Bài giảng điện tử Toán 1: Bài 4 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Chia sẻ: Nguyễn Huy Vinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

112
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa đạo hàm, kỹ năng tính đạo hàm, đạo hàm theo tham số, hàm ẩn, đạo hàm cấp cao, vi phân cấp cao,... là những nội dung chính trong bài 4 "Đạo hàm và vi phân" thuộc bài giảng điện tử Toán 1 dưới đây. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng điện tử Toán 1: Bài 4 - TS. Nguyễn Quốc Lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK -------------------------------------------------------------------------------------------- BGĐT – TOÁN 1 BÀI 4: ĐẠO HÀM & VI PHÂN TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM 2- KỸ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM: HÀM SƠ CẤP – KHÔNG SƠ CẤP – LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 3- ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ – HÀM ẨN 4- ĐẠO HÀM CẤP CAO 5- VI PHÂN. QUY TẮC TÍNH VI PHÂN 6- VI PHÂN CẤP CAO 7- KHAI TRIỂN TAYLOR (MAC – LAURINT): VẮN TẮT VÀ ÁP DỤNG 2
1. ĐẠO HÀM ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f ( x ) - f ( x0 ) Df f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) f ' ( x0 ) = lim = lim = lim x ® x0 x - x0 Dx ®0 Dx Dx ®0 Dx Ý nghĩa hình học: Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0)) Hàm có đạo hàm tại x0 Þ Liên tục tại x0. Ngược lại: SAI! 3
1. HÀM GHÉP, TRỊ TUYỆT: ĐẠO HÀM MỘT PHÍA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) Đạo hàm phải: f ' ( x0 + ) = lim (i.e Dx > 0) Dx ®0 + Dx f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) Đạo hàm trái: f ' ( x0 -) = lim (i.e Dx < 0) Dx ® 0 - Dx Hàm y = f(x) có đạo hàm hữu hạn tại x0 Û f’(x0+) = f’(x0-) VD: Tính đạo hàm tại x0 = 1 ìx2 , x £ 1 f (x) = í î2 x - 1, x > 1 VD: f ( x ) = x , x0 = 0 4
1. KHI NÀO DÙNG ĐẠO HÀM 1 PHÍA? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đạo hàm hàm sơ cấp (xác định qua 1 biểu thức): bảng đạo hàm cơ bản + đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương, hợp Đạo hàm hàm không sơ cấp (³ 2 biểu thức): định nghĩa & dùng đạo hàm trái, đạo hàm phải VD: Tìm a, b để hàm số ìax 2 + bx + 1, x ³ 0 f (x) = í sau có đạo hàm tại x0 = 0 îa sin x + b cos x, x < 0 Chú ý: Nên kiểm tra trước điều kiện liên tục ì x 2 sin 1 , x ¹ 0 ï VD: Tính đạo hàm tại x0 = 0 của hàm f ( x) = í x ïî0 ,x=0 5
1. ĐẠO HÀM (BẰNG) VÔ CÙNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đạo hàm vô cùng tại x0: f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) lim =¥ Dx ®0 Dx Hệ số góc tiếp tuyến = ¥: Tiếp tuyến thẳng đứng VD: f ( x ) = x , x0 = 0 Chú ý: $ f’(x0) Û Giá trị f’(x0) hữu hạn & Đồ thị có t/tuyến. Đạo hàm vô cùng Þ Hàm số vẫn không có đạo hàm nhưng đồ thị lại có tiếp tuyến (thẳng đứng) – không có hsgóc! 6
2. TÍNH ĐẠO HÀM HÀM SƠ CẤP ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản: tự xem lại Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp (C)’ = 0 (xa)’ = axa–1 (ua)’ = aua–1.u’ (1/x)’ = –1/x2 (1/u)’ = ( x )' = 1 2 x ( u )' (sinx)’ = cosx (sinu)’ = (cosx)’ = –sinx (cosu)’ = (tgx)’ = 1/cos2x = 1 + tg2x (tgu)’ = (cotgx)’ = –1/sin2x = (cotgu)’ = (ex)’ = ex, (ax)’ = axlna (eu)’ = (lnx)’ = 1/x, (logax) = 1/(xlna) (lnu)’ = 7
2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương: tự xem lại (u ± v )' = u '±v' (Cu )' = Cu ' (uv )' = u ' v + v' u ' æ u ö u ' v - v' u (uvw)' = u ' vw + uv' w + uvw' ç ÷ = èvø v2 Đạo hàm hàm hợp: Quy tắc dây xích! y = f (u ) , u = u ( x) : y = f (u ( x) ) Þ y ' x = y 'u ×u ' x : Xuaát hieän u'! VD: Cho y = f(x2). Tính các đạo hàm y’, y’’ x2 y= f(x)g(x) æ 1ö Þ log (cơ số e) hoá 2 vế. VD: y = ç1 + ÷ Þ y ' =8 ? è xø
2. ĐẠO HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC – HYPERBOLIC ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y = f(x) ® hàm ngược g ' ( y0 ) = 1 f ' ( x0 ) -1 ' Þ f ( y) = 1 f ' (x) ( ) x = g(y). Tại y0 = f(x0): 1 1 1 Gnhôù : (arcsin x )' = ; (arccos x )' = - ; (arctgx )' = 1- x 2 1- x 2 1 + x 2 (arcsinx)’ = 1 1- x2 (arcsinu)’ = u' 1 - u 2 (arccosx)’ = -1 1- x2 (arccosu)’ = - u' 1 - u 2 (arctgx)’ = 1 (1 + x 2 ) (arctgu)’ = u ' (1 + u 2 ) (arccotgx)’ = - 1 (1 + x 2 ) (arccotgu)’ = - u ' (1 + u 2 ) (shx)’ = chx (shu)’ = u’ . chu (chx)’ = shx (chu)’ = u’ . shu (thx)’ = 1/ch2x = 1 – th2x (thu)’ = u ' cosh 2 u 9 (cothx)’ = –1/sh2x = 1 – coth2x (cothu)’ = - u ' sinh u 2
3. ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Hàm theo tham số : x = x(t), y = y(t) Þ y = y(x) VD : Hàm biểu diễn đường cycloid x = a(t – sint), y = a(1 – cost) P/pháp: Đưa về đ/hàm theo t! y ' (t ) ( y ' x )t y'x = ; y ' ' x = ( y ' x )' x = x' (t ) x't sin t Đường cycloid y ' x = 1 - cos t VD : Tham số hoá đường elip & viết p/trình tiếp tuyến: ì x = a sin t y 't (b cos t )' í Þ y'x = = 10 î y = b cos t x't (a sin t )'
3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm ẩn : F(x,y) = 0 " x Î [a, b] Þ y = y(x) " x Î [a, b] VD : Hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình y = 1 + xey Tính y’: Đạo hàm trực tiếp 2 vế theo x, chú ý y = y(x) rồi giải phương trình ẩn y’ ey VD đang xét : y ' x = 1 - xe y VD : Đạo hàm y’(0) của hàm ẩn x 3 + ln y - x 2e y = 0 Þ y ' ( x) = y (0) = Þ y ' (0) = 11
4. ĐẠO HÀM CẤP CAO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đhàm cấp 2: y’’(x) = [y’(x)]’ . ĐH cấp n: y(n)(x) = [y(n-1)(x)]’ n Ký hiệu: d y Một số đạo hàm cấp cao cơ bản: dx n (e )x (n ) =e x (a ) x (n ) = a x ln n a æ pö æ pö (sin x ) ( n) = sin ç x + n ÷ (sin (ax + b )) (n) n = a sin ç ax + b + n ÷ è 2ø è 2ø [(ax + b) ] a (n) = a na (a - 1)K (a - n + 1)(ax + b )a -n ( -1) n-1 a n (n - 1)! (ln(ax + b ))( n) = (ax + b )n 12
4. KỸ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phân tích hàm về dạng “tổng” các hàm đơn giản VD: f ( x) = 1 VD: f ( x) = sin 2 x x2 -1 n (n ) Công thức Lebnitz: (uv ) = å Cnk u ( k ) v ( n-k ) k =0 VD: f(x) = x2ex Tổng quát: f(x) = u.v, u – đa thức bậc m Þ Các đạo hàm u(k) = 0 " k > m Þ Tổng u(k)v(n – k) chỉ gồm vài thừa số: tính đơn giản! 13
5. VI PHÂN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm khả vi tại x0 Û Dy = ADx + o(Dx), Dx ® 0 : Số gia hàm số biểu diễn tuyến tính theo Dx và vô cùng bé bậc cao của Dx y (C ) : y = f ( x ) Vi phân: dy = ADx = f’(x)dx f ( x0 + Dx ) Ứng dụng: Tính gần đúng Dy f(x) = f(x0 + Dx). Chú ý Dy » f ( x0 ) dy » f(x0) Dx Þ Dx f ' ( x0 )Dx f ( x0 + Dx ) » f ( x0 ) + f ' ( x0 )Dx O x0 x0 + Dx x VD: Tính gần đúng các giá trị sau và so sánh vơi kết quả trên may tính bỏ túi a/ e0.01 b/ cos29° 14
5. QUY TẮC TÍNH VI PHÂN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1/ Vi phân hằng số : dC = 0 2/ Mang hằng số ra ngoài dấu vi phân : d(Cy) = Cdy 3/ Vi phân tổng, hiệu, tích, thương: d (u + v ) = du + dv d (u - v ) = du - dv æ u ö vdu - udv d (uv ) = udv + vdu dç ÷ = èvø v2 4/ Tính bất biến của vi phân cấp 1: dy = y’dx dù y = f(x) hoặc y (hàm hợp) = f(u) = f(u(u(x)) 5/ Vi phân cấp cao không bất biến: Tính vi phân cấp 2 của y = f(x) hoặc y = f(u(u(x)): Khác nhau! 15
6. VI PHÂN CẤP CAO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vi phân cấp 2: x – biến độc lập Þ xem dx: hằng số y = f ( x) Þ d 2 y = d ( f ( x )dx ) = f ' ' ( x)dx 2 Þ d n y = f ( n ) ( x)dx n 2x VD: y = arctgx, tính d2y ĐS: d 2 y = - dx 2 (1 + x 2 ) 2 Vi phân cấp 2: x – hàm theo t Þ dx biến thiên Þ d2y ¹ y’’dx2 dy = y ' dx Þ d 2 y = d (dy ) = d ( y ' dx ) = y ' ' dx 2 + y ' d 2 x 2 sin t 2 2 VD: y = arctgx, x = sint. Tính d2y ĐS: d y = y ' ' dx - 2 dt 1+ x 16
7. KHAI TRIỂN TAYLOR (VẮN TẮT) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm y = f(x) có đạo hàm tại x0 Þ f(x) » f(x0) + f’(x0)(x – x0) Công thức Taylor: f có đạo hàm cấp n+1 trên (a,b); x0 , xÎ(a, b) f ' ' ( x0 ) f (n ) ( x0 ) f = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x - x0 ) + ( x - x0 ) + ... + ( x - x0 )n + ? 2 2! n! n f ( k ) ( x0 ) f ( n +1) (c) Þ f (x) = å ( x - x0 ) + ( x - x0 )n+1 , c Î ( x0 , x ) k k! (n + 1)! k =0 144 42444 3 Rn ( x ) : Phần dư Lagrange CT Taylor (phần dư Peano): f có đạo hàm đến cấp n trên (a,b) f (k ) ( x0 ) f ( x) = å n k! ( x - x0 )k + o ( x - x0 )n , x ® x0 ( ) k =0 17
7. KHAI TRIỂN MAC – LAURINT (VẮN TẮT) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x0 = 0: Khai triển Mac – Laurint (phổ biến) f ( n ) (0 ) n n f ( k ) (0) k f ( x) = f (0 ) + f ' (0 )x + K + x + Rn ( x ) = å x + Rn ( x) n! k =0 k! f ( n +1) (c ) n+1 Phần dư Lagrange: Rn ( x) = x , c = c( x ) Î (0, x ) ( n + 1)! Phần dư Peano: Rn ( x) = o x n+1 , x ® 0 ( ) VD: Khai triển Mac – Laurint của hàm a/ ex b/ cosx 2 n e x = 1 + x + + L + + o(x n +1 ) , x ® 0 x x 2! n! Kết quả: x2 x4 2n + o(x 2 n +1 ) , x ® 0 x cos x = 1 - + - L + (- 1) n 2! 4! (2n )! 18
7. MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm f(x) = sinx p1 ( x) = x x3 p2 ( x ) = x - 6 x3 x5 p3 ( x) = x - + 6 120 Chú ý: Đồ thị đa thức xấp xỉ tiến dần về đồ thị hàm được khai triển 19
7. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN MAC – LAURINT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ø Viết hàm về dạng tổng, hiệu, tích, thương, hơp hàm sơ cấp Ø Khai triển lần lượt và cắt đến luỹ thừa được yêu cầu VD: Khai triển Mac - Laurint hàm y = cos(sinx) đến cấp 4 é x3 ù é 3 4 ù Giải: cos(sin x ) = cos ê x - + o(x )ú = 1 - ê x - + o(x )ú + K 4 1 x ë 6 û 2ë 6 û VD: Khai triển Taylor hàm y = ex quanh x0 = 1 đến cấp 3 20