 8.3. Chuyển động trong trường xuyên tâm ........................................................................................ 78 8.4. Nguyên tử Hydro......................................................................................................................... 79 8.4.1. Phương trình Schrӧdinger .................................................................................................... 79 8.4.2. Hàm bán kính ....................................................................................................................... 82 8.4.3. Năng lượng gián đoạn .......................................................................................................... 86 8.4.4. Hàm sóng ............................................................................................................................. 87 8.4.5. Mẫu Bohr qua lý thuyết lượng tử ......................................................................................... 89 9. SPIN ................................................................................................................................................... 92 9.1. Spin 1/2 ....................................................................................................................................... 93 9.2. Electron trong từ trường .............................................................................................................. 97 9.3. Phép cộng momen động lượng: ................................................................................................ 102 4
1. LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ Vào nửa cuối thế kỷ XIX, những tiến bộ của kỹ thuật đo đạc cho phép tiến hành nhiều thí nghiệm đối với các hệ vi mô (nguyên tử, phân tử). Từ đó, một loạt các hiệu ứng vật lý mới được phát hiện và không thể giải thích được bằng lý thuyết cổ điển. Điều này đòi hỏi sự ra đời một lý thuyết mới cho cơ học về thế giới vi mô, sau này gọi là Cơ học lượng tử. Tuy nhiên, trước khi ra đời một lý thuyết lượng tử hoàn chỉnh, một số ý tưởng đã được đưa ra để giải thích các hiệu ứng mới. Các ý tưởng này mặc dù mang tính đột phá nhưng vẫn chưa đi được vào bản chất vật lý của thế giới vi mô, tuy đã giải thích trọn vẹn các kết quả thực nghiệm. Chính vì vậy, người ta gọi chúng là lý thuyết tiền lượng tử. Bài này sẽ trình bày các hiệu ứng vật lý đó cùng với các lý thuyết tiền lượng tử để giải thích chúng, bao gồm: Bức xạ vật đen và lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck; Hiệu ứng quang điện và lý thuyết hạt ánh sáng (photon) của Albert Einstein; Quang phổ vạch và mô hình nguyên tử của Niels Bohr với lý thuyết lượng tử quỹ đạo. Ngoài ra, trong bài này cũng trình bày hiệu ứng tán xạ Compton, được phát hiện năm 1923 như một sự tái khẳng định lý thuyết photon. Một kết quả thực nghiệm quan trọng khác là nhiệt dung riêng của chất rắn ở nhiệt độ thấp cũng cần lý thuyết lượng tử để giải thích. 1.1. Bức xạ của vật đen và lý thuyết Planck 1.1.1. Khái niệm về bức xạ vật đen Do dao động nhiệt của các hạt mang điện cấu tạo nên vật chất, các vật thể có khuynh hướng hấp thụ và bức xạ sóng điện từ. Sự phụ thuộc của cường độ bức xạ vào bước sóng (tần số) tạo nên phổ bức xạ. Phổ bức xạ nhiệt của vật thể có dạng liên tục với cấu trúc phổ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật. Một vật thể có thể vừa bức xạ vừa hấp thụ, đồng thời phản xạ các bức xạ tới trên bề mặt. Các vật thể hấp thụ hoàn toàn bức xạ tới được gọi là vật đen và đôi khi còn được gọi là vật đen tuyệt đối để nhấn mạnh sự hấp thụ hoàn toàn. Vật đen là vật hấp thụ hoàn toàn tất cả các bức xạ điện từ đến bề mặt của vật. Các vật thể này luôn phát xạ trở lại môi trường xung quanh các bức xạ điện từ, tạo nên quang phổ đặc trưng cho nhiệt độ của vật gọi là bức xạ vật đen. Do vậy, ta phải hiểu vật đen không có nghĩa là có màu đen. Khi nhiệt độ càng cao, vật đen càng có khuynh hướng bức xạ điện từ ở vùng bước sóng khả kiến, tạo nên màu sáng cho vật đen. Mặt trời là một ví dụ về vật đen trong tự nhiên. Trong phòng thí nghiệm, người ta thường 5
sử dụng một hốc với lỗ rất nhỏ làm mô hình vật đen. Các tia bức xạ khi vào hốc có xác suất rất nhỏ để quay trở lại đúng lỗ và thoát ra ngoài sau khi phản xạ trên thành hốc cho nên hầu như tất cả các tia bức xạ đi vào hốc đều bị hấp thụ. Mô hình này rất thuận tiện để nghiên cứu phổ bức xạ vật đen. Việc nghiên cứu về bức xạ của vật thể rất quan trọng và được tiến hành bằng thực nghiệm lẫn lý thuyết vào nửa sau thế kỷ XIX. Vào thời gian này, kiến thức về cấu trúc nguyên tử, phân tử của vật chất vẫn đang rất hạn hẹp với mô hình Thompson cho nên các nghiên cứu sâu hơn là rất cần thiết. Bức xạ vật đen là công cụ tốt để tìm hiểu bản chất cấu tạo vật chất. Khi nghiên cứu bằng thực nghiệm về sự phát xạ của vật đen, người ta thu được đường cong thực nghiệm biểu diễn sự phụ thuộc của mật độ năng lượng bức xạ vào bước sóng. Hình 1.1 biểu diễn phổ bức xạ vật đen ứng với các nhiệt độ khác nhau. Dựa vào các định luật vật lý cổ điển, các nhà khoa học đã nổ lực tìm kiếm công thức mô tả dúng phân bố của năng lượng bức xạ thu được từ thực nghiệm, tuy nhiên không thành công hoàn toàn. Hình 1.1: Phổ bức xạ nhiệt của vật đen ứng với các nhiệt độ khác nhau. 1.1.2. Lý thuyết cổ điển giải thích bức xạ vật đen Phần này sẽ điểm qua các lý thuyết cổ điển đã được đưa ra cuối thế kỷ XIX, trong đó nhiều thành tựu về bức xạ vật đen có ý nghĩa cho đến nay như định luật Stefan- Boltzmann về mật độ bức xạ nhiệt phụ thuộc bậc bốn vào nhiệt độ vật đen trong toàn miền thay đổi bước sóng; định luật Wien về sự dịch chuyển nhiệt độ cực đại theo bước sóng. Tuy nhiên, để giải thích sự phân bố bức xạ nhiệt theo bước sóng ở một nhiệt độ 6
cố định, các lý thuyết cổ điển như định luật Rayleigh-Jeans, định luật Wien về phân bố bức xạ nhiệt đều không thành công. Trước tiên ta xét công thức của Wien c1  c    , T   exp   2  1.1  5  T  được đưa ra vào năm 1896 để mô tả mối quan hệ giữa mật độ năng lượng bức xạ của vật đen và bước sóng bức xạ khi hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực với nhiệt độ T. Ở đây,   , T  d là năng lượng bức xạ của một đơn vị thể tích trong hốc (vật đen) với bước sóng nằm trong khoảng ,   d  . Hệ số c1 ,c2 là các hằng số được Wien chọn sao cho phù hợp với số liệu thực nghiệm của Paschen công bố trước đó, cũng trong năm 1896. Định luật phân bố bức xạ theo bước sóng được Wien xây dựng dựa trên các lập luận theo lý thuyết cổ điển và một số phép gần đúng, cho nên công thức trên còn được gọi là công thức xấp xỉ Wien. Công thức này khá phù hợp với thực nghiệm ở miền bước sóng ngắn, tuy nhiên không còn phù hợp với thực nghiệm cho vùng bước sóng dài được tiến hành sau đó. Điều này được minh họa trên Hình 1.2. Hình 1.2: Cường độ bức xạ vật đen theo định luật Wien, so sánh với số liệu thực nghiệm cho thấy có sự phù hợp rất tốt ở vùng bước sóng ngắn Sau khi một số thí nghiệm đo phân bố cường độ bức xạ cho vùng bước sóng dài chỉ ra sự không phù hợp của công thức Wien, Rayleigh đã sử dụng lý thuyết bức xạ điện từ cổ điển và phân bố Boltzmann để thu được công thức phân bố bức xạ trong 7
vùng bước sóng dài. Sau đó Jeans đã phát triển lý thuyết của Rayleigh và thu được công thức 8   , T   k BT 1.2  4 với k B là hằng số Boltzmann. Định luật Rayleigh-Jeans cho kết quả phù hợp với thực nghiệm trong vùng bước sóng dài nhưng hoàn toàn thất bại trong miền bước sóng ngắn, điều này được gọi là sự khủng hoảng vùng tử ngoại. 1.1.3. Lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck Planck đưa ra giả thuyết năng lượng do vật đen phát xạ không liên tục mà gián đoạn theo từng lượng tử để tìm ra phân bố bức xạ vật đen theo bước sóng. Ông thu được công thức 2hc2 1 I  , T   5 1.3   hc  exp   1  k B T  Trong đó h,c, k B lần lượt là hằng số Planck, vận tốc ánh sáng trong chân không, hằng số Boltzmann. I  , T  là cường độ bức xạ, là năng lượng phát xạ bởi một đơn vị diện tích bề mặt vật đen trong một đơn vị thời gian theo một đơn vị góc khối tính trong một đơn vị bước sóng tại lân cận bước sóng  . Công thức liên hệ giữa cường độ bức xạ với mật độ năng lượng điện từ   , T  trong hốc ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực như sau c I  , T     , T  1.4  4 Có thể hiểu một cách định tính công thức này rằng: trong một đơn vị thời gian, bức xạ đi qua một đơn vị diện tích bề mặt vật đen sẽ chứa trong một khối trụ có thể tích bằng tốc độ ánh sáng c  đơn vị thời gian  đơn vị diện tích. Do đó, tổng năng lượng là c    . Năng lượng này phát xạ ra mọi hướng cho nên để tính mật độ năng lượng, ta chia cho tổng góc khối 4 . 8
Công thức 1.3 hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm trên toàn miền thay đổi bước sóng. Ngoài ra, trong trường hợp bước sóng ngắn:  hc / k BT , do có xấp xỉ  hc  exp   1  k B T  nên công thức Planck trở thành công thức Wien 1.1 . Trường hợp ngược lại khi  hc / k BT , ta có thể sử dụng khai triển Taylor và giữ lấy số hạng đầu tiên  hc  hc exp    1  k B T  k B T khi đó công thức Planck hoàn toàn trùng khớp với công thức của Rayleight-Jeans. Điều này được minh hòa ở Hình 1.3. Planck đã sử dụng lý thuyết nhiệt động lực học, thông qua tính toán entropy để thu được công thức phân bố bức xạ 1.3 . Ở đây, ta sẽ chứng minh theo cách được trình bày trong khá nhiều sách hiện đại về vật lý nguyên tử. Ta có số sóng dừng trong một đơn vị thể tích trong hốc với bước sóng từ  đến   d là 8d /  4 cho nên mật độ năng lượng trong hốc tương ứng là 8   , T    1.5 4 Trong đó  là năng lượng trung bình của sóng dừng với bước sóng  . Ta tính năng lượng trung bình này theo quan điểm: sóng điện từ ứng với một bước sóng  cho trước, được phát ra do dao động nhiệt của các ion mang điện với các biên độ khác nhau, là tập hợp các dao động điện từ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực với năng lượng có giá trị thay đổi liên tục từ không đến vô cùng:   0   . Sử dụng phân bố Boltzmann, ta tính được      exp   k  d BT    0   k BT 1.6     0 exp   k BT  d 9
Thế (1.6) vào (1.5) và (1.4), thu được kết quả cổ điển – công thức (1.2) của Rayleigh- Jeans. Như đã nói, công thức Rayleight-Jeans không mô tả được thực nghiệm trong vùng bước sóng ngắn. Như vậy, cần phải thay đổi chuỗi lý luận từ (1.4)-(1.5)-(1.6), và Planck là người đã thay đổi bức tranh về năng lượng của bức xạ điện từ. Ông cho rằng bức xạ vật đen bao gồm một tập hợp các dao động điện từ nhưng với các giá trị năng lượng gián đoạn: εn = nε0, n = 0, 1, 2,… và đây chính là các lượng tử năng lượng của bức xạ nhiệt. Khi đó, thay vì sử dụng (1.6), giá trị năng lượng trung bình của sóng dừng ứng với bước sóng λ được tính bằng công thức   n   n 0 exp   0  0  k BT    n 1   1.7   n      exp   0  exp  0   1 n 0  k BT   k BT  Đem (1.7) thế vào (1.4)-(1.5) ta thu được công thức Planck (1.3). Ở đây để cho kết quả phù hợp với công thức Wien trong vùng bước sóng ngắn, Planck đã chọn ε0 = hν = hc/λ Hình 1.3: So sánh Rayleigh-Jeans với kết quả thực nghiệm phù hợp với lý thuyết Planck 1.1.4. Ý nghĩa của lý thuyết Planck Như vậy với giả thuyết về sự lượng tử hóa năng lượng bức xạ điện từ, Max Planck đã tìm ra công thức phù hợp hoàn toàn với đường cong thực nghiệm biểu diễn sự phân bố năng lượng bức xạ nhiệt của vật đen theo bước sóng. Công thức này lần lượt trùng với công thức của Wien và công thức Rayleigh-Jeans trong hai miền tiệm cận bước sóng ngắn và bước sóng dài. Lý thuyết Planck tuy vậy vẫn chưa thể xem là lý 10
thuyết lượng tử trọn vẹn vì chưa giải thích được bản chất vật lý của sự lượng tử hóa năng lượng bức xạ. nó chỉ đơn thuần là một giả thiết để thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên, ý tưởng về sự lượng tử hóa năng lượng có tính cách mạng, đã thay đổi hoàn toàn cách suy nghĩ cổ điển và chính là cơ sở đầu tiên cho việc hình thành cơ học lượng tử. Planck được trao giải Nobel Vật lý năm 1918 cho thuyết lượng tử năng lượng. 1.2. Hiệu ứng quang điện và lý thuyết Einstein 1.2.1. Hiệu ứng quang điện Hiệu ứng quang điện là hiện tượng electron được phát ra khi chiếu ánh sáng lên bề mặt kim loại. Các electron này được gọi là electron quang điện và sự dịch chuyển có hướng của chúng tạo nên dòng quang điện. Hình 1.4 trình bày sơ đồ thí nghiệm để khảo sát hiện tượng quang điện. Ngoài ra, ta có thể xác định được vận tốc của electron khi thoát ra khỏi bề mặt kim loại bằng cách áp điện thế ngược vào điện cực dương và điện cực âm sao cho dòng quang điện bằng không. Khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc thoát của electron và cường độ dòng quang điện bão hòa vào cường độ cũng như bước sóng chùm ánh sáng chiếu tới, ta rút ra được các quy luật đặc biệt gọi là các định luật quang điện. Hình 1.4: Sơ đồ khảo sát hiệu ứng quang điện. Chùm ánh sáng được chiếu vào cathode làm bứt các electron, bay về anode tạo nên dòng quang điện Nội dung các định luật quang điện thể hiện qua các kết quả thực nghiệm sau (1) Hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng ánh sáng tới nhỏ hơn một giá trị tới hạn λ ≤ λmax, giá trị λmax được gọi là bước sóng ngưỡng. 11
(2) Vận tốc của electron bứt ra không phụ thuộc vào cường độ mà chỉ phụ thuộc vào bước sóng của chùm ánh sáng chiếu tới. (3) Cường độ dòng quang điện bão hòa không phụ thuộc vào bước sóng mà tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng tới. 1.2.2. Lý thuyết cổ điển Lý thuyết cổ điển về bức xạ điện từ gặp khó khăn khi giải thích hiệu ứng quang điện. Thật vậy, ánh sáng là sóng điện từ, nó có thể cung cấp năng lượng liên tục cho electron. Electron tích tụ dần năng lượng cho đến khi đủ lớn để vượt qua rào thế ở bề mặt kim loại và thoát ra. Tùy thuộc vào cường độ bức xạ lớn hay nhỏ mà thời gian tích tụ năng lượng nhanh hay chậm. Do đó, từ quan điểm cổ điển, hiệu ứng quang điện sẽ xảy ra với mọi bước sóng ánh sáng chiếu tới. Quy luật (1) rút ra từ quan sát thực nghiệm không thể giải thích được. Đồng thời cũng từ lý luận trên, ta thấy động năng của electron thoát ra phụ thuộc vào cường độ ánh sáng tới: cường độ càng lớn thì động năng electron thoát ra càng lớn. Do đó quy luật (2) cũng không giải thích được. Ngoài ra, lý thuyết cổ điển cũng không giải thích được sự tỷ lệ thuận của cường độ dòng quang điện bão hòa với cường độ ánh sáng như quy luật thực nghiệm (3). Trong ba định luật quang điện thì định luật (2) và định luật (3) do Einstein phát hiện sau khi đưa ra lý thuyết của mình để giải thích định luật (1). Các định luật do tiên đoán lý thuyết của Einstein sau đó nhiều năm mới được thực nghiệm của Millikan kiểm chứng. 1.2.3. Lý thuyết Einstein Năm 1905, Einstein công bố một công trình quan trọng giải thích một cách trọn vẹn hiệu ứng quang điện. Ý tưởng chính của Einstein là giả thuyết về lượng tử ánh sáng, theo đó sóng điện từ khi tương tác với vật chất thể hiện như một dòng các lượng tử ánh sáng có năng lượng E = hν = hc/λ. Sau này khi Compton đưa ra hiệu ứng tán xạ mang tên ông vào năm 1923 và được trao giải Nobel Vật lý năm 1927, sóng điện từ được công nhận rộng rãi như là tập hợp các hạt độc lập gọi là photon, do Gilbert Lewis đặt tên năm 1926. Với giả thuyết lượng tử ánh sáng, Einstein cho rằng khi một photon gặp một electron trong kim loại, nó sẽ bị hấp thụ hoàn toàn. Sau khi electron nhận được năng 12
lượng, nó sẽ tiêu tốn một công thoát W bằng năng lượng liên kết của nó trong kim loại và bứt ra khỏi bề mặt kim loại với động năng 1 hc me ve2   W 1.8 2  Dựa vào (1.8), ta thấy hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra khi hc/λ ≥ W hay khi bước sóng có giá trị nhỏ hơn giá trị tới hạn λmax = hc/W. Cũng từ (1.8), ta thấy động năng của electron bứt ra không phụ thuộc vào cường độ mà chỉ phụ thuộc vào bước sóng của ánh sáng tới. Đặc biệt, công thức định lượng (1.8) do Einstein đưa ra đã mô tả sự phụ thuộc tuyến tính của động năng electron bứt ra vào nghịch đảo bước sóng, điều này đã được Millikan kiểm định bằng thực nghiệm vào năm 1914. Ngoài ra, do cường độ ánh sáng tới tỉ lệ thuận với số photon đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian, việc tăng cường độ ánh sáng tới, nghĩa là tăng số photon tới, sẽ dẫn đến việc tăng số electron bứt ra khỏi bề mặt kim loại trong một đơn vị thời gian. Vì thế dòng quang điện bão hòa sẽ tăng tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng tới. 1.2.4. Ý nghĩa của lý thuyết Einstein Như vậy, bằng lý thuyết lượng tử ánh sáng, Einstein đã giải thích thành công quy luật về giá trị bước sóng tới hạn của hiệu ứng quang điện mà lý thuyết cổ điển không làm được, đồng thời tiên đoán hai quy luật quang điện khác. Lý thuyết của Einstein không những giải quyết được một vấn đề bế tắc của vật lý học cổ điển mà còn mở ra một tư duy hoàn toàn mới về bản chất của thế giới vi mô. Nếu Planck chỉ mới thấy năng lượng bức xạ là các đại lượng gián đoạn thì Einstein chỉ ra rằng ánh sáng là các hạt có năng lượng. Và đến khi mà các thí nghiệm của Compton về tán xạ tia X trên các electron được giải thích bằng lý thuyết va chạm giữa hạt photon và hạt electron thì cộng đồng các nhà vật lý mới hoàn toàn tin vào tính hạt của sóng điện từ. Đây cũng là gợi ý cho de Broglie đưa ra giả thuyết lưỡng tính sóng-hạt của vật chất vào năm 1924. Albert Einstein được trao giải Nobel vào năm 1921 cho việc giải thích hiệu ứng quang điện. 1.3. Quang phổ vạch nguyên tử và lý thuyết Bohr 1.3.1. Quang phổ vạch Khái niệm quang phổ được dùng lần đầu tiên trong lĩnh vực quang học khi ánh sáng qua lăng kính được tách ra thành các màu khác nhau. Sau này, khái niệm quang phổ được sử dụng cho vùng sóng điện từ rộng hơn chứ không chỉ riêng vùng ánh sáng khả 13
kiến. Lúc này quang phổ được hiểu là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cường độ bức xạ sóng điện từ theo bước sóng hoặc tần số. Năm 1859, hai nhà khoa học Gustav Kirchhoff và Robert Bunsen sau khi cùng nhau thực hiện các nghiên cứu đã phát hiện ra rằng các nguyên tử chỉ hấp thụ hay phát xạ ánh sáng với những giá trị bước sóng rời rạc λk. Những bước sóng này đặc trưng cho từng nguyên tử được gọi là quang phổ vạch hấp thụ hay phát xạ của nguyên tử. Trên Hình 1.5 biểu diễn quang phổ vạch của nguyên tử hydro, ta thấy phổ này có cường độ cực đại hoặc cực tiểu tại một số giá trị bước sóng nhất định. Đôi khi người ta không quan tâm đến cường độ bức xạ nên quang phổ vạch được hiểu là tập hợp các bước sóng (tần số) của sóng điện từ phát xạ hay hấp thụ của một nguyên tử. Hình 1.5: Quang phổ vạch của nguyên tử hydro: biểu diễn cường độ theo bước sóng và tập hợp các bước sóng rời rạc Các nhà khoa học nghiên cứu những quy luật của bước sóng trong quang phổ vạch và đến năm 1884, Johann Balmer đã đưa ra công thức tính bước sóng cho quang phổ nguyên tử hydro trong vùng ánh sáng khả kiến, sau này được gọi là dãy Balmer, như sau n2   C 1.9  n 2  22 trong đó C = 3.6456 x 10-7 m và n = 3, 4, 5, … là các số nguyên. Các nhà khoa học khác cũng bắt đầu tìm quy luật cho các phổ ngoài vùng khả kiến của nguyên tử hydro. Đặc biệt là công thức tổng quát của Johannes Rydberg đưa ra vào năm 1888 14
1  1 1   RH  2  2  1.10    n1 n 2  với RH = 1.09678 x 107 m-1 là hằng số Rydberg; n1, n2 là hai số nguyên thõa mãn điều kiện n1 < n2. Dãy Balmer là trường hợp riêng của công thức (1.10) ứng với n1 = 2. Sau đó vào đầu thế kỷ XX, Theodore Lyman trong các năm từ 1906 đến 1914 đã tìm ra quang phổ nguyên tử hydro trong toàn miền tử ngoại. Dãy Lyman ứng với công thức của Rydberg khi n1= 1. Vào năm 1908, Friedrich Paschen đã tìm ra phổ nguyên tử hydro trong miền hồng ngoại gọi là dãy Pashen ứng với n1 = 3. Công thức (1.10) hoàn toàn đúng khi dãy Brackett (năm 1922, n1 = 4), dãy Pfund (năm 1924, n1 = 5), và dãy Humpreys (năm 1953, n1 = 6) được tìm thấy sau này. Các dãy khác cho phổ nguyên tử hydro cũng tiếp tục được tìm thấy nhưng không được đặt theo tên các nhà khoa học. 1.3.2. Sự bất lực của vật lý cổ điển Dựa trên quan điểm của vật lý cổ điển thì các quá trình vật lý chỉ có thể diễn ra một cách liên tục, các đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ chỉ có thể biến thiên một cách liên tục chứ không thể gián đoạn khi trường ngoài thay đổi. Sóng điện từ phát ra từ nguyên tử là do chuyển động có gia tốc của hạt mang điện cho nên không thể tìm ra được cơ chế nào giúp cho phổ nguyên tử hydro có các bước sóng gián đoạn. Hơn nữa, lý thuyết cổ điển cũng không giải thích được tính bền vững của nguyên tử. Theo mô hình nguyên tử Rutherford, electron chuyển động quanh hạt nhân phải liên tục phát xạ sóng điện từ, năng lượng của electron giảm dần một cách liên tục và cuối cùng nó sẽ rơi vào hạt nhân và nguyên tử sẽ không tồn tại. 1.3.3. Lý thuyết Bohr Cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX, nhiều mô hình nguyên tử được đưa ra, nhưng đáng chú ý nhất là mô hình Rutherford trong đó hình dung nguyên tử bao gồm hạt nhân rất nặng mang điện tích dương và các electron nhẹ, mang điện tích âm chuyển động xung quanh. Mô hình này được đưa ra vào năm 1911 nhưng không thể giải thích được quang phổ vạch nguyên tử hydro cũng như sự bền vững của nguyên tử. Năm 1913, Niels Bohr đưa ra mô hình nguyên tử với các giả định: (1) Electron chuyển động theo một số quỹ đạo xung quanh hạt nhân gọi là quỹ đạo dừng. Khi ở trên quỹ đạo dừng này, electron không phát xạ sóng điện từ và có năng 15
lượng xác định. Tập hợp các mức năng lượng này tạo thành một phổ năng lượng gián đoạn. (2) Electron phát xạ hay hấp thụ năng lượng khi nó chuyển từ quỹ đạo dừng này qua quỹ đạo dừng khác. Năng lượng hấp thụ hay phát xạ là đại lượng gián đoạn E  h Như vậy, với hai tiên đề trên, Bohr cho phép sử dụng lý thuyết chuyển động cổ điển vào hệ vi mô. Từ tiên đề (2), để có thể đưa ra mức năng lượng trên các quỹ đạo cho phép, Bohr đưa ra quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo Ln 1.11 nghĩa là moment động lượng quỹ đạo L của electron trên quỹ đạo dừng bằng số nguyên lần hằng số Planck rút gọn. Thật vậy, Bohr tính toán như sau cho nguyên tử hydro. Khi electron chuyển động trên quỹ đạo tròn, lực Coulomb đóng vai trò lực hướng tâm cho nên me v 2 ke2  2 1.12  r r Trong đó me và e lần lượt là khối lượng và điện tích của electron; v, r lầ lượt là vận tốc và bán kính quỹ đạo của electron; k  1/ 40 là hằng số Coulomb. Từ công thức (1.12), ta suy ra được vận tốc trên quỹ đạo của electron v  ke2 / me r . Mặt khác quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo (1.11) cho ta biểu thức me vr  n với n = 1, 2, 3,… là số nguyên. Kết hợp lại cho ta bán kính quỹ đạo dừng là đại lượng gián đoạn n2 2 rn  1.13 ke2 me Thế (1.12) vào biểu thức tính năng lượng của electron 1 ke2 ke2 E  me v  2  1.14  2 r 2r ta thu được năng lượng phụ thuộc bán kính. Thế (1.13) vào (1.14), ta được công thức năng lượng electron khi ở trong trạng thái dừng me k 2 e 4 1 En   1.15 2 2 n2 Như vậy, Bohr đã thu được mức năng lượng gián đoạn của electron trên các quỹ đạo dừng. Khi dịch chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác, electron sẽ phát xạ hay hấp thụ photon với năng lượng bằng hiệu số năng lượng của hai trạng thái 16
 1 1  E  R y  2  2  1.16   n1 n 2  trong đó ký hiệu R y  22 k 2 mee4 / h 2  13.605692eV là đơn vị năng lượng Rydberg trong hệ đo nguyên tử. Dựa vào tiên đề thứ hai của mô hình Bohr, năng lượng photon bằng h  hc /  . Đem nó thế vào (1.16), ta thu được công thức thực nghiệm của Rydberg (1.10) với hằng số Rydberg theo lý thuyết là R H  R y / hc . Từ công thức này ta tính được hằng số Rydberg lý thuyết qua các hằng số cơ bản. Kết quả thu được giá trị lý thuyết R H  1.0973731568539 107 m1 cho thấy có sự phù hợp rất cao giữa lý thuyết Bohr với công thức thực nghiệm của Rydberg. 1.3.4. Ý nghĩa của lý thuyết Bohr Công thức lý thuyết của Bohr phù hợp hoàn toàn với công thức thực nghiệm của Rydberg. Hay nói khác hơn, lý thuyết Bohr hoàn toàn giải thích được một cách định lượng quang phổ vạch nguyên tử hydro và tính bền vững của nguyên tử. Tuy nhiên đây chỉ là lý thuyết tiền lượng tử vì vẫn chưa chỉ rõ bản chất vật lý của sự lượng tử hóa quỹ đạo electron, nhưng nó có tầm quan trọng trong việc phát triển tư duy và hiểu biết của nhân loại về thế giới vi mô. Niels Bohr được trao giải nobel vật lý vào năm 1922 cho sự phát triển lý thuyết cấu trúc nguyên tử và mô hình nguyên tử mang tên ông. Quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo là một giả thuyết mang tính cách mạng, sau đó đươc Arnorl Sommerfield mở rộng cho phép xét đến các quỹ đạo ellipse. 1.4. Hiệu ứng Compton 1.4.1. Hạt photon hay sóng điện từ Từ năm 1905 Einstein đã đưa ra giả thuyết lượng tử ánh sáng nhưng khái niệm về hạt ánh sáng vẫn chưa được các nhà khoa học chấp nhận ngay. Cho đến những năm hai mươi của thế kỷ XX, các nhà khoa học vẫn tranh luận xem trong các hiện tượng nào thì sóng điện từ (mà cụ thể là tia X) cần phải tính theo lý thuyết lượng tử Einstein và trong trường hợp nào thì tính theo lý thuyết sóng điện từ cổ điển Maxwell. Đặc biệt hiệu ứng giao thoa chùm tia X trên cấu trúc tinh thể được phát hiện vào năm 1912 càng khẳng định tia X là sóng điện từ với bước sóng rất ngắn. Trong một thời gian dài, rất ít thí nghiệm có đủ độ chính xác để kiểm chứng tính hạt hay sóng của ánh sáng. Mãi đến 17
năm 1914, Robert Millikan mới kiểm chứng được định lượng sự phụ thuộc động năng của electron quang điện vào bước sóng như công thức tiên đoán của Einstein. Do vậy, Einstein quay lại với vấn đề lượng tử ánh sáng và vào năm 1921 đề ra thí nghiệm kiểm chứng bằng cách đo ánh sáng phát ra từ nguyên tử chuyển động. Tuy nhiên, Schrӧdinger đã chỉ ra các tính toán trong thí nghiệm này của Einstein theo lý thuyết hạt ánh sáng sẽ trùng với hiệu ứng Doppler. Như vậy, cho đến 1922 vẫn chưa có thí nghiệm nào khẳng định lý thuyết hạt ánh sáng một cách thuyết phục. 1.4.2. Thí nghiệm tán xạ Compton Arthur Compton bắt đầu nghiên cứu tán xạ tia X lên vật chất từ những năm 1913 và đến những năm hai mươi của thế kỷ XX ông phát hiện tia gamma sau khi tán xạ sẽ mềm hơn rất nhiều (bước sóng sẽ dài hơn). Ông nghiên cứu kỹ hơn hiện tượng này bằng cách cho tia X tán xạ trên tinh thể graphite. Kết quả cho thấy sau khi tia X sau khi đi qua tinh thể graphite bị tán xạ theo nhiều phương. Trong phổ tán xạ, ngoài vạch có bước sóng λ của chùm tia tới còn có những vạch với bước sóng  '   . Thực nghiệm chứng tỏ rằng  ' không phụ thuộc vào cấu trúc của tinh thể mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ của  , là góc hợp bởi phương truyền của tia X ban đầu và phương của tia X bị tán xạ. độ tăng bước sóng của tia X được xác định bởi công thức:    '   c 1  cos  1.17  Trong đó c  2.43 1012 m là một hằng số chung cho mọi vật chất, sau này được gọi là bước sóng Compton của electron. Hình 1.6: Va chạm đàn hồi giữa photon và electron 18
1.4.3. Giải thích hiệu ứng Compton Theo lý thuyết sóng ánh sáng cổ điển, khi tia X truyền đến thanh graphite, nó làm cho các hạt mang điện trong thanh dao động cưỡng bức với cùng tần số của tia X, do đó các tia tán xạ về mọi phương phải có cùng tần số với tia tới. Như vậy, lý thuyết sóng ánh sáng không giải thích được hiệu ứng Compton. Công thức thực nghiệm (1.17) được Compton giải thích hoàn toàn bằng lý thuyết hạt ánh sáng của Einstein. Chúng ta có thể coi hiện tượng tán xạ tia X lên graphite như là một va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa một hạt lượng tử ánh sáng và một electron trong tinh thể. Trong phổ tán xạ, những vạch có bước sóng bằng bước sóng λ của tia X chiếu tới tương ứng với sự tán xạ của tia X lên các electron ở sâu trong nguyên tử, các electron này liên kết mạnh với hạt nhân. Còn các vạch có bước sóng lớn hơn λ tương ứng với sự tán xạ tia X lên các electron liên kết yếu với hạt nhân. Năng lượng liên kết của các electron này rất nhỏ so với năng lượng của photon, do đó các electron đó có thể xem là tự do. Năng lượng và xung lượng của photon trước và sau khi va chạm với electron lần lượt là hc hc  , p  hk / 2;  '  , p '  hk ' / 2 1.18  ' trong đó các vector số sóng có độ lớn là k  2 / , k '  2 /  ' có phương tạo với nhau góc  như trên Hình 1.6. Electron đứng yên trước khi va chạm nên xung lượng bằng không, và sau va chạm xung lượng có hướng tạo với hướng của photon ban đầu một góc  như trên Hình 1.6. Do vậy ta có e  mec2 , pe  0, 'e  me2c4  p'2e c2 , p'e 1.19  Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có phương trình hc hc  me c2   me2c4  p'2e c2 1.20   ' Mặt khác, từ định luật bảo toàn xung lượng, ta có phương trình vector hk hk '   p'e 1.21 2 2 19