zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ với tích vô hướng - Lê Xuân Thanh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Báo xấu

42
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ với tích vô hướng" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích vô hướng Euclid trên mặt phẳng R2, khái niệm tích vô hướng tổng quát, phép chiếu vuông góc trên mặt phẳng,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ với tích vô hướng - Lê Xuân Thanh

Không gian vec-tơ với tích vô hướng Lê Xuân Thanh
Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt
Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt
Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Tích vô hướng Euclid trên mặt phẳng R2 Cho u = (u1 , u2 ) và v = (v1 , v2 ) trên R2 . Tích vô hướng (hay tích trong) của u với v được định nghĩa bởi u · v := u1 v1 + u2 v2 . Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi √ √ ∥u∥ := u21 + u22 (= u · u). Góc θ ∈ [0, π] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi ( ) u1 v1 + u2 v2 u·v cos θ := √ 2 √ = . u1 + u22 v21 + v22 ∥u∥∥v∥ Vec-tơ u được gọi là vuông góc với vec-tơ v nếu u · v = 0. Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi √ d(u, v) := (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 (= ∥u − v∥).
Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Tích vô hướng Euclid trên R n Cho u, v ∈ Rn , với u = (u1 , . . . , un ) và v = (v1 , . . . , vn ). Tích vô hướng (hay tích trong) của u với v được định nghĩa bởi ∑ n u · v := ui vi = u1 v1 + . . . + un vn . i=1 Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi ( √ ) √ ∥u∥ := u · u 2 2 = u1 + . . . + un . Góc θ ∈ [0, π] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi ( ) u·v u1 v1 + . . . + un vn cos θ := =√ 2 √ . ∥u∥∥v∥ u1 + . . . + u2n v21 + . . . + v2n Vec-tơ u được gọi là vuông góc với vec-tơ v nếu u · v = 0. Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi ( √ ) d(u, v) := ∥u − v∥ = (u1 − v1 )2 + . . . + (un − vn )2 .
Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt
Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Tính chất của tích vô hướng Euclid trên Rn Cho c ∈ R và u, v, w ∈ Rn . Ta luôn có: u · v = v · u. u · (v + w) = u · v + u · w. c(u · v) = (cu) · v = u · (cv). u · u = ∥u∥2 . u · u ≥ 0, và u · u = 0 ⇔ u = 0. ∥cu∥ = |c|∥u∥. Chứng minh: Coi như bài tập.
Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với u, v ∈ Rn ta luôn có |u · v| ≤ ∥u∥∥v∥. Chứng minh: Trường hợp u = 0 ta có |0 · v| = 0 = 0∥v∥ = ∥u∥∥v∥. Xét trường hợp u ̸= 0. Với mọi t ∈ R ta có: 0 ≤ (tu + v) · (tu + v) = (u · u)t2 + 2(u · v)t + v · v. Đặt a = u · u, b = 2(u · v), c = v · v. Do u ̸= 0, nên a > 0. Chú ý rằng, với a > 0, tam thức bậc hai at2 + bt + c ≥ 0 ∀ t ∈ R khi và chỉ khi b2 − 4ac ≤ 0 ⇔ b2 ≤ 4ac ⇔ 4(u · v)2 ≤ 4(u · u)(v · v) ⇔ |u · v| ≤ ∥u∥∥v∥.
Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Bất đẳng thức tam giác Với u, v ∈ Rn ta luôn có ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥. Chứng minh: Ta có ∥u + v∥2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2(u · v) + v · v = ∥u∥2 + 2(u · v) + ∥v∥2 ≤ ∥u∥2 + 2|u · v| + ∥v∥2 ≤ ∥u∥2 + 2∥u∥∥v∥ + ∥v∥2 (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) 2 = (∥u∥ + ∥v∥) .
Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Định lý Pythagor Các vec-tơ u, v ∈ Rn vuông góc với nhau khi và chỉ khi ∥u + v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 . Chứng minh: Từ chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta có ∥u + v∥2 = ∥u∥2 + 2(u · v) + ∥v∥2 . Từ đó ta suy ra u vuông góc với v ⇔ u·v=0 ⇔ ∥u + v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 .
Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Chuẩn hóa vec-tơ Vec-tơ u ∈ Rn được gọi là một vec-tơ đơn vị nếu ∥u∥ = 1. 1 Nếu v ∈ Rn \{0}, thì u = ∥v∥ v là vec-tơ đơn vị (theo hướng v). Chứng minh: Do v ̸= 0, nên ∥v∥ > 0. Ta có 1 1 ∥u∥ = v = ∥v∥ = 1. ∥v∥ ∥v∥
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Khái niệm tích vô hướng tổng quát Cho V là một không gian vec-tơ. Một hàm thực ⟨, ⟩ : V × V → R (u, v) 7→ ⟨u, v⟩ được gọi là một tích vô hướng (hay tích trong) trên V nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: tính đối xứng: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ ∀ u, v ∈ V; tính song tuyến tính: ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ ∀ u, v, w ∈ V; tính song tuyến tính: c⟨u, v⟩ = ⟨cu, v⟩ ∀ u, v ∈ V, c ∈ R; tính xác định dương: ⟨u, u⟩ ≥ 0 ∀ u ∈ V, và ⟨u, u⟩ = 0 ⇔ u = 0. Khi đó (V, ⟨, ⟩) được gọi là một không gian tích trong.
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Ví dụ Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi u · v = u1 v1 + . . . + un vn là một tích vô hướng (theo định nghĩa tổng quát). Phép toán ⟨u, v⟩ := u1 v1 + 2u2 v2 xác định một tích vô hướng trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Tổng quát, với ci > 0 (i = 1, . . . , n) cho trước, phép toán ⟨u, v⟩ := c1 u1 v1 + . . . + cn un vn xác định một tích vô hướng trên Rn (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Phép toán ⟨u, v⟩ := u1 v1 − 2u2 v2 + u3 v3 KHÔNG xác định một tích vô hướng trên R3 , do vi phạm tiên đề về tính xác định dương.
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Ví dụ Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi u · v = u1 v1 + . . . + un vn là một tích vô hướng (theo định nghĩa tổng quát). Phép toán ⟨u, v⟩ := u1 v1 + 2u2 v2 xác định một tích vô hướng trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Tổng quát, với ci > 0 (i = 1, . . . , n) cho trước, phép toán ⟨u, v⟩ := c1 u1 v1 + . . . + cn un vn xác định một tích vô hướng trên Rn (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Phép toán ⟨u, v⟩ := u1 v1 − 2u2 v2 + u3 v3 KHÔNG xác định một tích vô hướng trên R3 , do vi phạm tiên đề về tính xác định dương.
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Ví dụ Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi u · v = u1 v1 + . . . + un vn là một tích vô hướng (theo định nghĩa tổng quát). Phép toán ⟨u, v⟩ := u1 v1 + 2u2 v2 xác định một tích vô hướng trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Tổng quát, với ci > 0 (i = 1, . . . , n) cho trước, phép toán ⟨u, v⟩ := c1 u1 v1 + . . . + cn un vn xác định một tích vô hướng trên Rn (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Phép toán ⟨u, v⟩ := u1 v1 − 2u2 v2 + u3 v3 KHÔNG xác định một tích vô hướng trên R3 , do vi phạm tiên đề về tính xác định dương.
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Ví dụ Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi u · v = u1 v1 + . . . + un vn là một tích vô hướng (theo định nghĩa tổng quát). Phép toán ⟨u, v⟩ := u1 v1 + 2u2 v2 xác định một tích vô hướng trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Tổng quát, với ci > 0 (i = 1, . . . , n) cho trước, phép toán ⟨u, v⟩ := c1 u1 v1 + . . . + cn un vn xác định một tích vô hướng trên Rn (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Phép toán ⟨u, v⟩ := u1 v1 − 2u2 v2 + u3 v3 KHÔNG xác định một tích vô hướng trên R3 , do vi phạm tiên đề về tính xác định dương.
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Một số khái niệm liên quan Cho (V, ⟨, ⟩) là một không gian tích trong. Cho u, v ∈ V. Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi √ ∥u∥ := ⟨u, u⟩. Góc θ ∈ [0, π] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi ⟨u, v⟩ cos θ := . ∥u∥∥v∥ Vec-tơ u được gọi là vuông góc với vec-tơ v nếu ⟨u, v⟩ = 0. Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi d(u, v) := ∥u − v∥.
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Một số tính chất Cho (V, ⟨, ⟩) là một không gian tích trong. Cho u, v, w ∈ V, c ∈ R. Ta luôn có ⟨0, v⟩ = ⟨v, 0⟩ = 0. ⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩. ⟨u, cv⟩ = c⟨u, v⟩. Chứng minh: Coi như bài tập. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: |⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥. Bất đẳng thức tam giác: ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥. Định lý Pythagor: u vuông góc với v ⇔ ∥u + v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 . Chứng minh: Như chứng minh đối với tích vô hướng Euclid trên Rn .
Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép chiếu trực giao Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.