zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chia sẻ: _nguyễn Tấn Khoa _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Báo xấu

82
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp A1 – Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính" trình bày hệ phương trình tổng quát, định lý Crocneker – capelli, phương pháp giải hệ phương trình tổng quát; hệ phương trình thuần nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính §1. Hệ phương trình tổng quát §2. Hệ phương trình thuần nhất …………………………………………………………… §1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT 1.1. Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i 1,2,..., n ) và m phương trình: a11x 1 a12x 2 ... a1n x n b1 a21x 1 a22x 2 ... a2n x n b2 (I ) .......................................... am 1x 1 am 2x 2 ... amn x n bm trong đó, hệ số aij , bj (i 1,..., n; j 1,..., m), được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính a11 ... a1n Đặt: A ... ... ... aij , m n am 1 ... amn T T B b1 ... bm và X x 1 ... x n lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn. Khi đó, hệ (I ) trở thành AX B . T • Bộ số 1 ... n hoặc 1 ; ...; n được gọi là nghiệm của (I ) nếu A B.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Cho hệ phương trình: x 1 x 2 2x 3 4x 4 4 2x 1 x 2 4x 3 3 2x 2 7x 3 5. Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: x1 1 1 2 4 4 x2 2 1 4 0 3 x3 0 2 7 0 5 x4 và (1; 1; 1; 1) là 1 nghiệm của hệ.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1.2. Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX B . Gọi ma trận a11 a12 ... a1n b1 mở rộng là A AB ... ... ... ... ... . am 1 am 2 ... amn bm Định lý Hệ AX B có nghiệm khi và chỉ khi r (A) r (A). Trong trường hợp hệ AX B có nghiệm thì: ▪ Nếu r (A) n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất; ▪ Nếu r (A) n : kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số nghiệm của hệ phương trình: x my 3z 0 2 (1 m )z m 1. Giải. Hệ đã cho có 3 ẩn, ta có: 1 m 3 1 m 3 0 A 2 , A 2 . 0 0 1 m 0 0 1 m m 1 • Nếu m 1 thì r (A) r (A) 1 3 . Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Nếu m 1 thì r (A) 1 2 r (A). Ta suy ra hệ vô nghiệm. • Nếu m 1 thì r (A) r (A) 2 3. Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình: mx 8z 7t m 1 3x my 2z 4t m mz 5t m2 1 5z mt 2m 2 có nghiệm duy nhất là: A. m 0 ; B. m 1; C. m 1; D. m 5.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Giải. Hệ có 4 ẩn và ma trận hệ số là: m 0 8 7 3 m 2 4 A . 0 0 m 5 0 0 5 m Hệ có nghiệm duy nhất r (A) 4 m 0 m 5 det A 0 0 3 m 5 m 2 2 m (m 25) 0 m 0 A.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX B , với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có: 1 AX B X A B. VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận: 2x y z 1 y 3z 3 2x y z 1.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1 1 1 1 2 1 1 Giải. A 0 1 3 A 3 2 3. 2 2 1 1 1 0 1 1 Hệ phương trình X A B x 1 1 2 1 x 3 1 y 3 2 3 3 y 6 . 2 z 1 0 1 1 z 1 x 3, Vậy hệ đã cho có nghiệm y 6, z 1.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Cho hệ AX B , với A là ma trận vuông cấp n . • Bước 1. Tính các định thức: a11 ... a1 j ... a1n det A ... ... ... ... ... , an 1 ... anj ... ann a11 ... b1 ... a1n j ... ... ... ... ... , j 1, n an 1 ... bn ... ann (thay cột thứ j trong bởi cột tự do).
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Bước 2. Kết luận: ▪ Nếu 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: j xj , j 1, n. ▪ Nếu 0 thì chưa có kết luận. Khi đó, ta giải tìm tham số và thay vào hệ để giải trực tiếp. Chú ý (m 7)x 12y 6z m Khi m 1 thì hệ 10x (m 19)y 10z 2m 12x 24y (m 13)z 0 có 1 2 3 0 nhưng hệ vô nghiệm.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức: 2x y z 1 y 3z 3 2x y z 1. Giải. Ta có: 2 1 1 1 1 1 0 1 3 4, 1 3 1 3 12 , 2 1 1 1 1 1
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1 1 2 1 1 2 0 3 3 24 , 3 0 1 3 4. 2 1 1 2 1 1 Vậy x 1 3, y 2 6, z 3 1.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính (m 1)x y m 2 VD 6. Hệ phương trình x (m 1)y 0 có nghiệm khi và chỉ khi: A. m 2; B. m 2 m 0; C. m 0 ; D. m 2. m 1 1 Giải. Ta có: m(m 2) 1 m 1 0 m 2 m 0.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính •m 2 : Hệ x y 0 hệ có vô số nghiệm. x y 2 •m 0 : Hệ hệ vô nghiệm. x y 0 Vậy với m 0 thì hệ có nghiệm C.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX B. • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc thang bởi PBĐSC trên dòng. • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: ▪ có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng; ▪ có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó; ▪ có 1 dòng dạng 0...0 b , b 0 thì hệ vô nghiệm.
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss: 2x y z 1 y 3z 3 Giải. Ta có: 2x y z 1. 2 1 1 1 2 1 1 1 d3 d3 d1 AB 0 1 3 3 0 1 3 3 . 2 1 1 1 0 0 2 2 2x y z 1 x 3 Hệ y 3z 3 y 6 . 2z 2 z 1
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính: 5x 1 2x 2 5x 3 3x 4 3 4x 1 x 2 3x 3 2x 4 1 2x 1 7x 2 x 3 = 1. 5 2 5 3 3 Giải. Ta có: A B 4 1 3 2 1 2 7 1 0 1
➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 5 2 5 3 3 d2 5d2 4d1 d3 5d3 2d1 0 13 5 2 7 0 39 15 6 11 5 2 5 3 3 d3 d3 3d2 0 13 5 2 7 . 0 0 0 0 10 Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.