Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1 - Hoàng Văn Thắng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

187
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1 trình bày các mối liên hệ tuyến tính, cơ sở của không gian vector, hạng của hệ vector và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1 - Hoàng Văn Thắng

§3. Các mối liên hệ tuyến tính trong Các nội dung chính I. Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính 1. Tổ hợp tuyến tính 2. Phép biểu diễn tuyến tính 1
II. Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính 1. Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính. 2. Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ. 3. Một số ví dụ III. Một số kết quả về sự PTTT – ĐLTT. 2
§3. Các mối liên hệ tuyến tính trong I. Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính 1. Tổ hợp tuyến tính: Trong cho m véc tơ , ,…, (∗) Lấy m số thực bất kỳ , ,…, và lập tổng + +⋯+ (1) 3
Định nghĩa: Mỗi tổng (1) được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ (∗). Các số , ,..., gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính đó. Nhận xét: + Từ một hệ véc tơ cho trước có thể lập được vô số các tổ hợp tuyến tính. 4
+ Tổng hai tổ hợp tuyến tính bất kỳ của cùng một hệ véc tơ , ,…, là một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đó: + + ⋯+ + + +⋯+ = + + + +⋯ + + 5
+ Tích của một tổ hợp tuyến tính bất kỳ của hệ véc tơ , ,…, với một số bất kỳ là một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đó: + + ⋯+ = + + ⋯+ 6
Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ n chiều , ,…, cho trước: = + +⋯+ , ,.., ∈ là không gian véc tơ con của không gian . Hãy chứng minh định lý trên 7
2.Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ , ,…, nếu vectơ X là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này. 8
Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ , ,…, nếu tồn tại bộ m số , ,.., sao cho: = + + ⋯+ Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y, tức là: tồn tại số sao cho: = thì ta nói X, Y tỷ lệ 9
Ví dụ 1: Cho các vectơ = ,− = , ⇒ = + = , Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ , hay không? Trả lời: Có 10
Ví dụ 2: Cho các vectơ = , − , , = , − , , = − , , , = − , , , Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ , , hay không? 11
= , − , , = , − , , = − , , , = − , , , Không Trả lời: ????? 12
Nhận xét: Vectơ 0 luôn biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vectơ cùng chiều: 0n  0.X1  0.X 2    0.X n Biểu diễn tầm thường Khi nào thì X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ , ,…, ? 13
Trả lời: Xét hệ thức: = + + ⋯+ Thay số ta được:  X1   X2   Xm   X  1                    2  m                      14
Đây thực chất là hệ phương trình tuyến tính m ẩn số: , ,…, với ma trận mở  X1 rộng là: X2  Xm X A                Các véc tơ được xếp dạng cột 15
Thường giải hệ này bằng phương pháp Gauss: + Nếu hệ vô nghiệm thì X không biểu diễn tuyến tính được qua , ,…, + Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì X biểu diễn tuyến tính duy nhất qua , ,…, 16
+ Nếu hệ có vô số nghiệm thì X biểu diễn tuyến tính được qua , ,…, bằng vô số cách. Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tuyến tính véc tơ X = (2, 1, –1) qua hệ véc tơ: X1  1,3, 2   X 2   2,5,1  Giải: X 3   3,7,5  17
Thay số ta được Đs: = −30 + 49 − 22 18
Ví dụ 2: Cho hệ véc tơ X1  1,  2, 3, 0   X 2   2, 3,  1, 5    X 3   3, 4, 3, 2  Với giá trị nào của k thì véc tơ X = (1, – 3, – 4, k) biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ đã cho ? 19
Giải: Giả sử ta có: X  k1X1  k 2 X 2  k 3 X 3 Thay số ta được: 1 2  3  1   2   3   4   3  k1    k 2    k 3       3   1   3   4          0 5  2  k  20