Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.1 trình bày các khái niệm đạo hàm và vi phân, giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng, khả vi và vi phân. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh
- GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN
• CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
• CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI
• CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
• CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT
• CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY
THỪA
- CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
• §1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
• §2: Đạo hàm riêng
• §3: Khả vi và Vi phân
• §4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp
• §5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn
• §6: Công thức Taylor – Maclaurint
• §7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị
có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Định nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2
Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → R
( x, y ) a f ( x, y ) = z
Miền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y)
làm biểu thức của hàm có nghĩa
Miền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thể
nhận được
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Ví dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm f ( x, y ) = 9 - x 2 - y 2
MXĐ là hình tròn D = { ( x, y ) �R 2 : x 2 + y 2 �9}
MGT là đoạn [0,3]
MXĐ 3
f(x,y)
3 0 3
(x,y)
MGT
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
x + y +1
Ví dụ: Cho hàm f ( x, y ) =
x- 1
Tính f(2,1) và tìm MXĐ của f
Giải :
a. f(2,1) = 2
b. MXĐ :
Ta lấy nửa mặt
phẳng phía trên
đường thẳng x+y+1 =
0 và bỏ đi toàn bộ
đường x = 1
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D. Đồ thị của f là
tập tất cả các điểm M(x, y, z)∈R3, với (x, y)∈D, z = f(x,
y)
Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khác với đồ
thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong.
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Hình tròn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệu
B(M0,r) là tập
B(M0 , r ) = { M �R : d (M , M0 ) < r }
2
{ ( x, y ) �R 2 2 2
: ( x - x0 ) + ( y - y 0 ) < r }
Hình tròn mở này còn được gọi là một r - lân cận
của điểm M
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Cho tập D và 1 điểm M thuộc R2. Ta định nghĩa 3
loại điểm như sau :
Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tại
ít nhất r>0 sao cho r- lân cận của M là B(M,r) nằm
hoàn toàn trong D.
Điểm biên : M gọi là điểm biên của D nếu với mọi
r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc D
và những điểm không thuộc D.
Điểm tụ : Điểm M gọi là điểm tụ của D nếu với
mọi r>0, hình cầu mở B(M,r) đều chứa ít nhất 1
điểm N thuộc D, khác M
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Định lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khi
tồn tại dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞
thì d(Mn,M) →0
• Chú ý :
1. Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, còn
điểm biên của D thì có thể không thuộc D.
2. Điểm biên chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thì
có thể không là điểm biên
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Tập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên
của nó. Tập các điểm biên của D gọi là biên của D
Tập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó,
mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất
kỳ điểm biên nào
Tập D được gọi là tập bị chặn nếu nó được chứa trong
một hình cầu nào đó, tức là $r : D ￎ B(O, r )
Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên mà
không chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở,
không đóng.
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Ví dụ : Cho D là phần hình cầu
D = { ( x, y , z ) �R 3 : x 2 + y 2 + z 2 < 4}
Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đó
D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm
thuộc D đều là điểm trong. Vậy D là tập mở
Ví dụ : Cho hình vành khăn
{ ( x, y
D =Σ+� ) R 2 : 1 x 2 y 2 4}
Biên của D là 2 đường tròn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4
nằm hoàn toàn trong D nên D là tập đóng
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Ví dụ : Trong R2 cho miền D
D = { ( x, y ) �R 2 : x + y < 3, x ��
0, y 0}
Biên của D là 3 đoạn OA,
OB, AB. Miền D không
chứa đoạn AB tức là D B B
không chứa mọi điểm biên
nên D không là tập đóng.
O A
Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm
biên thuộc đoạn OA, OB
Tập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại
tiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bán
kính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hình
cầu mở
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến : Cho hàm f(x,y) có
miền xác định là D và M0(x0,y0) là 1 điểm tụ của D. Số
a được gọi là giới hạn của hàm f khi x→x0, y→y0 (hay
M →M0) nếu
" e > 0, $d> 0 : " ( x, y ) ￎ ( x0 , y 0 ),( x, y ) ￎ D,
( x - x0 )2 - ( y - y 0 )2 < d � f ( x, y ) - a < e
Khi ấy, ta viết lim f (M ) = a hay lim f ( x, y ) = a
M ￎ M0 x ￎ x0
y ￎ y0
Lưu ý: Định nghĩa trên tương tự như giới hạn của hàm
f(x), khi M dần đến M0 (không trùng M0), nếu f(M) dần
về a thì ta cũng nói giới hạn của f(M) bằng a
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Một cách đơn giản hơn, ta định nghĩa giới hạn hàm
cho riêng hàm 2 biến x, y theo đường cong như sau
Khi điểm M dần đến M0 theo mọi đường cong L, mà
hàm f(M) luôn dần về 1 giá trị a thì ta cũng có
lim f (M ) = a hay lim f ( x, y ) = a
M ￎ M0 xￎ x0
y ￎ y0
Như vậy: Nếu M dần đến M0 theo 2 đường cong
L1,L2 khác nhau và f(M) dần đến 2 giá trị a1≠a2 thì ta
nói không tồn tại giới hạn của hàm f(M) khi M→M0
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Chú ý : Cách tìm giới hạn hàm 2 biến: Đưa về giới
hạn hàm 1 biến hoặc dùng định lý kẹp
xy 2
Ví dụ : Tính lim
( x ,y )ￎ (0,0) x 2 + y 2
Giải :
xy 2
0ￎ 2 2
ￎ 2y
Ta dùng định lý kẹp như khi x +y
tính giới hạn hàm 1 biến:
Suy ra giới hạn cần tìm bằng
0
0
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
sin( xy )
Ví dụ : Tính lim
( x ,y )ￎ (0,0) 1- 3 1 + xy
Giải: Đặt t = xy →0 thì
sin( xy ) sin t t
lim = lim = lim =- 3
( x ,y )ￎ (0,0) 1- 3 1 + xy t ￎ 0 1- 3
1+ t t ￎ 0 - 1 t
3
Ví dụ : Tính lim xy
( x ,y )ￎ (0,0) x 2 + y 2
Giải: Ta cho (x,y) →(0,0) theo 2 đường y = x và y = 2x
Ta được x2 1 2x 2 2
lim 2 = và lim 2 =
( x ,y )ￎ (0,0) / y = x
2x 2 ( x ,y )ￎ (0,0) / y =2 x
5x 5
Vậy giới hạn đã cho là không tồn tại
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương
Cho lim f ( x, y ) = a, lim g ( x, y ) = b
xￎ x 0 xￎ x 0
y ￎ y0 y ￎ y0
Ta có các kết quả sau khi x→x0, y→y0
1. lim(f(x,y)+g(x,y)=a+b
2. lim f(x,y).g(x,y) = a.b
3. lim C.f(x,y) = C.a
f(x,y) a
4. lim = ,b ￎ 0
g(x,y) b
- §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0)
nếu f (x0,y0) xác định và ( x ,y )lim ,y ) f ( x, y ) = f ( x0 , y 0 )
ￎ (x 0 0
Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc miền D
Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục
Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục
Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ
- §2 : Đạo hàm riêng
Định nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm 2 biến f(x,y),
đạo hàm theo biến x của hàm f tại điểm (x0,y0) là
giới hạn (nếu có)
ￎf f ( x 0 + D x, y 0 ) - f ( x 0 , y 0 )
fxￎ( x0 , y 0 ) = ( x0 , y 0 ) = lim
ￎx Dxￎ 0 Dx
Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f
theo biến y
Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo
biến x, ta coi y là hằng số
- §2 : Đạo hàm riêng
Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm sau:
a. f(x,y)= x 2 + y 2
x
cos
y
b. f(x,y)=e
y
c. f(x,y,z)=ln(x+e ) + xyz
Giải : ￎ= x y
a. fx , fy ￎ =
x2 + y 2 x2 + y 2
x x
cos x 1 ￎ cos x x
b. fx ￎ = e y
(- s in ) , fy = e y
(- s in )(- 2 )
y y y y
1 ey
c. fx ￎ = y
+ yz,fy ￎ = y
+ xz, fz ￎ = xy
x +e x +e
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
