zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 3 - Nguyễn Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Báo xấu

6
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 3cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Định lý Kronecker–Capelli; Hệ phương trình Cramer; Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 3 - Nguyễn Phương

BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 × 2 Ví dụ 3.1. ( x − y = −1 Giải hệ phương trình sau: x −y=1 y y=x +1 x y=x −1 Nhận xét: Hai đường thẳng không có điểm chung =⇒ HPT vô nghiệm Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 48 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Ví dụ 3.2. ( x − y = −1 Giải hệ phương trình sau: x +y=2 y y=x +1 x y = −x + 2 Nhận xét: Hai đường thẳng có 1 điểm chung =⇒ HPT có nghiệm duy nhất. Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 49 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Ví dụ 3.3. ( −x + y = 1 Giải hệ phương trình sau: −x + y = 1 y y=x +1 x Nhận xét: Hai đường thẳng có vô số điểm chung =⇒ HPT có vô số nghiệm. Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 50 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 × 3 Ví dụ 3.4.  3x + 0y + 2z = 0  Xét hệ phương trình sau: 0x + y + 0z = 0  0x + 0y + z = 0  z Nghiệm của HPT. Nghiệm duy nhất. y x Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 51 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Ví dụ 3.5.  0x + y + z = 0  Xét hệ phương trình sau: 0x + y + 0z = 0  0x + 0y + z = 0  z Nghiệm của HPT. Vô số nghiệm. y x Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 52 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Ví dụ 3.6.  0x + 3y + 2z = 0  Xét hệ phương trình sau: 0x + y + 0z = −1  0x + 0y + z = 1  z HPT Vô nghiệm. y x Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 53 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa HỆ PHƯƠNG TRÌNH n × m Định nghĩa 3.1. Hệ phương trình tuyến tính (HPT-TT) gồm m phương trình, n ẩn có dạng    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2  .. (2)    . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm  trong đó a1 , . . . , amn và b1 , . . . , bm là các số thực. 1 Nếu b1 = . . . = bm = 0 thì nó được gọi HPT-TT thuần nhất. 2 Nếu tồn tại bi ̸= 0 với mọi i = 1, . . . , m thì nó được gọi HPT-TT không thuần nhất. Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 54 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Định nghĩa 3.2. Hệ phương trình (2) có thể được viết về dạng như sau:      a11 a12 · · · a1n x1 b1  a21 a22 · · · a2n   x2   b2      =  .. .. .. . .  .   ..   ..        . . am1 am2 · · · amn xn bm | {z } | {z } | {z } A X B hoặc dạng ma trận mở rộng như sau:   a11 a12 · · · a1n b1  a21 a22 · · · a2n  b2  A|B =  .  .. .. ..  ..  . . .  am1 am2 · · · amn bm Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 55 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Định nghĩa 3.3. Bộ α = (α1 , α2 , . . . , αn ), tức là x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn ., được gọi là nghiệm của HPT-TT (2) nếu nó thoả mãn tất cả các phương trình trong HPT (2). Ví dụ 3.7.  11 2 3  x1 + x2 + 3x3 = 0  x= ,− ,− là nghiệm của HPT sau: 2x1 − 2x2 + 2x3 = 4 5 5 5  3x1 + 9x2 =3  Định nghĩa 3.4. Hai HPT-TT được gọi là tương đương khi có cùng tập nghiệm. Ví dụ 3.8. Hệ HPT sau là tương đương ( ( x1 + 2x2 = 4 4x1 + x2 = 6 và 4x1 + x2 = 6 x1 + 2x2 = 4 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 56 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli ĐỊNH LÝ KRONECKER–CAPELLI Định lý 3.1. Cho r(A) và r(A|B) lần lượt là hạng của ma trận hệ số và ma trận mở rộng của HPT Ax = B. Ta có, 1 r(A) ̸= r(A|B) ⇐⇒ HPT (2) vô nghiệm. 2 r(A) = r(A|B) ⇐⇒ HPT (2) có nghiệm. r(A) = r(A|B) = n ⇐⇒ HPT (2) có duy nhất nghiệm. r(A) = r(A|B) < n ⇐⇒ HPT (2) có vô số nghiệm. Phương pháp khử Gauss giải HPT Ax = b 1 Lập ma trận mở rộng (A|B); 2 Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang. Sử dụng Định lý trên, xác định số nghiệm của HPT. 3 Viết HPT tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Tìm lần lượt xn , sau đó xn−1 , . . . , x1 . Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 57 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli Ví dụ 3.9.   x1 + 2x2 + 5x3 = −1  Giải hệ phương trình sau: x1 − x2 + 3x3 = 2 .  3x1 − 6x2 − x3 = 3  Lời giải: Ta có     1 2 5 −1 d2 → d2 − d1 1 2 5 −1 2  −−−−−−−−−−→  0 −3 A|B =  1 −1 3 −2 3  3 −6 −1 3 d 3 → d 3 − 3d1 0 −12 −16 6   1 2 5 −1 d3 → d3 − 4d2  0 −3 −2 3  −−−−−−−−−−−→ 0 0 −8 −6 Do r(A) = r(A|B) = 3 = n =⇒ HPT có nghiệm duy nhất. Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 58 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli Từ ma trận bậc thang trên, ta có     x 1 + 2x2 + 5x 3 = −1 x1 = −7/4  − 3x2 − 2x3 = 3 ⇐⇒ x2 = −3/2   − 8x3 = −6 x3 = 3/4   Vậy nghiệm của HPT là x = − 7/4, −3/2, 3/4 . Ví dụ 3.10.   x1 + 2x2 − x3 = 1  Giải hệ phương trình sau: 2x1 − x2 + x3 = 3 .  −x1 − 7x2 + 4x3 = 0  Lời giải: Ta có     1 2 −1 1 d → d − 2d 1 2 −1 1 2 2 1 (A|B) =  2 −1 1 3 −−−−−−−−−−−→  0 −5 3 1  −1 −7 4 0 d3 → d3 + d1 0 −5 3 1 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 59 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli   1 2 −1 1 d3 → d3 + d2  0 −5 3 1  −−−−−−−−−−→ 0 0 0 0 Do r(A) = r(A|B) = 2 < n = 3 =⇒ HPT có vô số nghiệm. Từ ma trận bậc thang trên, ta có (  x1 + 2x2 − x3 = 1 = 1 − 2x2 + x3 x1 ⇐⇒ 1 3 − 5x2 + 3x3 = 1 = − + x3 x2  5 5 1 = 1 − x3 x1  ⇐⇒ 5 1 3 = − + x3 x2  5 5 1 1 3 Vậy nghiệm của HPT là x = 1 − a, − + a, a , ∀a ∈ R. 5 5 5 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 60 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli Ví dụ 3.11. ( x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0 Giải hệ phương trình sau: . 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0 Lời giải: Ta có 1 2 −1 1 0 1 2 −1 1 0 (A|B) = ∼ 2 −1 1 −1 0 0 −5 3 −3 0 Do r(A) = r(A|B) = 2 < n = 4 =⇒ HPT có vô số nghiệm. Từ ma trận bậc thang trên, ta có (  x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0 x1 = −2x2 + x3 − x4 ⇐⇒ − 5x2 + 3x3 − 3x4 = 0 x2 = 3 x3 − 3 x4  5 5 x1 = − 1 x3 + 1 x4  ⇐⇒ 5 5 3 x2 = x3 − x4  3 5 5 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 61 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli 1 1 3 3 Vậy nghiệm của HPT là x = − a+ b, a− b, a, b , ∀a, b ∈ R. 5 5 5 5 Ví dụ 3.12.   x1 + 2x2 + 2x3 = 0  Giải hệ phương trình sau: −2x1 − x2 − 4x3 = 2 .  x1 + x2 + 2x3 = −2  Lời giải: Ta có     1 2 2 0 d2 → d2 + d1 1 2 2 0 A|B =  −2 −1 −4 2 −−−−−−−−−−→  0 3 0 2  1 1 2 −2 d3 → d3 − d1 0 −1 0 −2   1 2 2 0 d3 → 3d3 + d2  0 3 0 2  −−−−−−−−−−−→ 0 0 0 −4 Do r(A) = 2 ̸= r(A|B) = 3 =⇒ HPT vô nghiệm. Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 62 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli Ví dụ 3.13.   x1 + x2 + mx3 = 1  Cho hệ phương trình sau: x1 + mx2 + x3 = 1 . Xác định m  mx1 + x2 + x3 = 1  để 1 HPT vô nghiệm 2 HPT có nghiệm duy nhất. 3 HPT vô số nghiệm. Lời giải: Ta có (A|B) =     1 1 m 1 1 1 m 1  1 m 1 1 ∼ 0 m −1 −m + 1 0  m 1 1 1 0 0 2 −m − m + 2 −m + 1 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 63 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli 1 HPT vô nghiệm ⇐⇒ r(A) ̸= r(A|B) ( −m 2 − m + 2 = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ m = −2. −m + 1 ̸= 0 2 HPT có nghiệm duy nhất ⇐⇒ r(A) = r(A|B) = 3 ( −m 2 − m + 2 ̸= 0 ⇐⇒ ⇐⇒ m ̸= −2 ∧ m ̸= 1. m − 1 ̸= 0 3 HPT vô số nghiệm ⇐⇒ r(A) = r(A|B) < 3  2 −m − m + 2 = 0  ⇐⇒ −m + 1 = 0 ⇐⇒ m = 1.  m −1=0  Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 64 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli Ví dụ 3.14.   x1 + 2x2 +  x3 = 1 Cho hệ phương trình sau 2x1 + 5x2 + 3x3 = 5 . Xác định m  3x1 + 7x2 + m 2 x3 = 6  để hệ phương trình có nghiệm. Lời giải: Ta có     1 2 1 1 1 2 1 1 (A|B) =  2 5 3 5  ∼  0 1 1 3  3 7 m 2 6 0 0 m −4 02 Nhận xét: HPT có nghiệm, tức là HPT có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm. Theo ycbt, ta có HPT có nghiệm ⇐⇒ r(A) = r(A|B) ⇐⇒ ∀m Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 65 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli Ví dụ 3.15.   x1 + 3x2 +  x3 = −1 Cho hệ phương trình sau −2x1 + 6x2 + (m − 1)x3 = 4 .   2 4x1 + 12x2 + (m + 3)x3 = m − 3 Xác định m để hệ phương trình vô nghiệm. Lời giải: Ta có (A|B) =     1 3 1 −1 1 3 1 −1  −2 6 m − 1 4  ∼  0 12 m + 1 2  2 4 12 m + 3 m − 3 2 0 0 m −1 m +1 Theo ycbt, ta có ( m2 − 1 = 0 HPT vô nghiệm ⇐⇒ r(A) ̸= r(A|B) ⇐⇒ ⇐⇒ m = 1. m + 1 ̸= 0 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 66 / 141
BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer Định nghĩa 3.5. Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính thỏa 2 điều kiện 1 Số phương trình bằng số ẩn. 2 Ma trận hệ số A có định thức khác không. Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất. Ví dụ 3.16.   2x + y − z = 1 Hệ phương trình y + 3z = 3 có là hệ Cramer? 2x + y + z = −1  Hpttt (1) ⇔ Ax = B. Vì |A| = ̸ 0 nên A khả nghịch. Do đó, X = A−1 B Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 67 / 141

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.