Bài giảng Lý thuyết thông tin: Chương 2.3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

86
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 2 cung cấp cho người học những kiến thức về bài toán mã trường hợp kênh không bị nhiễu. Trong chương này, chúng ta sẽ tập trung tìm hiểu về định lý cho bài toán mã trong trường hợp kênh không bị nhiễu. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết thông tin: Chương 2.3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 2: Bài toán mã trường hợp kênh không bị nhiễu 2.3 Định lý cho bài toán mã trong trường hợp kênh không bị nhiễu
2 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Mở ñầu • Biến ngẫu nhiên X có các trạng thái x1, x2, …, xM với xác xuất tương ứng p1, p2, …, pM • Các từ mã cho x1, x2, …, xM là W1, W2, …, WM có độ dài lần lượt là n1, n2, …, nM • Tập các ký tự mã là {a1, a2, …, aD} • Ta sẽ xây dựng bộ mã để cực tiểu hóa chiều dài từ mã trung bình • Đầu tiên là tìm chặn dưới lớn nhất, sau đó tìm cách tiến gần tới chặn dưới đó. Và cuối cùng là xây dựng thuật toán để tìm bộ mã tối ưu
3 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 2.4 (ðịnh lý cho bài toán mã trong trường hợp kênh không bị nhiễu) Gọi là chiều dài từ mã trung bình của một bộ mã giải được bất kỳ cho biến ngẫu nhiên X. Khi đó: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
4 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 2.4 • Đặt: Thì các qi có tổng bằng 1. Áp dụng mệnh đề 1.1
5 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 2.4 • Dấu bằng trong bất đẳng thức (*) xảy ra khi và chỉ khi: • Do bộ mã là giải được nên Và ta được • Tiếp theo, nếu , thì
6 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 2.4 • Ngược lại, nếu thì từ (*) ta được Nhưng Vậy , và từ (**), ta được
7 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Bộ mã tối ưu tuyệt ñối • Bộ mã làm cho dấu bằng trong định lý 2.4 xảy ra được gọi là bộ mã tối ưu tuyệt đối • Ví dụ X Xác suất Từ mã x1 1/2 0 x2 1/4 10 x3 1/8 110 x4 1/8 111
8 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Bộ mã tối ưu tuyệt ñối • Bộ mã tối ưu tuyệt đối phải thỏa mãn • Trong trường hợp tổng quát chưa chắc xây dựng được bộ mã tối ưu tuyệt đối, do các ni như trên chưa chắc là số nguyên • Tuy nhiên, ta hoàn toàn có thể xây dựng được bộ mã tiền tố có chiều dài từ mã trung bình gần bằng chận dưới H(X)/log D như khẳng định của định lý sau
9 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 ðịnh lý 2.5 Cho trước biến ngẫu nhiên X, với độ không chắc chắn là H(X). Khi đó tồn tại bộ mã tiền tố cho X, sao cho chiều dài từ mã trung bình thỏa mãn
10 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 2.5 • Chọn ni là số nguyên thỏa mãn • Khi đó log pi ≥ -ni log D, suy ra • Vậy theo định lý 2.2 thì tồn tại bộ mã tiền tố ứng với các ni chọn như trên
11 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Chứng minh ñịnh lý 2.5 • Tiếp theo, ta ước lượng chiều dài từ mã trung bình. Nhân hai vế cho pi rồi lấy tổng theo i ta được • Và ta có kết luận của định lý
12 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Mã hóa theo block • Theo định lý 2.5, ta luôn xây dựng được bộ mã tiền tố có chiều dài trung bình nhỏ hơn chận dưới H(X)/log D cộng thêm 1 ký tự mã • Tuy nhiên ta có thể làm tốt hơn thế nếu dùng phương pháp mã hóa theo block • Nghĩa là ta không mã hóa từng trạng thái xi của X, mà sẽ mã hóa từng nhóm s các trạng thái • Nói cách khác, ta sẽ xây dựng bộ mã cho vector ngẫu nhiên Y = (X1, X2, …, Xs). Trong đó các Xi là độc lập và có cùng phân phối xác suất như X
13 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Mã hóa theo block Y=(X1, X2) p Từ mã X p Từ mã x1x1 9/16 0 x1 3/4 0 x1x2 3/16 10 x2 1/4 1 x2x1 3/16 110 x2x2 1/16 111
14 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Mã hóa theo block • Ta sẽ kiểm chứng rằng việc mã hóa theo block sẽ làm giảm chiều dài từ mã trung bình cho một trạng thái của X • Theo định lý 2.5, ta sẽ xây dựng được bộ mã tiền tố cho Y với chiều dài từ mã trung bình thỏa • Nhưng do các Xi độc lập và cùng phân phối xác suất với X nên ta có: H(Y) = H(X1) + H(X2) + … + H(Xs) = sH(X)
15 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Mã hóa theo block • Như vậy • chính là số ký tự mã trung bình để mã hóa một trạng thái của X • Từ trên ta thấy có thể gần H(X)/log D tùy ý • Vậy H(X)/log D chính là số ký tự mã trung bình (lấy trong bộ D ký tự mã) cực tiểu dùng để mã hóa một trạng thái của X
16 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 Một ý nghĩa của H(X) • Trong trường hợp D=2 , ta thấy H(X) chính là số ký tự mã trung bình cực tiểu dùng để mã hóa 1 trạng thái của X • Một bộ mã nhị phân tiền tố sẽ tương ứng với một dãy các câu hỏi “yes no” dùng để xác định trạng thái của X • Trong đó số câu hỏi để xác định xi chính bằng chiều dài ni của từ mã tương ứng • Vậy H(X) có thể xem là số câu hỏi trung bình cực tiểu dùng để xác định trạng thái của X
17 Huỳnh Văn Kha 9/30/2010 yes x1 Ví dụ x1? no x2 yes X Từ mã x1 00 x1 yes x4 x2 01 or x4? x3 11 x2? no yes x5 x4 100 no x5 101 x4 no or x3 x5?