Bài giảng Giải tích 12 - Bài 1: Nguyên hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Giải tích 12 - Bài 1: Nguyên hàm" với những nội dung khái niệm nguyên hàm; nguyên hàm của một số hàm thường gặp; một số tính chất cơ bản của nguyên hàm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 12 - Bài 1: Nguyên hàm

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 09/12/20 1
Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm 09/12/20 2
1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : 2 ' a)Ta có (x ) 2x 2 nên F(x) = x ' b) Ta thấy (sin x ) cos x nên F(x) = sinx khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x) 09/12/20 3
1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Câu hỏi : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ? 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ? Trả lời : 1 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y= 2 cos x 1 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y = x ln 10 09/12/20 4
1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là F ( x) F (a ) hay F ( x) F (b) lim x a f (a) lim x b x b f (b) x a • Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b) Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b]. 09/12/20 5
1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. 09/12/20 6
1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu là f ( x )dx = F ( x ) + C ,C ﾡ . trong đó f(x)dx là vi phân của F(x). Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f ( f ( x )dx )' = f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 09/12/20 7
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 0dx C dx 1dx x C 1 x x dx C( 1) 1 1 dx ln x C x 09/12/20 8
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp cos( kx + b ) sin( kx + b )dx = − + C ,k 0. k sin( kx + b ) cos( kx + b )dx = +C k x e kx a e dx = kx +C a dx = x + C( 0 < α 1) k ln a 1 1 dx = tan x + C 2 dx = − cot x + C 2 cos x sin x 09/12/20 9
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Định lý 2: Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K , với a là số thực khác 0 thì: � [f ( x ) + g( x )]dx = � f ( x )dx + � g( x )dx � af ( x )dx = a � f ( x )dx [ f ( x )dx ] ' = f ( x ) Chú ý: f ( t )dt = F ( t ) + C � f [u( x )]u'( x )dx = F [u( x )] + C 09/12/20 f ( u )du = F ( u ) + C 10
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Nêu Chú ý: f ( x )dx = F ( x ) + C thì 1 � f ( ax + b )dx = � a f ( ax + b )d( ax + b ) 1 = F ( ax + b ) + C a u ' ( x) n n dx ln u ( x) C n x dx xn 1 C u ( x) n 1 dx n n n 1 x C dx n x n 1 2 x C x dx 1 C 09/12/20 xn xn (n 1)11 1
Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai: x x A. e dx e C B. 2dx 2x C C. sin xdx cos x C 2 x D. xdx C 2 09/12/20 12
Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)= x + 3 3x + 3 5x 1 1 1 Giải 3 3 f ( x) x 3x 5x x 2 (3 x) 3 (5 x) 3 1 1 1 f ( x)dx [x 2 (3 x) 3 (5 x) ]dx 3 3 1 4 1 4 2x 2 3 3 3 3 x 3 5 3 x 3 C 3 4 4 3 4 3 2 3 3 3 4 5 3 4 x x 3 x C 3 4 4 09/12/20 13
Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)=(3 +2 ) x x 2 Giải x x 2 x 2 x x x 2 f ( x) (3 2 ) (3 ) 2.3 .2 (2 ) x x x 9 2.6 4 x x x 9 6 4 Vậy f ( x)dx 2. C ln 9 ln 6 ln 4 09/12/20 14
Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: sin x − 2 3 f( x)= 2 3 sin x Giải 3 sin x 2 sin x 2 1 f ( x) 2 2 3 sin x 3 3 sin x Vậy sin x 2 1 2 2 dx cos x cot x C 3 3 sin x 3 3 09/12/20 15
Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: x x f ( x ) = 8 sin 3 − 6 sin Giải 3 3 3 x x f ( x) 8 sin 6 sin 3 3 x 3 x 2(3 sin 4 sin ) 2 sin x 3 3 Vậy f ( x)dx ( 2 sin x)dx 2( cos x) C 2 cos x C 09/12/20 16
Bảng các nguyên hàm mở rộng ∀a 0 dx 1 1 ln ax b C sin( ax b)dx cos(ax b) C a ax b a 1 ax b 1 ax b cos(ax b)dx sin( ax b) C e dx e C a a 1 1 2 dx tan(ax b) C cos (ax b) a 1 1 (ax b) (ax b) dx C( 1) a 1 1 1 2 dx cot(ax b) C sin (ax b) a 09/12/20 17
Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số: 1 f(x)= Giải 2 x2 + x − 3 1 1 1 f ( x) 2x2 x 3 2 ( x 1)( x 3 ) 2 2 3 [( x ) ( x 1)] 1 5 2 1 1 1 ( ) 2 3 5 x 1 3 ( x 1)( x ) x 2 2 1 1 1 Vậy f ( x)dx [ dx 3 dx] 5 x 1 x 1 2 [ln x 1 ln x 3 / 2 C ] 5 1 x 1 ln C 09/12/20 5 x 3/ 2 18
Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số: 1 f( x)= 2 + sin x − cos x Giải 1 1 f ( x) 2 sin x cos x 2 2 cos( x ) 4 1 1 2 x 2[1 cos( x )] 2 2 sin ( ) 4 2 8 Vậy 1 dx 1 x f ( x)dx cot( ) C 2 2 sin 2 ( x ) 2 2 8 2 8 09/12/20 19
Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số: −x f(x)= e +e x − 2dx Giải x x x x f ( x) ex e x 2 (e 2 e ) 2 2 |e 2 e 2 | x −x x −x Xét e −�۳۳ e 0 2 2 x 0 2 2 x x x x x x f ( x) e 2 e 2 f ( x)dx (e 2 e )dx 2(e 2 2 e ) C 2 x −x Xét e −e 2 2