Trong bài này, các bạn sẽ cùng tìm hiểu thế nào là ma trận nghịch đảo, điều kiện khả nghịch, tìm ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp, tìm ma trận bằng định thức. Mời các bạn cùng tham khảo.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Ma trận nghịch đảo - Ts. Lê Xuân Trường
- MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ts. Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1/6
- Định nghĩa
Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại
ma trận vuông B cấp n sao cho
AB = BA = In .
B gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là A−1 .
1 2 −2 1
Ví dụ: Cho A = và B = 3 . Ta có
3 4 2 − 12
AB = BA = I2
nên A khả nghịch và A−1 = B
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 2/6
- Nhận xét
Nếu A khả nghịch thì ta còn nói A không suy biến. Ngược lại, A là
ma trận suy biến.
Ma trận nghịch đảo (nếu có) là duy nhất.
Nếu A khả nghịch thì A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A.
Nghịch đảo của tích hai ma trận
(AB )−1 = B −1 .A−1
Nghịch đảo của ma trận chuyển vị
( AT ) − 1 = ( A − 1 ) T
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3/6
- Điều kiện khả nghịch
Cho A là ma trận vuông cấp n
A khả nghịch ⇐⇒ det(A) 6= 0
1 2
Ví dụ: ma trận A = khả nghịch vì det(A) = −2 6= 0.
3 4
2 −1 3
Ví dụ: ma trận C = 1 m −2 suy biến khi
3 −1 4
det(C ) = 3 − m = 0 ⇐⇒ m = 3.
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 4/6
- Tìm ma trận đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
phép b. đ. s. c
[ A In ] −−−−−−−→ [ In B ] =⇒ A−1 = B
trên dòng
1 −3
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A = (nếu có)
4 5
1 −3 1 0 1 −3 1 0
→
4 5 0 1 0 17 −4 1
5 3
1 0 17 17
→ −4 1
0 1 17 17
5 3
Vậy A−1 = 17
−4
17
1
17 17
0 −1 1
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của B = 1 0 −1
−1 1 0
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 5/6
- Tìm ma trận đảo bằng định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu A khả nghịch thì
T
C11 C12 · · · C1n
A−1
1 C21 C22 · · · C2n
=
det(A) · · · · · · · · · · · ·
Cn1 Cn2 · · · Cnn
| {z }
PA
với Cij là phần bù đại số của phần tử aij , được xác định bởi
Cij = (−1)i +j det(Mij ).
Ta gọi PA là ma trận phụ hợp của A
2 −1 3
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A = 1 −3 2
3 −2 1
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 6/6
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
