Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu

Chia sẻ: Cao Thi Ly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

103
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích: Chương 6 Tích phân suy rộng của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 2 bài được trình bày như sau: Các loại tích phân suy rộng, khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu

04/12/2017 Chương 6: Tích phân suy rộng Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy cho biết nó thuộc loại nào.   1 dx a )  2 dx b)  2 x x 1 1   /2 GV. Phan Trung Hiếu §1. Các loại tích phân suy rộng §2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng c)  0 sin xdx cos x 1 dx x 1 d ) 1 dx . x 2 e)  LOG O 4 §1. Các loại tích phân suy rộng 2 Loại 1:   a b f ( x) dx;    f ( x )dx.  Loại 2: b  f ( x)dx trong đó lim f ( x)   với c  [a, b]. a x c 3 của tích phân suy rộng 5  f ( x) dx; §2. Khảo sát sự hội tụ TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích phân xác định để tính tích phân. TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay phân kỳ. 6 1 04/12/2017 TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):  Điểm suy rộng tại c  ( a, b) b Phương pháp: -Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm c  [a, b] mà lim f ( x )  . x c -Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích phân xác định để tính tích phân.  a b c f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x )dx a c -Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. -Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. 7 10 Chú ý 2.1: Định lí 2.2: b b    f ( x)dx  alim  f ( x)dx    f ( x )dx  lim b   a  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx   a b c   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx, c   tùy ý  b b)  x a   b f ( x )dx  lim  f ( x)dx  t a  t x b   t b t b c  a c 2 9 c  (a, b) a a 11   e)  f)  0 b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx, a  d )  xe  x dx g)  a  Điểm suy rộng tại a và b b a Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích phân sau (trong trường hợp hội tụ)  0  dx ln x a)  2 b)  e x dx c)  dx x x 1  1 0 1 f ( x ) dx  lim  f ( x ) dx  a  g ( x)dx. f ( x) dx hội tụ và k là một hằng số a  a  Điểm suy rộng tại b lim f ( x )    a   k . f ( x) dx hội tụ và k . f ( x) dx  k .  f ( x)dx  Điểm suy rộng tại a lim f ( x)   a  f ( x) dx   8   a c     f ( x)  g ( x) dx  f ( x )dx, b  (0, ) tùy ý   a a  b a   g ( x)dx hội tụ    f ( x)  g ( x)  dx hội tụ và a    f ( x) dx hội tụ và  a  b   a) a  j)  2 dx 1  x2 2 xdx 1  x2   /2 h)  0 sin xdx 1  cos x dx 1  x2  1 e x dx ex  1 1 i)  dx 4  x2 12 2 04/12/2017 TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)): Phương pháp: -Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm c  [a, b] mà lim f ( x )  . Chú ý 2.4:  Với 0  a   , ta có   x c -Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. a 1 dx xn  0 1 dx xn 13 f ( x )dx,  g ( x)dx ii) k  0 : 1  (b  x)n dx a cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.   g ( x)dx hội tụ  a   f ( x) dx hội tụ.  a f ( x)dx phân kỳ   b 1  ( x  a)n dx a a  f ( x )dx hội tụ   g ( x)dx hội tụ. a  a 14 f ( x )  g ( x ) khi x    a  f ( x)dx và  g ( x)dx a cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên [ a, b), (a , b] 15 phân kỳ  n  1 f ( x) dx phân kỳ. 17 a Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên [a, ) và  hội tụ  n  1   g ( x)dx phân kỳ   a phân kỳ  n  1  Với a  b   , ta có  g ( x)dx phân kỳ.  iii) k   : hội tụ  n  1  a thì b a  phân kỳ  n  1  Với a  b   , ta có  a hội tụ  n  1 16 Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên [a, ) và khả tích trên mọi đoạn [a,b], b  a. f ( x)  k. Xét xlim  g ( x ) i) 0  k   :  phân kỳ  n  1  Với 0  b   , ta có b  hội tụ  n  1 Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân  a)  1  c)  1  dx 3 x  x 1 b)  1  ( x  5) dx 3 x 1 x d)  3 0 2 xdx x5  x  1 dx x3 1 dx sin x 0 1 ln(1  x)dx x 3/2 0 f ) e)  18 3 04/12/2017 Ví dụ 2.3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân  a)  0 x2 ex 2  b)  dx 1 1 1 x2 1 ln x d) dx x 0 c )  xe dx 0 2 1 dx e)  f ) x2  1 1 x 2  x  5ln x dx 2 x3  x  1 0 x 3dx 3 (1  x 2 )5 Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định lý sau Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ  Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ. Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt đối. Chú ý kết quả: sin X 1; cos X 1, X . Ví dụ 2.5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân   1 19 sin x dx x3 22 Định lí 2.5: 0  f ( x)  Khi đó:  [a,  ) g ( x ) với mọi x trên [a, b), lim f ( x )   x b   (a, b], lim f ( x)    x a b b i)  g ( x )dx hội tụ   f ( x)dx hội tụ. a a b b ii)  f ( x)dx phân kỳ   g ( x)dx phân kỳ. a a 20 Chú ý 2.6:  x  1 , ta có x 2  x  x  1.  x  1, ta có ln x  x  e x .  x  0, ta có e x  1.  x  e, ta có ln x  1.  x  2, ta có ln(1  x )  1. Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân  1 e x 1dx x 0 2 a )  e x dx 1 b)  6 ln x dx ( x  3) 4 3 c)  21 4