Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 9: Lý thuyết hệ thống tuyến tính

Chia sẻ: Lão Lão | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các chương trước, chúng ta đã nghiên cứu một vài tác dụng của các phép toán xử lý ảnh nào đó trên các ảnh. Những kết quả này có thể được giải thích bằng các phép toán đơn giản. Vì thế, chúng ta không đề cập đến các kết quả lấy mẫu, độ phân giải không gian hay các phép toán phổ biến được nói đến như tăng cường ảnh (image enhancement). Trong phần 2, chúng ta sẽ đưa ra những câu hỏi về vấn đề lấy mẫu, độ phân giải và lọc tuyến tính, một phương pháp tiếp cận phổ biến sử dụng cho việc tăng cường ảnh. Trong chương này và chương tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày những công cụ phân tích yêu cầu cho công tác tiếp cận các vấn đề.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 9: Lý thuyết hệ thống tuyến tính

PHẦN HAI Ch¬ng 9 LÝ THUYẾT HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 9.1.GIỚI THIỆU Trong các chương trước, chúng ta đã nghiên cứu một vài tác dụng của các phép toán xử lý ảnh nào đó trên các ảnh. Những kết quả này có thể được giải thích bằng các phép toán đơn giản. Vì thế, chúng ta không đề cập đến các kết quả lấy mẫu, độ phân giải không gian hay các phép toán phổ biến được nói đến như tăng cường ảnh (image enhancement). Trong phần 2, chúng ta sẽ đưa ra những câu hỏi về vấn đề lấy mẫu, độ phân giải và lọc tuyến tính, một phương pháp tiếp cận phổ biến sử dụng cho việc tăng cường ảnh. Trong chương này và chương tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày những công cụ phân tích yêu cầu cho công tác tiếp cận các vấn đề. Lý thuyết hệ thống tuyến tính là một lĩnh vực được phát triển toàn diện thường được sử dụng để mô tả hoạt động của mạch điện và các hệ thống quang học. Nó cung cấp một cơ sở toán học vững chắc để nghiên cứu các kết quả lấy mẫu, lọc và độ phân giải không gian. Lý thuyết hệ thống lấy mẫu cũng hữu dụng trong nhiều ứng dụng khác. 9.1.1.Định nghĩa Trong nội dung của cuốn sách này, chúng ta coi một hệ thống là một cái gì đó đảm nhận một đầu vào và tạo ra một đầu ra tương ứng. Bởi vì chúng ta chỉ quan tâm tới mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra, nên chúng ta phải để ý chút ít đến những gì nằm bên trong hệ thống. Đầu vào và đầu ra có thể là một chiều, hai chiều hay nhiều chiều hơn. Tuy nhiên, trong việc phát triển ban đầu, chúng ta hạn chế các ví dụ ở hai trường hợp: các hàm một chiều về thời gian và các hàm hai chiều của các biến không gian. Điều này giữ cho ký hiệu đơn giản hơn và làm cho các phép phân tích có phần dễ hiểu hơn, vì sự phát triển bị các quá trình vật lý thực sự ràng buộc. Phép phân tích có thể được tổng quát hoá một cách dễ dàng với số chiều cao hơn khi cần thiết. Trong phần đầu của chương này, sự trình bày được thực hiện cho các hàm một chiều theo thời gian và tổng quát hóa đối với các ảnh hai chiều. Hình 9-1 và 9-2 cho thấy ký hiệu quy ước cho các hệ thống tuyến tính một hoặc hai chiều. Trong mỗi trường hợp, đầu vào hệ thống là một hàm một hoặc hai biến và nó tạo ra một hàm đáp ứng một hoặc hai biến tương tự từ hệ thống. 113
HÌNH 9-1 Hình 9-1 Ký hiệu hệ thống tuyến tính HÌNH 9-2 Hình 9-2 Hệ thống tuyến tính hai chiều Tính tuyến tính. Các hệ thống tuyến tính có một đặc điểm mà đặc điểm này tạo ra tên gọi của chúng. Giả sử rằng, đối với một hệ thống riêng lẻ, một đầu vào x1(t) tạo ra một đầu ra y1(t): x1 (t )  y1 (t ) (1) (Mũi tên đọc là “gây ra”) Cũng giả thiết rằng đầu vào thứ hai x2(t) tạo ra đầu ra y2(t): x 2 (t )  y 2 (t ) (2) Hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ nếu nó có đặc tính x1 (t )  x 2 (t )  y1 (t )  y 2 (t ) (3) Tức là, tín hiệu đầu vào thứ ba là tổng của hai tín hiệu đầu tạo ra một tín hiệu đầu ra là tổng của hai tín hiệu ra ban đầu. Bất kỳ một hệ thống nào mà không tuân theo quy tắc này đều là phi tuyến. Phân tích hệ thống phi tuyến tạo ra nhiều kết quả trong các lĩnh vực khác nhau. Tuy nhiên, sự phân tích hệ thống phi tuyến phức tạp hơn nhiều so với sự phân tích các hệ thống tuyến tính và mục đích của chúng ta không đòi hỏi phức tạp thêm. tuy nhiên, chúng ta sẽ giới hạn vấn đề phân tích hệ thống tuyến tính của chúng ta. Định nghĩa hệ thống tuyến tính chỉ rõ rằng một đầu vào là tổng của hai tín hiệu tạo ra một đầu ra tổng của hai đầu ra, mà hai đầu ra này được tạo ra bởi mỗi một tín hiệu đầu vào hoạt động riêng lẻ. Từ đó, nếu một tín hiệu đầu vào được nhân với một số hữu tỷ (rational) thì đầu ra sẽ tăng hay giảm cùng một hệ số, tức là, ax1 (t )  ay1 (t ) (4) Ta coi nó như một tiên đề mà biểu thức (4) cũng đúng cho các số vô tỷ (irrational). 114
Tính chất được định nghĩa trong các biểu thức (1), (2), (3) và kết quả suy ra của nó trong biểu thức (4), phục vụ cho việc định nghĩa hệ thống tuyến tính. Khi sử dụng lý thuyết hệ thống tuyến tính để phân tích một quá trình, điều cần thiết để quá trình sẽ được mô hình hoá, ít nhất cũng phải xấp xỉ, là tuyến tính. Nếu hệ thống đang được nghiên cứu không đáp ứng tiêu chẩn tuyến tính, thì nó là phi tuyến và lý thuyết hệ thống tuyến tính sẽ tạo ra các kết quả sai và có thể làm cho sai lệch. Nếu hệ thống chỉ phi tuyến một chút thì nó có thể được giả thiết là tuyến tính để phục vụ cho mục đích phân tích, nhưng các kết quả phân tích sẽ chỉ gần đúng với giả thiết. Thường thường, các hệ thống gần phi tuyến được nghiên cứu bằng lý thuyết hệ thống tuyến tính bởi vì cách tiếp cận này dễ điều khiển một cách chính xác. Tuy nhiên, người ta thường phải cẩn thận khi giải quyết các hệ thống phi tuyến bởi vì lớp bảo vệ của lý thuyết hệ thống tuyến tính tan rã như giả thiết về tính tuyến tính. Nhà phân tích có trách nhiệm không những chỉ về toán học mà còn về giá trị của những giả thiết bên dưới. Bất biến dịch. Một đặc điểm quan trọng mà một hệ thống nào đó đưa ra gọi là bất biến dịch (shift invariance). Nó được minh hoạ dưới đây. Giả sử, đối với một hệ thống tuyến tính đặc biệt mà x(t )  y (t ) (5) Giả sử bây giờ chúng ta dịch chuyển tín hiệu đầu vào theo thời gian đi một lượng T. Hệ thống là bất biến dịch nếu x(t  T )  y (t  T ) (6) Tức là, đầu ra được dịch chuyển một lượng giống như đầu vào, nhưng mặt khác không bị thay đổi. Vì thế, đối với một hệ thống bất biến dịch, việc dịch chuuển đầu vào đơn thuần là dịch chuyển cùng một lượng đối với đầu ra. Điểm quan trọng là bản chất của đầu ra không bị thay đổi do bước dịch chuyển tín hiệu đầu vào. Bất biến dịch không gian là bất biến dịch thời gian tương tự hai chiều (two dimensional analog): nếu ảnh đầu vào được dịch chuyển liên quan đến ảnh gốc thì ảnh đầu ra cũng tương tự như ảnh trước. Hầu hết sự phân tích trong vài chương tiếp theo hướng về các hệ thống tuyến tính bất biến dịch. Các giả thiết về tính tuyến tính và bất biến dịch có giá trị gần đúng nhất đối với các mạng điện (electrical networks), các mạng điện tử tuyến tính được thiết kế hoàn hảo và các hệ thống quang học-các thành phần cơ bản của hệ thống xử lý ảnh. 9.2.TÍN HIỆU ĐIỀU HOÀ VÀ PHÂN TÍCH TÍN HIỆU PHỨC TẠP Theo cách sử dụng bình thường, các tín hiệu và các ảnh có thể được biểu diễn bằng các hàm thực của một và hai biến tương ứng. Giá trị hàm biểu diễn độ lớn của tham số vật lý nào đó, chẳng hạn như điện áp bằng hàm thời gian hay cường độ ánh sáng bằng một hàm hai toạ độ không gian. Tuy nhiên, sự phát triển các đặc điểm hệ thống tuyến tính tiến hành một cách trôi chảy hơn nhiều, nếu chúng ta cho phép đầu vào và đầu ra là các hàm phức. Bởi vì các hàm thực có thể xem là trường hợp đặc biệt của các hàm phức, mà không mất tính tỏng quát. sự thuận lợi trở nên rõ ràng trong suốt quá trình phát triển. 9.2.1.Tín hiệu điều hoà Xem xét một tín hiệu điều hoà có dạng x(t )  e jt  cos(t )  j sin(t ) (7) Trong đó f2 = -1. Gọi là tín hiệu điều hoà. Nó là hàm phức theo thời gian mà có thể xem xét như vec tơ đơn vị quay trong mặt phẳng phức với vận tốc góc  (Hình 9-3). Tần 115
số góc , đơn vị radian/giây, quan hệ với f, tần suất số vòng quay hay số chu kỳ trên giây (Herzt) bởi  = 2f. HÌNH 9-3 Hình 9-3 Vec tơ tạo ra tín hiệu điều hoà 9.2.2.Đáp ứng đầu vào điều hoà Giả sử một hệ thống tuyến tính bất biến dịch được cho với đầu vào điều hoà x1 (t )  e jt (8) Chúng ta có thể biểu diễn đáp ứng của hệ thống như sau y1 (t )  K ( , t )e jt (9) Trong đó y1 (t ) K ( , t )  (10) e jt t Là hàm phức của  và t được chọn sao cho khi nhân với ej , sẽ được y1(t). Vì vậy, luôn có K(,t). Bây giờ giả sử chúng ta tạo ra tín hiệu đầu vào thứ hai bằng cách dịch x1 (t). Sau đó, chúng ta có x 2 (t )  e  j ( t T )  e  jT e jt  e  jT x1 (t ) (11) Lưu ý rằng x2(t) đơn thuần là x1 (t) nhân với một hằng số phức. Điều này có được là do x1(t) là tín hiệu điều hoà. Đáp ứng của hệ thống tuyến tính với x2(t) bây giờ là y 2 (t )  K ( , t  T )e j ( t T ) (12) biến đổi y 2 (t )  K ( , t  T )e  jT e jt (13) hay y 2 (t )  K ( , t  T )e  jT x1 (t ) (14) Theo biểu thức (4), ta có thể viết 116
x 2 (t )  e  jT x1 (t )  e  jT y1 (t )  e  jT K ( , t )e jt (15) Từ biểu thức (8), chúng ta xem hệ số mũ bên phải như x1(t). Ngoài ra, chúng ta biết rằng đáp ứng của biểu thức (15) phải là y2 (t), bởi vì nó là đáp ứng của hệ thống với x2 (t). Vì vậy chúng ta có thể viết y 2 (t )  e  jtT K ( , t ) x1 (t ) (16) Là biểu thức thứ hai đối với đáp ứng của hệ thống với đầu vào điều hoà được dịch chuyển. Biểu thức (14) thu được bằng cách chèn một độ dịch chuyển thời gian vào biểu thức (9). Biểu thức (16) có được từ đặc điểm tuyến tính của biểu thức (4). Tuy nhiên, cả hai biểu thức trên đều là đáp ứng của hệ thống đối với đầu vào điều hoà chuyển dịch theo thời gian: vì thế, chúng phải bằng nhau. Kết hợp biểu thức (14) và biểu thức (16) ta được K ( , t  T )e  jtT x1 (t )  K ( , t )e  jtT x1 (t ) (17) và rõ ràng là K ( , t  T )  K ( , t ) (18) Phải đúng cho bất kỳ lượng chuyển dịch T nào. Tuy nhiên, biểu thức (18) chỉ có thể đúng nếu K(,t) độc lập với t. Vì vậy, biểu thức (9) có thể được viết lại dạng tổng quát như sau y (t )  K ( ) x(t ) (19) Hàm tổng quát có dạng như giả thiết trong biểu thức (10) thành ra hàm duy nhất một biến tần số, . Biểu thức (19) chỉ rõ đặc điểm quan trọng mà đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến dịch với đầu vào điều hoà được nhân với một số phức phụ thuộc tần số. Chú ý rằng đầu vào điều hoà luôn luôn tạo ra đầu ra đơn giản tại cùng một tần số. 9.2.3.Tín hiệu điều hoà và đường sin (sinusoid) Khi chúng ta sử dụng một hệ thống tuyến tính để mô phỏng hoạt động của một hệ thống vật lý thì các đầu vào và đầu ra được biểu diễn thuận tiện bằng các hàm thực. Vì thế, chúng ta có thể thêm một hạn chế khác vào hệ thống tuyến tính bất biến dịch sao cho chúng bảo toàn tính thực tế. Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là một đầu thực chỉ có thể tạo ra một đầu ra thực. Từ đó, nó cũng có thể được xem là một hệ thống bảo toàn tính chất ảo và điều đó loại bỏ phần ảo của một đầu vào phức đơn thuần là loại bỏ phần ảo của đầu ra ảo tương ứng; tức là, x(t )  y (t )  e{x(t )}  e{ y (t )} (20) Về một ý nghĩa nào đó, phần thực và phần ảo của một đầu vào điều hoà thực hiện các phần khác hệ thống một cách độc lập. Sự giới hạn phần thực trên các hệ thống tuyến tính cho phép chúng ta định rõ phép phân tích. Ví dụ, nếu đầu vào là hàm cosin, chúng ta có thể thêm thành phần hàm sin ảo để tạo thành tín hiệu điều hoà (Xem lại biểu thức (7)), xác định đáp ứng của hệ thống với đầu vào điều hoà, sau đó loại bỏ phần ảo của đầu ra phức. Cách tiếp cận gián tiếp này được chứng minh bằng một quá trình đơn giản hoá trực tiếp phép phân tích. Một tín hiệu sin bất kỳ có thể được xem như phần thực của một tín hiệu điều hoà duy nhất. Cách tiếp cận cho phép chúng ta xuất phát từ đáp ứng của hệ thống tuyến tính với tín hiệu sin bằng cách (1) biểu diễn tín hiệu sin đầu vào bởi tín hiệu điều hoà, (2) xuất 117
phát từ đáp ứng của hệ thống tuyến tính với đầu vào điều hoà, và (3) thực hiện phần thực để mang lại đầu ra thực sự. Theo cách thực hiện như vậy, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi để giải quyết; đó là, chúng ta biến đổi từ tín hiệu sin sang tín hiệu điều hoà, giải bài toán dưới dạng điều hoà, và sau đó biến đổi đầu ra điều hoà trở lại dạng sin. Kỹ thuật sử dụng logarit cho phép nhân là giống nhau: người ta biến đổi số nhân và số bị nhân sang logarit, cộng chúng vào kết quả phép nhân và sau đó biến đổi kết quả từ dạng logarit thành các số thập phân để có được tích số mong muốn. Giống như phép lấy logarit, phép biến đổi sang tín hiệu điều hoà làm đơn giản hoá một cách đáng kể phép phân tích hệ thống tuyến tính. 9.2.4.Hàm truyền đạt Hàm K() gọi là hàm truyền đạt của hệ thống tuyến tính và hoàn toàn có khả năng xác định rõ hệ thống. Đối với hệ thống tuyến tính bất biến dịch, hàm truyền đạt bao gồm tất cả những thông tin về hệ thống hiện có. Chúng ta có thể chuyển đổi K() về dạng cực để được K ( )  A( )e j ( ) (21) Trong đó A() hàm giá trị thực của tần số và số mũ phức là véc tơ đơn vị trong mặt phẳng phức – tức là, số phức có độ lớn đơn vị. Kết quả của hàm truyền đạt được minh hoạ dưới đây. Giả sử đầu vào là hàm cosin, biến đổi để được phần thực của tín hiệu điều hoà: x(t )  cos(t )  e{e jtt } (22) Đáp ứng của hệ thống đối với đầu vào điều hoà là K ( )e jtt  A( )e j e jtt  A( )e j (t  ) (23) Cuối cùng, tín hiệu đầu ra thực là y (t )  e{ A( )e j (t  ) }  e{ A( )[cos(t   )  j sin(t   )]} (24)  A( ) cos(t   ) A() là hệ số tăng bội và biểu diễn mức độ mà hệ thống khuếch đại hay làm suy giảm tín hiệu vào. () là góc dịch pha. Kết quả duy nhất của nó là để dịch gốc thời gian của hàm vào điều hoà. Trong phần còn lại của quyển sách này. việc phân tích sẽ được thực hiện dưới dạng các tín hiệu điều hoà, với sự chuyển đổi thành tín hiệu sin như một bước thể hiện. Theo giả thiết, chúng ta đã trình bày ba đặc điểm quan trọng của hệ thống tuyến tính bất biến dịch: (1) Một đầu vào điều hoà luôn luôn tạo ra một đầu ra điều hoà ở cùng một tần số. (2) Hệ thống là hoàn toàn xác định bởi hàm truyền đạt của nó, hàm giá trị phức của tần số đơn lẻ. (3) Hàm truyền đạt chỉ tạo ra hai kết quả trên một đầu vào điều hoà- một sự biến đổi theo biên độ và một độ dịch chuyển pha (dịch chuyển theo gốc thời gian). 9.3.PHÉP TOÁN NHÂN CHẬP (CONVOLUTION OPERATION) Xét lại hệ thống đã cho trong hình 9-1. Nó sẽ có ích tạo ra một biểu thức quan hệ tổng quát giữa tín hiệu đầu ra, y(t), với tín hiệu đầu vào x(t). Chúng ta có thể nhận được sự quan hệ giống như trong cách dưới đây. Biểu thức hàm tuyến tính (tích phân chồng) 118
 y (t )   f (t ,  ) x ( )d (25)  Là đủ tổng quát để biểu diễn mối quan hệ giữa x(t) và y(t) đối với hệ thống tuyến tính bất kỳ. Hàm hai biến f(t,) có thể được chọn để khiến cho biểu thức (25) có hiệu lực đối với bất kỳ hệ thống tuyến tính nào; nhưng chúng ta thích biểu thị đặc điểm một hệ thống tuyến tính với một hàm duy nhất một biến. Bây giờ chúng ta lợi dụng sự bắt buộc bất biến dịch trong kết quả cuối cùng để đơn giản hoá biểu thức (25). Thay biểu thức (6) vào biểu thức (25) ta được  y (t  T )   f (t ,  ) x (  T )d (26)  Đổi biến bằng cách cộng thêm T vào cả t và . Kết quả là  y (t )   f (t  T ,   T ) x ( )d (27)  Nếu đem biểu thức (25) so sánh với biểu thức (27), ta thấy rằng f (t , )  f (t  T ,  T ) (28) Phải đúng với mọi T. Nghĩa là f(t,) không thay đổi nếu ta thêm một lượng như nhau vào cả hai đối số của nó. Nói cách khác, f(t,) là hằng số miễn là hiệu số giữa t và  là hằng số. Vì thế chúng ta có thể định nghĩa một hàm mới cho hiệu số duy nhất này là g (t   )  f (t , ) (29) Và biểu thức (25) trở thành  y (t )   g (t   ) x( )d (30)  Biểu thức này tương tự như tích phân chập (convolution integral). Nó biểu diễn bằng ký hiệu mà đầu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến dịch được cho bởi nhân chập tín hiệu vào với hàm g(t) đặc trưng của hệ thống đó (hình 9-4). Hàm đặc trưng này được gọi đáp ứng xung (impulse response) của hệ thống. Chú ý rằng hệ thống bảo toàn tính thực tế nếu và chỉ nếu g(t) là hàm giá trị thực. Bây giờ chúng ta có hai cách để xác định rõ mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống tuyến tính bất biến dịch: (1) Mỗi hiển thị như trên có một hàm truyền đạt phức mà khi nhân với một đầu vào điều hoà, tạo thành một đầu ra điều hoà; và (2) mỗi hệ thống như trên cóa một đáp ứng xung thực mà khi nhân chập với tín hiệu đầu vào, tạo thành tín hiệu đầu ra. HÌNH 9-4 119
Hình 9-4 Hệ thống tuyến tính Bởi vì hàm truyền đạt và đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến dịch là duy nhất và đầy đủ để xác định hệ thống một cách hoàn toàn, chúng ta nghi ngờ rằng hai hàm này có thể có liên quan với nhau. Mối quan hệ này được trình bày ở chương tiếp theo. 9.3.1.Nhân chập một chiều Tích phân chập trong biểu thức (30) có thể rút gọn bằng ký hiệu tắt sau y  gx (31) ở đây  dùng để ký hiệu cho phép nhân chập hai hàm. Hình 9-5 đưa ra đồ thị minh hoạ phép toán nhân chập. Một điểm trên đồ thị y(t) thu được theo cách sau đây. Một hàm g được phản ánh xung quanh gốc của nó và được dịch sang phải một khoảng t. Tích số từng điểm một của x và g đã phản ánh và dịch được thực hiện, và tích số đó được lấy tích phân để tạo ra giá trị đầu ra tại t. Quá trình này được lặp lại đối với tất cả các gía trị của t để tạo ra các điểm khác trên đồ thị ra. Khi t được biến đổi, hàm phản ánh được dịch thông qua hàm ổn định và giá trị của y(t) phụ thuộc vào lượng gối lên nhau của hai hàm. Phép toán nhân chập có một vài đặc điểm quan trọng. Thứ nhất, phép nhân chập có tính giao hoán; tức là, f g  g f (32) Và chúng ta có thể phản ánh hàm khác và rút ra kết quả tương tự. Có thể viết như sau  f  g   f ( ) g (t   )d (33)  Thay đổi các biến x  t   tx dx  d (34) Và sắp xếp lại để tạo ra  f  g   f (t  x) g ( x )dx  g  f (35)  Trong biểu thức (35), các cận phải được đổi chỗ cho nhau và được bù đối với dấu trừ trên d. Phép toán nhân chập cũng có tính phân phối, f  ( g  h)  f  g  f  h (36) Có thể viết lại  f  ( g  h)   f (t  x )[ g ( )  h( )]d (37)  Sắp xếp lại để tạo thành   f  ( g  h)   f (t   ) g ( )d   f (t   )h( )d   (38)  f  g  f h 120
HÌNH 9-5 Hình 9-5 Nhân chập Phép nhân chập cũng có tính kết hợp, nghĩa là f  ( g  h)  ( f  g )  h (39) Biểu thức này dành để độc giả tự kiểm tra. Phép đạo hàm bên dưới, d [ f  g ]  f ' g  f  g ' (40) dt 9.3.2.Phép nhân chập một chiều rời rạc Chuỗi rời rạc có thể được nhân chập theo cách tương tự phép nhân chập các hàm liên tục. Biến độc lập trở thành một chỉ số và phép tích phân được thay thế bằng phép cộng. Bởi vậy, đối với hai chuỗi f(i) và g(i) có độ dài m và n, biểu thức tương đương với biểu thức (33) là h(i)  f (i )  g (i)   f ( j ) g (i  j ) (41) j Tạo ra chuỗi đầu ra có độ dài N = m + n - 1. Mặc dù nhân chập rời rạc và liên tục rất khác nhau, nhưng chúng có nhiều đặc điểm chung. Thật may mắn, với phép nhân chập rời rạc, chúng ta có thể thực hiện trên các ảnh số không mấy khó khăn, song song với phép nhân chập liên tục, mà có thể mô tả nhiều sự việc xảy ra đối với ảnh trước (hoặc sau) khi chúng ở dạng số. Điều này có thể được giải thích trong việc khôi phục ảnh, công việc này nhằm để đảo ngược lại kết quả của những ảnh hưởng suy biến đã tác động lên trên ảnh. 9.3.2.1.Công thức ma trận Đây là cách tiện lợi để biểu diễn các chuỗi rời rạc bằng các véc tơ và ký hiệu súc tích và các đặc điểm phát triển được cho bởi đại số tuyến tính. Mặc dù biểu thức (4) là tổng của các kết quả, nhưng phép nhân chập hai chuỗi không thể được thực hiện bởi phép nhân véc tơ đơn giản. Tuy nhiên, nó có thể được mô tả bằng một phép nhân ma trận nếu trạng thái được thiết lập một cách hoàn chỉnh. Đầu tiên chúng ta giả sử rằng f(i) thực sự là một phần chia của chuỗi có độ dài vô hạn tuần hoàn với chu kỳ N, độ dài của chuỗi ra trong phép nhân chập ở biểu thức (4). Bởi vì f(i) nhỏ hơn N nên cần phải điền thêm các phần tử có giá trị không (zero). Từ thêm (pad) được chọn để mô tả quá trình trên bởi vì quá trình tương tự sự chắp vá thêm vào quần áo người ta khiến cho nó trông có vẻ rộng hơn. Một chu kỳ của chuỗi vô hạn được cho bởi  f (i ) 1 i  m f p (i )   (42) 0 miN 121
Chúng ta lặp lại cấu trúc này cho g(i) cũng như h(i). Bây giờ cả ba chuỗi có độ dài như nhau. Trong khi những lợi ích của sự phức tạp này có thể chưa rõ ràng, ít nhất cũng có thể thực hiện nó mà không mất tính tổng quát. Tiếp theo chúng ta cho f là véc tơ cột N  1 mà các phần tử của nó là fp(i), một chu kỳ của chuỗi vô hạn được hình thành từ f(i). Chúng ta cũng cho G là ma trận mà hàng thứ nhất của nó là chuỗi gp(i) thêm không được lưu trữ theo thứ tự đảo ngược. Các hàng tiếp theo sau của G được tạo thành bằng cách dịch phải các phần tử của hàng trước theo vòng tròn. Bây giờ chúng ta có thể viết  g p (1) g p (N )  g p (2)  f p (1)   g ( 2) g p (1)  g p (3)   f p (2)  h G f     p (43)             g p ( N ) g p ( N  1)  g p (1)   f p ( N ) Trong đó h là véc tơ N  1 chứa chuỗi đầu ra. Bây giờ phép nhân chập rời rạc được biểu diễn như kết quả của phép nhân ma trận N  N với véc tơ N  1. Nhớ lại rằng N là độ dài của chuỗi ra thu được từ biểu thức (4). Ma trận G trong biểu thức (43) gọi là ma trận vòng tròn (circulant) bởi vì mỗi hàng là một vòng tròn, dạng dịch phải của hàng trước đó. Đây là cấu trúc cho phép chúng ta viết phép nhân chập như ma trận tích. Mỗi hàng của G sử dụng để tạo ra một phần tử của chuỗi đầu ra. 9.3.3.Phép nhân chập hai chiều Phép nhân chập các hàm liên tục hai biến tương tự phép nhân chập một chiều. Chú ý rằng như đã đề cập để mở rộng cho trường hợp hai chiều, chúng ta sẽ sử dụng x và y như hai biến độc lập. Biểu thức nhân chập hai chiều là   h( x, y )  f  g    f (u , v) g ( x  u, y  v)dudv (44)    HÌNH 9-6 Hình 9-6 Phép nhân chập hai chiều được minh hoạ bằng đồ thị trong hình 9-6. Lưu ý rằng g(0-u,0-v) đơn thuần là g(u,v) quay 1800 quanh gốc của nó và g(x-u,y-u) được tịnh tiến để di chuyển gốc quay g đến điểm x,y. Sau đó các hàm được nhân theo điểm và tích phân hàm tích theo hai chiều. Ví dụ, giả sử rằng 122
2  y 2 ) / 2 2 f ( x, y )  Ae  ( x (45) và 1,  1  x  1,1  y  1 g ( x, y )   (46) 0, cßn l¹i như đã cho trong hình 9-6. Trong trường hợp này, xung vuông hai chiều được nhân chập với hàm Gaussian hai chiều lớn hơn. bởi vì g(x,y) đối xứng qua gốc nên việc quay 1800 là không ảnh hưởng gì. Giá trị của h(x,y) đơn thuần chỉ là độ lớn của hàm tích khi xung vuông được dịch chuyển đến vị trí x, y. 9.3.3.1.Ví dụ: lấy mẫu với vết hữu hạn Giả sử một bộ số hoá ảnh đặc biệt (chẳng hạn, bộ cảm nhận CCD) lấy mẫu một ảnh với vết mẫu vuông. Tại mỗi vị trí điểm ảnh, mức xám số hoá là giá trị trung bình tại mỗi ô vuông nhỏ của ảnh. Trong hình 9-6, f(x,y) có thể mô tả ảnh và g(x,y) biểu diễn tính chất nhạy cảm không gian (spatial sensitivity) của vết mẫu. Còn h(x,y), phép nhân chập giữa f(x,y) với g(x,y), cùng một giá trị trung bình tại vị trí mà bộ số hoá “nhìn thấy”. Vì thế, phép nhân chập là cách hợp lý để mô phỏng tính chất nhạy cảm không gian của bất cứ ống kính (aperture) lẫy mẫu được sử dụng. 9.3.4.Phép nhân chập hai chiều rời rạc Phép nhân chập các ảnh số tương tự như các hàm liên tục, ngoại trừ các biến nhận các giá trị nguyên và tích phân kép trở thành tổng kép. Bởi vậy, đối với ảnh số H  F G H (i, j )   F (m, n)G (i  m, j  n) (47) m n Bởi vì cả F lẫn G chỉ khác không trên miền hữu hạn nên các tổng chỉ cần lấy trên miền phủ chồng khác không. Phép nhân chập rời rạc được minh hoạ trong hình 9-7. Mảng G được quay 1800 và gốc của nó được dịch đến toạ độ i, j. Đem nhân hai mảng với nhau, từng phần tử, và cộng các tích lại cho ta giá trị ra. Trong hình, mảng G 3  3 (gọi là nhân phép nhân chập- convolution kernel) được nhân chập với một ảnh số, F, lớn hơn. Rõ ràng, số lượng các phép nhân và cộng yêu cầu bằng số các điểm ảnh trong G nhân với số các điểm ảnh trong F (bỏ qua các kết quả gần biên ảnh). Trừ phi nhân (kernel) quá nhỏ (hay có liên quan đến miền khác không nhỏ và vì thế có thể bị cắt bỏ), phép nhân chập trở thành phép toán đắt đỏ về mặt tính toán. Các điểm ảnh gần biên ảnh thiếu một tập đầy đủ các điểm lân cận và phép nhân chập có thể không thực hiện một cách trôi chảy trên các khu vực này. Trong việc thực hiện phép nhân chập số, bốn tuỳ chọn thường được sử dụng để đánh giá các điểm ảnh gần biên. Người ta có thể (a) mở rộng ảnh đầu vào bằng cách lặp lại các hàng và cột biên của mảng để phép nhân chập có thể thực hiện trên biên ảnh, (b) bao quanh (wrap) ảnh vào (do đó tạo cho nó coa tính chu kỳ) bằng cách giả thiết cột đầu tiên tiếp ngay sau cột cuối cùng, ..., (c) điền thêm một hằng số (thương là số 0) đối với những điểm ảnh ra quá gần biên, hay (d) tính toán ảnh ra với kích thước giảm đi bằng cách khử (eliminate) các hàng và cột đầu ra không liên quan đến phép nhân chập. 123
HÌNH 9-7 Hình 9-7 Phép nhân chập số Tuỳ chọn đầu tiên và tuỳ chọn thứ ba là các cách giải quyết thường có tính khả thi nhất. Cách tiếp cận tốt nhất để số hoá ảnh theo cách mà những thông tin không quan trọng nằm gần biên hơn một nửa chiều rộng của nhân. Khi đó sự chọn lựa là không bị giới hạn. 9.3.4.1.Công thức ma trận Giống như các chuỗi rời rạc một chiều, nó thuận tiện cho việc biểu diễn các ảnh số bằng các ma trận và lợi dụng các ưu điểm của đại số tuyến tính. Mặt khác, phép nhân ma trận không thực hiện nhân chập trực tiếp, nhưng một cấu trúc thích hợp có thể tạo ra kết quả mong muốn. Quá trình được minh hoạ trong hình 9-8. Như trước, chúng ta giả sử rằng mảng F và G là tuần hoàn theo chiều x với chu kỳ it ra cũng bằng phạm vi chiều ngang của chúng và tương tự đối với chiều y. Vì vậy, nếu F là m1  n1 và G là m2  n2 thì chúng ta các giá trị 0 vào cả hai để tăng kích thước của chúng lên M  m1+ m2 - 1  N  n1 + n2 – 1. Chúng ta gọi những mảng mới tương ứng này là Fp và Gp. Trong phần còn lại, chúng ta xem xét trường hợp phổ biến M = N. Tiếp theo, chúng ta sẽ thiết lập một véc tơ cột fp N2  1 từ ma trận Fp bằng cách xếp chồng hàng (row stacking): hàng thứ nhất của Fp, chuyển vị thành chiều đứng, trở thành N phần tử phía trên của fp, và tương tự cho các hàng tiếp theo được chuyển vị và đặt bên dưới. Sau đó mỗi hàng của Gp được dùng để thiết lập ma trận vòng tròn N  N theo cách đã miêu tả trong phần 9.3.2. Điều này tạo ra tập ma trận Gi (1  i  N), mỗi ma trận hàng của Gp. Một ma trận khối (block matrix) là ma trận mà mỗi phần tử của nó lại là một ma trận. Vì vậy. Ma trận khối là ma trận lớn hơn, mà thực tế là mảng của các ma trận nhỏ hơn. Ma trận vòng tròn khối (block circulant) là ma trận mà mỗi phần tử của nó là một ma trận vòng tròn. Chúng ta có thể sử dụng ma trận vòng tròn khối để mở rộng cách tiếp cận hai chiều trong phần 9.3.2. HÌNH 9-8 124
Hình 9-8 Công thức ma trận cho phép nhân chập hai chiều: F và G được thêm các giá trị 0 để thiết lập Fp và Gp. Mỗi hàng của Gp tạo ra ma trận vòng tròn Gi theo cách đã cho. Gb là ma trận vòng tròn khối được thiết lập từ các ma trận Gi, và fp véc tơ cột đã chồng hàng tạo thành từ Fp. hp là kết quả phép nhân chập theo khuôn dạng chồng hàng. Chúng ta thiết lập ma trận Gb N2  N2 như sau: Gb được kết hợp từ các khối N  N, mỗi khối là một trong những ma trận vòng tròn Gi N  N tạo thành từ hàng thứ i của Gp. Tức là,  G1  G N   G2   G  G1   G3  Gb   2 (48)         G N  G N 1   G1  Hàng đầu tiên của khối trên bên trái, G1, là các phần tử chuyển vị và đảo ngược của hàng đẩu tiên thuộc Gp, như trong phần 9.3.2. Các hàng tiếp theo của G1 được thiết lập bằng cách dịch phải vòng tròn các hàng trước đó. Các khối khác của Gb được thiết lập tương tự từ các hàng khác của Gp. Vì thế, Gb là mảng vòng tròn N  N các ma trận vòng tròn N  N, mỗi ma trận tính toán một điểm ảnh trên ảnh đầu ra. Bây giờ chúng ta có khả năng viết phép nhân chập hai chiều của biểu thức (47) một cách dễ dàng như tích các ma trận h p  Gb  f p (49) Trong đó hp là ảnh đầu ra ở dạng véc tơ cột đã được thêm, chồng hàng. Cấu trúc này tổng quát hoá công thức ma trận nhân chập hai chiều. Chú ý rằng Gb có N4 phần tử. Ví dụ, nếu N = 1.000 thì Gb có 1012 (một tỷ tỷ) phần tử. Vì thế, tính thiết thực của công thức ma trận nằm ở một nơi nào khác hơn là trong khả năng thực hiện. Thực tế, điều mà nó mang lại là cho phép chúng ta sử dụng ký hiệu (notation) đại só tuyến tính cực kỳ chặt chẽ trong thiết kế bộ lọc khôi phục ảnh. Hơn nữa, với lợi thế quan trọng về tính đối xứng của những ma trận này, đôi khi người ta có thể đơn giản hóa những tính toán trong phạm vi có thể kiểm soát. Ví dụ. Hình 9-9 cho thấy một ví dụ bằng số việc sử dụng công thức ma trận để nhân chập hai mảng 2  2. HÌNH 9-9 Hình 9-9 Ví dụ về công thức ma trận nhân chập 2  2 125
9.3.5.Các ứng dụng của phép nhân chập Thực hiện số phép lọc tuyến tính thường dùng cho ba lớp ứng dụng xử lý ảnh chủ yếu: 1. Giải chập (deconvolution), chẳng hạn, loại bỏ các kết quả vô ích nhưng giữ lại các hệ thống tuyến tính thực hiện trên ảnh được cung cấp trước đây. Ví dụ như việc sử dụng phép nhân chập để khôi phục chi tiết bị mất do hệ thống thấu kính hay bị mờ do chuyển động, cả hai đều có thể giả thiết là các phép toán tuyến tính. 2. Loại bỏ nhiễu, chẳng hạn, làm giảm các tác động không mong muốn, làm hỏng tín hiệu được thêm một cách tuyến tính vào ảnh. Ví dụ: (a) Đánh giá tín hiệu là gì trước khi bị nhiễu. (b) Tìm ra những đặc tính đã biết hiện diện trong nền nhiễu. (c) Loại bỏ nhiễu cố kết (coherent) có tính chu kỳ. 3. Tăng cường đặc tính, chẳng hạn, làm tăng độ tương phản của các đặc tính đặc biệt (các cạnh, các vết,...) không có lợi cho những đối tượng khác trong cảnh. 9.4.MỘT VÀI HÀM THƯỜNG DÙNG Trong sự phát triển của lý thuyết hệ thống tuyến tính và ứng dụng của nó đối với xử lý ảnh, chúng ta thường sử dụng năm hàm. Về vấn đề này, chúng ta sẽ giới thiệu năm hàm này và xuất phát từ một vài thuộc tính của chúng. Điều này sẽ đơn giản hoá sự phát triển và các ví dụ trong các chương còn lại. Trong phần còn lại của chương này, chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng x như một biến độc lập, ngay cả cho các hàm một chiều. 9.4.1.Xung vuông Chúng ta biểu thị xung vuông bởi  1 1 1,  2  x  2  1 1  ( x)   , x   (50) 2 2 0, cßn l¹i   Xung vuông có chiều cao A và độ rộng a được cho trong hình 9-10. Hàm này thường sử dụng cho việc mô phỏng cửa sổ lấy mẫu vuông góc và các hàm san bằng. HÌNH 9-10 126
Hình 9-10 Xung vuông 9.4.2.Xung tam giác Chúng ta biểu thị xung tam giác bởi 1  x , x  1 ( x)   (51) 0, x 1 Hàm này được đưa ra trong hình 9-11. Những ứng dụng của nó tương tự với những ứng dụng của xung vuông. Việc nhân chập hai xung vuông giống nhau tao ra một xung tam giác. HÌNH 9-11 Hình 9-11 Xung tam giác 9.4.3.Hàm Gauss Hàm Gauss được cho bởi 2 / 2 2 ex (52) Và được trình bày trong hình 9-12. Miền bên dưới hàm Gauss là  2 / 2 2 1  ex dx  (53)  2 2 Theo lý thuyết xác suất, phân bố bình thường với giá trị trung bình x0 được cho bởi 1 2 / 2 2 p( x)  e  ( x  x0 ) (54) 2 2 đây là hàm Gauss điều chỉnh thành miền thống nhất. Ký hiệu 2 gọi là độ biến thiên (variance) và  được xem như là độ lệch tiêu chuẩn (standard deviation). Bảng 9-1 liệt kê những giá trị Gauss tại vài điểm. Hàm Gauss có một đặc tính rất hữu ích, đã nói đến trong chương 7; Phép nhân chập hai hàm Gauss luôn tạo ra một hàm Gauss khác. Đặc biệt,  ( x  a ) 2 / 2 12  ( x b ) 2 / 2 22  ( x  c ) 2 / 2 23 Ae  Be  ABe (55) 127
HÌNH 9-12 Hình 9-12 Hàm Gauss BẢNG 9-1 CÁC GIÁ TRỊ CỦA HÀM GAUSS ______________________________ 2 2 x e  x / 2 ______________________________ 0 1 0.5 0.8825 1.0 0.6065 1.177 0.5000 1.5 0.3247 1.177 2 0.2500 2.0 0.1353 3.0 0.0111 ______________________________ Trong đó c  ab vµ  32   12   22 (56) Vì thế, kết quả của hàm Gauss được mở rộng. Độ lệch tiêu chuẩn là căn bậc hai trung bình bình phương hai độ lệch tiêu chuẩn ban đầu và khoảng trống (offset) của nó là tổng hai khoảng trống ban đầu. Biên độ đỉnh là tích các biên độ hai đỉnh ban đầu. Tính chất nhân chập này của hàm Gauss rất hữu ích cho việc nghiên cứu các hệ thống tuyến tính. Hơn nữa, hình thù đơn thức (unimodal), bằng phẳng của hàm Gauss làm cho nó gần đúng đối với việc mô hình hoá các xết lấy mẫu, các vết hiển thị và sự đa dạng của các thực thể khác bắt gặp trong xử lý ảnh số và phân tích các hệ thống quang học. Vài tính chất có ích hơn của hàm Gauss được trình bày trong chương tiếp theo. Các tính chất này giải thích cách sử dụng thường xuyên của hàm Gauss trong phân tích hệ thống tuyến tính. 9.4.4.Xung (impulse) Xung, hay hàm đenta Dirac, không phải là một hàm theo định nghĩa truyền thống hàm. Mà là một hàm ký hiệu định nghĩa bởi tính chất tích phân của nó,     ( x )dx    ( x )dx  1 (57)   Trong đó  là một số nhỏ hơn 0 tuỳ ý. Lưu ý rằng (x) = 0 với x  0; xung không xác định tại gốc. 128
Bởi vì (x) không phải là một hàm nên sự sử dụng của nó giống như có phần làm suy yếu mức độ chính xác của chúng ta. Có một cách tiếp cận chính xác xem xét xung như một khái niệm theo lý thuyết phân phối, nó tạo ra các kết quả tương tự trong khi sử dụng ký hiệu phức tạp. Chúng ta sẽ bám chặt vào công việc thực tiến phổ biến và xem xét (x) như là một hàm, nhưng phải lưu ý đến những tính chất đặc biệt của nó. Xung có thể được xem như là một hạn chế của xung vuông hẹp 1 x  ( x )  lim  ( ) (58) a 0 a a Như trình bày trong hình 9-13. Khi a trở thành nhỏ hơn, xung cũng trở nên hẹp hơn, nhưng cao hơn, để bảo toàn diện tích. Theo sự hạn chế, xung trở nên cao vô hạn với chiều rộng nhỏ vô cùng. Ký hiệu cho xung không có đơn vị diện tích dịch đợc cho trong hình 9-14. HÌNH 9-13 Hình 9-13 Xung vuông mô phỏng của xung HÌNH 9-14 Hình 9-14 Ký hiệu cho xung được dịch Từ biểu thức (57), chúng ta có thể viết   A ( x)dx  A (59)  Và hơn nữa, 129
  f ( x) ( x )dx  f (0) (60)  Bởi vì xung khác 0 với x  0. Tính chất tích phân tổng quát hơn này được thực hirnj phổ biến như định nghĩa về xung. 9.4.4.1.Các tính chất của xung Xung có tính chất chọn lọc (sifting) bởi vì khả năng tách một điểm đơn ra khỏi đồ thị của nó. Điều này được biểu diễn bởi    f ( x) ( x  x0 )dx   f ( x  x0 ) ( x)dx  f ( x 0 ) (61)   Khi ta nhân một hàm với xung dịch của nó và tích phân kết quả, ta chỉ được giá trị của hàm tại vị trí xung. Chúng ta có thể chứng minh biểu thức (61) bằng cách thay thế x – x0 = , bao hàm dx = d. Thay vào biểu thức (61) ta được    f ( x) ( x  x0 )dx   f (  x 0 ) ( )d (62)   Từ biểu thức (60), ta có    ( ) f (  x)d  f (  x 0 )  0  f ( x0 ) (63)  điều phải chứng minh. Hàm đenta tỏ ra khá tỉ mỉ đối với sự thay đổi tỷ lệ của toạ độ trong một hệ thống toạ độ Đề-các vuông góc, 1  (ax)   ( x) (64) a Biểu thức (64) cho rằng một thay đổi tỷ lệ toạ độ thực sự sẽ tạo ra một thay đổi tỷ lệ của tung độ. Tính chất này phải được nghĩ đến trong khi thực hiện các thao tác đại số đối với xung. Chúng ta có thể chứng minh biểu thức (64) bằng cách đặt f(x) bằng một hàm tuỳ ý và viết  1   1   (ax) f ( x)dx    ( ) f ( )d  f ( 0) (65)  a  a a Trong đó ax = , x = /a và dx= (1/a)d. với a < 0, các giới hạn trao đổi lẫn nhau sẽ làm dấu trừ mất tác dụng và, vì thế, đòi hỏi các ký hiệu giá trị tuyệt đối. Bây giờ chúng ta có thể viết  1 1    1    (ax) f ( x)dx  f (0)    ( x) f ( x)dx     ( x ) f ( x )dx (66)  a a   a   Vì f(x) là hàm tuỳ ý nên nó chỉ đúng nếu biểu thức (64) đúng. Chú ý rằng với cách đặt a = -1 sẽ chứng minh rằng hàm đenta là đối xứng qua gốc. 9.4.4.2.Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính Chú ý rằng   ( x )  f ( x )    ( ) f ( x   )d  f ( x   )  0  f ( x ) (67)  130
Có nghĩa xung là hàm đồng nhất đối với phép nhân chập. Do nguyên nhân này, hàm đặc trưng của hệ thống tuyến tính được gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Đáp ứng xung là kết quả đầu ra của hệ thống mà đầu vào là một xung. 9.4.5.Hàm nhảy bậc (step function) Hàm nhảy bậc là hàm gián đoạn tại x = 0 và được cho bởi 1, x  0 1  u ( x)   , x  0 (68) 2 0, x  0 Và tính chất tích phân của nó    u ( x ) f ( x )dx   f ( x)dx (69)  0 Trong đó f(x) là hàm tuỳ ý. Hàm nhảy bậc dịch u(x - x0) được cho trong hình 9-15. Lưu ý rằng hàm nhảy bậc là tích phân của xung: HÌNH 9-15 Hình 9-15 Hàm nhảy bậc x 1, x  x 0 u ( x  x 0 )    (  x0 )d   (70)  0, x  x 0 Ngoài ra, như ta đã nói, xung là đạo hàm của hàm nhảy bậc du ( x ) u ' ( x)    ( x) (71) dx Chúng ta có thể chứng minh biểu thức (71) theo cách dưới đây. Đầu tiên chúng ta tích phân từng phần biểu thức     u ' ( x) f ( x)dx  u ( x) f ( x)    u ( x ) f ' ( x )dx (72)   Trong đó f(x) là hàm tuỳ ý tiến đến 0 khi x = . Với giới hạn này, biểu thức (72) rút gọn thành 131
   u ' ( x) f ( x)dx    u ( x) f ' ( x)dx (73)   Áp dụng định nghĩa của hàm nhảy bậc, ta có thể viết    u ( x ) f ' ( x)dx    f ' ( x)dx  [ f ( )  f (0)]  f (0) (74)  0 vì f() = 0. Sử dụng định nghĩa xung, ta có thể viết    u ' ( x) f ( x)dx  f (0)    ( x) f ( x)dx (75)   phải đúng đối với hàm f(x) được chọn tuỳ ý. Nhưng điều này chỉ đúng nếu biểu thức (71) đúng. 9.5.LỌC NHÂN CHẬP Phép nhân chập thường dùng để thực hiện các phép toán tuyến tính trên tín hiệu và ảnh. Phần này minh hoạ khái niệm trên với một số ví dụ. 9.5.1.Làm nhẵn (smoothing) Hình 9-16 trình bày sự sử dụng phép nhân chập để lằm nhẵn hàm nhiễu f(x). Xung vuông g(x) là đáp ứng xung của bộ lọc làm nhẵn. Giống như các hành động của phép nhân chập, xung vuông di chuyển từ trái sang phải, tạo ra h(x), tại từng điểm, là trung bình cục bộ của f(x) trên một đơn vị bề rộng bên trong. Trung bình cục bộ có tác dụng khử nhiễu biến thiên tần số cao trong khi vẫn bảo toàn hình dạng cơ bản của hàm vào. Đây là ứng dụng điển hình cho việ sử dụng các bộ lọc đáp ứng xung không âm để làm nhẵn dữ liệu nhiễu. Chúng ta có thể sử dụng xung tam giác hay xung Gauss như hàm làm nhẵn. 9.5.2.Làm nổi cạnh (edge enhancement) Hình 9-17 minh hoạ một kiểu lọc khác, lần này là để làm nổi cạnh. Hàm cạnh f(x) biến đổi biên độ thấp đến cao khá chậm. Đáp ứng xung g(x) là đỉnh dương với những vấu sườn (side lobe) âm. Giống như phép nhân chập tiến hành, g(x) di chuyển từ trái sang phải, với các vấu sườn và các vấu chính biến đổi cạnh lên từng nấc. Đầu ra của bộlọc chỉ ra là h(x). Bộ lọc làm nổi cạnh trong hình có hai kết quả. Thứ nhất, nó tiến tới làm giảm độ dốc biến đổi tại cạnh. Thứ hai, nó tăng cường phía khác của cạnh. Đây là tác dụng phổ biến của các bộ lọc làm nổi cạnh. HÌNH 9-17 132