intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp A1 Đại học - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST
Báo xấu
605
lượt xem 100
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp A1 Đại học gồm 4 chương. Nội dung bài giảng trình bày về hàm số một biến số, phép tính vi phân hàm một biến số, phép tính tích phân hàm một biến số, lý thuyết chuỗi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1 Đại học - ĐH Công nghiệp TP.HCM

  1. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2) TOÁN CAO C P A1 Đ I H C – NXB Giáo dục. 3. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 4) PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH – NXB ĐHQG TP.HCM. S ti t: 45 4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục. Chương 1. Hàm số một biến số 5. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số – NXB ĐHQG Hà Nội. Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Chương 4. Lý thuyết chuỗi Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên ThS. Đoà Tài liệu tham khảo T i Slide bài gi ng Toán A1 Đ i h c t i Toá 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1 dvntailieu.wordpress.com – ĐH Công nghiệp TP. HCM. Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s §1. Giới hạn dãy số VD 1. • Dãy số {x n } được cho dưới dạng liệt kê: §2. Giới hạn hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn 1 1 1 §4. Hàm số liên tục x 1 = 1; x 2 = ; x 3 = ;...; x n = ;... ……………………………………… 2 3 n §1. GIỚI HẠN DÃY SỐ • Dãy số {x n }, x n = (−1)n được cho ở dạng tổng quát. 1.1. Các định nghĩa về dãy số thực • Dãy số {x n } sau được cho dưới dạng quy nạp (hồi quy): Định nghĩa 1 x −1 Một dãy số thực (gọi tắt là dãy số) là một ánh xạ f từ ℤ+ x n := n −1 , x0 = 2. 2x n −1 vào ℝ cho tương ứng f (n ) = x n ∈ ℝ . Định nghĩa 2 Ký hiệu dãy số là {x n }, n = 1, 2,... • Dãy số {x n } được gọi là tăng (hay giảm) nếu x n ≤ x n +1 Trong đó, x 1 ; x 2 ;...; x n ;... được gọi là các số hạng và x n (hay x n ≥ x n +1) với mọi n ∈ ℤ + . là số hạng tổng quát của dãy số. • Một dãy số tăng (hay giảm) được gọi là dãy đơn điệu. Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 1 1 VD 2. • Dãy số {x n }, x n = − 2 là dãy tăng. VD 3. • Dãy số {x n }, x n = − 2 bị chặn trên bởi số 0 . n n n +1 n +1 1 • Dãy số {x n }, x n = là dãy giảm. • Dãy số {x n }, x n = bị chặn dưới bởi số . 2n 2n 2 • Dãy số {x n }, x n = (−1)n không đơn điệu. • Dãy số {x n }, x n = (−1)n sin n bị chặn vì: Định nghĩa 3 x n ≤ 1, ∀n ∈ ℤ + . • Dãy số {x n } được gọi là bị chặn trên nếu ∃M ∈ ℝ sao • Dãy số {x n }, x n = (−n )n +1 không bị chặn trên và cũng cho x n ≤ M , ∀n ∈ ℤ+ . không bị chặn dưới. • Dãy số {x n } được gọi là bị chặn dưới nếu ∃m ∈ ℝ sao cho x n ≥ m, ∀n ∈ ℤ + . Định nghĩa 4 • Số a ∈ ℝ được gọi là giới hạn của dãy số {x n } nếu: • Dãy số {x n } được gọi là bị chặn nếu dãy bị chặn trên và ∀ε > 0, ∃N ∈ ℝ : ∀n > N ⇒ x n − a < ε . bị chặn dưới. Toán cao c p A1 Đ i h c 1
  2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s Ký hiệu: lim x n = a hay x n → a . 1.2. Các tính chất của dãy số hội tụ n →∞ Định lý 1 • Dãy số {x n } có lim x n = −∞ nếu: • Nếu dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. n →∞ ∀m ∈ ℝ, ∃N ∈ ℝ : ∀n > N ⇒ x n < m . • Nếu dãy số hội tụ thì dãy bị chặn. • Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì dãy hội tụ. • Dãy số {x n } có lim x n = +∞ nếu: • Nếu dãy số giảm và bị chặn dưới thì dãy hội tụ. n →∞ ∀M ∈ ℝ, ∃N ∈ ℝ : ∀n > N ⇒ x n > M . Định lý 2. Cho hai dãy số hội tụ {x n }, {yn } và • Nếu dãy số {x n } có lim x n = a ∈ ℝ (hữu hạn) thì ta nói lim x n = a , lim yn = b . Khi đó: n →∞ n →∞ n →∞ dãy hội tụ, ngược lại thì ta nói dãy phân kỳ. • lim (kx n ) = ka, k ∈ ℝ ; lim (x n + yn ) = a + b n →∞ n →∞ 2n − 1 2 xn a VD 4. Chứng tỏ rằng: lim = . • lim (x n yn ) = ab ; lim = ; y ≠ 0, b ≠ 0 . n →∞ 3n + 1 3 n →∞ n →∞ yn b n Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s Định lý 3 Định lý 4 (định lý Cantor) • Cho hai dãy số {x n }, {yn } thỏa x n ≤ yn , ∀n ≥ N . Cho hai dãy số {x n }, {yn } thỏa: Nếu lim x n = a, lim yn = b thì a ≤ b .  x n ≤ yn , [x n +1; yn +1 ] ⊂ [x n ; yn ], ∀n ∈ ℤ+ n →∞ n →∞   • Cho ba dãy số {x n }, {yn }, {z n } thỏa x n ≤ yn ≤ z n với  lim(yn − x n ) = 0. x →∞  mọi n ≥ N . Nếu lim x n = lim z n = a thì lim yn = a . Khi đó, tồn tại số thực duy nhất c ∈ [x n ; yn ], ∀n ∈ ℤ+ . n →∞ n →∞ n →∞ 1 1 1 Định lý 5 (định lý Bolzano – Weierstrass) VD 5. Ta có 0 ≤ sin2 ≤ nên: n n +1 n • Định nghĩa. Cho dãy số {x n }. Từ đó, ta trích ra dãy số: 1 1 1 x n ; x n ; x n ;...; x n ;... 0 ≤ lim sin2 ≤ lim = 0 . 1 2 3 k n →∞ n n + 1 n →∞ n với các chỉ số nk ∈ ℤ+ thỏa n1 < n2 < ... < nk < ... 1 Vậy lim sin2 n →∞ n 1 n +1 = 0. { } Khi đó, x n được gọi là dãy con trích ra từ dãy {x n }. k Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s • Định lý. Từ mọi dãy số bị chặn, ta đều có thể trích ra Định lý 6 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) được một dãy con hội tụ. • Định nghĩa. Dãy số {x n } được gọi là dãy Cauchy (hay π VD 6. Cho dãy số bị chặn {x n }, x n = sin n . dãy cơ bản) nếu ∀ε > 0 cho trước, ta tìm được N ∈ ℤ+ 2 sao cho ∀m, n ≥ N thì x m − x n < ε . Từ dãy {x n }, ta có thể trích ra hai dãy con như sau: π • Định lý. Mọi dãy số hội tụ đều là dãy Cauchy và ngược x 2k := sin k π , x 4k +1 := sin(4k + 1) . lại, mọi dãy Cauchy đều hội tụ. 2 Ta có: x 2k → 0 (hội tụ) và x 4k +1 → 1 (hội tụ). VD 7. Xét sự hội tụ của các dãy số {x n } sau: Nhận xét a) x n := (−1)n ; n Do hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau nên dãy sin 1 sin 2 sin n sin k {x n } không có giới hạn duy nhất. Vậy dãy {x n } phân kỳ. b) x n := + + ... + =∑ . 1.2 2.3 n(n + 1) k =1 k (k + 1) Toán cao c p A1 Đ i h c 2
  3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s Một số kết quả giới hạn cần nhớ 1.3. Một số ví dụ về giới hạn dãy số 1) lim k = k , k ∈ ℝ 3n 2 − n − 7 n →∞ 1 VD 8. Tìm lim . 2) lim x n =0 ⇔ lim =∞ ; lim x n =a ⇔ lim x n = a . n →∞ n2 + 5 n →∞ n →∞ x n →∞ n →∞ n 1 1 (n 2 − 1)(4n 4 + 3) 3) lim α = 0, ∀α > 0 ; lim n = 0, ∀α > 1. VD 9. Tìm lim . n →∞ n n →∞ α n →∞ 2n 6 − n 3 + n 4) Nếu a < 1 thì lim a n = 0 ; a > 1 thì lim a n = ∞ . n →∞ n →∞ 3n − n + 1 VD 10. Tìm lim .  1 n n →∞ 4n + n 2 5) lim n a = 1 (a > 0 ); lim n n = 1; lim 1 +  = e .   n →∞ n →∞ n →∞   n   ln n nα 1 + 22 + 32 + ... + n 2 6) Nếu α ≥ 1, β > 1 thì lim α = lim n = 0 . VD 11. Tìm L = lim . n →∞ n n →∞ β n →∞ 5n 3 + n + 1 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s n +1 VD 12. Tìm L = lim   9n 2 + 2n − 5   n →∞   n2 + 1      2n . VD 16. Tìm giới hạn L = lim n →∞ ( 3 ) n3 + 1 − n2 − n ?  1 1 A. L = 0 ; B. L = +∞; C. L = − ; D. L = .  n +4 2 2 VD 13. Tìm L = lim 1 − 2  .  n →∞   n + 1   an VD 17*. Chứng minh rằng: lim = 0, a > 0 . ( ) n →∞ n ! VD 14. Tìm L = lim n + 3 − 2n − 1 . n →∞ VD 18*. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy: ( VD 15. Tìm giới hạn L = lim n 2 − n n 2 + 3 ? n →∞ ) x n := 1 + x n −1 , x 0 = 3 . 3 …………………………………………………… A. L = −∞ ; B. L = +∞ ; C. L = − ; D. L = 0 . 2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s §2. GIỚI HẠN HÀM SỐ Nếu f (x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2 thì f là đơn ánh. 2.1. Bổ túc về hàm số Nếu f (X ) = Y thì f là toàn ánh (hay tràn ánh). 2.1.1. Định nghĩa hàm số Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. Cho hai tập khác rỗng X , Y ⊂ ℝ . VD 1. Các hàm số: Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y là một quy luật • f : ℝ → ℝ với y = f (x ) = 2x là đơn ánh. mà mỗi x ∈ X xác định được duy nhất một y ∈ Y . • f : ℝ → [0; +∞) với f (x ) = x 2 là toàn ánh. Khi đó: • f : (0; +∞) → ℝ với f (x ) = ln x là song ánh. Miền xác định (MXĐ) của f , ký hiệu D f , là tập X . Hàm số y = f (x ) được gọi là hàm chẵn nếu: Miền giá trị (MGT) của f là: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ D f . { G = y = f (x ) x ∈ X . } Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. Toán cao c p A1 Đ i h c 3
  4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s Hàm số y = f (x ) được gọi là hàm lẻ nếu: 2.1.3. Hàm số ngược f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df . Hàm số g được gọi là hàm số ngược của hàm số f nếu: x = g (y ), ∀y ∈ G f . Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. Ký hiệu là: g = f −1 . 2.1.2. Hàm số hợp Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg ⊂ Df . VD 3. Cho f (x ) = 2x thì: Khi đó, hàm số h(x ) = ( f g )(x ) = f [g (x )] được gọi là f −1(x ) = log2 x , x > 0 . hàm số hợp của f và g . Chú ý. (f g )(x ) ≠ (g f )(x ). Nhận xét 2 2 2 VD 2. Hàm số y = 2(x + 1) − x − 1 là hàm hợp của Đồ thị của hàm số y = f −1(x ) đối xứng với đồ thị của 2 2 f (x ) = 2x − x và g(x ) = x + 1 . hàm số y = f (x ) qua đường thẳng y = x . Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 2.1.4. Hàm số lượng giác ngược b) Hàm số y = arccos x a) Hàm số y = arcsin x • Hàm số y = cos x có hàm ngược trên [0; π] là  π π • Hàm số y = sin x có hàm ngược trên − ;  là f −1 : [−1; 1] → [0; π]  2 2  π π   x ֏ y = arccos x . f −1 : [−1; 1] → − ;   2 2 π   x ֏ y = arcsin x . VD 5. arccos 0 = ; 2 arccos(−1) = π ; VD 4. arcsin 0 = 0 ; π 3 π −1 2π arcsin(−1) = − ; arccos = ; arccos = . 2 2 6 2 3 3 π π arcsin = . Chú ý. arcsin x + arccos x = , ∀x ∈ [−1; 1]. 2 3 2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s c) Hàm số y = arctan x d) Hàm số y = arccot x  π π • Hàm số y = tan x có hàm ngược trên − ;  là   • Hàm số y = cot x có hàm ngược trên (0; π) là  π π  2 2    −1 f :ℝ→ − ;   f −1 : ℝ → (0; π)  2 2    x ֏ y = arctan x . x ֏ y = arc cot x . VD 6. arctan 0 = 0 ; π VD 7. arc cot 0 = ; π 2 arctan(−1) = − ; 3π 4 arc cot(−1) = ; π 4 arctan 3 = . π 3 arc cot 3 = . π π 6 Quy ước. arctan (+∞) = , arctan (−∞) = − . Quy ước. arc cot (+∞) = 0, arc cot (−∞) = π. 2 2 Toán cao c p A1 Đ i h c 4
  5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 2.2. Giới hạn hàm số Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) 2.2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1. Cho hàm f (x ) xác định trong (a; b ). • Ta nói f (x ) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ nếu với mọi ε > 0 cho trước ta tìm được số M > 0 sao Ta nói f (x ) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x tiến đến cho khi x > M thì f (x ) − L < ε . x 0 ∈ [a; b ] nếu với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được số Ký hiệu là: lim f (x ) = L . δ > 0 sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) − L < ε . x →+∞ Ký hiệu là: lim f (x ) = L . • Ta nói f (x ) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → −∞ x →x 0 nếu với mọi ε > 0 cho trước ta tìm được số m < 0 sao Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) cho khi x < m thì f (x ) − L < ε . Cho f (x ) xác định trong (a; b ). Ta nói f (x ) có giới hạn Ký hiệu là: lim f (x ) = L . là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ] nếu với bất kỳ dãy x →−∞ {x n } trong (a ; b) \ {x 0 } mà x n → x 0 thì f (x n ) → L . Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Ta nói f (x ) có giới hạn là L = +∞ khi x → x 0 nếu với • Nếu f (x ) có giới hạn là L (L có thể là ∞ ) khi x → x 0 mọi số M > 0 lớn tùy ý, ta tìm được số δ > 0 sao cho (x 0 hữu hạn) và x > x 0 thì ta nói f (x ) có giới hạn phải khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) > M . tại x 0 . Ký hiệu: lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . x →x 0 +0 x →x + Ký hiệu là: lim f (x ) = +∞ . 0 x →x 0 • Nếu f (x ) có giới hạn là L (L có thể là ∞ ) khi x → x 0 • Ta nói f (x ) có giới hạn là L = −∞ khi x → x 0 nếu với (x 0 hữu hạn) và x < x 0 thì ta nói f (x ) có giới hạn trái mọi số m < 0 tùy ý, ta tìm được số δ > 0 sao cho khi tại x 0 . Ký hiệu: lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . x →x 0 −0 x →x − 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) < m . 0 Chú ý Ký hiệu là: lim f (x ) = −∞ . lim f (x ) = L ⇔ lim f (x ) = lim f (x ) = L. x →x 0 x →x 0 x →x − x →x + 0 0 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 2.2.2. Tính chất Một số kết quả giới hạn cần nhớ Cho lim f (x ) = a và lim g(x ) = b . Khi đó: sin α(x ) tan α(x ) x →x 0 x →x 0 1) lim = lim = 1. α (x )→ 0 α(x ) α (x )→ 0 α(x ) 1) lim [k .f (x )] = k .a (k ∈ ℝ) x →x 0 ln x xα 2) Nếu α ≥ 1, β > 1 thì lim = lim x = 0 2) lim [ f (x ) ± g(x )] = a ± b x →+∞ x α x →+∞ β x →x 0 f (x ) a 3) Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì: 3) lim [ f (x )g(x )] = ab ; 4) lim = (b ≠ 0) x →x 0 x →x 0 x →x 0 x →x 0 g (x ) b v (x ) lim [u(x )] = ab . 5) Nếu f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) thì a ≤ b . x →x 0 6) Nếu f (x ) ≤ h(x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) và  x 1 lim f (x ) = lim g(x ) = L thì lim h(x ) = L . 4) lim  1 + 1  = lim (1 + x )x = e .  x →x 0 x →x 0 x →x 0 x →±∞   x  x →0 Toán cao c p A1 Đ i h c 5
  6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 2.2.3. Một số ví dụ tan 1 − x , x ≤ 1  1 − 3x + 1   VD 1. Tìm giới hạn L = lim x →0 . VD 5. Cho hàm số f (x ) =  sin2 x 2 − 1  x   , x > 1.  3x 2 − 3   3 x + 8 − 4 − 2x Tính f (1), lim f (x ) và lim f (x ). VD 2. Tìm giới hạn L = lim . − x →1 + x →1 x →0 x 2x    x −1 VD 3. Tìm giới hạn L = lim  x 2 + 2x − x .   x − x 2 − 1   . x →+∞   VD 6. Tìm giới hạn L = lim    x →−∞   x +3       VD 4. Tìm giới hạn L = lim x + 2 + x 2 + 1.   A. L = 9 ; B. L = 4 ; C. L = 1; D. L = 0 . x →−∞   Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 2x −3 x 2 + x + 3  §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN VD 7. Tìm giới hạn L = lim    . x →∞  x 2 + 1   3.1. Đại lượng vô cùng bé   a) Định nghĩa A. L = ∞ ; B. L = e 3 ; C. L = e 2 ; D. L = 1. • Hàm số α(x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) 1 khi x → x 0 nếu lim α(x ) = 0 (x0 có thể là vô cùng). x →x 0  cos x x 2  VD 8*. Tìm giới hạn L = lim   .   x →0  cos 2x   3 1 ( ) VD 1. α(x ) = tan3 sin 1 − x là VCB khi x → 1− ; A. L = ∞ ; B. L = e2; C. L = e2; D. L = 1. 1 β(x ) = là VCB khi x → +∞ . ……………………………………… ln2 x Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s c) So sánh các VCB b) Tính chất của VCB • Định nghĩa 1) Nếu α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 thì α(x ) Cho α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 , lim = k. x →x 0 β(x ) α(x ) ± β(x ) và α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . Khi đó: 2) Nếu α(x ) là VCB và β(x ) bị chận trong lân cận x 0 – Nếu k = 0 , ta nói α(x ) là VCB cấp cao hơn β(x ), thì α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) . – Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) là VCB cấp thấp hơn β(x ). 3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), trong đó α(x ) là x →x 0 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB VCB khi x → x 0 . cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) . Toán cao c p A1 Đ i h c 6
  7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s VD 2 • 1 − cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x → 0 vì: • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao x Cho α(x ), β(x ) là tổng các VCB khác cấp khi x → x 0 2 sin2 1 − cos x 2 = 1. lim = lim α(x ) 2 2 2 thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x →0 x x →0 x  x →x 0 β(x ) 4    2   nhất của tử và mẫu. • sin 2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 khi x → 1 . x 3 − cos x + 1 VD 3. Tìm giới hạn L = lim . x →0 x4 + x2 • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )). • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) thì α(x ) ∼ γ(x ). 1) sin x ∼ x ; 2) tan x ∼ x ; 3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2 (x ) ∼ β2 (x ) thì 3) arcsin x ∼ x ; 4) arctan x ∼ x α1(x )α 2 (x ) ∼ β1(x )β2 (x ). x2 5) 1 − cos x ∼ ; 6) e x − 1 ∼ x ; 4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) thì α(x ) + β(x ) ∼ β(x ). 2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s x x2 x2 7) ln(1 + x ) ∼ x ; 8) 1 + x − 1 ∼ . n A. f (x ) ∼ ; B. f (x ) ∼ ; n 4 2 Chú ý. Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta có thể thay x x bởi u(x ) trong 8 công thức trên. C. f (x ) ∼ ; D. f (x ) ∼ −3x 2 . ln(1 − 2x sin2 x ) 2 VD 4. Tính giới hạn L = lim . Chú ý x →0 sin x 2 . tan x Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho VD 5. Tính L = lim sin ( ) x + 1 − 1 + x 2 − 3 tan2 x . hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. x →0 sin x 3 + 2x e x + e −x − 2 (e x − 1) + (e −x − 1) x = 2t − t 2  VD. lim = lim  x →0 x2 x →0 x2 VD 6. Cho hàm số y = f (x ) thỏa:  .  2 4 x + (−x ) y = t + 3t   = lim = 0 (Sai!). Khi x → 0 , chọn đáp án đúng? x →0 x2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 3.2. Đại lượng vô cùng lớn b) So sánh các VCL a) Định nghĩa • Định nghĩa • Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) f (x ) khi x → x 0 nếu lim f (x ) = ∞ (x0 có thể là vô cùng). Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x → x 0 , lim =k. x →x 0 x →x 0 g(x ) Khi đó: cos x + 1 – Nếu k = 0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ). VD 7. là VCL khi x → 0 ; 2x 3 − sin x x3 + x −1 – Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ). là VCL khi x → +∞ . x 2 − cos 4x + 3 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL cùng cấp. Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x → x 0 thì – Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL 1 là VCB khi x → x 0 . tương đương. Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) . f (x ) Toán cao c p A1 Đ i h c 7
  8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s VD 8. • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi x → x 0 3 1 • là VCL khác cấp với khi x → 0 vì: f (x ) x3 2x 3 + x thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất x →x 0 g(x ) 3 1  2x 3 + x x  lim  :   = 3 lim = 3 lim = ∞. của tử và mẫu.  x → 0  x 3 2x 3 + x    x →0 x 3 x →0 x 3 VD 9. Tính các giới hạn: • 2 x 3 + x − 1 ∼ 2 x 3 khi x → +∞ . x 3 − cos x + 1 x 3 − 2x 2 + 1 A = lim ; B = lim . x →∞ 3x 3 + 2x x →+∞ 2 x 7 − sin2 x Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại 4.1. Định nghĩa x0 là hàm số liên tục tại x0. • Số x 0 ∈ Df được gọi là điểm cô lập của f (x ) nếu • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và ∃ε > 0 : ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) \ {x 0 } thì x ∉ D f . nhỏ nhất trên đoạn đó. 4.3. Hàm số liên tục một phía • Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu lim f (x ) = f (x 0 ). x →x 0 • Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu • Hàm số f (x ) liên tục trên tập X nếu f (x ) liên tục tại lim f (x ) = f (x 0 ) ( lim f (x ) = f (x 0 )). mọi điểm x 0 ∈ X . − x →x 0 + x →x 0 Chú ý. Hàm f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì có đồ thị là • Định lý Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó. lim f (x ) = lim f (x ) = f (x 0 ). Quy ước. Hàm f (x ) liên tục tại mọi điểm cô lập của nó. − x →x 0 + x →x 0 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s  3 tan2 x + sin2 x  4.4. Phân loại điểm gián đoạn  , x >0 VD 1. Cho hàm số f (x ) =   2x . • Nếu hàm f (x ) không liên tục y   (C )  α, x ≤ 0 tại x 0 thì x 0 được gọi là   Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là: điểm gián đoạn của f (x ). O x0 x 1 3 A. α = 0 ; B. α = ; C. α = 1 ; D. α = . • Nếu tồn tại các giới hạn: 2 2 − +  lim f (x ) = f (x 0 ), lim f (x ) = f (x 0 )   ln(cos x ) − x →x 0 + x →x 0  ,x ≠0 VD 2. Cho hàm số f (x ) =  arctan2 x + 2x 2 . − + nhưng f (x 0 ), f (x 0 ) và f (x 0 ) không đồng thời bằng    2α − 3, x = 0   nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một. Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là: Ngược lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai. 17 17 3 3 A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = . …………………………………………………………………………… 12 12 2 2 Toán cao c p A1 Đ i h c 8
  9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé §1. §2. Đạo hàm Vi phân Nhận xét. Do ∆x = x − x 0 nên: §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f (x ) − f (x 0 ) f ′(x 0 ) = lim §4. Công thức Taylor §5. Quy tắc L’Hospital . §6. Khảo sát hàm số x →x 0 x − x0 ……………………………………………………… §1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía 1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận phải a) Định nghĩa đạo hàm f (x ) − f (x 0 ) Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận (a ; b) của (x 0 ; b ) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có) + x →x 0 x − x0 x 0 ∈ (a ; b ). Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của y = f (x ) tại x 0 . ∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) + − lim = lim Ký hiệu là f ′(x 0 ). Tương tự, f ′(x 0 ). ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x (nếu có) được gọi là đạo hàm của y = f (x ) tại x 0 . Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi − + Ký hiệu là f ′(x 0 ) hay y ′(x 0 ). f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ). Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm ∆y • Nếu tỉ số → ∞ khi ∆x → 0 thì ta nói y = f (x ) có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ∆x (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ; (uv )′ = u ′v + uv ′ ; đạo hàm vô cùng tại x 0 .  k ′ −kv ′  u ′ u ′v − uv ′    = , k ∈ ℝ;   = • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng   v    . một phía.   v2   v  v2 VD 1. Cho f (x ) = 3 x ⇒ f ′(0) = ∞, 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]: f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ . f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ). Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y = y(x ): Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp 1 x ′(y ) = . tuyến tại x 0 của đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy . y ′(x ) Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé ′ Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp ( ) 7) e x = ex ; ( )′ = a .ln a ; 8) a x x ( )′ = α.x 1) x α α−1 ; 2) ( x )′ = 2 1x ; ( 9) ln x )′ = x ; 1 ( 10) loga x )′ = x .ln a ; 1 3) (sin x )′ = cos x ; 4) (cos x )′ = − sin x ; −1 11) (arcsin x )′ = 12)(arccos x )′ = 1 ; ; 2 1−x 1 − x2 5) (tan x )′ = 6) (cot x )′ = − 1 1 ; 2 cos x sin2 x −1 13) (arctan x )′ = 14) (arc cot x )′ = 1 = 1 + tan2 x ; ; . 2 1+x 1 + x2 Toán cao c p A1 Đ i h c 9
  10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số • Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) và f ′(x ) có đạo hàm thì x = x (t ), y = y(t ). Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược ( f ′(x ))′ = f ′′(x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ). và hàm số ngược này có đạo hàm thì: • Tương tự ta có: y ′(t ) y′ ′ y ′(x ) = x ′(t ) ′ hay yx = t . x t′ ( ) f (n )(x ) = f (n −1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ). x = 2t 2 − 1   VD 2. Tính y ′(x ) của hàm số cho bởi  , t ≠ 0. VD 4. Cho hàm số f (x ) = sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0). y = 4t 3    A. f (6)(0) = 32 ; B. f (6)(0) = −32 ; x = et   C. f (6)(0) = −16 ; D. f (6)(0) = 0 . ′ VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi  .  2 y = t − 2t   Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 5. Tính f (n )(x ) của hàm số f (x ) = (1 − x )n +1. 1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn • Cho phương trình F (x , y ) = 0 (*). Nếu y = y(x ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y(x ) vào (*) ta được đồng nhất thức thì 1 y(x ) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*). VD 6. Tính y(n ) của hàm số y = . 2 x − 3x − 4 • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được Fx′ + Fy′.yx = 0 . ′ Fx′ ′ Vậy yx = − , F ′ ≠ 0. Fy′ y VD 7. Tính đạo hàm f (n )(x ) của hàm số f (x ) = sin x . y ′(x ) = yx được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn y(x ). ′ Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 8. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi xy − e x + e y = 0 . VD 12. Viết phương trình tiếp tuyến của Tính y ′(x ). x 2 y2 (E ) : + = 1 tại điểm M (x 0 ; y 0 ) ∈ (E ). VD 9. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: a 2 b2 xy − e x + ln y = 0 (*). Tính y ′(0). Giải VD 10. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: x 2 y2 • Với y0 ≠ 0 , ta có: F = + −1 y a 2 b2 ln x 2 + y 2 = arctan . Tính y ′(x ). x   Chú ý F ′ = 2x 0  x 2 Ta có thể xem hàm ẩn y(x ) như hàm hợp u(x ) và thực  a 2 ⇒ y ′(x ) = − b x 0 . ⇒  hiện đạo hàm như hàm số hợp.   2y0 0 a 2y0 VD 11. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: Fy′ = 2    b y 3 − (x 2 − 2)y − 2x 4 = 0 (*). Tính y ′′(1). Toán cao c p A1 Đ i h c 10
  11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (x 0 ; y0 ) ∈ (E ) là: §2. VI PHÂN 2 2.1. Vi phân cấp một b x0 y = y ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 ⇒ y = − (x − x 0 ) + y0 • Hàm số y = f (x ) được gọi là khả vi tại x 0 ∈ D f nếu a 2y0 ∆f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới x 0x y 0y dạng: ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x ) ⇒ b 2x 0x + a 2y 0y = b 2x 0 + a 2y0 ⇒ 2 2 + = 1 (*). a2 b2 với A là hằng số và 0(∆x ) là VCB khi ∆x → 0 . • Với y0 = 0 , ta có x 0 = ±a . Khi đó, đại lượng A.∆x được gọi là vi phân của hàm số Khi đó, phương trình tiếp tuyến là x = ±a thỏa (*). y = f (x ) tại x0. Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ). x 0x y0y Nhận xét Vậy phương trình tiếp tuyến là + = 1. ∆f (x 0 ) 0(∆x ) 2 2 a b • ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )⇒ =A+ ……………………………………………… ∆x ∆x Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé ∆f (x 0 ) 2.2. Vi phân cấp cao ⇒   →0  A ⇒ f ′(x 0 ) = A . ∆x  → ∆x • Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì ⇒ df (x 0 ) = f ′(x 0 ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x . d n y = d (d n −1y ) = y (n )dx n • Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . được gọi là vi phân cấp n của hàm y = f (x ). Vậy df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx . VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y = ln(sin x ). VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x ) = x 2e 3x tại x 0 = −1. VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y = e 2x . VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y = arctan(x 2 + 1) . π VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = 2ln(arcsin x ) . VD 6. Tính vi phân cấp 3 của f (x ) = tan x tại x 0 = . 4 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chú ý §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ d n y = y (n )dx n không còn đúng nữa. 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Quy tắc tính vi phân cấp n Cho hàm số f (x ) xác định trong (a;b ) và có đạo hàm tại x 0 ∈ (a ;b ). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) 1) d n (k .u ) = k .d nu ; d n (u + v ) = d nu + d nv ; tại x 0 trong (a ;b) thì f ′(x 0 ) = 0 . n 2) d n (uv ) = ∑C nd n−k u.d kv với d 0u = u, d 0v = v . k 3.1.2. Định lý Rolle k =0 Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ] và khả vi trong VD 7. Tính vi phân cấp 10 của hàm số y = (x − x )e . 3 x (a;b ). Nếu f (a ) = f (b ) thì ∃c ∈ (a;b ) sao cho f ′(c ) = 0 . Toán cao c p A1 Đ i h c 11
  12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 3.1.3. Định lý Cauchy 3.2. Cực trị của hàm số • Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong (a ;b) và g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b ). 3.2.1. Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Khi đó, ∃c ∈ (a;b ) sao cho: Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b ). f (b ) − f (a ) f ′(c ) Khi đó: = . g (b ) − g (a ) g ′(c ) • f (x ) được gọi là tăng ngặt trong (a;b) nếu f (x1 ) − f (x 2 ) 3.1.4. Định lý Lagrange > 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a ;b) và x1 ≠ x 2 . x1 − x 2 • Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ], khả vi trong • f (x ) được gọi là giảm ngặt trong (a;b ) nếu (a;b ). Khi đó, ∃c ∈ (a;b ) sao cho: f (x1 ) − f (x 2 ) f (b ) − f (a ) < 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a;b) và x1 ≠ x 2 . = f ′(c ). x1 − x 2 b −a Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé • f (x ) được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong (a;b) b) Định lý 1 Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a ;b ). Khi đó: f (x1 ) − f (x 2 ) f (x1 ) − f (x 2 ) nếu ≥ 0 hay ≤ 0, • Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a ;b ) thì f (x ) tăng ngặt trong (a ;b ). x1 − x 2 x1 − x 2 • Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b ) thì f (x ) giảm ngặt trong (a ;b). ∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 . • Nếu f ′(x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a ;b ) hay f ′(x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a;b ) thì f (x ) tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong (a ;b ). • f (x ) được gọi là đơn điệu trong (a;b ) nếu f (x ) tăng ngặt hay giảm ngặt trong (a;b ). c) Định lý 2 • Nếu f (x ) tăng ngặt trong (a ;b ) thì f ′(x ) ≥ 0 trong (a ;b) • f (x ) đơn điệu trong (a;b ) và liên tục trong (a;b ] thì và không tồn tại (α; β) ⊂ (a;b ) sao cho f (x ) ≡ 0 . f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trường hợp khác tương tự). • Nếu f (x ) giảm ngặt trong (a;b ) thì f ′(x ) ≤ 0 trong (a ;b ) và không tồn tại (α; β) ⊂ (a ;b ) sao cho f (x ) ≡ 0 . Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 2 3.2.2. Cực trị VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của y = ln(x + 1). a) Định nghĩa • Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 ) < f (x ), x2 + 1 ∀x ∈ (a ;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 . VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của f (x ) = . • Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 ) > f (x ), (x − 1)2 ∀x ∈ (a ;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 . 1 b) Định lý VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của y = . 2 x − 2x Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a ;b) chứa x 0 thỏa f ′(x 0 ) = ... = f (2n −1)(x 0 ) = 0 và f (2n )(x 0 ) ≠ 0 . • Nếu f (2n )(x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 . x 3 −4 VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của y = e . • Nếu f (2n )(x 0 ) < 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 . Toán cao c p A1 Đ i h c 12
  13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 5. Tìm cực trị của hàm số f (x ) = −x 6 − 2x 3 + 3 . • Nếu M = max f (x ) và m = min f (x ) thì: x ∈X x ∈X 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X . a) Định nghĩa b) Phương pháp tìm max – min Cho hàm số y = f (x ) có MXĐ D và X ⊂ D . Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f (x ) trên X nếu: Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ]. ∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = M và f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X . Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước sau: x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] Ký hiệu là: M = max f (x ). x ∈X • Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x ) trên X nếu: nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). ∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = m và f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X . • Bước 2. Tính f (a ), f (x 1 ),..., f (x n ), f (b). Ký hiệu là: m = min f (x ). x ∈X • Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã Chú ý tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm. • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X ⊂ D . Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) 3 Cho hàm y = f (x ) liên tục trên (a; b) (a, b có thể là ∞ ). f (x ) = x 4 − x 2 − x + 3 trên đoạn [0; 2]. 2 Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước: Chú ý x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b ) • Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b ] thì ta phải tìm MXĐ • Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n của hàm số trước khi làm bước 1. nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). • Có thể đổi biến số t = t (x ) và viết y = f (x ) = g(t (x )). Gọi T là miền giá trị của hàm t (x ) thì: • Bước 2. Tính f (x 1 ),..., f (x n ) và hai giới hạn max f (x ) = max g(t ), min f (x ) = min g(t ). L1 = lim f (x ), L2 = lim f (x ). + − x ∈X t ∈T x ∈X t ∈T x →a x →b • Bước 3. Kết luận: VD 7. Tìm max, min của f (x ) = −x 2 + 5x + 6 . 1) Nếu max{f (x 1 ),..., f (x n )} > max{L1, L2 } thì sin x + 1 VD 8. Tìm max, min của y = . max f = max{f (x 1 ),..., f (x n )}. sin2 x + sin x + 1 x ∈(a ;b ) Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 2) Nếu min{f (x 1 ),..., f (x n )} < min{L1, L2 } thì 3.3. Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn min f = min{f (x 1 ),..., f (x n )} . a) Định nghĩa x ∈(a ;b ) 3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt • Hàm số f (x ) được gọi là hàm lồi trong (a; b ) nếu f ′(x ) max (hoặc min). tăng trong (a; b). Khi đó, đồ thị y = f (x ) được gọi là VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đồ thị lõm trong (a; b ). x3 f (x ) = 2 trên khoảng (1; +∞). • Hàm số f (x ) được gọi là hàm lõm trong (a; b) nếu x −1 f ′(x ) giảm trong (a; b). Khi đó, đồ thị y = f (x ) được Chú ý Ta có thể lập bảng biến thiên của f (x ) thay cho bước 3. gọi là đồ thị lồi trong (a; b). VD 10. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình • Điểm M 0 (x 0 ; y0 ) trên đồ thị nằm giữa phần lõm và lồi sau có nghiệm: m ( ) x 2 + 2 − 1 − x = 0. được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x ). Toán cao c p A1 Đ i h c 13
  14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 11. Hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 VD 12. Xác định tính lồi, lõm của hàm số: lõm và có đồ thị lồi trong (−∞; 1); y = x 2 − 8 ln x . 3 2 hàm y = x − 3x + 1 lồi và có đồ thị lõm trong (1; +∞). M (1; 1) là điểm uốn của đồ thị. VD 13. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số: b) Định lý y = arccos x . • Nếu f ′′(x ) > 0 (hay f ′′(x ) < 0 ) với mọi x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số y = f (x ) lõm (hay lồi) trong (a; b). • Nếu f ′′(x 0 ) = 0 và f ′′(x ) đổi dấu khi x chuyển từ trái VD 14. Xác định tính lồi, lõm của hàm số y = arctan 2x sang phải qua điểm x 0 thì M 0 (x 0 ; y0 ) là điểm uốn của và đồ thị của hàm số y = arctan 2x . đồ thị hàm số y = f (x ). Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 3.4. Tiệm cận của đồ thị VD 15. Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số: • Tiệm cận đứng ln(1 − x 2 ) Đường cong y = f (x ) có tiệm cận đứng x = x 0 nếu y= . x3 lim f (x ) = ∞. x →x 0 VD 16. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: • Tiệm cận xiên y = 3 x 2(x − 1) . Đường cong y = f (x ) có tiệm cận xiên y = ax + b nếu f (x ) lim = a, lim  f (x ) − ax  = b. VD 17. Tìm tiệm cận xiên (ngang) của đồ thị hàm số: x →∞ x x →∞ y = x + x 2 − 4x + 5 . Chú ý Khi a = 0 thì đồ thị có tiệm cận ngang y = b . ……………………………………………………………. Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé §4. CÔNG THỨC TAYLOR • Khai triển Maclaurin 4.1. Công thức khai triển Taylor Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x 0 = 0 được Cho hàm số f (x ) liên tục trên [a; b ] có đạo hàm đến cấp gọi là khai triển Maclaurin. n + 1 trên (a; b) với x , x 0 ∈ (a ; b ) ta có các khai triển: n f (k )(0) k Vậy: f (x ) = ∑ x + O(x n ). • Khai triển Taylor với phần dư Lagrange k =0 k! n f (k )(x ) f (n +1)(c) f (x ) = ∑ 0 (x − x 0 )k + (x − x 0 )n +1 • Khai triển Maclaurin được viết lại: k =0 k! (n + 1)! f / (0) f // (0) 2 với c ∈ (a; b ). f (x ) = f (0) + x+ x + ... 1! 2! • Khai triển Taylor với phần dư Peano f (n )(0) n ... + x + O(x n ). n f (k )(x ) n! f (x ) = ∑ 0 (x − x 0 )k + O((x − x 0 )n ). k =0 k! VD 1. Khai triển Maclaurin của f (x ) = tan x đến x 3 . Toán cao c p A1 Đ i h c 14
  15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ m(m − 1) 2 6) (1 + x )m = 1 + mx + x + ... 1 2! 1) = 1 + x + x 2 + ... + x n + 0(x n ). m(m − 1)...(m − n + 1) n 1−x ... + x + 0(x n ). x x2 xn n! 2) e x = 1 + + + ... + + 0(x n ). 1 1! 2! n! VD 2. Khai triển Maclaurin của f (x ) = đến x 3 . x x2 x3 x4 x +1 3) ln(1 + x ) = − + − + ... + 0(x n ). Chú ý 1 2 3 4 Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta thay x trong các x2 x4 x6 4) cos x = 1 − + − + ... + 0(x n ). công thức trên bởi u(x ). 2! 4! 6! 1 x x3 x5 x7 VD 3. Khai triển Maclaurin hàm y = đến x 6 . 5) sin x = − + − + ... + 0(x n ). 1 + 3x 2 1! 3! 5! 7! VD 4. Khai triển Maclaurin của y = ln(1 − 2x 2 ) đến x 6 . Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 4 VD 5. Khai triển Maclaurin của hàm số y = 2 đến x . x 4.3. Ứng dụng của công thức Taylor 4.3.1. Tính giá trị gần đúng của hàm số (tham khảo) VD 6. Khai triển Maclaurin của y = e sin x đến x 3 . • Từ công thức khai triển Taylor, ta có: VD 7. Khai triển Maclaurin của hàm số: n f (k )(x 0 ) f (x ) ≈ ∑ (x − x 0 )k 1+x +x 2 k =0 k! f (x ) = 2 đến x 4 và tính f (4)(0). (n +1) 1−x + x với sai số Rn (x ) = f (c ) (x − x 0 )n +1 , c ∈ (a; b). (n + 1)! VD 8. Cho hàm f (x ) = x 3 cos 2x . Giá trị của f (7)(0) là: • Nếu f (n +1)(x ) ≤ M , ∀x ∈ [a; b ] thì ta có đánh giá A. f (7)(0) = 480 ; B. f (7)(0) = 560 ; M n +1 C. f (7)(0) = 3360 ; D. f (7)(0) = 6720 . sai số: Rn (x ) ≤ x − x0 . (n + 1)! Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 9. Tính số e chính xác đến ε = 10−3 . 4.3.2. Tìm giới hạn tỉ số của hai VCB x x2 xn a) Phần chính của VCB α(x) khi x → 0 (tham khảo) Giải. Ta có: e x = 1 + + + ... + + 0(x n ) 1! 2! n! Nếu α(x ) là VCB khi x → 0 thỏa α(k−1)(0) = 0 và 1 1 ⇒ e ≈ 1 + 1 + + ... + . α(k )(0) k 2! n! α(k )(0) ≠ 0 (k = 1, 2,...) thì đại lượng x được k! ec α(k )(0) k với sai số ε = Rn (x ) = , c ∈ (0; 1) gọi là phần chính của α(x ). Khi đó, α(x ) ∼ x . (n + 1)! k! ⇒ε< 3 ⇒ n = 6. VD 10. Xét α(x ) = e tan x − 1. Khi x → 0 , ta có: (n + 1)! α(0) = 0 , α ′(0) = 1 ≠ 0 ⇒ phần chính của α(x ) là x . 1 1 1 1 1 Vậy e ≈ 2 + + + + + . Nhận xét. Khi x → 0 thì e tan x − 1 ∼ x . 2! 3! 4 ! 5! 6! Toán cao c p A1 Đ i h c 15
  16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé b) Các ví dụ tìm giới hạn ln(1 + x ) + e x − sin 2x − 1 e x − e−x − 2x VD 12. Tính L = lim . VD 11. Tìm giới hạn L = lim . x →0 6 x3 + 1 −1 x →0 x − sin x 1 3 x x2 x3 Giải. Ta có: 6 x 3 + 1 − 1 ∼ x , Giải. Ta có: e x = 1 + + + + 0(x 3 ), 6 1! 2! 3! x2 x3 x x2 x3 ln(1 + x ) = x − + + 0(x 3 ), e−x = 1 − + − + 0(x 3 ), 2 3 1! 2! 3! x2 x3 x3 ex = 1 + x + + + 0(x 3 ), sin x = x − + 0(x 3 ). 2 6 3! 1 3 4 x + 0(x 3 ) − sin 2x = −2x + x 3 + 0(x 3 ) e x − e−x − 2x 3 Vậy L = lim = lim = 2. 3 x →0 x − sin x x →0 1 3 11 x + 0(x 3 ) ⇒ ln(1 + x ) + e − sin 2x − 1 ∼ x 3 ⇒ L = 11 . x 6 6 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 4.3.3. Tìm tiệm cận cong (hay xiên) của đồ thị hàm số x3 Nếu f (x ) = g(x ) + α(x ) với g(x ) là đa thức và α(x ) là VD 14. Tìm tiệm cận xiên của (C ) : y = . 1 x −1 VCB khi x → ∞ thì đồ thị (C ) : y = f (x ) có đường  1 2 Giải. Ta có: y = x 1 +  . Khi x → ∞ thì:  tiệm cận cong y = g(x ).      x − 1 VD 13. Tìm tiệm cận xiên của (C ): y = 3 x 2 (x − 1) .  1  x x Giải. Khi x → ∞ , ta có: y= x + − + O  .  1 2(x − 1) 8(x − 1)2  (x − 1)2   1 3   1  + 0   1 1 y = x 1 −  = x 1 −    −   • Khi x → +∞ thì: y ∼ x + x ∼x + . 1   x     3x 9x 2     x 2  2(x − 1) 2 1 1 1 x 1 =x− − + 0  .   • Khi x → −∞ thì: y ∼ −x − ∼ −x − . 3 9x x    2(x − 1) 2 1 1 1 Vậy y = x − là tiệm cận xiên của đồ thị (C ). Vậy y = x + , y = −x − là 2 tiệm cận xiên của (C ). 3 2 2 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé x 4 − 2x + 3 = x 2 (1 + t 2 − 2t 3 + O(t 3 )) VD 15. Tìm tiệm cận cong của (C ) : y = . 2 x −1   1  + O   1 2 2 3 = x 2 1 +  −   1− +    x2 x3     x 3  Giải. Ta có: y = x 2 . x3 x4 . 1 2 1 1− = x2 + 1− + O   ∼ x 2 + 1.   x    2 x x  1 x →∞ Đặt t =    0 , ta suy ra: → Vậy đồ thị có tiệm cận cong là y = x 2 + 1. x 1 Cách khác y = x 2 (1 − 2t 3 + 3t 4 ). 1 − t2 4 − 2x y = x2 +1 + ∼ x 2 + 1 khi x → ∞ . = x 2 (1 − 2t 3 + 3t 4 )(1 + t 2 + 0(t 2 )) x2 −1 ……………………………………………………… Toán cao c p A1 Đ i h c 16
  17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé §5. QUY TẮC L’HOSPITAL x 2 − sin2 x VD 2. Tìm giới hạn L = lim . Định lý (quy tắc L’Hospital) x →0 x 2 .arctan2 x Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm 1 1 A. L = 0 ; B. L = ∞ ; C. L = ; D. L = . x 0 và g ′(x ) ≠ 0 trong lân cận của x 0 (có thể g ′(x 0 ) = 0 ). 2 3 Nếu lim f (x ) = lim g(x ) = 0 (hoặc ∞ ) và x →x 0 x →x 0 ( ) VD 3. Tìm giới hạn L = lim x 3 ln x (dạng 0 ×∞ ). x → 0+ f ′(x ) f (x )  1 lim = k ∈ ℝ thì lim = k. VD 4. Tính L = lim cot x −  (dạng ∞ − ∞ ).  x →x 0 g ′(x ) x →x 0 g (x )    x →0   x Chú ý 1 Chiều ngược lại trong định lý là không đúng. VD 5. Tìm giới hạn L = lim x x −1 (dạng 1∞ ). Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. x →1 1 e x + e −x − 2 VD 6. Tìm giới hạn L = lim (x + x x 3 ) (dạng ∞0 ). VD 1. Tìm giới hạn L = lim . x →+∞ x →0 x2 ………………………………………………… Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé §6. KHẢO SÁT HÀM SỐ • x (t *) = −x (t ), y(t *) = y(t ). Khi đó, (C ) nhận Oy làm (Tham khảo) trục đối xứng. 6.1. Khảo sát hàm số theo tham số • x (t *) = −x (t ), y(t *) = −y(t ). Khi đó, (C ) nhận gốc tọa Cho đường cong (C ) xác định bởi phương trình tham số: x = x(t ) độ O(0; 0) làm tâm đối xứng.    , t ∈ D (D là MXĐ). c) Tổng quát, giả sử với mọi t ∈ D , tồn tại t * sao cho: y = y(t )   • x (t *) = x (t ), y(t *) + y(t ) = 2b . Khi đó, (C ) nhận 6.1.1. Khoảng biến thiên của biến t đường thẳng y = b làm trục đối xứng. a) Nếu x (t + T ) = x (t ), y(t + T ) = y(t ), ∀t ∈ D thì ta • x (t *) + x (t ) = 2a, y(t *) = y(t ). Khi đó, (C ) nhận chỉ cần khảo sát x (t ), y(t ) trong [α; α + T ]. đường thẳng x = a làm trục đối xứng. b) Giả sử với mọi t ∈ D , tồn tại t * sao cho: • x (t *) = x (t ), y(t *) = −y(t ). Khi đó, (C ) nhận Ox làm • x (t *) + x (t ) = 2a, y(t *) + y(t ) = 2b . Khi đó, (C ) nhận trục đối xứng. điểm I (a ; b ) làm tâm đối xứng. Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 6.1.2. Sự biến thiên của x(t), y(t) • Nếu lim x (t ) = ∞ và lim y(t ) = y 0 thì y = y 0 là tiệm Lập bảng biến thiên của x (t ), y(t ) như hàm một biến t →α t →α cận ngang của (C ). quen thuộc. • Nếu lim x (t ) = ∞ , lim y(t ) = ∞ và: Chú ý t →α t →α y ′(t ) y(t ) = a, lim[y(t ) − αx (t )] = b ′ • Dùng yx = để tính hệ số góc của tiếp tuyến. lim x ′(t ) t →α x (t ) t →α x ′(t )y ′′(t ) − x ′′(t )y ′(t ) thì y = ax + b là tiệm cận xiên của (C ). • Dùng y ′′ = để tìm khoảng lồi, x2 [x ′(t )]3 Chú ý lõm của đồ thị. • Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M (x , y ) ứng 6.1.3. Tiệm cận với t trong hệ tọa độ Oxy (Descartes) có dạng: • Nếu lim x (t ) = x 0 và lim y(t ) = ∞ thì x = x 0 là tiệm y ′(t ) x ′(t )y(t ) − x (t )y ′(t ) t →α t →α Y = X+ (*). x ′(t ) x ′(t ) cận đứng của (C ). Toán cao c p A1 Đ i h c 17
  18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé • Giả sử khi t → t 0 thì điểm M (x , y ) tiến ra vô cùng trên Bảng biến thiên: một nhánh vô tận của (C ). Khi đó, giới hạn (nếu có) của (*) là phương trình tiệm cận ứng với t = t0 . VD 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong: t +2 t x= ,y= . 2 t(t − 1) 1 − t2 Giải. MXĐ D = ℝ \ {−1; 0; 1}. Đồ thị không có tính đối xứng, tuần hoàn. Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M (x , y ) ứng với t trong hệ tọa độ Oxy có dạng: t 3 + 3t 2 − 1 t2 + 1 Ta có: x ′(t ) = −2 , y ′(t ) = > 0. t 2 (t 2 + 1) t(t + 4) t 2 (t 2 − 1)2 (1 − t 2 )2 Y =− X− . 3 2 x ′(t ) = 0 ⇔ t = t1 < −1, t = t2 ∈ (−1; 0), t = t3 > 0 . 2(t + 3t − 1) 2(t + 3t 2 − 1) 3 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Cho t → −1, t → 0, t → 1 lần lượt ta được 3 tiệm cận VD 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong: 3 1 5 x = R(t − sin t ), y = R(1 − cos t ). là: Y = −X + , Y = 0 và Y = − X − . 2 3 6 Giải. MXĐ D = ℝ . Vì: Đồ thị x (2k π − t ) + x (t ) = 2k πR, y(2k π − t ) = y(t ) nên đồ thị đối xứng qua các đường x = k πR . Ta chỉ cần khảo sát đường cong trong khoảng: x ∈ [0; πR ] ⇒ t ∈ [0; π]. Ta có: x ′(t ) = R(1 − cos t ), y ′(t ) = R sin t 1 y ′′2 = − < 0. x R(1 − cos t )2 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Bảng biến thiên Đồ thị Khi đó, cặp (r , ϕ) được gọi là tọa độ cực của điểm M . Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes là: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. 6.2. Khảo sát hàm số theo tọa độ cực 6.2.1. Hệ tọa độ cực 6.2.2. Phương trình đường cong Trong mặt phẳng chọn điểm O cố định gọi là cực và tia trong tọa độ cực Ox gọi là tia cực. Vị trí điểm M tùy ý trong mặt phẳng • Phương trình đường cong trong tọa độ cực có dạng: ( hoàn toàn xác định bởi r = OM , ϕ = Ox , OM . ) r = f (ϕ). Toán cao c p A1 Đ i h c 18
  19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé • Cho đường cong (C ) trong tọa độ Descartes có phương 6.2.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số r = r(φ) trình F (x , y ) = 0 . Thay x = r cos ϕ, y = r sin ϕ vào ta • Ta xem x = r (ϕ) cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ và khảo sát như được F (r cos ϕ, r sin ϕ) = 0 , nếu giải được r theo ϕ trường hợp theo tham số ϕ . • Trong nhiều trường hợp khi biến ϕ tăng dần, ta theo dõi thì ta thu được phương trình của (C ) trong tọa độ cực. chiều biến thiên của r để vẽ đồ thị. VD 3. Trong mpOxy , xét phương trình đường tròn đi qua • Góc α tạo bởi bán kính cực gốc tọa độ O(0; 0): và tiếp tuyến được xác định (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by = 0 . r (ϕ) bởi công thức: tg α = . Ta có: r ′(ϕ) r 2 cos2 ϕ + r 2 sin2 ϕ − 2a(r cos ϕ) − 2b(r sin ϕ) = 0 . VD 4. Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : r 2 = a 2 cos 2ϕ . Vậy phương trình của (C ) trong tọa độ cực là: π π r = 2(a cos ϕ + b sin ϕ). Giải. MXĐ: cos 2ϕ ≥ 0 ⇔ − + k π ≤ ϕ ≤ + k π . 4 4 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Hàm cos 2ϕ tuần hoàn với chu kỳ π nên ta chỉ khảo sát §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định π π §3. Ứng dụng của tích phân xác định trong khoảng − ≤ ϕ ≤ và r = a cos 2ϕ . 4 4 §4. Tích phân suy rộng a sin 2ϕ ………………………… Ta có: r ′(ϕ) = − = 0 ⇔ ϕ = 0. §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH cos 2ϕ Bảng biến thiên Đồ thị 1.1. Định nghĩa • Hàm số F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên khoảng (a; b ) nếu F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b ). Ký hiệu ∫ f (x )dx (đọc là tích phân). Nhận xét • Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C cũng là ……..……………………………………. nguyên hàm của f (x ). Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Tính chất dx dx 1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ 3) ∫ x = ln x + C ; 4) ∫ x = 2 x +C ax 2) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C 5) ∫ e dx = e + C ; x x 6) ∫ a dx = ln a + C x d dx ∫ 3) f (x )dx = f (x ) 7) ∫ cos xdx = sin x + C ; 8) ∫ sin xdx = − cos x + C 4) ∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx . dx dx 9) ∫ cos x 2 = tan x + C ; 10) ∫ sin2 x = − cot x + C MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ dx 1 x 11) ∫ x 2 + a 2 = a arctan a + C 1) ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ dx x α x α+1 12) ∫ = arcsin +C, a > 0 2) ∫x dx = α +1 + C , α ≠ −1 a −x 2 2 a Toán cao c p A1 Đ i h c 19
  20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé dx 1 x −a dx 13) ∫ x 2 −a2 = ln 2a x + a +C VD 1. Tính I = ∫ 4 − x2 . 1 2+x 1 2−x dx x A. I = ln +C ; B. I = ln +C ; 14) ∫ sin x = ln tan + C 2 4 2−x 4 2+x 1 x −2 1 x +2 x π C. I = ln +C ; D. I = ln +C . dx 2 x +2 2 x −2 15) ∫ = ln tan  +  + C   cos x 2 4    dx 16) ∫ = ln x + x 2 + a + C dx 2 x +a VD 2. Tính I = ∫ 2 x −x −6 . Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tan x  π 1.2. Phương pháp đổi biến VD 6. Tính I = ∫ dx , x ∈ 0; .    a) Định lý  2   cos x cos2 x + 1 Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C với ϕ(t ) khả vi thì: b) Một số dạng tích phân hữu tỉ (tham khảo) ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C . αx + β dx Dạng 1: I = ∫ dx, a ≠ 0. (ax + b )2 VD 3. Tính I = ∫ . x 3 − ln 2 x  p   q  dx . VD 4. Tính I = ∫ dx . Cách giải. Biến đổi I = ∫  ax + b   +  (ax + b )2    x (x 3 + 3) 4x + 3 2(2x + 1) + 1 VD 5. Tính I = cot x ∫ 2 sin 4 x + 3 dx . VD 7. ∫ 2 4x + 4x + 1 dx = ∫ (2x + 1)2 dx Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé  2   3x + 2 5 1   1 1 1 11 dx = ∫   2x + 1   +  dx = ln 2x + 1 −  2 (2x + 1)   2(2x + 1) +C . = ∫ (x − 1)(2x + 5) dx = ∫  7 . x − 1 +    .    7 2x + 5  5 11 = ln x − 1 + ln 2x + 5 + C . αx + β 7 14 Dạng 2: I = ∫ ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ > 0. αx + β 1 Cách giải. Biến đổi I = ∫  p   + q  dx ,  Dạng 3: I = ∫ ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ < 0. x − x    x − x2  a   X p  1   dx . (x 1, x 2 là nghiệm của mẫu thức). Cách giải. Biến đổi I = ∫   2  + 2   X + γ X + γ  3x + 2 1 3x + 2 VD 8. ∫ dx = ∫  5 dx 2x + 1 (2x − 1) + 2 2 2x + 3x − 5 2 (x − 1) x +     VD 9. I = ∫ 2 4x − 4x + 5 dx = ∫ (2x − 1)2 + 4 dx    2 Toán cao c p A1 Đ i h c 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2