zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Chia sẻ: Tomcangnuongphomai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Báo xấu

26
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 Bài toán phẳng trong hệ tọa độ cực cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phương trình cơ bản; Các phương trình hình học; Các phương trình vật lý; Giải bài toán theo ứng suất; Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài toán PhơLamăng). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG VII – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm… Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán kính r. 7.1. Các phương trình cơ bản 1. Các phương trình vi phân cân bằng : Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt. - 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr. - 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ. - 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Hình 7.1 + Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét A(r,θ,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau: - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σr, Trθ. + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành phần ứng suấ: , - fr, fθ : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp tuyến.
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 : Vì biến dạng bé nên Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được: (7.1) Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được (7.2) + Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Trθ = Tθr (7.3)
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục 2. Các phương trình hình học: Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v. Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là: và Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là: và Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ Hình 7.2 * Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng ABCD trở thành A’B’C’D’: +Các biến dạng dài tương đối: ; ; +Biến dạng góc: (a)
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục * Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’: (Hình 7.3) + Biến dạng dài: = + Biến dạng góc: γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b) = Có số hạng (NA”M) = trong γ2 là do sự quay toàn phân tố ABCD đối với điểm 0.
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong tọa độ cực: (7.4) 3. Các phương trình vật lý: Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ: a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: εr = (σr – μσθ) εθ= (σθ – μσr) (7.5a) γrθ = Trθ = Trθ
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng: σr = (εr – μεθ) σθ = (εθ – μεr) (7.5b) Trθ = G.γrθ Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, μ bằng E1, μ1 theo cách đặt: ; 7.2. GIẢI BÀI TOÁN THEO ỨNG SUẤT. - Phương trình LeVy 2(σx + σy) = 0 là phương trình giải bài toán phằng theo ứng suất trong hệ tọa độ Descartes. Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực: 2 (σx + σy) = 0 σx + σy = σr + σθ = S 2 (σr + σθ) = 0 (7-6) * Liên hệ giữa các thành phần tọa độ Descartes và tọa độ cực: r2 = x2 + y2 (a) tgθ = (b)
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục (a) = 2r = 2x = = cosθ = 2r = 2y = = sinθ (b) = . =- =- . =- (c) = = . = = . = * Như vậy, đối với hàm f(x,y) bất kỳ, trong tọa độ cực: = . + . = .cosθ - . = . + . = .sinθ - . = cosθ - .
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục = sinθ - . Sau biến đổi ta nhận được: = cos2θ - . + + + = sin2θ - . + + + Lấy tổng hai biểu thức ta được: 2 f= + = + + 2 = + + (7.7) Thay (7.7) vào (7.6) ta có : (7.8) Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes trong trường hợp lực thể tích bằng 0, lấy các ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (7.1), (7.2):
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục (7.9) Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất trong tọa độ cực Thay (7.9) vào (7.8) ta có: =0 2 ( 2φ) = 0 (7.10) (7.10): Phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực.
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Ví dụ 1: Cho thanh cong mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh): Lấy b=1, chịu tác dụng bởi mômen Mo ở 2 mặt cắt đầu thanh và nằm trong mặt phẳng cong của thanh như hình vẽ. Hãy xác định trạng thái ứng suất trong thanh. Bài giải : Đây là trường hợp thanh cong phẳng chịu uốn thuần túy . Do mômen uốn không đổi theo chiều dài thanh nên ứng suất không phụ thuộc vào góc cực. Ta chọn hàm ứng suất theo (7-8) , nghĩa là: ϕ(r)= Alnr+ Br2lnr + Cr2 +D Khi đó các ứng suất theo (7-9) sẽ là : (Hình 7-5)
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Các hằng số A,B,C được xác định từ điều kiện biên như sau : * Tại 2 biên cong : r = a ⇒ σr =0 r = b ⇒ σθ =0 (a) a ⌠ ⌠ *Tại 2 đầu thanh : L ực dọc N: N =  σθdF =  σθ1.dr = 0 (b) ⌡ ⌡ b a ⌠ ⌠ Mômen uốn M: M=  σθrdF =  σθ.1.r.dr = -Mo (c) ⌡ ⌡ b Thay (7-13) vào các điều kiện (a), (b), (c) ta được : (d)
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Giải hệ phương trình (d) đối với A, B, C ta được : b A = - 4Mo a2b2ln K a B = - 2Mo (b2 - a2) (e) K C = Mo [(b2 - a2) +2(b2lnb - a2lna)] K b Trong đó : K = (b2 - a2) -4a2b2(ln )2 a Thay các giá trị của A, B,C ở (e) vào (7-13) ta được :
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục 7.3. Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài toán PhơLamăng) Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi là không gian bán vô hạn đàn hồi. Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều theo một đường thẳng. Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và vuông góc với đường tải trọng và cách nhau một đơn vị. (H7.6) Hình 7.6
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng. Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song gần nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi. Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán trạng thái ứng suất phẳng. Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên. Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ là hàm chẵn đối với θ. Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11) C là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hòa và điều kiện biên: Theo (6.9) ta có: (7.12) Trθ = 0 Qua (7.12) cho thấy trên mặt phẳng vuông góc với bán kính r chỉ có ứng suất pháp σr. σθ = Trθ = 0. Mặt vuông góc với này cũng không có ứng suất.
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Xác định hằng số C bằng cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0. Σx = 0 với dF = r.dθ.1 (1 là bề dày của tấm) (7.13) Thay (7.13) vào (7.12) ta có: σθ = 0 (7.14) Trθ = 0
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Từ (7.14) cho thấy: +Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞. Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt lực có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo. +Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài khu vực nói trên. + Tính chất nghiệm của σr: d.cosθ = r (a) Từ (7.14) (7.15) Công thức (7.15) cho thấy ứng suất σr của tất cả các điểm cùng một vòng tròn đều như nhau. Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất. Hình 7.7 Ví dụ: cấu kiện chịu nén đúng tâm
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Tính bản trong hệ tọa độ Descartes: Ta có: Nhân 2 vế của phương trình với l Mà: Nhân 2 vế của phương trình với m Ta có: σy P y y σr n o f*y τ yx β σr θ r σr τ yx y σr σx θ τ xy σr f*x τ xy x x σx x Hình 7.8
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục ; (7-16)
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Thay σr = - cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có: σx = - cos3θ = - . σy = - sin2θcosθ = - . (7.17) Txy = - sinθcos2θ = - . Tính chất nghiệm của (7.17): * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung như hình vẽ, để tính ứng suất tại 1 điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính. (7.18)

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2418 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.