Bài giảng Toán A2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán A2 - Chương 3 cung cấp cho người học những kiên thức về không gian vector. Chương này gồm có những nội dung sau: Một số khái niệm cơ bản; cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector; tọa độ; tích vô hướng, cơ sở trực chuẩn;... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán A2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 1 / 23
Nội dung 1 Một số khái niệm cơ bản Khái niệm không gian vector, kg vector con Không gian sinh bởi tập hợp Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector 3 Tọa độ Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở 4 Tích vô hướng, cơ sở trực chuẩn Tích vô hướng Cơ sở trực chuẩn và trực giao hóa Gram-Schmidt Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 1 / 23
Không gian vector, kg vector con Cho tập V 6= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính chất sau thì ta nói V là một không gian vector: ∀u, v , w ∈ V ; ∀h, k ∈ R 1. Giao hoán: u + v = v + u 2. Kết hợp: (u + v ) + w = u + (v + w ) 3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V 4. ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0 5. h(ku) = (hk)u 6. (h + k)u = hu + ku 7. h(u + v ) = hu + hv 8. 1.u = u Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 2 / 23
Ví dụ: Tập các ma trận Mm×n cùng với phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector Tập Rn với phép cộng và nhân: I (x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) I k (x1 , ..., xn ) = (kx1 , ..., kxn ) lập thành không gian vector Cho V là kg vector, W ⊂ V , W 6= ∅ Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W . Thì ta nói W là không gian vector con của V Ký hiệu: W ≤ V Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 3 / 23
Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V không? 1. V = R2 , W = {(x, 0) : x ∈ R} 2. V = R2 , W = {(x, 1) : x ∈ R} 3. V = R3 , W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R} 4. V = Rn , W là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với A ∈ Mm×n ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 4 / 23
Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là kgvt và S = {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ V Với mỗi bộ k1 , k2 , . . . , kn ∈ R, ta gọi vector v = k1 u1 + k2 u2 + · · · + kn un là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1 , u2 , . . . , un Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , un thì W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W Ký hiệu: W = hSi = hu1 , u2 , ..., un i Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 5 / 23
Ví dụ: Xét W = hu1 , u2 , u3 i ≤ R4 , với u1 = (2, 0, −1, 3), u2 = (0, 1, 2, −1), u3 = (2, 2, 3, 1) 1. Các vector v1 = (−2, 3, 7, −6), v2 = (2, 1, 1, 1) có thuộc W không? 2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c, d ) ∈ W Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 6 / 23
Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Cho V là kgvt, S = {u1 , u2 , . . . , un } S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi k1 , k2 , . . . , kn ∈ R, ta có: k1 u1 + k2 u2 + · · · + kn un = 0 kéo theo k1 = k2 = · · · kn = 0 Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: S = {u1 , u2 , u3 } có độc lập tuyến tính không? 1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1) 2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1, −3, 1), u3 = (−5, 6, 4) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 7 / 23
Cơ sở và số chiều Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V đều phụ thuộc tuyến tính. n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dim V = n Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n chiều là một cơ sở của không gian đó Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 8 / 23
Ví dụ: 1. Không gian Rn = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R} có  là n; có một cơ sở là B0 = {e1 , e2 , . . . , en }, số chiều e = (1, 0, ..., 0)  1   e2 = (0, 1, ..., 0) với:   ... en = (0, 0, ..., 1)  Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn 2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của R3 không? Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 9 / 23
Chú ý Tập S ⊂ V là cơ sở của V khi và chỉ khi: S sinh ra V , nghĩa là: hSi = V , và S độc lập tuyến tính Nếu S là cơ sở của V thì: dim V = số phần tử của S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 10 / 23
Hạng của hệ vector; cơ sở, số chiều của hSi Trong kgvt V , cho hệ S = {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ V . Khi đó, số chiều của hSi gọi là hạng của S, ký hiệu: rank S Nếu S 0 thu được bằng cách: I Đổi chỗ 2 phần tử của S I Nhân một vector của S với số khác 0 I Thay một vector của S bằng tổng của nó với α lần một vector khác trong S Thì hSi = hS 0 i Để tìm cơ sở, số chiều của hSi, ta làm như sau: I Sắp các vector của S thành hàng I Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa về ma trận bậc thang. Suy ra sơ sở, số chiều (hạng của S) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 11 / 23
Ví dụ: 1. Trong R4 , xét S = {u1 , u2 , u3 , u4 }, với u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0, −2, 0, 1), u3 = (3, −1, 9, 2), u4 = (−1, −7, −3, −3). Tìm cơ sở và số chiều cho hSi 2. Trong R4 , xét B = {v1 , v2 , v3 , v4 }, với v1 = (2, −1, 7, 1), v2 = (0, 3, 1, −1), v3 = (−2, −2, −8, 3), v4 = (2, −7, 5, 1). Tìm cơ sở và số chiều cho hBi Chú ý: S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi: rank(S) = số vector của S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 12 / 23
Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Dùng pp Gauss giải hệ, suy ra cơ sở, số chiều  Tìm Ví dụ: cơ sở, số chiều của không gian nghiệm hệ:  x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 4x5 = 0 1. 2x1 + 4x2 − 2x3 + 7x4 + 5x5 = 0 2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 2x5 = 0   x − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0  1   2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 0 2.   3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0 2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0  Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 13 / 23
Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự do để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Dùng 1 trong 2 cách sau: 1. Xem là kg sinh bởi các vector cột của ma trận hệ số 2. Dùng phương pháp Gauss Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian W = {(a, b, c, d , e) : hệ dưới đây có nghiệm}    x1 + x2 + 2x4 = a  2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = b   x1 + 3x2 + 5x4 = c 3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d      2x + 8x − 4x + 2x = e 1 2 3 4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 14 / 23
Tọa độ Cho B = {e1 , e2 , . . . , en } là một cơ sở được sắp của kgvt V . Khi đó, ∀u ∈ V , ∃!(k1 , k2 , . . . , kn ) ∈ Rn sao cho: u = k1 e1 + k2 e2 + · · · + kn en   k1 k2  Tọa độ của u trong B là: [u]B =   ...   kn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 15 / 23
Ví dụ: 1. Tìm tọa độ của u = (x1 , x2 , . . . , xn ) trong cơ sở chính tắc của Rn 2. Chứng tỏ rằng B = {u1 = (2, 3, 3), u2 = (−1, −1, −3), u3 = (1, 2, 3)} là sơ sở của R3 . Tìm tọa độ của u = (−1, 0, 0) trong B 3. a)Chứng tỏ rằng S = {v1 = (1, −1, 1, 1), v2 = (2, −2, 3, 0), v3 = (3, −3, 4, 3)} là một cơ sở của W = hSi ≤ R4 . b) Chứng tỏ rằng v = (−1, 1, −2, 3) ∈ W . Tìm [v ]S   −1 c) Biết [w ]S =  1 . Xác định w . 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 16 / 23
Ma trận chuyển cơ sở Cho B, và B 0 = {e10 , e20 , . . . , en0 } là các cơ sở của kgvt V . Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang B 0 được định nghĩa là: P(B → B 0 ) = ([e10 ]B [e20 ]B · · · [en0 ]B ) Các tính chất: P(B → B) = In P(B → C) = P(B → B 0 )P(B 0 → C) P(B → B 0 ) = [P(B 0 → B)]−1 [v ]B = P(B → B 0 )[v ]B0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 17 / 23
Ví dụ: Cho B0 là cơ sở chính tắc của R3 B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)}, C = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 2), v3 = (1, 2, −3)}. 1. Chứng tỏ rằng B, C đều là các cơ sở của R3 . 2. Tìm P(B0 → B), P(B → B0 ), P(B → C), P(C → B) 3. Cho u = (−2, 1, 3). Tìm [u]B   −2 4. Cho [v ]C =  −1 . Tìm [v ]B 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 18 / 23
Tích vô hướng Tích vô hướng trên kgvt V là một ánh xạ: V ×V → R (u, v ) 7→ hu, v i thỏa: ∀u, u1 , u2 , v ∈ V , ∀k ∈ R hu1 + u2 , v i = hu1 , v i + hu2 , v i hku, v i = khu, v i hu, v i = hv , ui hu, ui > 0 nếu u 6= 0; và hu, ui = 0 khi u = 0 p Chuẩn hay độ dài của vector u là: kuk = hu, ui Nếu kuk = 1, ta nói u là vector đơn vị Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 19 / 23