Bài giảng môn Toán - Chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng môn Toán - Chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số" là tài liệu tham khảo dành cho quý thầy cô giáo và các bạn học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập. Giúp các em nắm vững các kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số; định lý về giới hạn hữu hạn; tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn Toán - Chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số

Chương IV: GIỚI HẠN §1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài giảng tại lớp Tiết 49, 50, 51, 52
I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1  Câu hỏi 1> Cho dãy số ( un ) vớiun  n  a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển : 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , ,..., ,..., ,..., ,... 2 3 4 5 10 100 2008  b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:  Hãy tính các khoảng cách từ u4 ; u10 ; u100; u2008; … đến 0  Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi n trở nên rất lớn ?
Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu thì khoảng cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ?  Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng cách này tiến dần đến 0, hay ta nói rằng un dần đến 0.  Ta ký hiệu: un 0  ĐỊNH NGHĨA 1: ( SGK )  VÝ dô 1: Cho d·y sè (un) víi un   1 n n2  Chøng minh r»ng lim u  0 n n  
ĐỊNH NGHĨA 2 (SGK) 6n  1  Ví dụ 2: Cho dãy số ( un) với un   Chứng minh rằng 3n  2 6n  1 lim 2 n  3n  2  Một vài giới hạn đặc biệt: 1 1 a) lim  0; lim k  0 n   n n   n b) lim q n  0 n   c) lim c  c n   /q/
II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN  ĐINH LÝ 1: a ) NÕu lim un  a vµ lim vn  b thi :  / lim(un  vn )  a  b  / lim(un  vn )  a  b  / lim(un .v n )  a.b un a  / lim  ( NÕu b  0 ) vn b b) NÕu u n  0 víi mäi n vµ lim u n  a thi a  0 vµ lim u n  a
Làm thế nào để tìm được CÁC VÍ DỤ: giới hạn này ?  Ví dụ 3: 3n 2  n  Tìm lim 1  n 2  Lgiải: Chia cả tử và Em hãy cho biết mẫu cho n2 thì: kết quả tìm được của mình? 1 3  1 1  3n 2  n n Ta cã lim 3 -   3 vµ lim 2  1  1  1 n 2 1  n n  1  1 2 n lim 3   3n  n 2  n 3 Nª n lim   3 1 n 2 1  1 lim 2  1 n 
Có thể tìm được giới hạn mà không phải dùng phép chia CÁC VÍ DỤ: hay không? Nếu được,  Ví dụ 4: Hãy trình bày lời giải ?  Tìm 1 n 4 1  4n 2 Ta cã lim 1  4n 2  lim n 2 lim 1 - 2n 1  1  2n n  2  n  1 2 4 n 2  lim   1 1 2 2 n
3n  5.4n Bài tập vận dụng Bài tập 2: Tìm lim n n 4 2 1 un  1  3 ; n  N *  Bài tập 1: Biết dãy số (un) thoả mãn: Chứng minh rằng : lim u = 1 n n Lời giải: 1 § Æt v n  u n  1 vµ w n  2 . n 1 Ta cã v n  un  1 , limw n  lim 2 0 n Do đó |Wn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.v (1) u  1  w  w (2) n n n n Mặt khác theo giả thiết Từ (1) và (2) suy ra lim an = 0. Vậy lim un = 1 (đpcm)
Hướng dẫn học ở nhà:  1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn  2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức của định lý về giới hạn hữu hạn  3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Các câu a, b, d ) trang 121.
III/ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN  1) Khái niệm: H·y nª u nhËn xÐt vÒ cÊp sè sau : 1 1 1 1 , , ,..., n ,... 2 4 8 2 */ Dãy số là một cấp số nhân. Vì sao? */ Công bội là q = 1/ 2, q < 1 */ Dãy số là cấp số nhân vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q với / q / < 1
III/ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không? Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đó? n 1 1 1 1  1 1,- , , ,...,    ,... 3 9 27  3 Hãy nêu công thức tính tổng Sn của cấp số nhân lùi vô hạn biết u1 và Công bội q, với /q/ < 1. Tìm giới hạn của tổng Sn khi n —> +∞ ?
Lời giải: Ta cã S n  u1  u 2  ...  u n   u1 1  q n  1 q u1  u1  n * ViÕt vÒ d¹ng : S n    q 1 q 1 q   u1  u1  n  u1 Suy ra limSn  lim   q   1  q  1  q   1  q Do limq n  0 u1 2) Tæng Sn  u1  u2  ...  un  ...  1 q
Các ví dụ:  Ví dụ 5: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn (un), sau: n 1 1 1/ Víi u n  n 1 1 1  1 2/ Víi 1, , , ,...      ... 3 2 4 8  2 Đáp số: S = 1/ 2 Đáp số: S = 2/ 3
IV/ GIỚI HẠN VÔ CỰC 1) ĐỊNH NGHĨA  Câu hỏi 3: Cho dãy số tự nhiên un= n  1/ Hãy kể một vài số hạng u2008 ?  2/ Cho un là một số tự nhiên bất kỳ, có thể chỉ ra được những số lớn hơn un không?  3/ Hãy nêu nhận xét về dãy số vừa xét? Khoảng cách giữa 0 và un như thế nào khi n —> +∞ ? Định nghĩa về giới hạn vô cực: ( SGK ) Kí hiệu: limun= +∞ hay un—>+∞ khi n—>+∞ Limun =-∞ hay un—>-∞ khi n—>+∞ Nhận xét: limun=+∞ lim(-un) = -∞
2. Một vài ứng dụng  2.1) Lim nk = +∞ với k nguyên dương  2.2) Lim qn = +∞ nếu q>1 Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.  Ví dụ 7: TÝnh c¸c giíi h¹n lim 2  5  vµ lim3n  n 2n  5 Lµm thÕ nµo suy ra giíi h¹n sau : lim n.3n   Ví dụ 8: TÝnh lim - n 2  5n  2 
3/ Định lý: Định lý 2: un a) NÕu limu n  a vµ limv n   thi lim  0 vn b) NÕu limu n  a  0 vµ limv n  0 víi n thi un lim   vn c) NÕu limu n   vµ limv n  a  0 thi limu n vn  
Hướng dẫn học ở nhà:  1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn, và định nghĩa về giới hạn vô cực  2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức của định lý về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực.  3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122.  4/ Làm bài tập trong sách bài tập gồm bài 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14.