intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 1.2 - Chuỗi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Chia sẻ: Hung Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST
Báo xấu
375
lượt xem 79
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 1.2 - Chuỗi Fourier cung cấp cho sinh viên các kiến thức về khai triển bán kỳ, các dạng khác của chuỗi Fourier, ứng dụng của chuỗi Fourier.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 1.2 - Chuỗi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

  1. Chương 1 Chuỗi Fourier  1.1 Hàm tuần hoàn  1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier  1.4 Khai triển bán kỳ  1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
  2. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Hàm tuần hoàn đối xứng chẵn f (t= ) f (−t )  Các hệ số khai triển Fourier T 2 4 a0 = T ∫0 f (t )dt T 2 4 an = T ∫0 f (t ) cos(nω0t )dt bn = 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
  3. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng Chuỗi Fourier côsin  Định lý 1.7: Nếu f là hàm tuần hoàn chẵn, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: a0 +∞ f (t= ) + ∑ an cos(nω0t ) 2 n =1 T T 2 2 4 4 a0 =∫ T 0 f (t )dt ; an T ∫ 0 f (t ) co s(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
  4. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Hàm tuần hoàn đối xứng lẻ f (t ) =− f (−t )  Các hệ số khai triển Fourier a0 = 0 an = 0 T 2 4 bn = T ∫ 0 f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
  5. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng Chuỗi Fourier Sin  Định lý 1.8: Nếu f là hàm tuần hoàn lẻ, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: +∞ f (t ) = ∑ bn sin(nω0t ) n =1 T 2 4 bn = T ∫ 0 f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
  6. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  T  Hàm tuần hoàn đối xứng nửa sóng f (t ) = − f t ±   Các hệ số khai triển Fourier  2 a0 = 0 0 ( n = 2k )  T an =  4 2  ∫ f (t ) cos(nω0t )dt (= n 2k + 1) T 0 0 ( n = 2k )  T bn =  4 2  ∫ f (t ) sin( nω0t )dt (= n 2k + 1) T 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
  7. 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Định lý : Nếu f là hàm tuần hoàn nửa sóng, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng: +∞ f (t ) ∑ (a n =1 n cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ) (= n 2 k +1) T T 2 2 4 4 an = T ∫ 0 f (t ) cos(nω0t )dt bn = T ∫ 0 f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
  8. Dời trục tọa độ f(t) g(t) τ t h t f (t ) =± h + g (t ± τ ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
  9. Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng Cho hàm f(t) định nghĩa bởi : f(t) = t + π ( – π < t < π) và f(t) = f(t + 2π). Xác định chuỗi Fourier biểu diễn cho f(t) ? Giải  Ta biểu diễn f(t) theo g(t): f(t) = π + g(t)  g(t) là tín hiệu đối xứng lẻ nên có chuỗi Fourier: T = 2π; ω0 = 1; g(t) = t (0 < t < π) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
  10. Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng 4 π 2  tcos(nω0 t) π sin(nω0 t)  π 2 bn = ω ∫t)dt tsin(n 0 = − + = cos(nπ) − 2πω0 (n )π  ω nn 0 2 0  0 0  ∞  Chuỗi Fourier của g(t): g (t ) = ∑ bn sin( nt ) n =1 − cos(nπ ) ∞  Chuỗi Fourier của f(t): f (t )= π + 2∑ sin(nt ) n =1 n Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
  11. 1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]  Xét hàm f(t) chỉ xác định trên khoảng kín [0,T/2]  Ta cần tìm khai triển Fourier của f(t) ϕ (t ) − T 2 < t < 0  Mở rộng hàm f(t) thành hàm  =F (t )  f (t ) o≤t ≤T2 F(t) tuần hoàn  F (t + T ) ∀t   Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier và hội tụ về F(t) tại các điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier của F(t) cũng hội tụ về f(t) trong đoạn [0,T/2]  Chọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm chẵn  Chọn ϕ(t) ?  Chọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm lẻ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
  12. 1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]  Định lý 1.9: Nếu f(t) là hàm chỉ xác định trên khoảng kín [0, T/2] và thỏa điều kiện Dirichlet thì nó có thể được khai triển thành : Chuỗi Fourier côsin a0 +∞ f (t= ) + ∑ an cos(nω0t ) 2 n =1 Hoặc thành chuỗi Fourier sin Khai triển bán kỳ +∞ f (t ) = ∑ bn sin(nω0t ) n =1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
  13. Ví dụ khai triển bán kỳ f(t)  Cho hàm f(t) định nghĩa bởi f(t)= t+2 ( 0 < t < 2) 4  Xác định chuỗi Fourier sin biểu 2 diễn cho f(t) Giải F(t) 2 t  Thiết lập hàm lẻ F(t) 4  Xác định hệ số bn 2 4 = bn (1 − 2 cos nπ ) nπ -2 -2 2 4 t  Chuỗi Fourier sin của f(t) -4 f (t ) =12π sin ( π2 t ) − π2 sin ( 2 π2 t ) + π4 sin ( 3 π2 t ) − π1 sin ( 4 π2 t ) + ... Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
  14. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  Chuỗi Fourier dạng sóng hài +∞  Dạng sóng hài cosin C0 + ∑ Cn cos(nω0t + α n ) f (t ) = n =1 +∞  Dạng sóng hài sin C0 + ∑ Cn sin(nω0t + β n ) f (t ) = n =1 a0 = C0 ; = Cn an2 + bn2 2  Các hệ số khai triển bn an αn = −arctg ; βn = arctg an bn Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
  15. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier +∞ • Chuỗi Fourier dạng mũ phức f (t ) =  ∑D n = −∞ n e jnω0t T • 1 2  Các hệ số khai triển phức D n = ∫ f (t )e − jnω0t dt T −T 2 • a0  Quan hệ với các hệ D= 0 C= 0 2 số của khai triển • an − jbn Cn lượng giác và khai D= n = ∠α n 2 2 triển hài • an + jbn Cn ∗ D −= n = ∠ − α= n Dn 2 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
  16. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  Phổ biên độ của hàm f(t) +∞ •  Hàm f(t) có khai triển phức f (t ) = ∑ n = −∞ D n e jnω0t • D= n Dn ∠α n  Có tần số cơ bản ω0 = 2π/T  Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T  Định nghĩa : Phổ biên độ của chuỗi Fourier mũ phức của hàm tuần hoàn f(t) là đồ thị các điểm (nω0, |Dn|). Phổ biên độ còn gọi là phổ tần số hay tần phổ. Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
  17. Ví dụ phổ biên độ f(t) A  Khai triển lượng giác +∞ 4A f (t ) = ∑ -T/2 sin(nω0t ) 0 T/2 T t n =1 nπ -A (= n 2 k +1) +∞ 2 A jnω0t  Và khai triển phức Dn = f (t ) ∑ n = −∞ −j nπ e 2A/π (= n 2 k +1)  Phổ biên độ 2A/3π 2A/5π 2A/7π -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 ω ω0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2418 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2