Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 8: Hệ phương trình vi phân thường bậc I và Phương trình vi phân bậc cao

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:81

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 8: Hệ phương trình vi phân thường bậc I và Phương trình vi phân bậc cao cung cấp cho học viên các kiến thức về hệ phương trình vi phân thường bậc I, phương pháp Euler tường minh, phương pháp RK2-Euler cải tiến, phương pháp RK2-Heun, phương pháp RK2-Ralston,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 8: Hệ phương trình vi phân thường bậc I và Phương trình vi phân bậc cao

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 8: Hệ phương trình vi phân thường bậc I và Phương trình vi phân bậc cao Thời lượng: 3 tiết
2 Nội dung bài học 7 phương pháp
3 Hệ Phương trình vi phân thường bậc I Hệ phương trình vi phân thường bậc I có dạng:  dy1  dx  f1  x, y1 , y2 , , yn  ; y1  x0   y01   dy2  f  x, y , y , , y  ; y2  x0   y02 2 1 2 n  dx (1)    dyn  f x, y , y , , y ;  dx n 1 2 n yn  x0   y0 n Dạng véctơ:  y1  x    f1  x, y T         y  d y  f  x , y T   y2  x   y  x    2  f  x, y    T f x , y T   (2)  dx ; ;  y  x0   y 0       y  x   T   n   f n  x, y  
4 So sánh phát biểu của PTVP và Hệ PTVP thường bậc I  dy d  dx  y  f  x, y  ;  dx y  y  f  ; x , y T    y  a   y0 ; y  a   y 0 ;    x0  a  x  b  xn  x0  a  x  b  xN   Hầu hết các phương pháp dùng để giải phương trình vi phân thường bậc I đều có thể áp dụng để giải hệ PTVP bậc I, chỉ với định dạng Véctơ.
5 Phương pháp Euler tường minh i từ 0 đến N-1 i  f  xi , yi   φi  f  xi , y i  T    yi 1  yi  h  i  y i 1  y i  h  φi ; (3) x  x  h x  x  h  i 1 i  i 1 i 1 i i   y1  xi    f x , y T       2  i   2  i i    T  ; f  xi , y i    y x f x , y yi   T       y  x   T   n i   f n  xi , y i  
6 Phương pháp Euler tường minh  dy1  y1  0   3  y1,0 1  dx  y1   2 y1  y2  x 2 (4)   Với điều kiện ban đầu:  1  dy2  y  y  y  2 x (5)  y2  0    y2,0  dx 2 1 2  5 b  a 30 Cho biết: h  0.25  N    12 h 0.25 Dạng Véctơ:   y  d y  f  x , y   1       f  x , y T       1   2   ; f  x, y    y x y y x ; y  x   1  dx T   2 1 2  y  x0   y 0  y2  x    f 2  x, y    y1  y2  2 x  T 
7 1 - Từ (4):   4  y 2  y1   y1  x 2  6 2 dy2 1 - Đạo hàm hai vế của (6):  6    y2  y1  y1  2 x 7 dx 2 1  1 2 - Thế (6) và (7) vào (5):  5  y1  y1  2 x  y1   y1  y1  x   2 x 2  2  3 1  y1   y1  y1  x 2 (8) 2 2 3 1 - Tìm nghiệm chung của phương trình (8): y1  y1  y1  0 (9) 2 2 3 1  Phương trình đặc trưng:    0 2 (10) 2 2
8  17 3    17 3    x    x  3 17 3 17 (11) 10   1    ; 2     Y1  x   C1e  4   C2 e  4  4 4 4 4 - Tìm nghiệm riêng của phương trình (9), sẽ có dạng:    y1  x   2 Ax  B y1  x   Ax  Bx  C   2  y   x   2 A  1 - Vậy:    3 1   9  2 A   2 Ax  B  Ax 2  Bx  C  x 2 2 2  A   1  A  2 A  B  3B C   2    x2   3A   x   2 A     x2     B  12 2  2  2 2  3 A  B    2 A  3B  C   0 C  44  2  2 2 
9 - Vậy lời giải đầy đủ của hàm y1(x) là:  17 3    17 3    x    x  y1  x   Y1  x   y1  x   y1  x   C1e  4   C2 e  4   2 x 2  12 x  44 (12) - Đi tìm y2(x): Ta đạo hàm 2 vế của (12)  17 3    17 3  dy1 17  3   x  17  3   x  12    y1  x    C1  e  4    C2  e  4   4 x  12 (13) dx 4 4 - Thế (13) vào (6):  17  3   17 3   x  17  3   17 3    x    6   y2  x     C1  e 4    C2  e  4   4 x  12   4 4     C  17 3   x  C2   17 3    x     1 e   e    x 2  6 x  22   x 2 4 4 2 2   
 17 3    17 3  10 17  1   x  17  1   x   y2  x    C1  e     C2  e    2 x 2  10 x  34 (14) 4 4 4 4 Vậy:   17 3    x    17 3    x   y1  x   C1e 4   C e  4   2 x 2  12 x  44  2   17 3    17 3  (15)  17  1   x  17  1   x  y  2  x    C 1  e  4    C 2  e  4   2 x 2  10 x  34 4 4 - Để tìm C1 và C2 ta dựa vào các điều kiện ban đầu:  47 919 17  y1  0   3 C1  C 2  44  3 C1      2 170 (16)  1   17  1 17  1 1  y2  0     C1   C2  34  C  47  919 17  5  4 4 5  2 2 170
11 Như vậy lời giải chính xác của hệ phương trình là:   17 3   47 919 17   4   47 919 17   4  x    x    17 3   y1  x      e     e  2 x 2  12 x  44       2 170   2 170    17 3    17 3   17  1  47 919 17   4    x  17  1  47 919 17   4  x   y2  x        e       e  2 x 2  10 x  34  4  2 170  4  2 170  (17)  y1  x   45.78902394e 0.2807764065 x   1.21097606e 1.780776406 x   2 x 2  12 x  44  (18)  2    0.2807764065 x   1.780776406 x  y x  35.7509895  e  1.550989567  e  2 x 2  10 x  34
12 Phương pháp Euler tường minh 1. i=0:  1 1 2  f1  x0 , y T0    1 y  y  x 2    3   0  1.3    0  2  φ 0  f  x0 , y 0    5 T   2 1,0 2,0       f 2  x0 , y 0    y1,0  y2,0  2 x0  3  1  2  0  2.8  T      5  y1,0   f  x ,  1 0 0    y T    3  1.3 2.675 y1  y 0  h  φ 0     h      1   0.25      y2,0   f 2  x0 , y 0    5  2.8  0.9  T x1  x0  h  0  0.25  0.25
13 Phương pháp Euler tường minh 2. i=1:  f1  x1 , y1T    1 y  y  x 2   1  2.675  0.9  0.252  0.375    1    φ1  f  x1 , y1    T  2 1,1 2,1  2    f 2  x1 , y1    y1,1  y2,1  2 x1  2.675  0.9  2  0.25  1.275  T    1 1 1   2.675   1,1  y  f x , y T  0.375 2.58125 y 2  y1  h  φ1     h       0.25       2,1  y  f 2  x1 , y1    0.9  1.275   1.21875  T x2  x1  h  0.25  0.25  0.5
14 Phương pháp Euler tường minh 3. i=2:  f1  x2 , y T2    1 y  y  x 2   1  2.58125  1.21875  0.52  0.178125    2   φ 2  f  x2 , y T2       2 1,2 2,2    2    f 2  x2 , y 2    y1,2  y2,2  2 x2  2.58125  1.21875  2  0.5  0.3625  T     1 2 2   2.58125  1,2  y  f x , y T  0.178125 2.62578125 y 3  y 2  h  φ2     h      0.25      y2,2   f 2  x2 , y 2   1.21875  0.3625  1.309375  T x3  x2  h  0.5  0.25  0.75 Tiếp tục cho đến bước số 12: i=11
15
16
Phương pháp RK2-Euler cải tiến 17 i từ 0 đến N-1 k1,i  f  xi , yi    K 1,i  f  xi , y i  T    k  f x  h, y  k h 1 1    1  1   T  2,i  i 1,i  K 2,i  f  xi  h,  y i  hK1   (19)   2 i 2   2  2     y  y  hk   i 1 i 2,i y i 1  y i  h  K 2,i  xi 1  xi  h x  x  h  i 1 i  y1  xi    f1  xi , y iT        y2  xi    2  i i    Phương pháp RK2-Euler cải T f  xi , y i    f x , y yi   ; T  tiến còn gọi là RK2 điểm giữa      y  x   T   n i   n  i i   f x , y
Phương pháp RK2-Euler cải tiến 18 1. i=0:   1   1   3  1 2 0    y1,0  y2,0  x0   2 2   1.3 K1,0  f  x0 , y 0    2 5   T    y1,0  y2,0  2 x0  3  1  2  0  2.8        5    1  1   T  1  3  1 1.3  T K 2,0  f  x0  h,  y 0  hK1,0    f  0   0.25,      0.25       2  2    2   0.2  2  2.8        f  0.125, 2.8375, 0.55     1 2    2.8375  0.55  0.125  0.853125   2    2.8375  0.55  2  0.125   2.0375    3  0.853125 2.78671875 y1  y 0  h  K 2,0     0.25      0.2  2.0375  0.709375   x  x  h  0  0.25  0.25  1 0
Phương pháp RK2-Euler cải tiến 19 2. i=1:   1 2  1 2 K  f x , y T   2 1,1    1    2.78671875  0.709375  0.25  0.621484375 1 1  y y x  2  2,1  1,1            1.57734375  y y  1,1 2,1 2 x1   2.78671875 0.709375 2 0.25     1  1  T   1  2.78671875 1 0.621484375  T K 2,1  f  x1  h,  y1  hK1,1    f  0.25   0.25,      0.25       2  2    2  0.709375  2 1.57734375      f  0.375, 2.709033203, 0.906542968     1 2     2.709033203  0.906542968  0.375  0.307348633   2    2.709033203  0.906542968  2  0.375  1.052490235   y  y  h  K  2.78671875  0.25  0.307348633  2.709881592   2 1 2,1        0.709375  1.052490235  0.972497558   x2  x1  h  0.25  0.25  0.5
Phương pháp RK2-Euler cải tiến 20 3. i=2:   1 2  1 2 K  f x , y T   2 1,2    2   2.709881592  0.972497558  0.5  0.132443238 2 2  y y x  2  2,2  1,2             0.737384034  y  1,2 y 2,2 2 x 2   2.709881592 0.972497558 2 0.5     1  1  T   1  2.709881592  1 0.132443238  T K 2,2  f  x2  h,  y 2  hK1,2    f  0.5   0.25,      0.25       2  2    2  0.972497558  2 0.737384034      f  0.625, 2.693326187,1.064670562     1 2     2.693326187  1.064670562  0.625  0.108632468   2    2.693326187  1.064670562  2  0.625  0.378655625  y  y  h  K  2.709881592   0.25  0.108632468  2.737039709   3 2 2,2        0.972497558  0.378655625 1.067161464   x3  x2  h  0.5  0.25  0.75