Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 1.1 - Chuỗi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Chia sẻ: Hung Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

462
lượt xem 81
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 1.1 - Chuỗi Fourier cung cấp cho sinh viên các kiến thức về hàm tuần hoàn, chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn, các công thức khác để tính các hệ số Fourier.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 1.1 - Chuỗi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Phần 1: Giải tích Fourier  Chương 0 : Ôn tập số phức  Chương 1 : Chuỗi Fourier  Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
Chương 1 Chuỗi Fourier  1.1 Hàm tuần hoàn  1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier  1.4 Khai triển bán kỳ  1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
1.1 Hàm tuần hoàn  Định nghĩa 1.1 hàm f(t) gọi là tuần hoàn nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho f(t+T) = f(t) với mọi t trong miền xác định của f(t)  T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn )  Phân loại:  f(t) tuần hoàn sin  f(t) tuần hoàn không sin Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
Ví dụ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø : a0 +∞ f (t ) = + ∑ ( an cos nω0t + bn sin nω0t ) 2 n =1 Vôùi : n = 1,2 … ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûn a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier . Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
Caùc heä soá khai trieån Fourier  Giaù trò caùc tích phaân xaùc ñònh T T 2 2 ∫ cos( mω = 0t ) ∫ sin( nω0t= ) dt 0 ∀m, n −T −T 2 2 T 2 ∫ cos( mω0t ) sin( = nω0t ) dt 0 ∀m, n −T 2 T 0 m≠n 2  ∫T cos( mω 0 t ) cos( nω 0 t ) dt = T m=n − 2  2 T 0 m≠n 2  ∫T sin(mω0t ) sin(nω0t )dt =  T m=n − 2  2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
Caùc heä soá khai trieån Fourier a0 +∞ f (t ) = + ∑ ( an cos nω0t + bn sin nω0t ) 2 n =1 T T 2 2 ∫ cos(mω = 0t ) ∫ sin(nω0t= )dt 0 ∀m, n −T −T 2 2 T 2 2 a0 = ∫ f (t )dt T −T 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
Caùc heä soá khai trieån Fourier a0 +∞ f (t ) = + ∑ ( an cos nω0t + bn sin nω0t ) 2 n =1 T 2 ∫ cos( mω0t ) sin( = nω0t ) dt 0 ∀m, n −T 2 T 0 m≠n 2  ∫T cos( mω 0 t ) cos( nω 0 t ) dt = T m=n − 2  2 T 2 2 an = ∫ f (t ) cos(nω0t )dt T −T 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
Caùc heä soá khai trieån Fourier a0 +∞ f (t ) = + ∑ ( an cos nω0t + bn sin nω0t ) 2 n =1 T 2 ∫ cos( mω0t ) sin( = nω0t ) dt 0 ∀m, n −T 2 T 0 m≠n 2  ∫T sin( mω 0 t ) sin( nω 0 t ) dt = T m=n − 2  2 T 2 2 bn = ∫ f (t ) sin(nω0t )dt T −T 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
Điều kiện tồn tại f(t) f(t2-) f(a+) f(b-) t a t1 t2 b f(t1-) f(t2+) f(t1+)  Định nghĩa 1.2: Một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu f bị chặn và cùng lắm là có một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I. Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
Điều kiện tồn tại  Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet) Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I Thì chuỗi Fourier của f hội tụ về : ● f (t ) nếu f liên tục tại t. 1 ●   f (t + k ) + f (t − k )   nếu f gián đoạn tại t. 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
Ví dụ tìm chuỗi Fourier a) Xác định chuổi Fourier ? b) Kiểm lại dùng MATLAB ? Giải Chu kỳ và tần số cơ bản: Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2, Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
Ví dụ tìm chuỗi Fourier pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1; w0 = 2*pi/T; t = linspace(0,2*T,600); for n=1:N a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3); b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3)); end for i=1:length(t) f(i) = a0; for n=1:length(a) f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) + b(n)*sin(n*w0*t(i)); end end plot(t,f,'black'); xlabel('t(s)'); ylabel('f(t)'); Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
Ví dụ tìm chuỗi Fourier  Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau 0 −π ≤ t ≤ 0 a ) f (t ) = ; T 2π sin t 0≤t ≤π = − b) f (t ) 4 t 2 −2≤t ≤ 2 ; T = 4 1 sin t 2 +∞ cos 2nt a) f (t ) = + − ∑ 2 π 2 π n =1 4n − 1  Kết quả 8 16 (−1) +∞ n +1 nπ t b) f (t )= + 2 ∑ cos 3 π n =1 n 2 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier Bước nhảy của một hàm: f(t) f(t2-) f(a+) f(b-) t a t1 t2 b f(t1-) f(t2+) f(t1+)  Định nghĩa : Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk+) – f(tk-)  Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0  Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier Định lý 1.2: Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: −1 ' 1 m =an nω0 bn − nπ ∑J k =1 k sin(nω0tk ) ( n = 1, 2, … ) ( bn’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier Định lý 1.3: Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: m 1 ' 1 =bn nω0 an + nπ ∑J k =1 k cos(nω0tk ) ( n = 1, 2, … ) ( an’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà định nghĩa trong 1 chu kỳ là f(t) −1 − 2 < t < 1 1  0 −1 < t < 0  f (t ) =  1 0 < t
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp f(t) f'(t) 1 -2 -1 0 1 2 t -2 -1 0 1 2 t -1  Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1  f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1 −1 ' 1 m =an nω0 bn − nπ ∑J k =1 k sin(nω0tk ) m 1 ' 1 =bn nω0 an + nπ ∑J k =1 k cos(nω0tk ) −2 ' 1  nπ (−2) nπ (−1) nπ (0) nπ (1)  = an bn − (−1)sin 2 + (1)sin 2 + (1)sin 2 + (−1)sin 2  nπ nπ 2 ' 1  nπ (−2) nπ (−1) nπ (0) nπ (1)  = bn an + (−1) cos + (1) cos + (1) cos + (−1) cos nπ nπ  2 2 2 2  Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20