Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 4: Phép tính tích phân hàm một biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Tính chất, ông thức nguyên hàm cơ bản, các phương pháp tính, đổi biến số dạng 2, tích phân từng phần,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến

17/04/2017 CHƯƠNG 4 Tính chất  i )   f x dx   f x    ii )  k . f x dx  k  f x dx PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN iii )   f x   g x  dx   f x dx     g x dx HÀM MỘT BIẾN Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa nguyên hàm Công thức nguyên hàm cơ bản • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x) 1.  k dx  2. x  dx  là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu: F  x   f x ,  x  a , b  dx dx 3.  4.  x x • Ví dụ: 5. a x dx  6. e x dx    tan x laø moät nguyeân haøm cuûa 1  tan 2 x      treân R \  2n  1      2     a laø moät nguyeân haøm cuûa a x ln a treân R. x Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân bất định Các phương pháp tính • Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu: • Phân tích, biến đổi • Đổi biến dạng 1  f x dx • Đổi biến dạng 2 • Được xác định như sau: • Tích phân từng phần  f x dx  F x   C • F(x) là một nguyên hàm của f(x). • C: hằng số tùy ý. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
17/04/2017 Phương pháp phân tích Ví dụ • Chia đa thức • Tính các tích phân sau • Nhân liên hợp  a . x 3 cos x 4  2 dx  b . 2x  1dx • Áp dụng các công thức biến đổi hàm số c . 2 1  x .x dx5 • Sử dụng công thức cơ bản Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Đổi biến số dạng 2 (tham khảo) • Tính các tích phân sau • Đặt: x=u(t) 2x  1 • Biến đổi biểu thức tính tích phân về dạng: a . x x  1 dx   b . e x e 2 x 1  3 dx 2  f x dx   f u t .u  t dt x 2  3x  1 c . dx d . x 2  x dx x 0 x   dt  e . lim     1 t t  1 x   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đổi biến số dạng 1 Ví dụ • Đặt t=u(x) • Tính các tích phân sau • Ta đưa tích phân về dạng: 2 1 x a)  b)   f u x . u' x dx 4  x 2 dx dx   f t dt 0 0 1 x2 1 2 dx dx • Phải tìm u’ hoặc biến đổi u’ xuất hiện trước. c ) d ) 0 1 x2 2 x x2 1 • Thường đặt u bằng căn thức, mũ của e, mẫu số hay biểu thức trong ngoặc Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
17/04/2017 Tích phân từng phần Ví dụ • Đưa biểu thức tính tích phân về dạng: • Tính các tích phân sau   f x dx   h x .g x dx e a )  x ln xdx 2 b )  2x  1 sin xdx 1 0 • Đặt:  du  h ' x   u  h x     2 1    c )  x cos xdx d )  x arctan xdx     dv  g   x dx v   g x dx     0 3 • Khi đó:  f x dx   h x .g x dx  uv   v .du Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân từng phần Công thức Tanzalin 2x . 3x  2  dx 6 • Đưa biểu thức về dạng tích • Tính tích phân sau:  • Chọn hàm để đặt u và dv • Chú ý: chọn sao cho việc tính đạo hàm và tích phân dễ tính. • Áp dụng công thức:  udv  uv   v .du 2x 1  2x . 3x  2  3x  2   252 3x  2  C 6 7 8 dx  21 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các dạng cần nhớ Công thức Tanzalin  Pn x . sin ax dx • Tính tích phân sau:  x . sin x .dx  Pn x . cos ax dx  Pn x .e ax .dx Đạo hàm Tích phân Dấu Tích x sinx  Pn x  . ln x .dx 1 -cosx + -xcosx  Pn x  . arctan x .dx 0 -sinx - sinx  Pn x  . arcsin x .dx Luong giac nguoc  Lo garit   x . sin x .dx  x . cosx  sinx  C Da thuc  Luong giac  M u Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
17/04/2017 Công thức Tanzalin Diện tích dưới đường cong • Tính tích phân bất định: • Ví dụ. Một tòa nhà có cổng dạng parabol. Ta cần gắn kính cho cổng nhà. Hỏi diện tích kính cần  2 x x  1.dx gắn là bao nhiêu? • Đáp số: Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân hàm mũ Diện tích dưới đường cong • Công thức: i   e dx  e  C x x • Ta chia hình cần tính thành nhiều hình chữ nhật nhỏ. 1 ii   e dx  a e ax b ax b C • Cộng hết diện tích các hình chữ nhật nhỏ lại • Ta được diện tích tương đối của hình cần tính iii   e du  e  C u u • Ví dụ. Tính các tích phân sau: • Độ cao của mỗi hình chữ nhật x4  e 4x 3 được xác định thông qua giá trị a)A  3e dx b) B  4 x dx của hàm số. I0 Ví dụ. Tại điểm c thì hình chữ 2 c )C   xe  x dx d ) D  a . e Tx dx nhật có độ cao là f(c) 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Diện tích dưới đường cong • Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi • Tìm diện tích dưới đường cong y=1-x2 giữa x- qua điểm (1;0) và: 0,5 và x=1 dy • Sử dụng công thức tổng các diện tích hình chữ  e x 3 dx nhật để tính xấp xỉ (giả sử n=5) • Đáp án: y 2  e x 3  e 2  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
17/04/2017 Diện tích dưới đường cong Diện tích dưới đường cong • Với n=5 ta có chiều rộng mỗi hcn là: 0,1 • Với n=5 ta có chiều rộng mỗi hcn là: 0,1 • Ta tính tổng của 5 hcn sau: • Ta tính tổng của 5 hcn sau: Cách 1. Xấp xỉ Cách 3. Xấp xỉ bằng tổng các bằng tổng các hình chữ nhật hình chữ nhật ngoài ở giữa 5 5 A S i A S i 1 i i 1  0, 75.0, 1  0, 64.0, 1  0, 51.0, 1  0.36.0, 1  0, 19.0, 1  0, 245  0, 6975  0, 5775  0, 4375  0, 2775  0, 0975  .0, 1  0, 20875 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong Nhận xét • Với n=5 ta có chiều rộng mỗi hcn là: 0,1 • Nếu ta chia thành 10 hình chữ nhật với n=10 thì kết quả • Ta tính tổng của 5 hcn sau: tìm được xấp xỉ tốt hơn • Tính theo cách 1 ta có kết quả sau: 10 Cách 2. Xấp xỉ A S i  0, 75  0, 6975  .....  0, 19  0, 0975  .0, 05  0, 226875 bằng tổng các i 1 hình chữ nhật • Theo cách 2 ta có: trong 10 A S i  0, 6975  .....  0, 19  0, 0975  0  .0, 05  0, 189375 i 1 5 A S i • Theo cách 3 ta có: 10 Trung bình cộng cách 1,2: 10 i 1  0, 64.0, 1  0, 51.0, 1  0, 36.0, 1  0, 19.0, 1  0  0, 1  0, 17 A S i  0, 208438 A S i  0, 208125 i 1 i 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích dưới đường cong Tích phân xác định • Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b]. • Để có được giá trị xấp xỉ tốt hơn ta lấy giá trị trung bình của 2 cách tính trên 1. Chia ñoaïn [a , b ] thaøn h n phaàn baèn g nhau, b a • Ta được: coù chieàu roän g  x  n 0, 245  0, 17 A 2  0, 2075 2. Giaû söû a  x 0 , x 1, x 2 , ..., x n  b laø caùc ñieåm bieân nhöõn g ñoaïn con. Ta coù : x i  a  i. x 3. Goïi x 1* , x 2* , ..., x n* laø caùc ñieåm maãu baát kyø  trong nhöõn g ñoaïn con x i*  x i 1 ; x i  .    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
17/04/2017 Tích phân xác định Ý nghĩa hình học • Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b]. • Cho hàm số ( ) ≥ 0, liên tục trên [a;b] thì tích phân xác định của f(x) trên [a;b] là diện tích hình giới hạn bởi: f x  ; x  a ; x  b 5 b a  f x   x ;  x * i  x i 1  x i  5 i 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định Chú ý • Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b].  : daáu tích phaân f x  : haøm laáy tích phaân a, b : caùc caän laáy tích phaân dx : bieán ñoäc laäp x . b n Tích phaân  f x dx laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo x .  f x   x * i a b b b i 1 x  b a  f x dx   f t dt   f r dr n a n a a Toång Riemann:  f x  x i 1 * i Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định Tích phân xác định • Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là: • Công thức: b n  f x dx  lim  f x   x * i b b  f x dx  F x   F b   F a  n  a i 1 a a (nếu giới hạn này tồn tại). • Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b]. • Trong đó F(x) là một nguyên hàm (tích phân bất định) của f(x).  f x dx  F x   C; F ' x   f x  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
17/04/2017 Ví dụ Tính chất • Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1- d) Với a
17/04/2017 Ứng dụng tích phân trong kinh tế Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Tìm chi phí khi biết chi phí cận biên • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận • Tìm doanh thu khi biết doanh thu cận biên biên là: • Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất MR Q   3Q 2  8Q  30 • Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá theo sản lượng. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên • Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là: là: MC Q   90  120Q  27Q 2 MR P   4 P 3  3P 2  24P  15 • Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 • Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200. (triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo giá. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế Tích phân trong phân tích kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên • Ví dụ 1. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức là: sản lượng Q là MC=8e0,2Q và chi phí cố định là MC Q   50  18Q  45Q 2  4Q 3 FC=50. Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khả biến • Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí. • Ví dụ 2. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác định hàm tổng doanh thu. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
17/04/2017 Thặng dư tiêu dùng & Thặng dư sản xuất Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng (a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P1 Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế Price A của người mua. Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của Consumer surplus người bán. P1 B C Demand 0 Q1 Quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư tiêu dùng Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng (b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P2 • Consumer surplus (CS) Price A • Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người mua trừ đi mức giá mà họ thực sự trả. Initial • Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người consumer surplus mua chấp nhận mua sản phẩm. P1 C Consumer surplus B to new consumers • Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản phẩm hay dịch vụ, P2 D E F Additional consumer Demand surplus to initial consumers 0 Q1 Q2 Quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dùng đường cầu để đo TDTD Thặng dư sản xuất • Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng • Producer surplus (PS) mà người tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại • Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được những mức giá khác nhau. trả trừ đi chi phí cho sản phẩm. • Diện tích phía dưới đường cầu và trên mức giá • Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị chính là thặng dư tiêu dùng. trường. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
17/04/2017 Dùng đường cung đo TDSX PS và CS khi cân bằng thị trường Price A • Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu. D Supply • Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung. • Diện tích phía dưới mức giá và trên đường cung Consumer surplus chính là thặng dư sản xuất. Equilibrium E price Producer surplus Demand B C 0 Equilibrium quantity Quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất Công thức chung (a) Thặng dư sản xuất ở giá P1 • Tại mức giá cân bằng P0 và lượng cân bằng Q0 Price Supply ta có: Q0 1 CS  D 0 (Q)dQ  P0Q0 Q0 B PS  P0Q0   S 1 (Q)dQ P1 0 C Producer surplus • Trong đó: D-1(Q) và S-1(Q) là hàm cầu đảo và hàm cung đảo. A 0 Q1 Quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất Ví dụ (b) Thặng dư sản xuất ở giá P2 Price • Cho các hàm cung và hàm cầu: Additional producer Supply surplus to initial producers QS  P  2 ; QD  43  P  2. D E P2 F • Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng B dư của người tiêu dùng. P1 Initial C Producer surplus producer to new producers surplus A 0 Q1 Q2 Quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 10
17/04/2017 Ví dụ • Sản lượng cân bằng Q0 là nghiệm của pt: Q0  3 D 1 (Q )  S 1 (Q )    p0  18 • Thặng dư của nhà sản xuất: 3  2  PS  18.3    Q  1  2 dQ  27 0 • Thặng dư người tiêu dùng: 3  2  CS   43   Q  2  dQ  18.3 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Xác định quỹ vốn • Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹ vốn K là hàm theo biến thời gian t. • Ta có: I=I(t); K=K(t) • Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm đó) I(t)=K’(t) • Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ vốn như sau: K  t    K   t  dt   I  t  dt Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân trong phân tích kinh tế • Ví dụ 3. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô la một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là K(1)=10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4 đến tháng 9 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 11

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn