Bài giảng - XÁC SUẤT THỐNG KÊ CHƯƠNG 4

Chia sẻ: Doc Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

116
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xác suất có điều kiện: Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có ảnh hưởng nhau. Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 3 con. Tính xác suất để gia đình này có hai con trai trong mỗi trường hợp sau: 1) Nếu không biết số con gái của gia đình này 2) Nếu con cả là con gái

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng - XÁC SUẤT THỐNG KÊ CHƯƠNG 4

'4 CÁC QUY T C TÍNH XÁC SU T a) Quy t c c ng xác su t: N u các bi n c A1, A2, …, An liên quan n phép th T và xung kh c t ng ôi m t, thì n  n P  ∪ Ai  = ∑ P ( Ai ) .  i =1  i =1
Ví d t nh X Trong m t l p g m 100 sinh viên có 60 em t nh Y. Ch n ng u nhiên m t em. Tính còn 12 em t nh X ho c t nh Y. xác su t em này Gi i A = “Em ó t nh X”, B = “Em ó t nh Y”. A và B xung kh c, nên 60 12 P(A∪B) = P(A) + P(B) = = 0, 72. ☺ + 100 100
b) Quy t c c ng xác su t t ng quát: N u các bi n c A1, A2, …, An liên quan n phép th T, thì n  n P  ∪ Ai  = ∑ P ( Ai ) −  i =1  i =1 n −1 − ∑ P (Ai A j ) + ∑ P (Ai A j Ak ) + L + (− 1) P ( A1A2 L An ). i< j i < j
Ví d Theo th ng kê trung bình m t năm (365 ngày) có 60 ngày mưa th t to, 40 ngày gió th t l n và 20 ngày có bão (v a mưa th t to, v a gió th t l n). Tính xác su t m t ngày ch n ng u nhiên trong năm có th i ti t b t thư ng.
Gi i A = “Ngày ó có mưa th t to”, B = “Ngày ó có gió th t l n” ⇒ AB = “Ngày ó có bão”. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) 60 40 20 80 = .☺ + − = 365 365 365 365
Ví d Ch n ng u nhiên 3 ngư i X, Y, Z. Tính xác su t trong ó có ít nh t 2 ngư i có cùng ngày sinh nh t. Gi i A = “Có ít nh t 2 ngư i có cùng ngày sinh nh t” ⇒ A = “C 3 ngư i u có ngày sinh nh t khác nhau”.
Ký hi u x, y, z tương ng là ngày sinh nh t c a X, Y, Z thì m i (x, y, z) v i 1≤ x, y, z ≤ 365 là m t k t qu . Ta có |Ω| = 3653, Ω A = 365⋅364⋅363 nên 365 ⋅ 364 ⋅ 363 P ( A ) = 1 − P (A ) = 1 − = 0,082 . ☺ 3 365
d) Xác su t có i u ki n Có nh ng bi n c mà s x y ra c a chúng có nh hư ng nhau. Ví d Ch n ng u nhiên m t gia ình có 3 con. Tính xác su t gia ình này có hai con trai trong m i trư ng h p sau: i) N u không bi t s con gái c a gia ình này; ii) N u ư c thông báo gia ình này có a con c là con gái.
Gi i A1 := “Gia ình ó có a con c là con gái”. A2 := “Gia ình ó có 2 con trai”, Ω = {TTT, TTG, TGT, GTT, TGG, GTG, GGT, GGG}, Ω A2 = {TTG, TGT, GTT}, nên P(A2) = 3/8.
N u bi t r ng A1 ã x y ra thì không gian m u bây gi thu h p l i ch còn là {GTT, GTG, GGT, GGG} = Ω A1 . Còn t p h p các k t qu thu n l i cho A2 là {GTT} = Ω A1A2 . V y áp s c a ii) b ng | Ω A1A2 |1 = .☺ | Ω A1 | 4
Trong bài toán này ta th y r ng kh năng gia ình ó có hai con trai ph thu c vào vi c bi t bi n A1 c ã x y ra hay chưa. i u này d n t i khái ni m xác su t có i u ki n. Nhưng nên nh nghĩa xác su t có i u ki n như th nào ?
Xem l i l i gi i c a ii) ta có  Ω A1A2    1 | Ω A1A2 |  Ω  P ( A1A2 ) = = . = P ( A1 )  Ω A1  4 | Ω A1 |   Ω   Nh n xét này cho phép ta nh nghĩa xác su t có i u ki n như sau
• N u P(A1)>0 thì xác su t có i u ki n c a A2 khi A1 ã x y ra, ký hi u là P ( A2 / A1 ), ư c cho bi P ( A1A2 ) P ( A2 / A1 ) = . P ( A1 )
Chú ý Xác su t có i u ki n có th tính tr c ti p t b i c nh bài toán mà không c n thông qua công th c trên. Ví d Gieo ng th i 2 con xúc x c cân i. Tính xác su t t ng s n t trên 2 con là 7, bi t r ng có ít nh t m t con ra m t 5.
Gi i Cách 1 Không gian m u thu g n bao g m 11 bi n c sơ c p có ít nh t m t con ra m t 5 là: (i, 5) v i i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} và (5, j) v i j∈{1, 2, 3, 4, 6}. Trong t p này có 2 trư ng h p mà t ng b ng 7. 2 ⇒P= . 11
Cách 2 A = “Ít nh t m t con ra 5”, B = “T ng s ch m trên hai con b ng 7”. |Ω| = 62, Ω A = {(i, j)| i và j ∈ {1, 2, 3, 4, 6}}. ΩAB = {(2, 5), (5, 2)} 2  5  = 11 và P(AB) = 2 ⇒P(A) = 1 − P (A ) = 1 −    6  36 36 P ( AB ) 2 ⇒ P (B / A ) = = .☺ P ( A ) 11
e) Quy t c nhân xác su t nh nghĩa Xác su t có i u ki n c a A2 khi A1 T (P(A1) > 0) ã x y ra: P ( A1A2 ) P ( A2 / A1 ) = , P ( A1 ) ta suy ra Quy t c nhân xác su t N u P(A1) > 0, thì P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1).
M r ng công th c P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) cho n bi n c , ta có Quy t c nhân xác su t t ng quát N u P(A1A2⋅⋅⋅An-1) > 0 (n>1), thì P(A1A2⋅⋅⋅An) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1).
Ch ng minh T A1A2⋅⋅⋅An-1⊂ A1A2⋅⋅⋅An-2 ⊂ ⋅⋅⋅⊂ A1 ta có 0 < P ( A1A2 L An −1 ) ≤ P ( A1A2 L An −2 ) ≤ K ≤ P ( A1 ). Vì v y, ta có th áp d ng công th c tính xác su t có i u ki n có: P(A2/A1) = P(A1A2) / P(A1) P(A3/A1A2) = P(A1A2A3) / P(A1A2) …………………………………….. P(An-1/A1A2⋅⋅⋅An-2) = P(A1A2⋅⋅⋅An-1) / P(A1A2⋅⋅⋅An-2) P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) = P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1A2⋅⋅⋅An-1)
T ây ta suy ra P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) = P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1). Nhân hai v v i P(A1) ta có Công th c nhân xác su t t ng quát. ☺ Ví d M t lô hàng g m 100 s n ph m, trong ó có 10 ph ph m. Rút ng u nhiên l n lư t 4 s n ph m theo ki u m i l n rút không hoàn l i và ki m tra. N u t t c 4 s n ph m này u t t thì lô hàng ư c nh n. Tìm xác su t lô hàng này ư c nh n.