Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 8 - TS. Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh<br /> Bộ môn Toán Ứng dụng<br /> -------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Đại số tuyến tính<br /> <br /> Chương 8: Dạng Toàn Phương<br /> <br /> •<br /> <br /> Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2010)<br /> dangvvinh@hcmut.edu.vn<br /> <br /> 7.6 Dạng Toàn phương<br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Định nghĩa<br /> Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : R n  R<br /> <br /> x  (x1, x 2 ,..., x n )T  R n : f (x )  x T  A  X<br /> trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của<br /> dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)<br /> <br /> Ví dụ. Cho<br /> <br />  x1 <br /> x <br />  x2 <br /> <br />  2 3 <br /> A<br /> <br /> <br /> 3<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> Khi đó ta có dạng toàn phương trong R2<br /> T<br /> <br /> x Ax   x1<br /> <br />  2 3  x1 <br /> 2<br /> 2<br /> x2  <br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> 6<br /> x<br /> x<br /> <br /> 4<br /> x<br /> 1<br /> 1 2<br /> 2<br />  x <br /> <br /> 3<br /> 4<br /> <br />  2 <br /> <br /> 7.6 Dạng Toàn phương<br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng<br /> <br /> f (x )  f (x1, x 2 , x 3 ) <br /> <br />  A x12  B x 22  C x32  2Dx1x 2  2Ex1x 3  2Fx 2x 3<br /> Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng<br /> <br /> A<br /> M  D<br /> <br /> E<br /> <br /> Khi đó f(x) có thể viết lại<br /> <br /> A<br />  (x1, x 2 , x 3)  D<br /> <br /> E<br /> <br /> <br /> D<br /> <br /> D E<br /> B F<br /> <br /> F C <br /> <br /> f (x )  f (x1, x 2 , x 3 ) <br /> <br /> E  x1 <br /> B F  x 2   x T  M  x<br />  <br /> <br /> F C <br /> x<br />  3 <br /> <br /> 7.6 Dạng Toàn phương<br /> <br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Ví dụ.<br /> <br />  x1 <br /> x   x 2   R3 :<br />  <br /> x <br />  3<br /> f ( x)  3x12  2 x22  4 x32  4 x1x2  6 x1x3  2 x2 x3<br /> Viết ma trận của dạng toàn phương.<br /> Giải<br /> <br />  3 2 3 <br /> A 2 2 1 <br /> <br /> <br />  3 1 4 <br /> <br /> <br />  f ( x)  xT Ax   x1<br /> <br /> x2<br /> <br />  3 2 3   x1 <br /> x3   2 2 1   x2 <br /> <br />  <br />  3 1 4  x <br /> <br />  3 <br /> <br /> 7.6 Dạng Toàn phương<br /> <br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Cho dạng toàn phương f ( x)  xT Ax, với<br /> <br /> x  (x1, x 2 , x 3 )T<br /> <br /> Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận<br /> trực giao P và ma trận chéo D:<br /> A  PDPT<br /> Khi đó:<br /> Đặt<br /> Ta có<br /> <br /> f (x )  x T PDPT x  (PT x )T D (PT x )<br /> <br /> y  PT x  x  Py<br /> f ( y )  y T Dy<br /> <br />  1 0 0  y 1 <br />  f ( y )  ( y 1, y 2 , y 3 )  0 2 0  y 2 <br /> <br />  <br />  0 0   y <br /> <br /> 3  3 <br />  f ( y )  f ( y 1, y 2 , y 3 )  1y 12  2 y 22  3 y 32<br /> <br />