Bài giảng Đại số tuyến tính: Hạng của ma trận (tt) - Ts. Lê Xuân Trường

Chia sẻ: Năm Tháng Tĩnh Lặng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

116
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp tục tìm hiểu về hạng của ma trận trong bài giảng Đại số tuyến tính sau đây. Trong bài này sẽ trình bày về dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính, định lý Kronecker-Capell, phương pháp khử (C. F. Gauss),... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Hạng của ma trận (tt) - Ts. Lê Xuân Trường

HẠNG CỦA MA TRẬN Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 1 / 10
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Xét hệ phương trình tuyến tính    a11 x1 + a12 x2 + · · ·a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · ·a2n xn = b2  (*)  ............................................  am1 x1 + am2 x2 + · · ·amn xn = bm  Ta ký hiệu     a11  a12 · · · a1n  x1 b1  a21 a22 · · · a2n   x2   b2  A= X = ..  và B =  ..       ··· ··· ··· ···    .   .  am1 am2 · · · amn xn bm Khi đó hệ phương trình (∗) có thể viết dươi dạng dạng AX = B Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 2 / 10
Định lý Kronecker-Capelli Xét hệ phương trình AX = B. Ký hiệu A = [A B ] | {z } ↓ ma trận hệ số mở rộng Nếu rank (A) 6= rank (A) thì hệ vô nghiệm Nếu rank (A) = rank (A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu rank (A) = rank (A) = k < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n − k tham số Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 3 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss) Xét hệ phương trình AX = B. B1 Lập ma trận mở rộng A = [A B ] B2 Đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng A b. đ. s. c trên dòng [A1 B1 ] −−−−−−−−−−−−→ Từ đó suy ra rank (A) và rankA. Ngoài ra, ta có AX = B ⇐⇒ A1 X = B1 B3 Xét các trường hợp sau Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 4 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss) rank(A) 6= rank(A) =⇒ Hệ pt vô nghiệm rank(A) = rank(A) = n =⇒ Hệ pt có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm (bằng cách giải hệ tương đương)    α11 x1 +α12 x2 · · · +α1n xn = β 1 α22 x2 + · · · +α2n xn = β 2  A1 X = B1 ⇔   ··· ··· ··· ··· ··· ··· · · · αnn xn = βn  Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 5 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss) rank(A) = rank(A) = k < n =⇒ Hệ pt có vô số nghiệm Tìm nghiệm tổng quát: Hệ A1 X = B1 có dạng    α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1k xk + · · · + α1n xn = β 1 α22 x2 + · · · +α2k xk + · · · +α2n xn = β 2    · · · ··· ··· ··· ··· ··· ··· αkk xk + · · · +αkn xn = β k  Chọn n − k ẩn tự do, tính các ẩn còn lại theo các ẩn tự do. Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 6 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss) Ví dụ: Giải hệ phương trình    x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1 −x1 + x2 + 3x4 = 2  3x − x3 + x4 = 3  2   x1 + 3x2 + x3 − x4 = 4 Giải     1 2 −1 2 1 1 2 −1 2 1  −1 1 0 3 2  −1 5  −→  0 3 3      0 3 −1 1 3   0 3 −1 1 3  1 3 1 −1 4 0 1 2 −3 3 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 7 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)     1 2 −1 2 1 1 2 −1 2 1  0 1 2 −3 3    0 1 2 −3 3  −→  −→    0 0 −7 10 −6   0 0 −7 10 −6  0 0 −7 14 −6 0 0 0 4 0 Vì rank (A) = rank (A) = 4 nên hệ có nghiệm duy nhất. = − 75    x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1  x1 = 97   x2 + 2x3 − 3x4 = 3 x2   hpt ⇐⇒ ⇐⇒   −7x3 + 10x4 = −6  x3  = 67 4x4 = 0 x4 =0   Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 8 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình   mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = m x1 + x2 + mx3 = m2  Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 9 / 10
Qui tắc Cramer Hệ phương trình AX = B là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông khả nghịch Mọi hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm bằng ma trận nghịch đảo X = A−1 B Qui tắc Cramer det(Aj ) X = [ x1 x2 · · · xn ] T , xj = , det(A)   a11 a12 · · · b1 · · · a1n  a21 a22 · · · b2 · · · a2n  trong đó Aj =   ···  ··· ··· ··· ··· ···  an1 an2 · · · bn · · · ann (Thay cột thứ j của A bằng cột tự do B ta được Aj ) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 10 / 10