Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Hệ các đại lượng ngẫu nhiên" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, hệ đại lượng ngẫu nhien rời rạc, bảng phân bố xác suất,.... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 4 - Phan Văn Tân
- LÝ THUYẾT
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Phan Văn Tân
Bộ mô Khí tượng
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.1 Khái niệm
• Khi giải quyết nhiều bài toán người ta thường gặp tình
huống là kết quả thí nghiệm được mô tả bởi một số (>1)
đại lượng ngẫu nhiên
• Khi đó ta nói có một “hệ các đại lượng ngẫu nhiên”
• Các tính chất của hệ đại lượng ngẫu nhiên không được
mô tả hết bởi những tính chất của các đại lượng ngẫu
nhiên riêng rẽ, chúng còn bao hàm cả những mối quan
hệ tương hỗ giữa các đại lượng ngẫu nhiên của hệ
• Giả sử xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y,
khi đó mỗi cặp giá trị có thể của X và Y được xem như
các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong mặt phẳng
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.1 Khái niệm
• Tương tự, nếu có ba đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z khi đó
mỗi bộ ba giá trị có thể của X, Y, Z sẽ là các tọa độ của
một điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chiều
• Nếu có đồng thời n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn
thì bộ n giá trị có thể (x1, x2,…, xn) của X1, X2,…,Xn là
tọa độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n chiều
• Vì vậy, có thể xem hệ các đại lượng ngẫu nhiên như là
biến ngẫu nhiên nhiều chiều hoặc vectơ ngẫu nhiên
• Nếu các đại lượng ngẫu nhiên thành phần là rời rạc ta có
hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ngược lại ta có hệ
các đại lượng ngẫu nhiên liên tục
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, với
X={xi, i=1,2,…, n,…}, Y={yj, j=1, 2,…, m,…}
• Ký hiệu pi=P(X=xi), qj=P(Y=yj), pij=P(X=xi, Y=yj)
Y y1 y2 … ym …
X
Bảng phân bố
xác suất của x1 p11 p12 … p1m …
hệ hai đại x2 p21 p22 … p2m …
lượng ngẫu … … … … … …
nhiên rời rạc
xn pn1 pn2 … pnm ...
… … … … … …
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Nhận thấy: Các sự kiện (X=xi) xung khắc, (Y=yj) xung khắc
• Î Các sự kiện (X=xi)(Y=yj) là nhóm đầy đủ các sự kiện xung
khắc nên Σpij = 1
• (X=xi)=Σj (X=xi)(Y=yj) Î P(X=xi)=P(Σj (X=xi)(Y=yj))=pi≡pi•
• (Y=yj)=Σi (X=xi)(Y=yj) Î P(Y=yj)=P(Σi (X=xi)(Y=yj))=qj≡p•j
Y y1 y2 … ym … ∑
∑∑ p
i j
ij =1 X
x1 p11 p12 … p1m … p1•
∑p
j
ij = pi ≡ pi• x2 p21 p22 … p2m … p2•
… … … … … … …
∑p
i
ij = q j ≡ p• j xn pn1 pn2 … pnm ... pn•
… … … … … … …
∑ p•1 p•2 … p•m … 1
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Ví dụ 1: Gieo đồng thời một đồng tiền và một con xúc xắc. Gọi X
và Y lần lượt là kết quả nhận được của việc gieo đó; X={S, N},
Y={1,2,3,4,5,6}. Hãy lập bảng phân bố xác suất của hệ (X,Y).
• Giải: Ta có: P(X=S)=P(X=N)=1/2; P(Y=1)=…=P(Y=6)=1/6
• P(X=xi, Y=yj)=(1/2)*(1/6)=1/12
Y 1 2 3 4 5 6 ∑
X
S 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/2
N 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/2
∑ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất
• Ví dụ 2: Tìm luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên X, Y khi
biết phân bố đồng thời của chúng được cho bởi
• Giải:
Y y1 y2 y3
• q1=P(Y=y1)=0.10+0.06=0.16 X
• q2=P(Y=y2)=0.30+0.18=0.48
x1 0.10 0.30 0.20
• q3=P(Y=y3)=0.20+0.16=0.36
x2 0.06 0.18 0.16
• p1=P(X=x1)=0.10+0.30+0.20=0.60 Y y1 y2 y3
• p2=P(X=x2)=0.06+0.18+0.16=0.40
q 0.16 0.48 0.36
X x1 x2
pi=pi •
p 0.60 0.40 qj=p•j
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
• Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y)
là hàm của hai đối số (x,y) được xác định bởi F(x,y)=P(X
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Tính chất: lim F ( x, y ) = F ( x,+∞) = F1 ( x )
y → +∞
1)
lim F ( x, y ) = F ( +∞, y ) = F2 ( y )
x → +∞
2) lim F ( x, y ) = F ( +∞,+∞ ) = 1
x → +∞
y → +∞
lim F ( x, y ) = F ( −∞, y ) = 0
x → −∞
3) lim F ( x, y ) = F ( x,−∞) = 0
y → −∞
lim F ( −∞,−∞) = 0
x → −∞
y → −∞
NÕu x1 < x2 thi F ( x1 , y ) ≤ F ( x2 , y )
4)
NÕu y1 < y2 thi F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 )
5) P(α ≤ X < β,δ ≤ Y < γ ) = F(β,γ ) − F(α,γ ) − F(β,δ ) + F(α,δ )
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
lim F ( x, y ) = F ( x,+∞) = F1 ( x )
y → +∞
1)
lim F ( x, y ) = F ( +∞, y ) = F2 ( y )
x → +∞
• Sự kiện (X
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh: lim F ( x, y ) = F ( +∞,+∞ ) = 1
2) x → +∞
y → +∞
lim F ( x, y ) = F ( −∞, y ) = 0
x → −∞
3) lim F ( x, y ) = F ( x,−∞) = 0
y → −∞
lim F ( −∞,−∞) = 0
x → −∞
y → −∞
• Sự kiện (X
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
NÕu x1 < x2 thi F ( x1 , y ) ≤ F ( x2 , y )
4)
NÕu y1 < y2 thi F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 )
• Vì (x1
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất
Chứng minh:
5) P(α ≤ X < β,δ ≤ Y < γ ) = F(β,γ ) − F(α,γ ) − F(β,δ ) + F(α,δ )
• (X
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đó cả X và Y đều là
những đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
• Định nghĩa: Hàm mật độ phân bố xác suất của hệ hai đại lượng
ngẫu nhiên (X,Y) là đạo hàm riêng cấp hai của hàm phân bố xác
suất đồng thời F(x,y), ký hiệu là f(x,y)
∂ 2 F ( x, y )
f ( x, y ) =
∂x∂y
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
Ý nghĩa: Từ hệ thức P(α≤X
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Tính chất:
1) f ( x, y ) ≥ 0 Tính chất này suy ra từ ý nghĩa của hàm mật độ
+∞ +∞
2) ∫ ∫ f ( x, y )dxdy = 1 Ta có P(( X , Y ) ∈ D) = ∫∫ f ( x, y )dxdy
−∞ −∞ x y
D
Lấy giới hạn khi x→+∞, y→+∞ và để ý
⇒ F ( x, y ) = ∫∫
− ∞− ∞
f ( x, y )dxdy
đến tính chất 2) của hàm phân bố ta được
+∞ +∞
x +∞
F ( +∞,+∞) = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy = 1
F1 ( x ) = F ( x , +∞ ) = ∫∫ f ( x , y ) dxdy − ∞− ∞
−∞−∞ +∞
3)
F2 ( y ) = F ( +∞ , y ) =
+∞ y
∫∫ f ( x , y ) dxdy
F1′( x ) = f1 ( x ) = ∫ f ( x , y )dy
−∞
−∞−∞
+∞
Đạo hàm hai vế
ta được:
F2′( y ) = f 2 ( y ) = ∫ f ( x , y )dx
−∞
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Các ví dụ:
• Ví dụ 1: Hệ đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ phân bố xác
suất 1
f ( x, y ) = 2
π (1 + x 2 )(1 + y 2 )
Hãy tính xác suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào miền chữ nhật
ABCD, với tọa độ của các đỉnh A(1,0), B( 3,0), C ( 3,1), D (1,1)
• Giải: P(( X , Y ) ∈ ( ABCD )) = 1
∫∫
ABCD
π (1 + x )(1 + y )
2 2 2
dxdy =
1 3
1 dy dx 1
1
dy π π 1 π π
= 2∫ 2 ∫
= 2 ∫
( − ) dy = ( − )( arctg1 − arctg 0)
π 0 1+ y 1 1+ x 2 π 0 1+ y 3 4
2
π 3 4
2
1 π π 1
= 2. =
π 12 4 48
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất
• Các ví dụ:
• Ví dụ 2: Hệ (X,Y) có mật độ phân bố xác suất được cho bởi
⎧ 1 x2 y2
⎪⎪ 6π khi + ≤1
9 4
f ( x, y ) = ⎨ 2 2
⎪0 x y
khi + >1
⎪⎩ 9 4
• Tính các mật độ phân bố riêng f1(x) và f2(y)
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.3 Mật độ xác suất ⎧ 1 x2 y2
⎪⎪ 6π khi + ≤1
9 4
• Các ví dụ: f ( x, y ) = ⎨
⎪0 x2 y2
• Giải: khi + >1
⎪⎩ 9 4
+∞
x2 y 2 x2 x2
∫ f ( x, y )dy ≤ 1 ⇒ y ≤ 4(1 − ) ⇒ y ≤ 2 (1 − )
2
f1 ( x ) = +
−∞ 9 4 9 9
⎧ + 2 1−
x2
⎪1 9
2 ⎧ 2
9 − x 2
khi x ≤ 3
∫ 2 9π
= 9 − x khi x ≤ 3 ⎪
2
⎪ dy
f1 ( x ) = ⎨ 6π f1 ( x ) = ⎨ 9π
⎪
x
− 2 1− ⎪0 khi x > 3
9 ⎩
⎪0
⎩ khi x > 3
⎧ 1
⎪ 4 − y2 khi y ≤ 2
Tương tự f 2 ( y ) = ⎨ 2π
⎪0 khi y > 2
⎩
- CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên
• Trong thực tế có thể xét đồng thời nhiều hơn hai đại lượng ngẫu
nhiên, chẳng hạn 3, 4,… đại lượng ngẫu nhiên
• Để tiện trình bày ta gọi đó là hệ n đại lượng ngẫu nhiên (n≥2)
• Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn)
• Hệ này có thể được xem như một vector ngẫu nhiên n chiều
• Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ n đại lượng ngẫu nhiên
(X1, X2, …, Xn) là hàm của n đối số (x1, x2,..., xn) được xác định
bởi F(x1, x2,..., xn)=P(X1
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
