Bài giảng Cơ học ứng dụng - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Chia sẻ: Mucnang222 Mucnang222 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:173

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của Bài giảng Cơ học ứng dụng bao gồm ba phần: Cơ học vật rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn biến dạng (Sức bền vật liệu) và chi tiết máy, trong đó phần Cơ học vật rắn tuyệt đối và chi tiết máy được viết gộp trong 3 chương bao gồm nội dung về tĩnh học, động học và động lực học chất điểm và cơ hệ. Phần Cơ học vật rắn biến dạng được viết trong 1 chương bao gồm các nội dung về các hình thức chịu lực đơn giản và phức tạp của thanh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học ứng dụng - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU Cơ học ứng dụng là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sư thuộc các ngành kỹ thuật, vì vậy môn học này được bố trí trong chương trình đào tạo của nhiều trường đại học như: đại học Bách khoa Hà Nội, Giao thông vận tải, Thuỷ lợi, Xây dựng,… Ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này được giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Điện- Điện tử. Hiện nay, các trường đại học đều có tài liệu riêng giảng dạy về môn học này với các tên gọi khác nhau như Cơ học cơ sở, Cơ học kỹ thuật v.v.. với nội dung thời lượng và khối lượng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành. Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Cơ học ứng dụng riêng cho sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chương trình môn học Cơ học ứng dụng được xây dựng để giảng dạy cho sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm ba phần: Cơ học vật rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn biến dạng (Sức bền vật liệu) và chi tiết máy, trong đó phần Cơ học vật rắn tuyệt đối và chi tiết máy được viết gộp trong 3 chương bao gồm nội dung về tĩnh học, động học và động lực học chất điểm và cơ hệ. Phần Cơ học vật rắn biến dạng được viết trong 1 chương bao gồm các nội dung về các hình thức chịu lực đơn giản và phức tạp của thanh. Cuốn bài giảng được viết trên cơ sở chương trình môn học Cơ học ứng dụng. Người biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sư phạm và yêu cầu chất lượng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết nhằm trang bị các kiến thức cơ học nền tảng trong hệ thống kiến thức cung cấp cho các sinh viên, đặc biệt cho các sinh viên phi cơ khí. Cuốn bài giảng được biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sư góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ sở, Khoa cơ khí, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định. Nhóm tác giả biên soạn 1
2
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................................1 MỤC LỤC .......................................................................................................................3 Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI……………………………………………5 Chương 1 .........................................................................................................................5 ĐỘNG HỌC ....................................................................................................................5 1.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM ..............................................................................................5 1.1.1. Phương pháp véc tơ .......................................................................................5 1.1.2. Phương pháp toạ độ Đề các ...........................................................................7 1.1.3. Phương pháp toạ độ tự nhiên .........................................................................9 1.1.4. Một số chuyển động thường gặp .................................................................12 1.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI ..............................................................14 1.2.1. Các chuyển động cơ bản của vật rắn ...........................................................14 1.2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn ..........................................................22 1.3. HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM- VẬT RẮN .............................................33 1.3.1. Hợp chuyển động của điểm .........................................................................33 1.3.2. Hợp chuyển động của vật rắn ......................................................................37 1.4. ĐỘNG HỌC CƠ CẤU .......................................................................................42 1.4.1. Một số khái niệm .........................................................................................42 1.4.2. Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ....................................................................42 1.4.3. Các biến thể của cơ cấu bốn khâu ...............................................................43 1.4.4. Cơ cấu cam ..................................................................................................45 1.4.5. Cơ cấu bánh răng .........................................................................................46 CÂU HỎI ÔN TẬP .......................................................................................................51 Chương 2 .......................................................................................................................52 TĨNH HỌC ....................................................................................................................52 2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC ...................52 2.1.1. Các khái niệm cơ bản ..................................................................................52 2.1.2. Các định luật tĩnh học ..................................................................................57 2.1.3. Các hệ quả ...................................................................................................61 2.2. KHẢO SÁT HỆ LỰC ........................................................................................64 2.2.1. Hệ lực phẳng ................................................................................................64 2.2.2. Hệ lực không gian .......................................................................................74 CÂU HỎI ÔN TẬP .......................................................................................................83 Chương 3 .......................................................................................................................84 ĐỘNG LỰC HỌC .........................................................................................................84 3.1. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM ....................................................84 3.1.1. Các khái niệm ..............................................................................................84 3.1.2. Các định luật cơ bản của động lực học ........................................................84 3.1.3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm .....................................86 3.1.4. Hai bài toán cơ bản của động lực học .........................................................87 3.2 ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ ..................................................................................89 3.2.1. Các khái niệm ..............................................................................................89 3.2.2. Nguyên lý Đalămbe .....................................................................................93 3.3 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ ......................96 3
3.3.1. Định lý động lượng và định lý chuyển động khối tâm ................................97 3.3.2. Định lý mômen động lượng.......................................................................102 3.3.3. Định lý động năng .....................................................................................106 3.3.4. Định lý bảo toàn cơ năng ...........................................................................114 3.4. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN .........................................................................117 3.4.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến ...................................................................117   3.4.2. Vật quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc  gia tốc góc  117 3.4.3. Vật rắn là tấm phẳng chuyển động song phẳng.........................................118 CÂU HỎI ÔN TẬP .....................................................................................................120 Phần 2: CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG ………………………………………121 Chương 4 .....................................................................................................................121 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG.............................................................................121 4.1. MỞ ĐẦU ..........................................................................................................121 4.1.1. Các khái niệm về thanh .............................................................................121 4.1.2. Nội lực- Ứng suất ......................................................................................122 4.1.3. Phương pháp mặt cặt biến thiên- các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang .............................................................................................................................123 4.1.4. Quan hệ giữa ứng suất và các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang ......124 4.1.5. Biến dạng ...................................................................................................125 4.1.6. Các giả thiết cơ bản về vật liệu .................................................................126 4.2. KÉO- NÉN ĐÚNG TÂM .................................................................................127 4.2.1. Khái niệm ..................................................................................................127 4.2.2. Nội lực và biểu đồ nội lực .........................................................................127 4.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ......................................................................128 4.2.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản ....................................................134 4.3. XOẮN THUẦN TÚ Y CỦA THANH THẲNG ...............................................135 4.3.1. Khái niệm ..................................................................................................135 4.3.2. Nô ̣i lực và biể u đồ nô ̣i lực .........................................................................136 4.3.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ......................................................................137 4.3.4. Điều kiện cường độ– ba bài toán cơ bản ...................................................141 4.4. UỐN PHẲNG CỦA THANH THẲNG ...........................................................143 4.4.1. Khái niệm ..................................................................................................143 4.4.2. Nội lực và biểu đồ nội lực .........................................................................143 4.4.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ......................................................................146 4.4.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản ....................................................154 4.5. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP ....................................................................156 4.5.1. Thanh chịu uốn xiên ..................................................................................158 4.5.2. Uốn và kéo (nén) đồng thời .......................................................................161 4.5.3. Kéo (nén) lệch tâm ....................................................................................165 4.5.4. Xoắn và uốn đồng thời ..............................................................................167 4.5.5. Thanh chịu lực tổng quát ...........................................................................171 CÂU HỎI ÔN TẬP .....................................................................................................172 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................173 4
Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI Chương 1 ĐỘNG HỌC 1.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM Trong phần động học điểm, chúng ta khảo sát chuyển động của một điểm đối với một hệ quy chiếu đã chọn. Để mô tả sáng sủa và gọn gàng các đặc trưng của chuyển động, chúng ta sử dụng phương pháp véc tơ. Để tính toán thuận tiện, chúng ta sử dụng các phương pháp tọa độ như phương pháp tọa độ Đềcác, phương pháp tọa độ tự nhiên, phương pháp véc tơ. 1.1.1. Phương pháp véc tơ 1.1.1.1. Phương trình chuyển động Xét điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz (Hình 1.1). Vị trí của điểm M được xác định bởi   véc tơ r  OM . Điểm M chuyển động, do đó  r thay đổi theo thời gian:   r  r (t ) (1.1) Phương trình (1.1) được gọi là phương trình chuyển động của điểm M dạng véc tơ. Chú ý rằng điểm M chuyển động liên tục, ở mỗi thời điểm, điểm M chiếm một vị trí xác định và có hướng chuyển động xác định.  Hình 1.1 Do đó r (t ) là một hàm liên tục, đơn trị. Tập hợp các vị trí của điểm trong không gian quy chiếu được gọi là quỹ đạo của nó trong hệ quy chiếu ấy. Phương trình (1.1) là phương trình tham số của quỹ đạo. Nếu quỹ đạo là đường thẳng, thì chuyển động được gọi là chuyển động thẳng. Nếu quỹ đạo là đường cong, thì chuyển động được gọi là chuyển động cong. Và khi đó, người ta thường lấy tên đường cong quỹ đạo để gọi tên chuyển động 1.1.1.2. Vận tốc chuyển động Một trong những đặc trưng cơ bản của chuyển động của điểm là khái niệm vận tốc đối với một hệ quy chiếu đã chọn. Chúng ta sẽ xây dựng một cách chặt chẽ khái   niệm này. Giả sử ở thời điểm t, điểm ở vị trí M xác định bởi r  OM . Ở thời điểm   khác t1 = t + ∆t, điểm ở vị trí M1 xác định bởi r 1  OM 1 (Hình 1.2). Như thế sau khoảng thời gian ∆t điểm dịch chuyển được một đoạn: 5
    MM 1  r1  r   r Hình 1.2 Hình 1.3 Vận tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:      r d r  v  lim vtb  lim  r (1.2) t 0 t dt t 0 Như thế, vận tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ định vị  của điểm ấy. Véc tơ vận tốc v hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo ở điểm M về phía chuyển động. Đơn vị của vận tốc là mét/giây, ký hiệu là m/s. 1.1.1.3. Gia tốc chuyển động  Giả sử ở thời điểm t, điểm ở vị trí M, có vận tốc là v . Sang thời điểm t1 = t +  ∆t, điểm ở vị trí M1 có vận tốc là v1 . Như thế, sau khoảng thời gian ∆t, vận tốc của    điểm biến thiên một đại lượng  v  v1  v .   Đại lượng atb   v / t được gọi là gia tốc trung bình của điểm trong khoảng   thời gian ∆t, kể từ thời điểm t. Véc tơ atb hướng dọc theo véc tơ v (Hình 1.3). Gia tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:       v d v d 2 r  a  lim atb  lim   2 r (1.3) t 0 t dt dt t 0 Như thế, gia tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ vận tốc và bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của véc tơ định vị của điểm ấy. Đơn vị của gia tốc là: mét/giây2, ký hiệu là m/s2. 1.1.1.4. Nhận xét về một vài tính chất của chuyển động Trước hết ta nêu ra một tiêu chuẩn nhận xét về chuyển động thẳng và chuyển  động cong của điểm. Khi điểm chuyển động thẳng, véc tơ vận tốc v luôn không đổi về      phương do đó véc tơ v và véc tơ a luôn cùng phương. Vì vậy, véc tơ v  a  0 . 6
 Ngược lại, khi điểm chuyển động cong, véc tơ v nói chung thay đổi cả về hướng cũng   như trị số. Các véc tơ v và véc tơ a nói chung không cùng phương. Vì vậy ta có tiêu chuẩn nhận xét:     0 : ChuyÓn ®éng th¼ng  va    0 : ChuyÓn ®éng cong Bây giờ ta đưa ra tiêu chuẩn nhận xét về tính đều và tính biến đổi của chuyển động. Chuyển động là đều khi giá trị của vận tốc v không đổi. Chuyển động nhanh dần hay chậm dần tùy theo giá trị của vận tốc tăng lên hay giảm đi theo thời gian. Chú ý rằng, sự thay đổi của v2 đặc trưng cho sự thay đổi của giá trị v của vận tốc. Ta có: d (v 2 ) d (v 2 )  dv    2v.  2v a dt dt dt Từ đó rút ra tiêu chuẩn nhận xét:     0 : ChuyÓ n ®éng ®Òu v a    0 : ChuyÓ n ®éng biÕn ®æi       Trong trường hợp thứ 2, nếu v  a > 0 thì chuyển động là nhanh dần v  a < 0 là chuyển động chậm dần. 1.1.2. Phương pháp toạ độ Đề các 1.1.2.1. Phương trình chuyển động Vị trí của điểm M được xác định bằng ba tọa độ x, y, z của điểm ở trong hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy (Hình 1.4)     r  x. i  y j  z k Khi điểm M chuyển động x, y, z biến đổi liên tục theo thời gian. Vậy các phương trình chuyển động có dạng: x=x(t); y = y(t); z = z(t) (1.4) 1.1.2.2. Vận tốc chuyển động Theo công thức (1-2) ta có:  Hình 1.4 d r d    dx  dy  dz  v  (x i  y j  z k )  i j k dt dt dt dt dt Chiếu đẳng thức lên ba trục tọa độ, ta nhận được: dx  dy  dz  vx   x; vy   y; v z   z; (1.5) dt dt dt Dựa vào các biểu thức (1.5), ta có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ 7
 phương của vận tốc v :  v  v  vx2  v y2  vz2  x 2  y 2  z 2   v  vx v cos(Ox, v )  ; cos(Oy, v )  y ; cos(Oz, v )  z v v v 1.1.2.3. Gia tốc chuyển động Tương tự như xác định các biểu thức thành phần vận tốc, từ công thức (1.3) ta có:   dv d    d        a  (v x i  v y j  v z k )   x i  y j  z k  dt dt dt      d vx  d v y  d vz          = i j k   x i  y j z k  dt dt dt    Từ đó nhận được hình chiếu của gia tốc a trên các trục tọa độ: dvx  dv y  dvz  ax   x; vy   y; v z   z; (1.6) dt dt dt  Từ (1.6) ta cũng có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ phương của a :     a  a  ax2  a y2  az2  x 2  y 2  z 2   a  ax a cos(Ox, a )  ; cos(Oy, a )  y ; cos(Oz, a )  z a a a Ví dụ 1.1. Chuyển động của điểm M ở trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi phương trình: x  b sin t; y  d cost (1.7) Trong đó: b, d, ω, là các hằng số dương. Hãy xác định phương trình quỹ đạo, độ lớn của vận tốc, gia tốc của điểm M ở thời điểm t1 = π/2ω. Sau đó xác định phương trình đường đầu mút của véc tơ vận tốc. Bài giải: Muốn tìm phương trình quỹ đạo, ta chỉ việc tìm cách khử tham số thời gian t trong các phương trình chuyển động. Trong ví dụ này, từ các phương trình chuyển động ta suy ra: x y sin t  cost  b d Do tính chất sin 2 t  cos2 t  1, nên ta có phương trình quỹ đạo: x2 y2  1 b2 d 2 Vậy quỹ đạo là một đường elip với các bán trục b và d (Hình 1.5) Từ phương trình (1.7) ta tính các đạo hàm theo t: 8
  v x  x  b cos t , v y  y   d sin t   a x  x  b 2 sin t ; a y  y   d 2 cos t y y M0 vo M vo ao a v O1 M'0 o a1 M1 x v x v1 ao v1 M'1 a M' v a1 a) b) Hình 1.5 Ở thời điểm t = π/2ω, điểm M ở vị trí M1 (x1 = b; y1 = 0) và các hình chiếu vận tốc và gia tốc của nó có dạng: v1x  0 v1 y  -d a1x  b 2 a1 y  0 Để vẽ đường đầu mút véc tơ vận tốc (cũng gọi là đường đầu tốc) ta chọn trên mặt phẳng vận tốc hệ trục vuông góc 01x1y1 tương ứng như sau (Hình 1.5) x1  vx  b cost; y1  vy  d sin t Khử t từ các phương trình tham số của đường đầu mút véc tơ vận tốc, ta nhận được phương trình: x12 y12  1 (1.8) b 2 2 d 2 2 Đây là phương trình đường đầu mút véc tơ vận tốc dạng tọa độ. Trên hình 1.5 các điểm M’0, M’, M’1 trên đường đầu mút véc tơ vận tốc tương ứng với các điểm M0, M, M1 ở trên quỹ đạo 1.1.3. Phương pháp toạ độ tự nhiên 1.1.3.1. Phương trình chuyển động Phương pháp tọa độ tự nhiên được áp O M (C) dụng khi biết trước quỹ đạo chuyển động của - + điểm. Giả sử cho biết quỹ đạo (C) của điểm ở trong một hệ quy chiếu không gian. Chọn một Hình 1.6 điểm tùy ý O ở trên quỹ đạo làm điểm gốc và định chiều dương trên quỹ đạo (Hình 1.6). Vị trí của điểm M được xác định bằng độ dài đại số cung OM  s . Điểm M chuyển động do đó s thay đổi theo thời gian. Phương trình: 9
s  s (t ) (1.9) Biểu diễn quy luật chuyển động của điểm M dọc theo quỹ đạo gọi là phương trình chuyển động của điểm dạng tọa độ tự nhiên. Chú ý rằng s là một đại lượng đại số. Tuy nhiên nếu chiều chuyển động không đổi và nếu chọn chiều đó là chiều dương để tính cung, thì với cách chọn gốc O thích hợp s sẽ luôn dương. 1.1.3.2. Một vài tính chất hình học của quỹ đạo 1. Hệ tọa độ tự nhiên Trước hết chúng ta hãy đưa ra cách xác định mặt phẳng mặt tiếp của n quỹ đạo tại điểm M của nó. Trên quỹ đạo ngoài điểm M ta lấy thêm điểm M1 (Hình 1.7). Kẻ các tiếp tuyến MT và O n M’ - M1T1. Qua M kẻ đường MT’1// M1T1. + b M t Dựng mặt phẳng P chứa các đường MT t và MT’1. Khi cho M1 tiến dần đến M, mặt phẳng P sẽ tiến dần đến một mặt b Hình 1.7 phẳng giới hạn π, gọi là mặt phẳng mật tiếp của quỹ đạo tại điểm M. Như thế, nếu quỹ đạo là đường cong phẳng thì mặt phẳng chứa đường cong quỹ đạo là mặt phẳng mật tiếp tại mọi điểm của quỹ đạo. Khi quỹ đạo là đường cong không gian, ta lấy một cung rất bé MM’ = d s . Vì cung d s rất bé nên có thể thay thế nó bằng một cung phẳng cùng điểm đầu, điểm cuối. Mặt phẳng chứa cung phẳng này sẽ được xem một cách gần đúng là mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm M (Hình 1.7). Dựng trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm M trục Mt hướng theo tiếp  tuyến của quỹ đạo về phía dương. Véc tơ đơn vị trên trục đó là t0 . Dựng trục Mn hướng theo pháp tuyến của quỹ đạo về phía lõm. Pháp tuyến Mn nằm trong mặt phẳng  mật tiếp gọi là pháp tuyến chính. Véc tơ đơn vị trên trục này là n0 . Dựng pháp tuyến Mb của quỹ đạo tại M và vuông góc với mặt phẳng mật tiếp. Pháp tuyến Mb gọi là  trùng pháp tuyến. Véc tơ đơn vị trên trục này là b0 . Thường người ta chọn chiều của  b0 sao cho Mtnb tạo thành một hệ trục thuận (Hình 1.7). Như thế, tại mỗi điểm của đường cong là luôn dựng được một hệ tọa độ vuông góc có ba trục hướng theo tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, gọi là hệ tọa độ tự nhiên. Hệ tọa độ tự nhiên thay đổi theo vị trí của điểm M trên quỹ đạo và phản ảnh được một phần tính chất hình học của quỹ đạo. 2. Độ cong của quỹ đạo Ta nhận thấy rằng quỹ đạo càng cong thì tiếp tuyến của nó đổi hướng càng 10
nhanh dọc theo quỹ đạo ấy. Vì vậy người ta đưa ra khái niệm độ cong của quỹ đạo (Hình 1.8).  Đại lượng: ktb  s được gọi là độ cong trung bình của quỹ đạo ứng với cung MM1.  d Đại lượng: k  lim  s  0 s ds được gọi là độ cong của quỹ đạo tại điểm 1 M. Đại lượng   là bán kính cong của quỹ đạo k tại điểm M. Để minh họa, xét quỹ đạo là đường tròn bán kính R. Khi đó ∆s=R∆φ.  Vậy ta có:  1 k  ,  R Hình 1.8 s R Như thế bán kính cong của đường tròn tại các điểm của chúng chính bằng bán kính cong của đường tròn đó. 1.1.3.3. Vận tốc chuyển động  Để xác định vận tốc v ta sẽ tìm hình chiếu của nó trên các trục của hệ tọa độ tự    nhiên. Vì véc tơ v hướng theo tiếp tuyến quỹ đạo tại M, nên v  vt t0 . Mặt khác theo định nghĩa:     dr dr ds  dr v   s dt ds dt ds  dr  Trong phần hình học vi phân, người ta chứng minh  t0 . Vì vậy ta rút ra: ds vt  s ; v n  vb  0 (1.10)  Chú ý rằng: v t  v 1.1.3.4. Gia tốc chuyển động Tương tự như phần vận tốc, ta sẽ tìm hình chiếu của véc tơ gia tốc trên các trục của hệ tọa độ tự nhiên:     a  a t t0  a n n0  a bb0 Mặt khác theo định nghĩa:    dv d      vt t0   vt t0  vt t0  vt t  vt dt0 ds a  dt dt ds dt   dt0 n0 Trong phần hình học vi phân, người ta đã chứng minh:  ds  11
 dv  v 2    Vì vậy ta có: a  t t0  t n0  a  a n dt  dvt n v 2 b Cuối cùng ta rút ra: a  ;a  ;a  0 t (1.11) dt   Từ (1.11) ta thấy gia tốc pháp tuyến a n luôn luôn hướng về tâm cong của quỹ đạo,   còn gia tốc tiếp tuyến a thì có thể hướng cùng chiều hoặc ngược chiều với vận tốc v . Từ các biểu thức (1.11) ta đưa ra một vài nhận xét về ý nghĩa của các thành phần gia tốc. Từ biểu thức a n  v 2 /  ta thấy: khi điểm chuyển động nói chung v ≠ 0, do đó an= 0 khi ρ = ∞. Vậy chỉ trong chuyển động thẳng thì an mới luôn luôn triệt tiêu. Trong chuyển động cong, nói chung a ≠ 0. Như thế gia tốc pháp tuyến phản ứng tính cong của quỹ đạo, do đó đặc trưng cho sự thay đổi về phương của véc tơ vận tốc. Chú ý rằng giá trị của an tỷ lệ với bình phương của vận tốc nên tăng rất nhanh khi giá trị vận tốc tăng. dvt Từ biểu thức a  ta rút ra: gia tốc tiếp đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc dt về mặt trị số. Nó phản ánh tính đều ( a  0 ) hay tính biến đổi ( a  0 ) của chuyển t t động. 1.1.4. Một số chuyển động thường gặp 1.1.4.1. Chuyển động đều: Chuyển động đều của điểm là chuyển động mà vận tốc của nó có trị số không đổi (v = v0 = hằng số). Nếu chọn chiều chuyển động không đổi của điểm làm chiều dương trên quỹ đạo thì phương trình chuyển động của điểm có dạng: t s   v0 dt  s0 v0t  s0 0 1.1.4.2. Chuyển động biến đổi đều: Chuyển động biến đổi đều của điểm là chuyển động mà thành phần gia tốc tiếp luôn có trị số không đổi (at = a = hằng số). dvt Từ biểu thức a   a; ta suy ra: vt  at  v0 dt Vậy phương trình chuyển động có dạng: ds 1 vt   s  at 2  v0 t  s0 dt 2 Trong chuyển động biến đổi đều nếu vt và at cùng dấu thì chuyển động là nhanh dần đều, nếu vt và at ngược dấu nhau thì chuyển động là chậm dần đều. Trong thực tế,  nếu ta chọn chiều dương trên quỹ đạo trùng với chiều của vận tốc đầu v0 thì nếu a t  a  0 chuyển động là nhanh dần đều, còn a t  a  0 chuyển động là chậm dần 12
đều cho đến khi dừng lại (v = 0). Ví dụ 1.2. Cho điểm chuyển động theo quy luật: t x  t  sin t ; y  1  cost; z  4sin 2 Xác định bán kính cong của quỹ đạo theo thời gian t. Bài giải: Trước hết đạo hàm các hàm x, y, z theo t:    t x  1  cost; y  sin t ; z  2 cos ; 2    t x  sin t ; y  cost; z   sin ; 2 Ta dễ dàng tính được:    t v 2  x 2  y 2  z 2  2(1  cost )  4 cos2 4 2    t a 2  x 2  y 2  z 2  1  sin 2 2 dv v2 4 Từ đó suy ra: a t   0; an   dt   4 Do an = a nên ta có:   t 1  sin 2 2 Ví dụ 1.3. Một chất điểm chuyển động trên một đoạn cung của đường tròn có bán kính R = 1000m với vận tốc ban đầu v0 = 54 km/h. Sau khi đi được một đoạn đường có chiều dài 500m, vận tốc của chất điểm giảm xuống còn 36 km/h. Cho biết chất điểm chuyển động chậm dần đều. Tính gia tốc của chất điểm tại lúc xuất phát và lúc vận tốc có giá trị 36 km/h. Bài giải: Chọn chiều dương quỹ đạo thuận chiều chuyển động của chất điểm và chọn gốc toạ độ trùng với vị trí xuất phát của chất điểm (s0 = 0). Vì chất điểm chuyển động chậm dần đều nên ta có: 1 v   a t t  v0 ; s   a t t 2  v0 t 2 Trong đó: at là gia tốc tiếp tuyến của chất điểm. Khử t từ hai phương trình trên, ta có: (v0  v)(v0  v) at  2s Khi thay các giá trị: v0 = 15 m/s (ứng với 54 km/h), v = 10 m/s (ứng với 36 km/h), s = 500m, ta nhận được: 13
5  25 at   0,125 m / s 2 1000 Vì chuyển động là chậm dần đều nên gia tốc tiếp có giá trị như nhau tại mọi thời điểm (at = 0,125 m/s2), còn gia tốc pháp được tính theo công thức (1.11) - Gia tốc pháp tại thời điểm xuất phát: v02 15 2 a  n 0   0,225 m / s 2 R 1000 - Gia tốc pháp tại thời điểm vận tốc có giá trị 36 km/h: v 2 10 2 a  n   0,1m / s 2 R 1000 Vậy gia tốc toàn phần tại hai thời điểm này là: a0  (a0t ) 2  (a0n ) 2  0,125 2  0,225 2  0,258 m / s 2 a  (a t ) 2  (a n ) 2  0,125 2  0,12  0,16m / s 2 1.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI 1.2.1. Các chuyển động cơ bản của vật rắn 1.2.1.1. Chuyển động tịnh tiến 1. Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi đoạn thẳng thuộc vật luôn luôn song song với vị trí ban đầu của nó. Ví dụ. Chuyển động của thùng xe trên đoạn đưởng thẳng (Hình 1.9), chuyển động của thanh truyền AB trong cơ cấu bốn khâu có các tay quay O1A và O2B bằng nhau (Hình 1.10) là chuyển động tịnh tiến. Hình 1.9 Hình 1.10 Chú ý: Không có khái niệm điểm chuyển động tịnh tiến. Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, các điểm thuộc vật có thể chuyển động không thẳng, không đều. 2. Khảo sát chuyển động của vật Định lí. Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc các điểm của vật rắn như nhau tại cùng một thời điểm. Chứng minh. Lấy hai điểm A, B bất kỳ thuộc vật. các véc tơ định vị của chúng thỏa mãn điều kiện (Hình 1.11) 14
   rB  rA  AB (1.12)  Đối với vật rắn bất kỳ, véctơ AB luôn có độ lớn không đổi, đối với chuyển   động tịnh tiến AB luôn có hướng không đổi. Vậy AB = const. Phương trình (1.12) chứng tỏ rằng vị trí của điểm B là vị trí của điểm A trượt đi một véctơ z B'  B hằng AB . Nếu sự dịch chuyển trên được thực hiện thì quỹ đạo của điểm A sẽ chồng khít lên quỹ đạo A' rB của điểm B. Các quỹ đạo như thế được gọi là như A rA nhau. O  y Do AB =const nên đạo hàm đẳng thức x (1.12) theo thời gian, ta có: Hình 1.11   drB drA    hay VB  VA dt dt   dv B dv A    hay a B  a A dt dt Từ định lý trên ta thấy rằng, việc khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn được đưa về khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ thuộc vật rắn. Phương pháp khảo sát chuyển động của điểm đã được trình bày như trong chương trước. 1.2.1.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định 1. Định nghĩa z I P0 P Hình 1.12a Hình 1.12b Chuyển động của vật rắn có hai điểm cố định, do đó có một trục đi qua hai điểm đó cố định, được gọi là chuyển động quay quanh một trục cố định. Trục cố định đó được gọi là trục quay của vật. Trên hình 1.12a cho ta mô hình không gian của vật rắn quay quanh một trục cố 15
định. Giao giữa vật rắn quay và mặt phẳng vuông góc với trục quay cho ta mô hình phẳng như hình vẽ 1.12b. 2. Khảo sát chuyển động của vật a. Phương trình chuyển động Ta chọn quy ước một chiều quay dương quanh trục. Dựng mặt phẳng P0 cố định qua trục và mặt phẳng động P qua trục và z gắn chặt với vật rắn. Góc giữa mặt phẳng P0 và mặt phẳng P và    . Vị trí của vật rắn khi đó được xác định vởi vị trí của mặt phẳng P đối với mặt phẳng P0 tức là được xác định bởi góc quay   giữa  . Khi vật quay, góc quay  thay đổi theo thời gian.      (t ) (1.13) Phương trình (1.13) là phương trình chuyển động của vật P0 rắn quay quanh một trục cố định. P Như thế, vị trí của vật rắn quay quanh một trục cố định  Hình 1.13 được xác định bởi một tham số là góc quay  . Do đó vật rắn loại này có một bậc tự do.  Chú ý: Góc quay  có thể dương hay âm tùy thuộc vào chiều quay dương đã  chọn. Thông thường người ta quy ước góc quay  được xem là dương nếu vật quay ngược chiều kim đồng hồ, và xem là âm nếu vật quay cùng chiều kim đồng hồ. Góc  quay  được tính bằng radian (rad). b. Vận tốc góc của vật Để đặc trưng cho chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định, người ta đưa vào các khái niệm vận tốc góc và gia tốc góc. Đại lượng   d .   (1.14) dt gọi là vận tốc góc của vật. Như thế vận tốc góc là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay. Dấu của   .   cho biết chiều quay của vật quanh trục. Nếu  =  > 0 thì  tăng theo thời gian và  vật rắn quay theo chiều dương. Ngược lại nếu  < 0 thì vật quay theo chiều âm. Giá trị tuyệt đối    cho biết độ nhanh của chuyển động quay:  có giá trị càng lớn, thì vật quay càng nhanh. Đơn vị để tính vận tốc góc là radian trên giây. Ký hiệu là rad/s. Người ta cũng dùng đơn vị 1/s để tính vận tốc góc. Trong kỹ thuật người ta hay sử dụng đơn vị vòng/phút để tính tốc độ góc. Do 1 16
vòng = 2 rad , 1 phút =60s nên ta dễ dàng thiết lập hệ thức liên hệ giữa hai loại đơn vị: n   0,1n rad / s (1.15) 30 Ví dụ: n = 9000 vòng/ph thì   300 rad / s c. Gia tốc của vật Đại lượng   d d 2 ..   2  (1.16) dt dt Gọi là gia tốc góc của vật. Đơn vị để tính gia tốc góc là radian/giây2. Ký hiệu là rad/s2. Người ta cũng dùng đơn vị 1/s2 để tính gia tốc góc. Gia tốc góc  đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc góc  theo thời gian. Khi  =0, do đó  = const, chuyển động quay đều. Khi   0 , chuyển động quay biến đổi. Nếu  =  tăng theo thời gian, thì vật rắn quay nhanh dần. Ngược lại khi  giảm theo thời gian, thì vật rắn quay chậm dần. Chú ý rằng sự biến đổi của giá trị vận tốc góc  được đặc trưng bởi sự biến đổi của     . Do đó để tìm dấu hiệu nhận biết 2 2 tính chất của chuyển động quay, ta xét dấu của đạo hàm: d 2   dt Do   d 2  2 . Ta có kết luận: dt Khi  =0: Vật rắn quay đều;  .  >0: Vật rắn quay nhanh dần;  . 
Để biểu diễn gọn gàng, sáng sủa những đặc điểm của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định và để chuẩn bị cơ sở nghiên cứu sâu hơn về động học vật rắn. Người ta sử dụng véctơ để biểu diễn vận tốc góc và gia tốc góc. Ký hiệu véctơ   là  , véctơ gia tốc góc là  . Véc tơ vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục z  cố định  là một véc tơ nằm trên trục quay có chiều sao cho   nhìn từ ngọn đến gốc véc tơ  ta thấy vật rắn quay ngược  0  chiều kim đồng hồ và có trị số    . Nếu gọi k là véc tơ đơn vị trên trục quay z, ta có:    .k  0 Véc tơ gia tốc của vật rắn quay quanh một trục cố  định  là một véc tơ bằng đạo hàm theo thời gian của véc tơ k  vận tốc góc  của vật rắn: Hình 1.14 d d   k   .k dt dt  Như thế véc tơ gia tốc góc  cũng nằm trên trục quay, chiều và trị số của nó được xác định bởi dấu và trị số của  (Hình 1.14). 3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật Xét chuyển động một điểm M bất kỳ thuộc vật rắn, nằm cách trục quay z một đoạn IM=R. Khi vật rắn quay quanh trục z cố định, quỹ đạo của điểm M là một đường tròn tâm I. Bán kính R, nằm trên mặt phẳng đi qua I và vuông góc với trục quay. Do biết được quỹ đạo chuyển động của M nên ta sử dụng phương pháp tọa độ tự nhiên để phân tích chuyển động của điểm M. a. Phương trình chuyển động của điểm Chọn điểm O trên mặt phẳng P0 làm gốc quy chiếu và lấy chiều quay dương làm chiều dương. Vị trí của điểm M được xác định bởi cung s  OM s  R (t ) (1.19) b. Vận tốc các điểm v P P0 I O v  M I P0  M P Hình 1.15 Hình 1.16 18
  .  Ta có: v  vt t 0  s t 0  Vậy vận tốc v của điểm M vuông góc với IM, hướng theo chiều quay của vật (Hình 1.15) và có trị số xác định bởi công thức: . . v  s  r   R (1.20) Như thế, vận tốc các điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định được phân bố quanh trục quay theo quy tắc tam giác đồng dạng (Hình 1.16). Ta có: vM v N   IM IN Bây giờ ta thiết lập công thức Ơle, một công thức rất quan trọng trong động học vật rắn. Trước hết ta lấy hai hệ tọa độ vuông góc: Hệ Ox1y1 cố định, hệ Oxy chuyển động quay quanh một y1 y trục cố định O. (Hình 1.17).  x Gọi véctơ đơn vị trên trục Ox là i ; trên trục    j1 Oy là j trên các trục Ox1, Oy1 tương ứng là i1 , j1 . j i Từ hình 1.17 ta có:    i  cos.i1  sin . j1 O    i1 x1 j  cos. j1  sin .i1 Hình 1.17 Thực hiện phép tính đạo hàm theo t:  di      (cos . j1  sin  .i1 )  . j dt  (1.21) dj      (cos .i1  sin  . j1 )  .i1 dt Xét vật rắn quay quanh một trục z cố định. Chọn hệ tọa độ cố định Ox1y1z1 làm hệ quy chiếu. Lấy hệ tọa độ động Oxyz gắn z z1 liền với vật. (Hình 1.18). Vị trí của điểm M  thuộc vật được xác định bởi véctơ r : z     M r  xi  yj  zk Trong đó: x, y, z là tọa độ của điểm M k y trong hệ tọa độ Oxyz. Chúng là các hằng số. y j  Vận tốc của điểm M: O     i y1  dr di dj d i v x y z dt dt dt dt  x x1 Do k =const, nên k =0. Ta có: x Hình 1.18 19
     v  x. j  yi   y z i  x z j Mặt khác, chú ý đến tích véctơ:    i j k       r  0 0  z   y z i  x z j Từ trên ta có x y z    v  r (1.22) Công thức (1.22) gọi là công thức Ơle. Đây là công thức cơ bản của lí thuyết động học vật rắn. Chú ý rằng, ta có thể thiết lập công thức Ơle nhanh gọn hơn bằng một vài nhận xét hình học về tích hữu hướng của hai véctơ. c. Gia tốc các điểm Điểm M chuyển động tròn nên trong trường hợp  tổng quát, gia tốc của nó có hai thành phần: gia tốc pháp   tuyến a n và gia tốc tiếp tuyến a  (Hình 1.19): a at    a  a n  a  Gia tốc pháp tuyến a n hướng từ điểm M vào tâm I. I an M Trị số của nó: v2 an   R 2 (1.23)  Hình 1.19  Gia tốc tiếp tuyến a  hướng cùng chiều với vận tốc  v tùy theo vật rắn quay nhanh dần hay chậm dần quanh trục quay. Trị số của nó: a  v  R (1.24) Gia tốc toàn phần của điểm M tạo với MI một góc  mà: a  tg   2 a n  a Còn trị số của nó: I M a a   a   2 n 2  R   4 2 Như thế, gia tốc các điểm của vật rắn chuyển Hình 1.20 động quay quanh một trục cố định được phân bố theo quy tắc tam giác thường đồng dạng với hệ số đồng dạng là  4   2 (Hình 1.20). Từ công thức Ơle (1.22) ta có: dv d       (1.25) a   (  r )    r    v dt dt Bằng một vài suy luận đơn giản, ta rút ra:         a n    v ; a    r    v (1.26) 20