Bài giảng học Hệ phương trình tuyến tính

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 51
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học chuyên môn toán cao cấp - Giáo trình đại số tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng học Hệ phương trình tuyến tính

1 Ch¬ng 4 HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 4.1 Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 1. D¹ng tæng qu¸t cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh HÖ m ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn lµ hÖ cã d¹ng: a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  (4_1) ... am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bm  Trong ®ã aij (i= 1, m ;j= 1, n ) vµ bi (i= 1, m ) lµ c¸c sè cho tríc trªn trêng K, cßn x1,x2,...,xn lµ n Èn sè cÇn t×m. NÕu b1=b2=...=bm=0 th× hÖ gäi lµ hÖ tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt, ngîc l¹i hÖ ®îc gäi lµ hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt. NghiÖm cña hÖ lµ mét bé n sè (c1,c2,...,cn) sao cho khi thay thÕ x1=c1, x2=c2,..., xn=cn vµo hÖ ta ®îc c¸c ®ång nhÊt thøc. Gi¶i hÖ lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña nã. NÕu hÖ cã nghiÖm th× ta nãi hÖ t¬ng thÝch, nÕu hÖ kh«ng cã nghiÖm th× lµ hÖ kh«ng t¬ng thÝch hay hÖ v« nghiÖm. NÕu hÖ t¬ng thÝch vµ cã nghiÖm duy nhÊt ta gäi lµ hÖ x¸c ®Þnh, nÕu nghiÖm kh«ng duy nhÊt ta gäi lµ hÖ bÊt ®Þnh. Ta gäi ma trËn:  a11 a12 ... a1n    A=  a21 a22 ... a2 n  (4_2) ...     am1 am2 ... amn  lµ ma trËn c¸c hÖ sè cña hÖ, vµ ma trËn:  a11 a12 ... a1n b1    A*=   a21 a22 ... a2 n b2  (4_3) ...     am1 am2 ... amn bm  lµ ma trËn c¸c hÖ sè më réng cña hÖ. 2. D¹ng ma trËn cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh §Æt:  x1   b1       x2   b2  X=   b=   (4_4) ... ...      xn   bm  X gäi lµ vÐc t¬ Èn, b gäi vÐc t¬ cét vÕ ph¶i. Khi ®ã cã hÖ díi d¹ng ma trËn  a11 a12 ... a1n   x1   b1         a21 a22 ... a2 n   x2  =  b2  hay A.X=b (4_5)  ...   ...   ...         am1 am2 ... amn   xn   bm  1
2 3. D¹ng vÐc t¬ cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh NÕu ®Æt:  a11   a12   a1n        a 1  21  a 2  22  a n  2n  a =   a =   ... a =   (4_6) ... ... ...        am1   am2   amn  Ta cã hÖ díi d¹ng vÐc t¬ x1a1+x2a2+...+xnan=b (4_7) Khi ®ã mét cÆp n sè c1,c2,...,cn∈K lµ nghiÖm cña hÖ th×: c1a1+c2a2+.....+cnan=b Hay b lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ c¸c vÐc t¬ {a1,a2,...,an}. NÕu {a1,a2,...,an} lµ n vÐc t¬ trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh m chiÒu E trªn trêng K, th× (4_7) cã thÓ xem lµ mét ph¬ng tr×nh vÐc t¬ trªn E. §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (4_7) ta ®a vÒ gi¶i hÖ (4_1) t×m biÓu diÔn tuyÕn tÝnh cña b qua hÖ vÐc t¬ {a 1,a2,...,an}. VÝ dô 4.1: Trong P3(t) cho c¸c ®a thøc a1=8+4t+2t2 a2=4+10t+5t2+4t3 a3=2+5t+6,5t2+4t3 a4=4t+4t2+9t3 b=24+32t+26t2+21t3 §Ó t×m biÓu diÔn cña b qua a1,a2,a3,a4, tõ ph¬ng tr×nh vÐc t¬: x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b Thay täa ®é cña c¸c vÐc t¬ t¬ng øng trªn c¬ së {1,t,t2,t3} ®îc hÖ: 8 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 24 4 x + 10 x + 5x + 4 x = 32  1 2 3 4  2 x1 + 5x 2 + 6,5x 3 + 4 x 4 = 26   4 x 2 + 4 x 3 + 9 x 4 = 21 NghiÖm x1,x2,x3,x4 cña hÖ sÏ cho ta biÓu thøc biÓu diÔn cña b. 4.2 §iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm 1. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm Bæ ®Ò 4.1: Cho E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó b∈E lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ {a 1,a2,...,an}⊂E lµ h¹ng cña {a1,a2,...,an} b»ng h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an,b}. Chøng minh: Gi¶ sö hÖ {a1,a2,...,an} cã h¹ng b»ng r, víi r≤ n vµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i lµ {a1,a2,...,ar}. §iÒu kiÖn cÇn: Do b lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña {a1,a2,...,an} nªn b=t1a1+t2a2+...+tnan (4_8) V× {a1,a2,...,ar}lµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña {a 1,...,ar,ar+1,...,an} nªn ar+1,...,an ®Òu biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua {a1,...,ar}: ak=t1ka1+t2ka2+...+trkar (k=r+1,...,n) (4_9) Thay (4_9) vµo (4_8) ta thÊy b lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐc t¬ cña hÖ {a 1,a2,...,ar}. Nh vËy mäi vÐc t¬ cña hÖ {a1,a2,...,an,b} ®Òu biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua {a1,a2,...,ar} hay h¹ng {a1,a2,...,an,b} b»ng h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,ar} b»ng h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an}=r. §iÒu kiÖn ®ñ: NÕu h¹ng cña {a1,a2,...,an,b}b»ng h¹ng {a1,a2,...,an}vµ b»ng r, do {a1,a2,...,ar} lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn nã lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong {a 1,a2,...,an,b} v× vËy b biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua {a1,a2,...,ar}: b=t1a1+t2a2+...+trar=t1a1+t2a2+...+trar+0ar+1+...+0an hay b lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ {a1,a2,...,an}. §Þnh lý 4.1(§Þnh lý Kronecker- Capeli) HÖ ph¬ng tr×nh
3 a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ... am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bm  cã nghiÖm khi vµ chØ khi h¹ng cña ma trËn c¸c hÖ sè A b»ng h¹ng cña ma trËn c¸c hÖ sè më réng A*. Chøng minh: xÐt hÖ (4_1) díi d¹ng vÐc t¬ (4_7): b=x1a1+x2a2+...+xnan (4_10) §iÒu kiÖn cÇn: NÕu (4_10) cã nghiÖm sÏ tån t¹i n sè c1,c2,...,cn∈K sao cho: b=c1a1+c2a2+...+cnan Nh vËy b lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ {a 1,a2,...,an} do ®ã h¹ng cña {a 1,a2,...,an} b»ng h¹ng cña {a1,a2,...,an,b}. V× A lµ ma trËn cña {a1,a2,...,an}, A* lµ ma trËn cña {a1,a2,...,an,b} nªn r(A)=r(A*). §iÒu kiÖn ®ñ: nÕu r(A)=r(A*) nªn h¹ng cña {a1,a2,...,an} b»ng h¹ng cña {a1,a2,...,an,b} khi ®ã theo bæ ®Ò 4.1 tån t¹i n sè c1,c2,...,cn sao cho: b=c1a1+c2a2+...+cnan (4_11) Chøng tá : c1,c2,...,cn lµ nghiÖm cña (4_1). 2. §iÒu kiÖn duy nhÊt nghiÖm Bæ ®Ò 2: b cã biÓu diÔn tuyÕn tÝnh duy nhÊt qua {a 1,a2,...,an} khi vµ chØ khi h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an,b} b»ng h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an} vµ b»ng n. ThËt vËy theo bæ ®Ò 4.1 v× h¹ng {a 1,a2,..,an,b} b»ng h¹ng {a1,a2,...,an} nªn b biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua {a1,a2,...,an} b=t1a1+t2a2+...+tnan Nhng do h¹ng cña {a1,a2,...,an}=n nªn nã lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, vËy nªn biÓu diÔn cña b lµ duy nhÊt. Ngîc l¹i nÕu b biÓu diÔn tuyÕn tÝnh duy nhÊt qua hÖ {a 1,a2,...,an} th× {a1,a2,...,an} lµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña hÖ {a 1,a2,..,an,b} do ®ã h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an,b} b»ng h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an} vµ b»ng n. §Þnh lý 4.2: HÖ ph¬ng tr×nh (4_1) cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi r(A)=r(A*)=n (n lµ sè Èn cña hÖ). XÐt hÖ díi d¹ng vÐc t¬ b=x1a1+x2a2+...+xnan HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi tån t¹i duy nhÊt bé n sè c 1,c2,...,cn∈K sao cho: b=c1a1+c2a2+...+cnan Hay b cã biÓu diÔn duy nhÊt qua hÖ {a 1,a2,...,an} theo bæ ®Ò 2 h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an,b} b»ng h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an} vµ b»ng n, do ®ã r(A)=r(A*). Ngîc l¹i, nÕu r(A)=r(A*)=n, khi ®ã h¹ng cña hÖ {a 1,a2,...,an,b} b»ng h¹ng cña hÖ {a1,a2,...,an} vµ b»ng n do ®ã b cã biÓu diÔn tuyÕn tÝnh duy nhÊt qua hÖ {a 1,a2,...,an}, hay tån t¹i duy nhÊt bé n sè c1,...,cn, sao cho: b=c1a1+c2a2+...+cnan Chøng tá hÖ (4_1) cã nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 4.2: Trong R3 cho c¸c vÐc t¬ a=(1,2,0), b=(0,1,2), c=(0,1,t), u=(1,3,2) a. T×m t ®Ó u biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua a,b,c. b. Víi t b»ng bao nhiªu biÓu diÔn lµ duy nhÊt. Gi¶i: Gi¶ sö u=x1a+x2b+x3c hay 1  0  0  1          x1  2 + x 2  1  + x 3  1 =  3          0  2  t   2 §ã chÝnh lµ hÖ ph¬ng tr×nh 3
4  x1 =1  2 x1 + x2 + x3 = 3  2 x2 + tx3 = 2  Ma trËn c¸c hÖ sè më réng cã: 1 0 0 1  1 0 0 1     r(A*)=r  0 1 1 1 =r  0 1 1 1     0 2 t 2  0 0 t − 2 0 a. Ta thÊy víi mäi t, r(A)=r(A*) nªn u ®Òu cã biÓu diÔn qua a,b,c. b. Khi t≠ 2 r(A)=r(A*)=3, u cã biÓu diÔn duy nhÊt qua a,b,c. VÝ dô 4.3: BiÖn luËn nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tx1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1  x + tx + x + x = 1  1 2 3 4   x1 + x 2 + tx 3 + x 4 = 1  x1 + x 2 + x 3 + tx 4 = 1  Trong ®ã x1,x2,x3,x4 lµ Èn sè, t lµ tham sè. LËp ma trËn c¸c hÖ sè më réng. §Ó cét vÕ ph¶i kh«ng lµm thay ®æi h¹ng cña ma trËn c¸c hÖ sè A ta xÐt h¹ng b»ng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp sau: Céng 4 cét ®Çu vµo cét mét:  t 1 1 1 1   3 +t 1 1 1 1      1 t 1 1 1   3 + t t 1 1 1 1 1 t 1 1  ⇒ 3 + t 1 t 1 1     1 1 1 t 1   3 + t 1 1 t 1     LÇn lît lÊy c¸c hµng trõ ®i hµng ®Çu ®îc: 3+t 1 1 1 1    0 t −1 0 0 0 ⇒ 0 0 t −1 0 0    0 0 0 t −1 0   a. NÕu t≠ -3 vµ t≠ 1 det(A)≠ 0 vµ r(A)=4 hÖ duy nhÊt nghiÖm. b. NÕu t=1 hÖ ®· cho trë thµnh hÖ: x1+x2+x3+x4=1 r(A)=r(A*)=1
5  x1   A11 A21 ... An1   b1         x2  = 1  A12 A22 ... An 2   b2   ...  (4_14) ∆  ...   ...         xn   A1n A2 n ... Ann   bn  Tõ ®ã ta cã: 1 n ∆ xi= ∑ bj A ji = i (i= 1, n ) (4_15) ∆ j =1 ∆ Trong ®ã ∆ i lµ ®Þnh thøc nhËn ®îc tõ ∆ b»ng c¸ch thay cét i bëi cét b. VÝ dô 4.4: Gi¶i hÖ (1 − 2i ) x + ( 2 + i ) y = 3 + i  (2 − i ) x + (1 + i ) y = 2i Ta cã: 1 − 2i 2 + i ∆= = (1 − 2i )(1 + i ) − ( 2 − i )(2 + i ) = −2 − i 2 − i 1+ i 3+i 2+i ∆x = = (3 + i )(1 + i ) − 2i ( 2 + i ) = 4 2i 1 + i 1 − 2i 3 + i ∆y = = 2i (1 − 2i ) − (2 − i )(3 + i ) = −3 + 3i 2 − i 2i VËy hÖ cã nghiÖm: 4 − 8 + 4i − 3 + 3i (−3 + 3i )(−2 + i ) 3 − 9i x= = , y= = = −2−i 5 −2−i 5 5 2. Ph¬ng ph¸p Khö_Gauss Trong c¸c ph¬ng ph¸p khö chóng ta sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: (i) Nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh trong hÖ víi cïng mét sè kh¸c kh«ng. (ii) §æi vÞ trÝ hai ph¬ng tr×nh trong hÖ cho nhau. (iii) Nh©n mét sè víi mét ph¬ng tr×nh råi céng ph¬ng tr×nh ®ã vµo ph¬ng tr×nh kh¸c cña hÖ. Ta thÊy ba phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng chØ lµm thay ®æi ma trËn c¸c hÖ sè më réng cña hÖ mµ kh«ng lµm thay ®æi c¸c Èn cña nã, v× vËy trong khö Gauss ta chØ thùc hiÖn ba phÐp biÕn ®æi trªn cho ma trËn c¸c hÖ sè më réng, ®ã còng chÝnh lµ c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp theo hµng cña ma trËn c¸c hÖ sè më réng. HÖ cã ma trËn c¸c hÖ sè më réng lµ ma trËn thu ®îc sau phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng víi hÖ ban ®Çu. a. Khö Gauss cho hÖ n ph¬ng tr×nh n Èn sè XÐt hÖ n ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  (4_16) ... an1 x1 + an 2 x2 +...+ ann xn = bn  Víi det(A) ≠ 0, nh vËy hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt. Néi dung cña khö Gauss gåm hai bíc: (i) Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®a hÖ vÒ hÖ:  1 u12 ... u1n   x1   b'1        0 1 ... u2 n   x2  =  b'2   ...   ...   ...  (4_17)       0 0 ... 1   xn   b'n  (ii). TÝnh nghiÖm cña (4_17) b»ng phÐp thÕ liªn tiÕp ngîc tõ díi lªn. 5
6 1. Bíc 1: XÐt hÖ díi d¹ng ma trËn:  a11 a12 ... a1n   x1   b1        a21 a22 ... a2 n   x2  =  b2  (4_18)  ...   ...   ...        an1 an 2 ... ann   xn   bn  V× det(A)≠ 0 nªn trong cét mét cña A ph¶i cã mét phÇn tö kh¸c kh«ng. Gi¶ sö a 11≠ 0 (nÕu a11= 0, th× ph¶i cã ai1 nµo ®ã kh¸c kh«ng, khi ®ã ta ®æi hµng 1 vµ hµng i cho nhau), chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh 1 cho a11 ta ®îc hÖ míi:  1 a12 ... a1n   x1   b1  1 1 1       a21 a22 ... a2 n   x2  =  b2  (4_19)  ...   ...   ...        an1 an 2 ... ann   xn   bn  Trong ®ã: a1 j b1 ( j= 2, n ); b1 = 1 a1 j = 1 (4_20) a11 a11 §Ó khö x1 trong c¸c ph¬ng tr×nh k(k= 2, n ) hay biÕn ®æi ®Ó cho c¸c hÖ sè a k1=0 (k= 2, n ) lÇn lît ta nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh 1 víi -ak1 råi céng ph¬ng tr×nh 1 vµo ph¬ng tr×nh k(k= 2, n ), khi ®ã ®îc hÖ míi:  1 a12 ... a1n  1 1  x1   b1  1  1 1     1  0 a22 ... a2 n   x2  =  b2    (4_21) ...  ...   ...       1  1   xn   bn   0 an 2 ... ann  1   Trong ®ã víi (k= 2, n ): a 1 = a kj − a1 j .a k1 kj 1 ( j= 1, n ) (4_22) bk = bk − b1 .a k1 1 1 (4_23) XÐt hÖ (4_21) bá ®i hµng 1 vµ cét 1 ta ®îc hÖ con:  a22 a23 ... a2 n   x2   b2  1 1 1 1  1 1 1     1  a32 a33 ... a3n   x3   b3   ...   ...  =  ...  (4_24)       1 1   1  an 2 an 3 ... ann   xn   bn  1 Thùc hiÖn t¬ng tù nh víi hÖ (4_18) ta ®a (4_24) vÒ d¹ng  1 a23 ... a2 n   x2   b22  2 2  2 2     2  0 a33 ... a3n   x3   b3   ...   ...  =  ...  (4_25)        2     0 an 3 ... ann   xn   bn2  2 Thùc hiÖn sau n lÇn ta ®a hÖ ban ®Çu vÒ hÖ tam gi¸c trªn:  1 a12 ... a1n   x1   b11  1 1      2  0 1 ... a2 n   x2   b2  2  ...   ...  =  ...  (4_26)         0 0 ... 1   xn   bnn   
7 2.Bíc 2: TÝnh nghiÖm cña hÖ. NghiÖm cña hÖ (4_26) ®îc tÝnh tõ díi lªn theo c¸c bíc nh sau: n xn=bn (4_27) Thay xn vµo ph¬ng tr×nh n-1 ta cã: n− n −1 xn-1=bn −11 − an −1n xn TiÕp tôc thay thÕ c¸c gi¸ trÞ Èn ®· biÕt vµo c¸c ph¬ng tr×nh cßn l¹i, ë bíc i ta cã: n xi = bii − ∑a x j =i +1 i ij j (i= n − 1,1 ) (4_28) Chó ý: Qu¸ tr×nh khö Gauss kh«ng lµm thay ®æi vÐc t¬ cét c¸c Èn sè nªn khi thùc hiÖn phÐp khö Gauss ta chØ cÇn lËp b¶ng ma trËn c¸c hÖ sè më réng vµ thùc hiÖn khö. VÝ dô 4.5: xÐt hÖ ph¬ng tr×nh 8 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 24 4 x + 10 x + 5x + 4 x = 32  1 2 3 4   2 x1 + 5x 2 + 6,5x 3 + 4 x 4 = 26   4 x 2 + 4 x 3 + 9 x 4 = 21 LËp b¶ng ta ®îc  8 4 2 0  24     4 10 5 4  32  2 5 6,5 4  26     0 4 4 9  21 Chia hµng mét cho 8, sau ®ã lÇn lît nh©n hµng mét míi víi -4, -2 råi céng t¬ng øng vµo hµng hai, hµng ba ta ®îc:  1 0,5 0,25 0   3      0 8 4 4   20 0 4 6 4   20    0 4 4 9  21 Gi÷ nguyªn hµng mét vµ cét mét. Chia hµng hai cho 8, sau ®ã nh©n hµng hai míi víi -4 råi céng vµo hµng ba, hµng bèn ®îc:  1 0,5 0,25 0   3       0 1 0,5 0,5  2,5 0 0 4 2   10      0 0 2 7   11  Gi÷ nguyªn hai hµng ®Çu vµ hai cét ®Çu. Chia hµng ba cho 4, sau ®ã nh©n nã víi -2 råi céng vµo hµng bèn ta ®îc:  1 0,5 0,25 0   3      0 1 0,5 0,5  2,5  0 0 1 0,5  2,5    0 0 0 6  6  Chia hµng bèn cho 6 ta ®îc:  1 0,5 0,25 0   3      0 1 0,5 0,5  2,5  0 0 1 0,5  2,5    0 0 0 1  1  TÝnh nghiÖm: 7
8 x4=1 x3=2,5-0,5 . x4=2,5-0,5.1 =2 x2=2,5-0,5.x3-0,5 x4=2,5-0,5.1-0,5. 2=1 x1=3-0,5 x2-0,25x3 =3-0,5. 1-0,25. 2=2 VÝ dô 4.6: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ: (1 + a ) x + y + z = 1   x + (1 + a ) y + z = a   x + y + (1 + a ) z = a 2 LËp b¶ng 1 + a 1 1  1      1 1+ a 1  a   1  1 1+ a a2    LÊy hµng mét trõ hµng hai, hµng hai trõ hµng ba ®îc a −a 0  1 − a      0 a − a  a − a2  1  1 1+ a  a2    NÕu a=0 ph¬ng tr×nh mét v« nghiÖm nªn hÖ v« nghiÖm. NÕu a≠ 0, chia hµng mét vµ hai cho a, råi lÊy hµng ba trõ hµng mét ®îc  1− a     1 −1 0   a    0 1 −1   1 − a  0    2 1+ a  a3 + a −1     a  Nh©n hµng hai víi -2 råi céng vµo hµng ba ®îc  1− a     1 −1 0  a    0 1 −1   1− a  0  3   0 3 + a   a + 2a 2 − a − 1      a  NÕu a=-3 ph¬ng tr×nh ba v« nghiÖm nªn hÖ v« nghiÖm. NÕu a≠ -3 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: − a2 + 2 2a − 1 a 3 + 2a 2 − a − 1 x= , y= , z= a (a + 3) a (a + 3) a (a + 3) b. Khö Gauss cho hÖ m ph¬ng tr×nh n Èn sè Quy t¾c khö Gauss trªn cã thÓ ¸p dông cho hÖ cã sè ph¬ng tr×nh vµ sè Èn kh¸c nhau. Tuy nhiªn kÕt qu¶ sau khö sÏ ®a ®Õn mét hÖ cã ma trËn c¸c hÖ sè lµ mét ma trËn “ h×nh thang”, chóng ta sÏ dùa vµo ma trËn kÕt qu¶ ®ã ®Ó tÝnh nghiÖm cña hÖ. VÝ dô 4.7: Gi¶i hÖ  x1 + x 2 − 2 x3 + x 4 = 3  2 x1 − 3 x 2 − x3 − 2 x 4 = −1 3 x − 2 x − 3 x − x = 2  1 2 3 4 LËp b¶ng:
9 1 1 − 2 1 3    2 − 3 − 1 − 2 − 1  3 − 2 − 3 −1 2   Nh©n -2 víi hµng 1 céng vµo hµng 2; nh©n -3 víi hµng 1 céng vµo hµng 3 ®îc: 1 1 − 2 1 3     0 −5 3 − 4 − 7  0 − 5 3 − 4 − 7   LÊy hµng 3 trõ hµng 2 vµ ®æi dÊu hµng 2 ®îc: 1 1 − 2 1 3   0 5 −3 4 7  0 0 0 0 0   HÖ cho nghiÖm: 7 3 4 x2= + x3 − x 4 5 5 5 8 7 1 x1= + x3 − x 4 5 5 5 x3, x4 tïy ý. VÝ dô 4.8: Gi¶i hÖ  x1 + 3x 2 − 2 x 3 + x 4 = 1   x1 + 3x 2 − x 3 + 3x 4 = 3  x + 3x − 3x − x = 2  1 2 3 4 LËp b¶ng:  1 3 − 2 1 1    1 3 − 1 3 3    1 3 − 3 − 1 2 LÊy c¸c hµng trõ ®i hµng mét ta ®îc:  1 3 − 2 1 1    0 0 1 2 2    0 0 − 1 − 2 1 LÊy hµng ba céng hµng hai ta ®îc:  1 3 − 2 1 1    0 0 1 2 2    0 0 0 0 3 HÖ kh«ng cã nghiÖm do r(A)=2, r(A*)=3. VÝ dô 4.9: Gi¶i hÖ  x1 − x 2 + x 3 = 3 2 x + x + 2 x = 0  1 2 3  2 x1 + x3 = 3 2 x1 + 3x 2 + x 3 = −3  LËp b¶ng 9
10  1 − 1 1 3    2 1 2 0 2 0 1 3    2 3 1 − 3 LÊy hµng mét nh©n víi -2 råi céng vµo c¸c hµng ta ®îc:  1 − 1 1 3    0 3 0 − 6  0 2 − 1 − 3    0 5 −1 − 9 Chia hµng hai cho 3, sau ®ã lÇn lît nh©n nã víi -2, -5 råi céng vµo hµng ba hµng bèn ta ®îc:  1 − 1 1 3   0 1 0 − 2   0 0 − 1 1    0 0 − 1 1 LÊy hµng bèn trõ hµng ba ta ®îc:  1 − 1 1 3   0 1 0 − 2   0 0 − 1 1   0 0 0 0  v× r(A)=r(A*)=3 b»ng sè Èn cña hÖ nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: x3=-1 x2=-2 x1=3+x2-x3=3-2+1=2 c. Khö Gauss gi¶i hÖ thuÇn nhÊt VÝ dô 4.10: Gi¶i hÖ 2 x + 4 y − 4 z + 2t = 0  3 x + 5 y − 7 z + 2t = 0 4 x + 10 y − 6 z + 6t = 0  LËp b¶ng 2 4 −4 2   3 5 − 7 2  4 10 − 6 6   Chia hµng mét cho 2, sau ®ã lÇn lît nh©n nã víi -3, -4 råi céng vµo hµng hai, hµng ba ta ®îc: 1 2 −2 1   0 −1 − 1 − 1 0 2 2 2   Chia hµng hai cho -1, sau ®ã nh©n nã víi -2 råi céng vµo hµng ba ta ®îc: 1 2 − 2 1   0 1 1 1 0 0 0 0   VËy nghiÖm cña hÖ lµ: x = 4z + t  z, t tuú ý y = −z − t Cho z=1, t=0 ta ®îc y=-1, x=4 ta ®îc u=(4,-1,1,0). Cho z=0, t=1 ta ®îc y=-1, x=1 ta ®îc v=(1,-1,0,1).
11 Khi ®ã {u,v} gäi lµ c¸c nghiÖm c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt, cßn: x=αu+βv Víi α, β lµ c¸c h»ng sè tïy ý, lµ nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ thuÇn nhÊt. 4.4 Ph¬ng ph¸p khö Gauss_Jordan 1. Ph¬ng ph¸p khö Gauss_Jordan gi¶i hÖ XÐt hÖ ph¬ng tr×nh A.X=b víi A ≠ 0 , qu¸ tr×nh khö Gauss ®a hÖ vÒ hÖ míi UX=b* trong ®ã U lµ ma trËn tam gi¸c trªn. Khö Gauss_Jordan c¶i tiÕn khö Gauss b»ng c¸ch thùc hiÖn khö ®a hÖ vÒ d¹ng: I.X=b* (4_29) Trong ®ã I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n, khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ: X=b* (4_30) Nh vËy trong khö Gauss_Jordan qu¸ tr×nh tÝnh to¸n trong bíc khö sÏ nhiÒu h¬n nhng l¹i thu ngay ®îc nghiÖm. §Ó ®a ma trËn A vÒ ma trËn I ta ph¶i dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t ¬ng ®¬ng cña hÖ sao cho sau lÇn khö thø i( i= 1, n ) ta cã: aii = 1  (4_31) a ki = 0 k ≠i Muèn vËy ë lÇn khö thø i (i= 1, n ) ta thùc hiÖn: 1. Chia hµng i cho aii aij−1 i bii −1 aij = i −1 (j= i, n ), bi = i −1 i i (4_32) aii aii 2. Nh©n hµng i víi –aki råi céng hµng i vµo hµng k(k= 1, n , k≠ i) a kj = a kj−1 − aij a ki−1 (j= i, n ) i i i i (4_33) i −1 i −1 i kb = b −b a k i i ki Nh vËy so víi phÐp khö Gauss, ë lÇn khö thø i bíc 2 ta ph¶i biÕn ®æi tÊt c¶ c¸c hµng k= 1, n trõ k=i theo (4_33). VÝ dô 4.11: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  8 4 2 0  x1   24        4 10 5 4  x2  =  32  2 5 6,5 4   x3   26        0 4 4 9  x4   21 LËp b¶ng  8 4 2 0  24      4 10 5 4  32  2 5 6,5 4   26      0 4 4 9  21 Sau bíc khö thø nhÊt  1 0,5 0,25 0  3     0 8 4 4   20 0 4 6 4   20    0 4 4 9   21 Sau bíc khö thø hai 11
12  1 0 0 − 0,25  1,75      0 1 0,5 0,5   2,5  0 0 4 2   10      0 0 2 7   11  Sau bíc khö thø ba  1 0 0 − 0,25  1,75     0 1 0 0,25   1,25 0 0 1 0,5   2,5      0 0 0 6  6  Sau bíc khö thø t  1 0 0 0  2     0 1 0 0  1  0 0 1 0  2     0 0 0 1  1  Ta cã vÐc t¬ nghiÖm  x1   2     x2 1 X=   =    x3   2      x4   1  2. Khö Gauss_Jordan gi¶i ph¬ng tr×nh ma trËn XÐt ph¬ng tr×nh ma trËn: A.X=B (4_34) Víi A lµ ma trËn vu«ng cÊp n cã A ≠ 0 . B lµ ma trËn cÊp n× p cho tríc, X lµ ma trËn cÊp n× p lµ ma trËn ph¶i t×m. NÕu ¸p dông khö Gauss_Jordan cho (4_34), biÕn ®æi ®ång thêi A,B ®a ma trËn A vÒ ma trËn ®¬n vÞ I ta ®îc ph¬ng tr×nh: I.X=B* (4_35) Khi ®ã nghiÖm cña (4_34) chÝnh lµ: X=B* (4_36) VÝ dô 4.12: Gi¶i ph¬ng tr×nh ma trËn −1 3 − 2  1 −1 1      1 −2 2  X=  − 1 1 − 1      2 −6 3  2 2 − 2 Ta lËp b¶ng −1 3 − 2  1 − 1 1       1 −2 2 −1 1 − 1      2 −6 3  2 2 − 2 Sau bíc khö thø nhÊt ®îc  1 −3 2  − 1 1 − 1    0 1 0  0 0 0    0 0 − 1  4 0 0 Sau bíc khö thø hai ®îc
13 1 0 2  −1 1 − 1     0 1 0  0 0 0     0 0 − 1  4 0 0 Sau bíc khö thø ba ®îc 1 0 0  7 1 − 1    0 1 0  0 0 0    0 0 1  − 4 0 0 VËy ma trËn nghiÖm  7 1 − 1   X=  0 0 0   −4 0 0 VÝ dô 4.13: Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 1 1 ... 1 1 2 3 ... n − 1 n      0 1 1 ... 1 0 1 2 ... n − 2 n − 1 0 0 1 ... 1 X=  0 0 1 ... n − 3 n − 2      ...   ...      0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1  LÇn lît lÊy hµng i trõ hµng i-1 (i= 1, n − 1 ta ®îc: 1 0 0 ... 0  1 1 1 ... 1 1      0 1 0 ... 0  0 1 1 ... 1 1  0 0 1 ... 0  0 0 1 ... 1 1       ...   ...      0 0 0 ... 1  0 0 0 ... 0 1  VËy ma trËn X ph¶i t×m lµ:  1 1 1 ... 1 1     0 1 1 ... 1 1  X=  0 0 1 ... 1 1     ...     0 0 0 ... 0 1  3. Khö Gauss_Jordan tÝnh ma trËn ®¶o NÕu B lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n, khi ®ã (4_34) cã d¹ng: A.X=I (4_37) Nh©n bªn ph¶i hai vÕ cña (4_37) víi A-1 ta ®îc: A-1.A.X=A-1.I (4_38) Hay X=A-1 (4_39) Do ®ã ¸p dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp cña ma trËn theo hµng biÕn ®æi ®ång thêi A vµ I sao cho A thµnh I th× I thµnh ma trËn ®¶o A-1. VÝ dô 4.14: TÝnh ma trËn ®¶o cña ma trËn −1 3 − 2    1 −2 2    2 −6 3 Ta lËp b¶ng 13
14 −1 3 − 2  1 0 0      1 −2 2  0 1 0      2 −6 3  0 0 1 Sau bíc khö thø nhÊt ®îc  1 −3 2 −1 0 0     0 1 0  1 1 0     0 0 − 1  2 0 1 Sau bíc khö thø hai ®îc 1 0 2 2 3 0     0 1 0 1 1 0     0 0 − 1 2 0 1 Sau bíc khö thø ba ®îc 1 0 0  6 3 2    0 1 0  1 1 0    0 0 1  − 2 0 − 1 VËy ma trËn ®¶o lµ  6 3 2   A-1=  1 1 0   − 2 0 − 1 VÝ dô 4.15: TÝnh ma trËn ®¶o cña ma trËn  1 1 1 ... 1    0 1 1 ... 1 A=   ...    0 0 0 ... 1 LËp b¶ng  1 1 1 ... 1  1 0 0 ... 0     0 1 1 ... 1  0 1 0 ... 0  ...   ...      0 0 0 ... 1  0 0 0 ... 1  LÇn lît lÊy hµng i trõ hµng i-1 (i= 1, n − 1 ta ®îc:  1 0 0 ... 0  1 − 1 0 ... 0    0 1 0 ... 0  0 1 − 1 ... 0  ...   ...      0 0 0 ... 1   0 0 0 ... 1  Hay ma trËn ®¶o cña A lµ:  1 − 1 0 ... 0   -1  0 1 − 1 ... 0 A =  ...    0 0 0 ... 1  4.5 HÖ thuÇn nhÊt
15 XÐt hÖ thuÇn nhÊt m ph¬ng tr×nh n Èn sè: a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = 0 a x + a x +...+ a x = 0  21 1 22 2 2n n  (4_40) ... am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = 0  Hay díi d¹ng vÐc t¬ x1a1+x2a2+...+xnan=θ (4_41) HÖ thuÇn nhÊt (4_40) lµ mét trêng hîp riªng cña hÖ (4_1) vµ do r(A)=r(A*) nªn nã lu«n cã nghiÖm. Tuy nhiªn tËp c¸c nghiÖm cña mét hÖ thuÇn nhÊt nh chøng minh díi ®©y lµ mét kh«ng gian con cña K n. HÖ thuÇn nhÊt lu«n cã nghiÖm x 1=x2=...=xn=0 gäi lµ nghiÖm tÇm thêng. 1. TËp nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh §Þnh lý 4.4: NÕu ma trËn c¸c hÖ sè cña hÖ thuÇn nhÊt cã h¹ng b»ng r th× tËp c¸c nghiÖm cña hÖ lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh n-r chiÒu. Chøng minh: Gäi E lµ tËp c¸c nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt, hiÓn nhiªn E lµ tËp con cña kh«ng gian K n. NÕu x=(x1,x2,…,xn) vµ y=(y1,y2,…,yn) ∈ E theo (4_41) ta cã: x1a1+x2a2+...+xnan=θ y1a1+y2a2+...+ynan=θ Khi ®ã ta cã: (x1+y1) a1+(x2+y2)a2+...+(xn+yn)an=θ λ x1a1+ λ x2a2+...+ λ xnan=θ Hay x+y=(x1+y1, x2+y2,…, xn+yn) ∈ E λ x=( λ x1, λ x2,…, λ xn) ∈E n VËy E lµ kh«ng gian con cña K , nã lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. V× r(A)=r(A*) nªn nÕu r(A)=n th× hÖ chØ cã nghiÖm tÇm thêng, hay hä nghiÖm cña (4_40) lµ {θ} NÕu r(A)=r
16  t1k     ...   t rk    k  0  t =   (k= r + 1, n ) (4_45) ...    − 1  ...      0  lµ nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (4_40). Nh vËy hÖ (4_40) cã n-r nghiÖm kh¸c nhau d¹ng:  t1r +1   t1r + 2   t1n         ...   ...   ...  t  t  t   rr +1   rr + 2   rn  t =  − 1  t =  0  ... t = r+1 r+2 n 0  (4_46)       0  −1  0   ...   ...   ...         −1 0  0    HÖ n-r vÐc t¬ trªn lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh v× ®Þnh thøc cña n-r hµng cuèi b»ng (-1) n-r kh¸c kh«ng vµ mçi tk (k= r + 1, n ) ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ (4_40). VËy hÖ (4_40) cã n-r nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö x=(x1,x2,...,xn) lµ mét nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (4_40), khi ®ã: x1a1+x2a2+...xrar+xr+1ar+1+...+xnan=θ (4_47) r+1 r+2 n Thay a ,a ,...,a b»ng c¸c biÓu thøc (4_43) ta ®îc: n n n (x1+ ∑x t k = r +1 k 1k 1 )a +(x2+ ∑x t k 2k 2 )a +...+(xr+ ∑x t k rk )ar=θ (4_48) k = r +1 k = r +1 V× {a ,a2,...,ar} ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn kÐo theo 1 n n n x 1+ ∑x t k = r +1 k 1k =x2+ ∑x t k 2k = ... =xr+ ∑x t k rk =0 (4_49) k = r +1 k = r +1 Do ®ã:  x1   t1r +1   t1r + 2   t1n           ...   ...   ...   ...  x  t  t  t   r   rr +1   rr + 2   rn   x r +1  =-xr+1  − 1  - xr+2  0  - ... -xn  0  (4_50)          ...  0  −1  0   ...   ...   ...   ...           −1  xn  0  0    Hay x= -xr+1tr+1-xr+2tr+2- ... - xntn (4_51) Chøng tá x lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ {t r+1,...,tn} hay hÖ lµ hÖ sinh. V× T={tr+1,...,tn} lµ hÖ n-r vÐc t¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ lµ hÖ sinh nªn nã lµ c¬ së cña tËp E c¸c nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (4_41). Ta gäi hä n-r nghiÖm {t r+1,...,tn} lµ hä nghiÖm c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt (4_40). Chó ý: V× hÖ c¸c vÐc t¬ cét {a1,a2,...,an} cña A cã thÓ cã nhiÒu hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i kh¸c nhau nªn hÖ ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt cã thÓ cã nhiÒu hä nghiÖm c¬ së kh¸c nhau.
17 2. T×m hÖ nghiÖm c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt Tõ ®Þnh lý 4.4 ®Ó t×m mét hÖ nghiÖm c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt ta thùc hiÖn c¸c bíc sau: (i) LËp ma trËn hÖ sè A, dïng c¸c phÐp biÕn ®æi theo hµng chän mét hÖ vÐc t¬ cét c¬ së cña nã. (ii) øng víi c¸c cét kh«ng c¬ së lÇn lît cho mét gi¸ trÞ xk=-1 c¸c xj cßn l¹i cho b»ng 0 vµ gi¶i hÖ kh«ng thuÇn nhÊt t×m ®îc ®Ó t×m nghiÖm c¬ së t¬ng øng. Gi¶ sö r(A)=r vµ ®Þnh thøc con c¬ së cña A lµ ®Þnh thøc con cÊp r ë gãc trªn bªn tr¸i. Khi ®ã øng víi mçi k= r + 1, n ta gi¶i hÖ kh«ng thuÇn nhÊt: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1r xr = a1k a x + a x +...+ a x = a  21 1 22 2 2r r 2k  (4_52) ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amr xr = amk  V× r(A)=r vµ vÐc t¬ cét vÕ ph¶i lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña r vÐc t¬ cét cña ma trËn c¸c hÖ sè nªn hÖ (4_52) cã nghiÖm duy nhÊt (t1k,t2k,..., trk). Khi ®ã mçi vÐc t¬  t1k     ...   t rk    0  tk=   (k= r + 1, n ) (4_53) ...    − 1  ...      0  lµ mét vÐc t¬ trong hÖ nghiÖm c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt vµ n-r vÐc t¬ t×m ®îc lµ mét c¬ së cña kh«ng gian nghiÖm VÝ dô 4.16: T×m nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt:  x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0   x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0 V× 1 1 ∆= =-2 1 −1 Nªn h¹ng cña ma trËn c¸c hÖ sè b»ng 2. Chän x3=-1,x4=0 ta ®îc hÖ:  x1 + x 2 = 1   x1 − x 2 = 1 T ®îc x1=1,x2=0. NghiÖm c¬ së thø nhÊt lµ:t3=(1,0,-1,0) Chän x3=0,x4=-1 ta ®îc hÖ:  x1 + x 2 = 1   x1 − x 2 = −1 Ta ®îc x1=0,x2=1. NghiÖm c¬ së thø hai lµ: t4=(0,1,0,-1) V× TËp E c¸c nghiÖm cña hÖ lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh nªn tËp c¸c nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt lµ: E=L(t3,t4)= α (1,0,-1,0) + β (0,1,0,-1) ( ∀ α , β ∈ K) VÝ dô 4.17: Trong Rn cho F={x=(x1,x2,...,xn): x1+x2+...+xn=0} Chøng tá F lµ mét kh«ng gian con cña Rn, t×m c¬ së vµ chiÒu cña F. 17
18 Gi¶i: V× F lµ tËp c¸c nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt nªn nã lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh. §Ó t×m c¬ së cña F ta ®i t×m mét hÖ c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt: x1+x2+...+xn=0 Do r(A)=1 nªn mét hä nghiÖm c¬ së lµ:  1  1  1        − 1  0  0 t = 0  t = − 1 ... t = 0  2  3  n         ...   ...   ...         0  0  − 1 Khi ®ã mäi x∈L{t2,t3,...,tn} ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ ®ång thêi dim(F)=n-1. VÝ dô 4.18: BiÖn luËn vµ gi¶i hÖ (2 + t ) x + y + z=0   2 x + y + (1 + t ) z = 0  2x + y + z=0  XÐt ma trËn cña hÖ: 2 + t 1 1    A=  2 1 1 + t    2 1 1  §Ó t×m h¹ng cña A thùc hiÖn ®æi hµng mét vµ hµng ba ta ®îc:  2 1 1     2 1 1+ t  2+t 1 1    LÇn lît lÊy hµng hai vµ hµng ba trõ ®i hµng mét 2 1 1   0 0 t t 0 0   NÕu t≠ 0 r(A)=3 hÖ cã duy nhÊt nghiÖm tÇm thêng x1=x2=x3=0. NÕu t=0, r(A)=1 hÖ trë thµnh: 2x+y+z=0 HÖ cã hä nghiÖm c¬ së gåm hai vÐc t¬, ta chän: x1=(1,-2,0),x2=(1,0,-2) Vµ tËp nghiÖm cña hÖ lµ α (1,-2,0) + β (1,0,-2) ( ∀ α , β ∈ R) VÝ dô 4.19: Trong kh«ng gian M2x2 c¸c ma trËn vu«ng cÊp hai, cho tËp F={ X∈M2:AX=θ}, trong ®ã:  1 − 2 A=  .  − 1 2 a. Chøng tá F lµ kh«ng gian con cña M2x2. b. T×m dim(F) vµ mét c¬ së cña F. Gi¶i: a. Gi¶ sö X,Y ∈ F hay AX=θ, AY=θ khi ®ã A(X+Y)=AX+AY=θ A( λ X)= λ AX= θ VËy F lµ kh«ng gian con cña M2x2.  x1 x 2  b. Gi¶ sö X∈M2x2 cã d¹ng X=   , tõ AX=θ hay  x3 x4 
19  1 − 2  x1 x 2   0 0     =   − 1 2  x 3 x 4   0 0 ta cã hÖ ph¬ng tr×nh  x1 − 2 x3 =0  x2 − 2 x4 = 0   − x1 + 2 x3 =0  − x2  + 2 x4 = 0 Ma trËn c¸c hÖ sè cã h¹ng 2, nªn tõ hai ph¬ng tr×nh ®Çu 2 0 Chän x3=1, x4=0 ®îc nghiÖm (2,0,1,0) hay a=  1   0 0 2 Chän x3=0, x4=1 ®îc nghiÖm (0,2,0,1) hay b=  0   1 VËy a,b lµ nghiÖm c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt vµ còng lµ c¬ së cña F, nªn dim(F)=2. 3. C¬ së cña giao hai kh«ng gian con Cho E1=L{a1,...,ap}, E2=L{b1,...,bq}, trong ®ã {a1,...,ap} lµ c¬ së cña E1, {b1,...,bq} lµ c¬ së cña E2. Khi ®ã nÕu x∈E1∩E2 th× ta cã: x=x1a1+...+xpap (4_54) x=xp+1b1+...+xp+qbq (4_55) Do ®ã x1,...,xp vµ xp+1,...,xq tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh: x1a1+...+xpap = xp+1b1+...+xp+qbq Hay x1a1+...+xpap - xp+1b1 -...- xp+qbq=θ (4_56) §ã lµ mét hÖ thuÇn nhÊt. (i) DÔ dµng thÊy sè nghiÖm cë së cña hÖ thuÇn nhÊt (4_56) b»ng: dim(E1∩E2) (ii) Víi mçi nghiÖm c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt (4_56): (x1,...,xp,-xp+1,...,-xp+q) Thay x1,...,xp vµo (4_54) hoÆc thay xp+1,...,xp+q vµo (4_55) ta ®îc mét vÐc t¬ trong c¬ së cña E1∩E2. VÝ dô 4.20: T×m c¬ së vµ chiÒu cña giao hai kh«ng gian con trong R 3 sinh bëi:  1  0  0  1 →   →   →   →   i =  0 k =  0 vµ j =  1 a =  1          0  1  0  1 → → → → Gäi E1=L{ i , k } vµ E2=L{ j , a } ta cã E1∩E2 chÝnh lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc xOz (H×nh vÏ) z a y O x LËp hÖ (4_56) ta ®îc: 19
20  x1 − x4 = 0   − x3 − x4 = 0  x − x4 = 0  2 V× 3 cét ®Çu lµ cét c¬ së, cho x4=1 ta ®îc nghiÖm c¬ së cña hÖ lµ: x1=1, x2=1,x3=-1, x4=1 Nh vËy dim(E1∩E2)=1. Thay x1=1, x2=1 vµo (4_54) ta ®îc vÐc t¬ cë së cña E1∩E2 lµ: 1  → → →   b = x1 i + x 2 k =  0  1    §ã chÝnh lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng cña ®êng ph©n gi¸c cña gãc xOz. Bµi tËp ch¬ng 4 1. Gi¶i hÖ sau b»ng khö_Gauss 2 x1 − x 2 + x 3 = 12 2 x1 − x 2 + 3x 3 − 7 x 4 = 5   a.  x1 + 6 x 2 − x 3 = 2 b. 6 x1 − 3x 2 + x 3 − x 4 = 7 3x + x + 8 x = 16 4 x − 2 x + 4 x − 3x = 18  1 2 3  1 2 3 4  x1 + x 2 =1   x1 + x 2 − 3x 3 = −1  x1 + x 2 + x 3 =4 2 x + x − 2 x = 1   1 2 3 c.  x2 + x3 + x4 = −3 d.    x1 + x 2 + x 3 = 3 x 3 + x 4 + x5 = 2   x1 + 2 x 2 − 3x 3 = 1    x 4 + x 5 = −1 2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh  x + ay + a 2 z = a 3 tx + y + z = 1   a.  x + by + b 2 z = b 3 b.  x + ty + z = 1   x + y + tz = 1  x + cy + c z = c 2 3  2 x1 + 3x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3 tx1 + x 2 + x 3 + x 4 =1 4 x + 6 x + 3x + 4 x = 5  x + tx + x + x =1  1 2 3 4  1 2 3 4 c.  d.  6 x1 + 9 x 2 + 5x 3 + 6 x 4 = 7  x1 + x 2 + tx 3 + x 4 =1 8 x1 + 12 x 2 + 7 x 3 + tx 4 = 9   x1 + x 2 + x 3 + tx 4  =1 3. T×m ®iÒu kiÖn cña a,b,c,d ®Ó hÖ cã nghiÖm