intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 6

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
86
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính) đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở. Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp vô hạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 6

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 6 d¹ng ma trËn c ña to¸n tö
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tro ng §¹i s è tuyÕn tÝnh, mç ii to ¸n tö (hay ¸nh x¹ tuyÕn Tro ng §¹i s è tuyÕn tÝnh, mç to ¸n tö (hay ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh) ®Òu ®­îc biÓu diÔn bë ii mé t ma trËn, nÕu tro ng tÝnh) ®Òu ®­îc biÓu diÔn bë mé t ma trËn, nÕu tro ng c ¸c kh«ng g ian ve c to r ®· c ho s ½n c ¸c c ¬ s ë .. c ¸c kh«ng g ian ve c to r ®· c ho s ½n c ¸c c ¬ s ë C¸c h biÓu diÔn t­¬ng tù c ò ng c ã thÓ thùc hiÖn víi to ¸n C¸c h biÓu diÔn t­¬ng tù c ò ng c ã thÓ thùc hiÖn víi to ¸n tö trªn c ¸c kh«ng g ian hµm; c hØ c ã ®iÒu ë ®©y ma tö trªn c ¸c kh«ng g ian hµm; c hØ c ã ®iÒu ë ®©y ma trËn s Ï c ã c Êp v« h¹n. trËn s Ï c ã c Êp v« h¹n. 1. C¸c p hÇn tö m a trËn c ña m é t to ¸n tö ˆ Tr­íc hÕt, ta xÐt mét to¸n töM t¸c dông trong kh«ng gian c¸c hµm ψ víi biÕn vector r  Tr­êng hîp tæng qu¸t ® xÐt t­¬ tù mµ kh«ng cã khã khan ­îc ng gi. ψ Òu cã thÓ viÕt ® d­íi d¹ng: ® ­îc Gia sö mçi hµm ψ= cnψ n (6.1)
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le LaithÊy to¸n tö vector tho¶City, Thanh hoa, Viet nam DÔ Str. Thanh Hoa m·n yªu cÇu trªn, chÝnh lµ to¸n tö trong ® ψ 1 ,ψ 2 ,... c¸c hµm cho tr­íc thoa m·n ® ã lµ iÒu kiÖn trùc giao vµ chuÈn ho¸, cßn c 1, c 2, ... x¸c ® ψ Þnh theo Khi ® sè phøc . ã,  ˆ  ∫ψ (r )Mψ n (r )dv * m ψ ® gäi lµ phÇn tö ma trËn giua hai tr¹ng th¸i m vµ ψ n ­îc vµ ký hiÖu lµ: mM n Nh­ vËy:  ˆ  m M n = ∫ψ (r )Mψ n (r )dv * m (6.2)
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam §©y c hÝnh lµ c «ng © giê ta sÏ thÓ hiÖn t¸c ® y éng cña to¸n tö bëi c¸c phÇn tö ma trËn. � � thø c thÓ hiÖn t¸c Gi¶ sö M � cnψ n � � nψ n ˆ � = d (6.3) �n � n ng c ña M ®é ˆ qua hay � n Mψ n = c ¸cdphÇn (6.4) trËn. c ˆ n � nψ n tö ma n Nh© 2 vÕ cña (6.4) víi n ψm * tÝch ph© theo toµn bé kh«ng gian vµ chó ý ® ® n Õn iÒu kiÖn chuÈn   ∫ψ (r )ψ n (r )dv = δ mn * m ta cã: ∑n c n ∫ψ Mψ n dv = ∑ d nδ mn ˆ * m n hay: m M n cn = d n (6.5) n
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ψ B© giê ta xÐt tr­êng hîp khi mäi hµm y ® khai triÓn ® d­íi d¹ng: Òu ­îc   ψ (r ) = ∫ c(λ )ψ (λ , r )dλ (6.6) ã n λ ong ® tÝch ph© lÊy theo mét tËp hîp liªn tôc cña kh«ng gian biÕn  vµ c¸c hµm ψ (λ , r ) còng thoa m·n ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸:   ∫ψ (λ, r )ψ (µ, r )dv = δ (λ − µ ) *
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi ® phÇn tö ma trËn cña to¸n tö ˆ giua hai tr¹ng th¸iψ λ vµψ µ ã, M lµ:  ˆ  λ M µ = ∫ψ (λ , r )Mψ ( µ , r )dv * (6.7) T¸c ® ˆ éng cña M thÓ hiÖn d­íi d¹ng ma trËn nh­ sau: nÕu   ψ (r ) = ∫ c(λ )ψ (λ , r )dλ (6.8) vµ ˆ   Mψ (r ) = ∫ d ( µ ) ( µ , r )dµ ψ (6.9) : th× ∫ µ M λ c(λ )dλ = d ( µ ) (6.10)
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. TÝnh he rm itic ë d ¹ng m a trËn Gia sö M lµ to¸n tö hermitic vµ víi mçiψ® cã ˆ Òu ψ = ∑ cnψ n n trong ® ψ 1 ,ψ 2 .... ã * m M n = ∫ψ M n ( ˆ ψ dv * . * m ) =∫ ( M n m ) ˆ ψ *ψ dv = ψ * Mψ dv = n M m . ∫ nˆ m Nh­ vËy, tõ tÝnh hermitic cña ˆ suy ra: M * mM n = nM m (6.11)
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ lµ to¸n tö Ng­îc l¹i, nÕu (6.11) ® óng víi mäi m , n thiM hermitic. Dèi víi tr­êng hîp   ψ (r ) = ∫ c(λ )ψ (λ , r )dλ thi ®iÒu kiÖn hermitic t­¬ ® ng víi ® ng ­¬ ¼ng thøc * µMλ = λM µ (6.11')
  10. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.D¹ng m a trËn cña m é t s è to¸n tö ®Æ c biÖt Tr­íc hÕt, víi to¸n tö ® n vÞEψ = ψ ) , ta cã: ¬ ( E m n ≡ m E n = ∫ψ mψ n dv = δ mn * (6.12) cho khai triÓn (6.1), vµ: ψ= cnψ n (6.1) µ λ ≡ µ E λ = ∫ψ µψ λ dv = δ ( µ − λ ) * (6.12')   cho khai triÓn (6.6). ψ (r ) = ∫ c(λ )ψ (λ , r )dλ (6.6) y lµ ˆ B© giê gia sö ψ 1 ,ψ 2 ,... c¸c hµm riªng cña to¸n tö L ˆ. . XÐt d¹ng ma trËn cña chÝnhL Ta cã: * ˆ m L n = ∫ψ m Lψ n dv =∫ψ m λnψ n dv =λnδ mn = λm * (6.13)
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ng ˆ ψ T­¬ tù, nÕuLcã phæ liªn tôc víi c¸c hµm riªng λ , λ ∈ S thi µ L λ = λδ ( µ − λ ) = µ (6.14) Nh­ vËy, cã thÓ nãi (theo thuËt ngu D¹i sè) lµ khi chän c¬ së kha iÓn ˆ L lµ c¸c hµm riªng cña chÝnh L thi ma trËn cña to¸n tö ã d¹ng ®­êng chÐo, víi c¸c phÇn tö ® ˆ ­êng chÐo lµ c¸c trÞ riªng cña L   VÝ dô, cho to¸n tö khi c¬së khai triÓn lµ c¸c hµmδ (r − r0 ) xˆ x x x' = x ˆ (6.15)
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam . BiÕn ®æ i c¸c phÇn tö m a trËn khi chuyÓn c¬ s ë khai triÓn ψ B© giê ta gia sö trong kh«ng gian c¸c hµm y cã hai c¬së (hai hÖ ® ® trùc chuÈn: Çy ñ) ψ 1(1) ,ψ 21) ,...,ψ n1) ,... ( ( (6.16) vµ ψ 1( 2) ,ψ 22) ,...,ψ n2) ,... ( ( (6.17) (1) (2 ) Ký hiÖu m M n vµ p M q lÇn l­ît lµ phÇn tö ma trËn tæng qu¸t cña ˆtheo hÖ (6.16) vµ hÖ (6.17). M (2 ) (1) Ta cÇn tim c¸ch biÓu diÔn p M q qua c¸c phÇn tö m M n ×mäi hµm ® cã thÓ khai triÓn qua hÖ (6.16) nªn mçi hµm cña Òu Ö (6.17) còng thÕ, tøc lµ ta cã:
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ψ k( 2 ) = ∑ aklψ l(1) (6.17) k Tõ ®ã:   ˆ (  ∫ ψ (p2)* Mψ q1) dv = ∫  ∑ a * ψ m1)*  M  ∑ aqnψ n1) dv = ˆ ( pm (  m   n    ˆ (  = ∫  ∑ a * ψ m1)*  ∑ aqn Mψ n1) dv = pm (  m  n  = ∑ a * aqn ∫ψ m1)* Mψ n1) dv pm ( ˆ ( m,n Suy ra: pM q ( 2) = ∑ a * aqn m M n pm (1) (6.19) m ,n D© chÝnh lµ c«ng thøc cÇn tim. y Lµ c«ng thøc BiÕn ® c¸c phÇn tö ma trËn khi chuyÓn c¬së khai triÓn æi
  14. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam . BiÓu d iÔn g i¸ trÞ trung b ×nh q ua c ¸c p hÇn tö m a trËn Ta viÕt l¹i c«ng thøc tÝnh gi¸ trÞ trung binh cña mét ® l­îng: ¹i ˆ M = ∫ψ * Mψdv Víi ψ = ∑ c nψ n n M = ∑ c m c n ∫ψ m Mψ n dv * ˆ ta cã: * m,n hay: M = ∑ cm cn m M n * (6.20) m,n DÆc biÖt, nÕuψ 1 ,ψ 2 ,... c¸c hµm riªng cña lµ ˆ L (vµ lËp thµnh mét hÖ ® ® thi: Çy ñ) L = ∑ c m c n mδ mn * m ,n L = ∑ n cn 2 tøc lµ: n
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam TiÓu luËn ˆ Tim c«ng thøc cho tr­êng hîp Lcã phæ liªn tôc.
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chó thÝ ch lÞch s ö. Khi C¬ häc l­îng tö b¾t ®Çu h×nh thµnh, chÝ nh c¸c phÇn tö m a trËn cña to¸n tö chø kh«ng ph¶i b¶n th©n c¸c to¸n tö, ®­îc dïng ®Ó m « t¶ c¸c ®¹i l­îng vËt lý. Víi c¸c phÇn tö m a trËn, n¨m 1925 W e rne r He is e nbe rg – m é t trong nh÷ng nhµ ph¸t m inh vµ nhµ t­ t­ë ng lçi l¹c cña thÕ kû XX ­ ®· x©y dùng nªn “C¬ häc m a trËn” ph­¬ng ¸n , ban ®Çu cña C¬ häc l­îng tö. Thµnh c«ng nµy ®· ®e m l¹i cho W e rne r He is e nbe rg gi¶i th­ë ng Nobe l n¨m 1932.
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  19. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  20. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2