zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 5 Không gian Euclid

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Báo xấu

1.102
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung trong chương này gồm: Tích vô hướng của hai véctơ, các khái niệm liên quan. Bù vuông góc của không gian con. Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 5 Không gian Euclid

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------ ------------- Đại số tuyến tính Chương 5: Không gian Euclid • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (12/2007) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan. 5.2 – Bù vuông góc của không gian con. 5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt. 5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.
5.1 Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------- Định nghĩa tích vô hướng Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau: a. (u , v V ) (u , v)  (v, u ) b. (u , v, w  V) (u  v, w)  (u , w)  (v, w) c. (  R, u , v V ) ( u , v)   (u , v) d. (u  V ) (u, u )  0;(u, u )  0  u  0 Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.
5.1. Tích vô hướng ---------------------------------------------------------------------------------- ------------------- Ví dụ Trong không gian R2 cho qui tắc x  ( x1, x2 )  R2 ; y  ( y1, y2 )  R2 ( x, y )  (( x1, x2 ),( y1, y2 ))  x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  10 x2 y2 1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng. 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ u  (2,1), v  (1, 1) Giải. 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ u  (2,1), v  (1, 1) là (u, v)  ((2,1),(1, 1))  2.1  2.2.(1)  2.1.1  10.1.(1)  10
5.1. Tích vô hướng ---------------------------------------------------------------------------------- ------------------- Ví dụ Trong không gian P2 [x] cho qui tắc p( x)  a1x 2  b1x  c1; q ( x)  a2 x 2  b2 x  c2  P2 [x]. 1 ( p, q)   p( x)q( x)dx 0 1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng. 2 2. Tính tích vô hướng của p ( x)  2 x  3 x  1, q ( x)  x  1 2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là 1 1 ( p, q)   p( x).q ( x)dx   (2 x 2  3 x  1)( x  1)dx  1 0 0 6
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------- --------------------------- Định nghĩa độ dài véctơ Độ dài véctơ u là số thực dương ký hiệu bởi ||u|| và được định nghĩa như sau || u || (u, u ) Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị. Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị. Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa.
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------- --------------------------- Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz Trong không gian Euclid V, ta có bất đẳng thức sau | (u, v) ||| u || . || v || dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính. Bất đẳng thức tam giác. Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V. || u  v ||  || u ||  || v ||
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------- --------------------------- Định nghĩa khoảng cách giữa hai véctơ Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V, khoảng cách giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v|| Định nghĩa góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V. Góc  giữa hai véctơ u và v là đại lượng thỏa (u , v) cos   || u || . || v ||
5.1. Tích vô hướng ---------------------------------------------------------------------------------- ------------------- Ví dụ Trong không gian R3 cho qui tắc x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3 ( x, y )  (( x1, x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ))  5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3 1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng. 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ u  (2,1, 0), v  (3, 2, 4) 2. (u , v)  ((2,1,0), (3, 2, 4))  5.2.3  2.2.(2)  2.1.3  3.1.(2)  0.4 (u , v)  22.
5.1. Tích vô hướng ---------------------------------------------------------------------------------- ------------------- Ví dụ Trong không gian R3 cho qui tắc x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3 ( x, y )  (( x1, x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ))  5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3 3. Tìm độ dài của véctơ u  (3, 2,1) || u || (u, u )  ((3, 2,1),(3, 2,1)) || u || 5.3.3  2.3.2  2.2.3  3.2.2  1.1 || u || 82 Chú ý: So sánh với độ dài véctơ ở phổ thông! Cùng một véctơ nhưng “dài” hơn!!!
5.1. Tích vô hướng ---------------------------------------------------------------------------------- ------------------- Ví dụ Trong không gian R3 cho qui tắc x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3 ( x, y )  (( x1, x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 ))  5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3 4. Tìm khoảng cách giữa hai véctơ u  (1, 2,1) vaø  (3,0, 2) v d (u, v) || u  v ||  (u  v, u  v)  ((2, 2, 1),(2, 2, 1)) d (u , v)  5.(2).(2)  2.(2).2  2.2.(2)  3.2.2  1.1 d (u, v)  17 Chú ý: So sánh với khoảng cách giữa hai véctơ ở phổ thông. Khoảng cách giữa hai điểm “lớn” hơn!!!
5.1. Tích vô hướng ---------------------------------------------------------------------------------- ------------------- Ví dụ Trong không gian R3 cho qui tắc x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3 ( x, y )  (( x1, x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ))  5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3 5. Tìm góc giữa hai véctơ u  (1,0,1) vaø  (2,1,0) v (u , v) 12 12 cos     || u || . || v || 6. 31 186 12  a  arccos 186
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------- Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 ( p, q)   p ( x)q( x)dx 1 1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng. 2 2. Tính (p,q) với p ( x)  2 x  3 x  1; q ( x)  x  3 1 1 ( p, q )   p ( x).q ( x)dx   (2 x 2  3 x  1)( x  3)dx 1 1  12
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------- -------------------- Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 ( p, q)   p ( x)q( x)dx 1 3. Tìm độ dài của véctơ p ( x)  2 x  3 1 || p || ( p, p)   p( x). p ( x)dx 1 1 62 2   (2 x  3) dx  1 3
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 ( p, q)   p ( x)q( x)dx 1 4. Tính khoảng cách giữa hai véctơ p(x) và q(x) với p ( x)  x 2  x  2; q ( x)  x 2  2 x  3 d ( p, q) || p  q ||  ( p  q, p  q) 1 2  (3x  1,3x  1)   (3x  1) dx 1 2 2
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------- -------------------- Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 ( p, q)   p ( x)q( x)dx 1 2 5. Tính góc giữa hai véctơ p ( x)  x  x; q( x)  2 x  3 ( p, q ) cos   || p || .|| q || 1  p(x)q(x)dx  1 1 1  [p(x)] dx  [q(x)]2dx 2 1 1
5.2. Tích vô hướng --------------------------------------------------------------------- Định nghĩa sự vuông góc Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc nhau, nếu (u,v) = 0, ký hiệu u  v Định nghĩa Véctơ x vuông góc với tập hợp M, nếu (y  M ) x  y
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------- --------------------------- Định nghĩa họ trực giao Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ trực giao, nếu (x, y  M ) ( x  y ) thì x  y. Định nghĩa họ trực chuẩn Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ trực chuẩn, nếu 1. M tröï giao. c 2. (x  M ) || x || 1.
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------- --------------------------- Mệnh đề Véctơ x vuông góc với không gian con F khi và chỉ khi x vuông góc với tập sinh của F. Chứng minh. Hiển nhiên. Giả sử x vuông góc với tập sinh f1 , f 2 ,..., f m . f  F  f  1 f1   2 f 2  ...   m f m Xét tích vô hướng ( x, f )  ( x, 1 f1   2 f 2  ...   m f m )  ( x, f )  1 ( x, f1 )   2 ( x, f 2 )  ...   m ( x, f m )  ( x, f )  0 hay x vuông góc f. Vậy x vuông góc với F.
5.1. Tích vô hướng ----------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------- Ví dụ Trong không gian R3 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con x1  x2  x3  0  F  ( x1, x2 , x3 )  2x1  3 x2  x3  0  cho véctơ x = ( 2, 3, m). Tìm tất cả m để x vuông góc với F. Bước 1. Tìm tập sinh của F {(4,-3,1)} Bước 2. x  F  x vuoâg goù vôùtaä sinh cuû F . n c i p a  x  (4, 3,1)  ((2,3, m),(4, 3,1))  0  4.2  (3).3  1.m  0 chú ý tích vô hướng!!  m  1.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.