Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chia sẻ: Bui Thi | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

215
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

phương pháp quy nạp toán học nhằm giúp các em học sinh và giáo viên có những tài liệu quý giá phục vụ cho việc học tập và giảng dạy của mình hiệu quả nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Daklak 23 October 2013
1./ PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Hoạt động mở đầu Xét hai mệnh đề chứa biến P ( n) :"3  n  100" n và Q ( n) : "2 n  n " với n N* Với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 thì P(n) , Q(n) đúng hay sai? Với mọi n N* thì P(n) , Q(n) đúng hay sai?
Phƣơng pháp chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nhƣ sau: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp) ,chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 Phương pháp này là phƣơng pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phƣơng pháp quy nạp
Hoạt động 1: Tính: 1+3= 1+3+5= 1+3+5+7= ………………… 1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n – 1) =
Kết quả HĐ1: 11 2 1 1 3  2 1 3 2 Quan sát , rút ra qui luật 1 3 5 1 3 5  3 2 1 3 5 7 1 3  5  7  4 2
Sn  1  3  5   (2n  1) 
Hoạt động 2: Cho An = 13n – 1 Khi A1 , A2 , A3 , A4 có chia hết cho 6 không? Dự đoán An có chia hết cho 6 với mọi n  N* không?
Kết quả HĐ 2: A1 = 131 – 1 chia hết cho 6 A2 = 132– 1 chia hết cho 6 A3 = 133 – 1 chia hết cho 6 A4 = 134 – 1 chia hết cho 6 ……………….. Dự đoán: An = 13n – 1 có chia hết cho 6 hay không?
An  (13  1) 6 n
Hoạt động 3: Viết các hằng đẳng thức sau a2 – b2 = a3 – b3 = a4 – b4 = ……………………. Dự đoán: an – bn = với n N* và n ≥ 2
Kết quả HĐ 3: a2 – b2 = (a – b)(a + b) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a4 – b4 = (a2 – b2)(a2 + b2) = (a – b)(a + b)(a 2 + b2) = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3) Dự đoán: an – bn =
n 1 n2 n2 a  b  (a  b)(a  a b   ab  b ) n n n
2. VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số Nhóm1 nguyên dương n thì: 1 3  5   (2n  1)  n 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi Nhóm 2 số nguyên dương n thì: An  13  1 n chia hết cho 6 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số Nhóm 3 nguyên dương n ≥ 2 thì: n 1 n2 n2 a  b  (a  b)(a  a b   a b  b ) n n n
Lời giải ví dụ 1: Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 1,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúng Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn Sn  1  3  5   (2n  1) Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là: Sk  1  3  5   (2k 1)  k 2 Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là: Sk 1  1  3  5   (2k 1)  [2(k+1)-1]  (k  1) 2
Thật vậy ,ta có: Sk 1  Sk  [2(k+1)-1]  k  2k  1 2  (k  1) 2 Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N*
Lời giải ví dụ 2: Đặt An  13n  1 Bước 1: Khi n = 1 A  12 6 1 Vậy hệ thức (2) đúng Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có : Ak  (13  1) 6 k Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là: k 1 Ak 1  (13  1) 6
Thật vậy ,ta có: Ak 1  13  1 k k 1  (13  13 )  (13  1) k k  2.13  Akk 2.13k 6 Vì:  nên Ak 1 6  Ak 6 Vậy đẳng thức (2) đúng