zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 5 - Phan Văn Tân

Chia sẻ: Tầm Y | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Báo xấu

41
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 5: Không gian mẫu và thống kê trên không gian mẫu" cung cấp cho người học các kiến thức: Không gian mẫu, phân bố mẫu và phân bố chính xác,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 5 - Phan Văn Tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mô Khí tượng
CHƯƠNG 5. KHÔNG GIAN MẪU VÀ THỐNG KÊ TRÊN KHÔNG GIAN MẪU 5.1 Không gian mẫu • Mẫu là gì? – Là tập hợp hữu hạn các phần tử lấy từ tập tất cả các phần tử có thể có nào đó • Tại sao phải lấy mẫu? – Để nghiên cứu một hiện tượng, một sự kiện nào đó ta không thể xem xét tất cả các thành phần cấu thành nó, vì số thành phần là vô hạn hoặc quá nhiều – Ví dụ: • Nghiên cứu tâm lý lứa tuổi • Điều tra xã hội học về một chính sách nào đó • Đánh giá chất lượng sản phNm của nhà máy • …
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.1 Không gian mẫu • Tập tổng thể: Tập hợp tất cả các thành phần có thể có – Tập toàn bộ, tập chính qui • Tập mẫu: Tập hợp các thành phần được lấy ra để thí nghiệm, kiểm tra – Số thành phần được chọn: Dung lượng mẫu – Tập hợp tất cả các mẫu có thể lấy được gọi là không gian mẫu – Mỗi mẫu lấy ra là một điểm trong không gian mẫu • Không gian mẫu ứng với không gian các sự kiện sơ cấp • Mỗi mẫu ứng với một sự kiện sơ cấp trong lý thuyết xác suất • Có hai loại mẫu: – Mẫu có lặp – Mẫu không lặp
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.1 Không gian mẫu • Giả sử tập tổng thể gồm N phần tử, tập mẫu gồm n phần tử (n
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.1 Không gian mẫu • Đối với cách lấy mẫu lặp: – Mỗi phần tử trong số n phần tử của mẫu có N cách chọn, vì mỗi phần tử sau khi chọn được trả lại tập ban đầu – Î Có tất cả N n cách lấy mẫu khác nhau • Đối với các lấy mẫu không lặp: – Có N cách chọn phần tử thứ nhất của tập mẫu – Có (N –1) cách chọn phần tử thứ hai, vì phần tử thứ nhất không được trả lại tập ban đầu – … – Có (N –n+1) cách chọn phần tử thứ n của tập mẫu – Î Có tất cả N (N –1)…(N –n+1)=AN n cách lấy mẫu
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.1 Không gian mẫu ANn • N hận thấy: Khi n
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.1 Không gian mẫu • Ví dụ: Giả sử X={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Î N =9 • N ếu n=3, với cách lấy mẫu có lặp ta có thể có các mẫu: – (X1, X2, X3) = (1,4,6) X3 – (X1, X2, X3) = (2,3,8) – (X1, X2, X3) = (9,1,7) – (X1, X2, X3) = (4,2,1) – … • Î Xi={1,2,3,4,5,6,7,8,9} X2 X1
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác • Giả sử có mẫu (X1, X2,…, Xn) của đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố F(x) (F(x) được gọi là phân bố chính xác của X) • Vì F(x) chưa biết nên cần tìm F(x) trên cơ sở tập mẫu lấy được • Từ tập mẫu (X1, X2,…, Xn) ta lập hàm Fn(x): ⎧ nx ⎪ Fn ( x ) = ⎨ n ⎪⎩n x = Sè phÇn tö cña (X 1 , X 2 ,..., X n ) tháa m·n X i < x • Fn(x) được gọi là phân bố mẫu của X • Ứng với mỗi đối số x giá trị hàm Fn(x) là tần suất của sự kiện X
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác nx • Từ hệ thức Fn ( x ) = suy ra P( X = X i ) = 1 , i = 1,2,..., n n n • N hư vậy, có thể xem mẫu (X1, X2,…, Xn) như là tập các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên rời rạc X’, trong đó xác suất để X’ nhận các giá trị có thể của nó là như nhau và bằng 1/n • Để nghiên cứu X ta dựa vào tập mẫu (X1, X2,…, Xn), điều đó tương đương với việc nghiên cứu biến ngẫu nhiên rời rạc X’ • Sự khác biệt cơ bản là: – Phân bố của X là phân bố chính xác, các đặc trưng của X là các đặc trưng chính xác – Phân bố của X’ là phân bố mẫu, các đặc trưng của X’ là các đặc trưng mẫu
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên • Xét biến ngẫu nhiên X với mẫu lấy được X’={X1, X2,…, Xn} • Ký hiệu các đặc trưng chính xác của X là: – Hàm phân bố F(x)=P(X
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.3 Các đặc trưng mẫu của nđại lượng ngẫu nhiên n 1 • Kỳ vọng mẫu: X = M [ X ′] = ∑ X i P ( X ′ = X i ) = ∑ Xi i =1 n i =1 • Phương sai mẫu: ~ 1 n 1 n 2 Dx = s x = D[ X ′] = ∑ ( X i − X ) = ∑ X i − X ≡ X − − X 2 2 2 2 2 n i =1 n i =1 • Mômen gốc mẫu bậc k: 1 n ~ = M [ X ′k ] = mk ∑ i n i =1 X k • Mômen trung tâm mẫu bậc k: 1 n μ~k = M [( X ′ − X ) k ] = ∑ ( X i − X )k n i =1
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Xét biến ngẫu nhiên X có mật độ xác suất f(x) và mẫu (X1, X2,…, Xn) là mẫu có lặp của X • Vì các Xi là độc lập và có cùng phân bố với X nên f(xi)≡f(x) • Có thể xét (X1, X2,…, Xn) như là X3 hệ n đại lượng ngẫu nhiên hay (x1, x2, x3) vector ngẫu nhiên n chiều nhận các giá trị có thể (x1, x2,…, xn) • Các (x1, x2,…, xn) là các hằng số ứng với một mẫu đã được chọn X2 • (X1, X2,…, Xn) có mật độ f(x1)×f(x2)×…×f(xn) X1
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Định nghĩa: Một hàm số g(X1, X2,…, Xn) bất kỳ với các biến là (X1, X2,…, Xn) được gọi là một đại lượng thống kê hay một đặc trưng thống kê trên không gian mẫu • Vì (X1, X2,…, Xn) là một hệ các đại lượng ngẫu nhiên nên g(X1, X2,…, Xn) cũng là một đại lượng ngẫu nhiên 1 n • Ví dụ: Kỳ vọng mẫu: X = ∑ n i =1 Xi ~ 1 n • Phương sai mẫu: Dx = s x = ∑ ( X i − X ) 2 2 n i =1 • Các mômen gốc, mômen trung tâm mẫu đều là những đại lượng thống kê trên không gian mẫu
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Cho Y=g(X1, X2,…, Xn) là một đại lượng thống kê và f(x1)×f(x2)×…×f(xn) là mật độ xác suất của (X1, X2,…, Xn) • Cần xác định phân bố Fy(y) của Y • Về nguyên tắc ta có: Fy ( y ) = ∫ f ( x1 )... f ( xn )dx1...dxn , G G = {( x1 ,..., xn ) : g ( x1 ,..., xn ) < y} • Sau đây sẽ xét phân bố của một số đặc trưng thống kê thông dụng
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp • Định lý 1: N ếu mẫu (X1, X2,…, Xn) được lấy từ đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuNn N (μ,σ) thì 1 n X = ∑ Xi σ 2 n i =1 có phân bố chuNn N ( μ , ) n • Định nghĩa: N ếu (X1, X2,…, Xn) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố chuNn N (0,1) thì đại lượng ngẫu nhiên n U = ∑ X i2 i =1 có phân bố χ2 (khi bình phương) với n bậc tự do, ký hiệu U∈χ2(n)
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp • Định lý 2: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,…, Xn) là mẫu của X thì n − 1 *2 U = 2 sx σ có phân bố χ2 với (n–1) bậc tự do, U∈χ2(n–1), với 1 n 1 n *2 sx = ∑ n − 1 i =1 (Xi − X ) , X = ∑ Xi 2 n i =1 • Định nghĩa: N ếu Z có phân bố chuNn N (0,1), U có phân bố χ2 với n bậc tự do, χ2(n), thì Z Z t= = n U /n U có phân bố Student với n bậc tự do, ký hiệu t∈St(n)
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp • Định lý 3: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,…, Xn) là mẫu của X thì X −μ t= * sx / n có phân bố Student với (n–1) bậc tự do, t∈St(n–1), với 1 n 1 n ∑ , X = ∑ Xi 2 s*x = ( X − X ) 2 n − 1 i =1 i n i =1 • Định nghĩa: N ếu U1 và U2 độc lập có phân bố χ2 với n1 và n2 bậc tự do, U1∈χ2(n1), U2∈χ2(n2)thì U /n F= 1 1 U 2 / n2 có phân bố Fisher (phân bố F) với n1 và n2 bậc tự do, ký hiệu F∈F(n1,n2) hoặc F∈Fn1,n2
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp • Định lý 4: N ếu X và Y đều có phân bố chuNn và có cùng phương sai, D[X]=D[Y]=σ2, (X1, X2,…, Xn1) là mẫu của X, (Y1, Y2,…, Yn2) là mẫu của Y, thì s *2 f = *x 2 sy có phân bố F với (n1–1) và (n2–1) bậc tự do, f∈F(n1–1,n2–1), với 1 n1 1 n1 *2 sx = ∑ n1 − 1 i =1 ( X i − X ) 2 , X = ∑ Xi n1 i =1 1 n2 1 n2 s *2 y = ∑ n2 − 1 i =1 (Yi − Y ) , Y = 2 n2 ∑Y i =1 i
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU Những điều cần chú ý • Khi xét đại lượng ngẫu nhiên X với mẫu (X1, X2,…, Xn): – Các Xi nhận các giá trị trong tập các giá trị có thể của X nên các Xi có cùng phân bố với X, f(xi)=f(x) – Các Xi là độc lập với nhau – Có thể xét (X1, X2,…, Xn) như là một hệ n đại lượng ngẫu nhiên, phân bố của hệ: f(x1,…,xn)=f(x1)×…×f(xn) – Bộ giá trị (x1,…,xn) là những hằng số cụ thể, và là kết quả của một lần chọn nào đó Î Khái niệm mẫu (X1, X2,…, Xn) là một khái niệm trừu tượng 1 n 1 n • Phân biệt: M [ X ] ≠ X = ∑ X i ≠ x = ∑ xi n i =1 n i =1 • Tương tự, với các đặc trưng khác: Phương sai, mômen,…
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) với mẫu lấy được (X1,Y1), (X2,Y2),…, (Xn,Yn) • Khi đó, ngoài các đặc trưng riêng như kỳ vọng, phương sai, mômen gốc, mômen trung tâm của từng đại lượng ngẫu nhiên, các đặc trưng quan trọng cần được xem xét là mômen tương quan và hệ số tương quan • Mômen tương quan mẫu giữa hai đại lượng ngẫu nhiên được xác định bởi μ~ = 1 n xy ∑ n i =1 ( X i − X )(Yi − Y ) 1 n • Trong đó X = ∑ X i , Y = ∑ Yi 1 n tương ứng là kỳ vọng n i =1 n i =1 mẫu của X và Y Do tính ứng dụng phổ biến của mômen tương quan mẫu nên để thuận tiện ta sẽ sử dụng ký hiệu Rxy thay cho μ~xy

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.