YOMEDIA
Bài giảng Đại số tuyến tính - Không gian vecto - Phạm Thanh Tùng
Chia sẻ: _ _
| Ngày:
| Loại File: PDF
| Số trang:89
30
lượt xem
7
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Bài giảng Đại số tuyến tính được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Không gian vecto; Không gian vecto con; Hệ sinh của một không gian vecto; Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; Cơ sở và số chiều của không gian vecto; Tọa độ; Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con; Bài toán đổi cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo!
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Không gian vecto - Phạm Thanh Tùng
- ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
§8: KHÔNG GIAN VECTO
Pham Thanh Tung-3I-SEE-K64
1
- TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bài giảng Đại số tuyến tính, thầy Bùi Xuân Diệu
[2] “Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), PGS.TS
Trần Việt Dũng, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Trần Xuân Hiển.
[3] “Bài tập Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên),
PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Trần Xuân
Hiển.
[4] Sách “Giúp ôn tập tốt Toán Cao Cấp: Đại số tuyến tính”, thầy Tống
Đình Quỳ, thầy Nguyễn Cảnh Lương.
[5] “Phương pháp giải bài tập toán cao cấp”, tập 1, Bài tập Đại số, thầy
Nguyễn Cảnh Lương, thầy Nguyễn Văn Nghị
[6] “Bài tập Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ
Văn Đinh, Nguyễn Hồ Quỳnh
Pham Thanh Tung-3I-SEE 2
- TÀI LIỆU THAM KHẢO
[7] Bộ đề thi môn Đại số tuyến tính các năm Trường ĐH Bách Khoa HN.
[8] Đề cương môn Đại số tuyến tính Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội.
Pham Thanh Tung-3I-SEE 3
- KỸ NĂNG CẦN NẮM VỮNG
• Biến đổi ma trận bậc thang
• Biện luận hạng của ma trận
• Biện luận số nghiệm của hệ phương trình
• Tính định thức
Pham Thanh Tung-3I-SEE 4
- KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
I. Không gian vecto
II. Không gian vecto con
III. Hệ sinh của một không gian vecto
IV. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
V. Cơ sở và số chiều của không gian vecto
VI. Tọa độ
VII. Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con
VIII.Bài toán đổi cơ sở
Pham Thanh Tung-3I-SEE 5
- I. Không gian vecto:
Định nghĩa: Tập hợp 𝑉 ≠ ∅ được gọi là một không gian vecto nếu nó
được quy định hai phép toán cộng vecto và nhân vô hướng thỏa mãn các
điều kiện sau:
𝑎+𝑏 ∈𝑉
➢ Tính đóng kín: Giả sử ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 thì ቊ
𝑘. 𝑎 ∈ 𝑉 (𝑘 ∈ 𝑅)
➢ Phép cộng thỏa mãn: ➢ Phép nhân vô hướng thỏa mãn:
Với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑉 Với 𝑘, 𝑘 ′ ∈ 𝑅
• 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) • 𝑘. 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
• 𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 • 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘𝑎 + 𝑘 ′ 𝑎
• ∃0 ∈ 𝑉: 0 + 𝑎 = 𝑎 • 𝑘. 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘. 𝑘 ′ . 𝑎
• ∀𝑎 ∈ 𝑉, ∃𝑎′ ∈ 𝑉: 𝑎 + 𝑎′ = 0 • 1. 𝑎 = 𝑎 (∀𝑎 ∈ 𝑉)
Pham Thanh Tung-3I-SEE 6
- I. Không gian vecto:
Bài tập 1: Tập 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} với các phép toán kèm theo có là
KGVT hay không?
𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ = (𝑥 + 𝑥 ′ , 𝑦 + 𝑦 ′ , 𝑧 + 𝑧 ′ )
ቊ
𝑘 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, 𝑘 𝑧 (𝑘 ∈ 𝑅)
Bài tập 2: Tập 𝑉 = 𝑥1 , 𝑥2 𝑥1 > 0; 𝑥2 > 0} với các phép toán kèm theo có
là KGVT hay không?
𝑥1 , 𝑥2 + 𝑦1 , 𝑦2 = (𝑥1 𝑦1 , 𝑥2 𝑦2 )
൝
𝑘 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥1 𝑘 , 𝑥2 𝑘 (𝑘 ∈ 𝑅)
Pham Thanh Tung-3I-SEE 7
- I. Không gian vecto:
Bài tập 1: ➢ Phép nhân vô hướng
Giải • 𝑘. 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
• 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘𝑎 + 𝑘 ′ 𝑎
Kiểm tra phép nhân: Giả sử 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉; 𝑘, 𝑘 ′ ∈ 𝑅 • 𝑘. 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘. 𝑘 ′ . 𝑎
• 1. 𝑎 = 𝑎 (∀𝑎 ∈ 𝑉)
𝑘 + 𝑘 ′ . 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑧
𝑘. 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑘 ′ . 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, 𝑘 𝑧 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 ′ 𝑧
= 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑧
𝑘 + 𝑘 ′ . 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 𝑘. 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑘 ′ . 𝑥, 𝑦, 𝑧 (Do 𝑘 + 𝑘 ′ ≠ 𝑘 + 𝑘 ′ )
Tập 𝑉 cùng các phép toán đã cho không tạo thành KGVT
Pham Thanh Tung-3I-SEE 8
- I. Không gian vecto:
➢ Một số không gian vecto thường gặp:
• Tích Đề-Các:
𝑅𝑛 = 𝑥1 , 𝑥2 , . . , 𝑥𝑛 | 𝑥1 , 𝑥2 , . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅
• Tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 𝑛
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝑅
• Tập hợp các ma trận cỡ 𝑚 × 𝑛: 𝑀𝑚×𝑛
• Tập hợp các ma trận vuông cấp 𝑛: 𝑀𝑛
Pham Thanh Tung-3I-SEE 9
- II. Không gian vecto con:
• Định nghĩa:
Với ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑊; 𝑘 ∈ 𝑅, 𝑊 là KGVT con của 𝑉 xảy ra khi và chỉ khi
𝑊 ⊂ 𝑉, 𝑊 ≠ ∅ Tập hợp
൝ 𝑎+𝑏 ∈𝑊
𝑘𝑎 ∈ 𝑊
Pham Thanh Tung-3I-SEE
- II. Không gian vecto con:
𝑎 𝑏
Bài tập 1: Chứng minh tập hợp 𝐺 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 với phép cộng ma
𝑏 𝑐
trận và nhân ma trận với một số thực là một không gian vecto con của
không gian 𝑀2 (không gian vecto các ma trận vuông cấp hai)
Giải:
1. 𝐺 ⊂ 𝑀2 , 𝐺 ≠ 0 3. Giả sử với 𝑘 ∈ 𝑅
𝑎 𝑏 𝑎′ 𝑏′ 𝑎 𝑏 𝑘𝑎 𝑘𝑏
2. Giả sử ∀ 𝐴 = ,𝐵 = ′ 𝑘.
∈𝐺 ቐ 𝑏 𝑐 =
𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 ′ 𝑘𝑏 𝑘𝑐 ⇒ 𝑘. 𝐴 ∈ 𝐺
với 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ ∈ 𝑅 𝑘𝑎, 𝑘𝑏, 𝑘𝑐 ∈ 𝑅
𝑎 𝑏 𝑎′ 𝑏′ 𝑎 + 𝑎′ 𝑏 + 𝑏′
+ ′ =
൝𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 ′ 𝑏 + 𝑏′ 𝑐 + 𝑐 ′ ⇒ 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝐺 Đpcm
𝑎 + 𝑎′ , 𝑏 + 𝑏′ , 𝑐 + 𝑐 ′ ∈ 𝑅
Pham Thanh Tung-3I-SEE
- II. Không gian vecto con:
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
Bài tập 2: Cho tập hợp 𝐻 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 ቐ 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 0 . Chứng minh
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
rằng 𝐻 là KGVT con của 𝑅3 .
Bài tập 3: Cho tập 𝑉1 , 𝑉2 là hai KGVT con của KGVT 𝑉. Chứng minh:
1) 𝑉1 ∩ 𝑉2 là một KGVT con của 𝑉.
2) Cho 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 ∈ 𝑉1 , 𝑥2 ∈ 𝑉2 . Chứng minh 𝑉1 + 𝑉2 là KGVT
con của 𝑉.
12
- III. Hệ sinh của một không gian vecto:
• Định nghĩa: Cho 𝑉 là một không gian vecto và 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 là một họ
các vecto thuộc 𝑉. Nếu mọi vecto 𝑢 ∈ 𝑉 đều có thể biểu diễn được dưới
dạng tổ hợp tuyến tính của 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 nghĩa là ∃ 𝑚1 , 𝑚2 , . . , 𝑚𝑛 ∈ 𝑅 sao
cho 𝑢 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣1 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 thì ta nói 𝑆 là hệ sinh ra 𝑉.
• Kí hiệu: 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑆
13
- III. Hệ sinh của một không gian vecto:
Dạng bài tập 1 (Bài toán xuôi): Kiểm tra hệ sinh của một KGVT.
➢ Bài toán: Cho 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 với 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉
→ Kiểm tra xem 𝑆 có là hệ sinh của KGVT 𝑉 hay không?
➢ Phương pháp giải:
• B1: Giả sử ∀𝑣 ∈ 𝑉, xét quan hệ tuyến tính
𝑣 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 ∗
• B2: Biện luận
Nếu hệ ∗ có nghiệm → 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛
14
- III. Hệ sinh của một không gian vecto:
Bài tập 1: Xét xem hệ 𝑆 = 𝑣1 = 2,3, −1 , 𝑣2 = 3, −1,5 , 𝑣3 = −1,3, −4
có là hệ sinh của 𝑅3 không?
Giải:
Với ∀𝑢 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅3 , để 𝑆 là hệ sinh của 𝑅3
⇔ ∃𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ∈ 𝑅 sao cho 𝑢 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + 𝑚3 𝑣3
⇔ ∃𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ∈ 𝑅: 𝑚1 2,3, −1 + 𝑚2 3, −1,5 + 𝑚3 −1,3, −4 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
2𝑚1 + 3𝑚2 − 𝑚3 = 𝑎
⇔ Hệ ቐ 3𝑚1 − 𝑚2 + 3𝑚3 = 𝑏 ∗ có nghiệm với ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅
−𝑚1 + 5𝑚2 − 4𝑚3 = 𝑐
15
- III. Hệ sinh của một không gian vecto:
Bài tập 1: Xét xem hệ 𝑆 = 𝑣1 = 2,3, −1 , 𝑣2 = 3, −1,5 , 𝑣3 = −1,3, −4
có là hệ sinh của 𝑅3 không?
Giải: (Tiếp)
2 3 −1
det 𝐴 = 3 −1 3 = −9 ≠ 0 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất (Cramer)
−1 5 −4
Vậy 𝑆 là hệ sinh của 𝑅3 .
16
- III. Hệ sinh của một không gian vecto:
Bài tập 2: Hỏi 𝑆 = 𝑢1 = −1 + 2𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑢2 = −3 + 3𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑢3 = −2 + 2𝑥
có là hệ sinh của 𝑃2 𝑥 không?
Giải:
Với ∀𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 ∈ 𝑃2 𝑥 , 𝑆 là hệ sinh của 𝑃2 𝑥
⇔ ∃ 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ∈ 𝑅 để 𝑢 = 𝑚1 𝑢1 + 𝑚2 𝑢2 + 𝑚3 𝑢3
⇔ ∃ 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ∈ 𝑅 để
𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 = 𝑚1 −1 + 2𝑥 + 𝑥 2 + 𝑚2 −3 + 3𝑥 + 𝑥 2 + 𝑚3 −2 + 2𝑥
−𝑚1 − 3𝑚2 − 2𝑚3 = 𝑎
⇔ Hệ ቐ 2𝑚1 + 3𝑚2 + 2𝑚3 = 𝑏 ∗ có nghiệm với ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅
𝑚1 + 𝑚2 = 𝑐
17
- III. Hệ sinh của một không gian vecto:
Bài tập 2: Hỏi 𝑆 = 𝑢1 = −1 + 2𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑢2 = −3 + 3𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑢3 = −2 + 2𝑥
có là hệ sinh của 𝑃2 𝑥 không?
Giải: (Tiếp)
−1 −3 −2
𝐴= 2 3 2 ⇒ 𝐴 = −2 ≠ 0 ⇒ Hệ ∗ có nghiệm duy nhất
1 1 0
Vậy 𝑆 là hệ sinh của 𝑃2 𝑥
18
- III. Hệ sinh của một không gian vecto:
1 −5 1 1 2 −4
Bài tập 3: Hỏi 𝑆 = ቄ𝑢1 = , 𝑢2 = , 𝑢3 = ,
−4 2 −1 5 −5 7
1 −7
𝑢4 = ቅ có phải hệ sinh của 𝑀2 không?
−5 2
Giải:
Hệ 𝑆 không phải là hệ sinh của 𝑀2
19
- III. Hệ sinh của một không gian vecto:
Dạng bài tập 2 (Bài toán ngược): Tìm điều kiện để 𝑣 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛
➢ Bài toán: Cho 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 với 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 và 𝑣 = 𝑣 𝑚 ∈ 𝑉
→ Tìm điều kiện của 𝑚 để 𝑣 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛
➢ Phương pháp giải:
• B1: Xét quan hệ tuyến tính
𝑣 𝑚 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 ∗
• B2: 𝑣 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ⇔ ∃𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑛 ∈ 𝑅 thỏa mãn ∗
→ Biện luận điều kiện của 𝑚 để hệ ∗ có nghiệm.
20
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
Đang xử lý...
Thêm vào BST
Báo xấu
