Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 2 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Chia sẻ: Mucnang222 Mucnang222 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:149

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối nội dung phần 1, nội dung Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 2 cung cấp cho người học các kiến thức như sau: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền tần số. Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 2 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ Bên cạnh biến đổi Z, một công cụ toán học khác cũng rất quan trọng và hữu hiệu thường được dùng trong việc phân tích và tổng hợp các hệ thống tuyến tính bất biến, đó là chuỗi và biến đổi Fourier. Ở đây, tín hiệu được phân giải thành các thành phần hình sin (hoặc mũ phức). Do đó, ta nói tín hiệu được biểu diễn trong miền tần số. Biểu diễn toán học cơ bản của tín hiệu tuần hoàn là chuỗi Fourier. Nội dung chương này được bắt đầu từ việc biểu diễn các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn liên tục theo thời gian dưới dạng chuỗi và biến đổi Fourier tương ứng, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của một tín hiệu tuần hoàn, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của một dãy hữu hạn. Sau đây ta sẽ quan sát các hình ảnh tương quan giữa các miền đã học: miền thời gian rời rạc n, miền Z với miền tần số ω như hình vẽ dưới đây: Miền Z IZT Quan hệ giữa ZT ZT và FT FT Miền n Miền  IFT Hình 3.1. Quan hệ giữa miền tần số  và các miền khác. Việc ánh xạ tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền tần số  được thực hiện nhờ biến đổi Fourier và ngược lại việc ánh xạ tín hiệu từ miền tần số ω sang miền thời gian rời rạc được thực hiện nhờ biến đổi Fourier ngược. Ký hiệu: FT: Fourier Transform (Biến đổi Fourier) IFT: Inverse Fourier Transform (Biến đổi Fourier ngược) Trong chương này chúng ta cũng thấy sự liên quan giữa biến đổi Z và biến đổi Fourier và việc chuyển đổi giữa chúng. 3.1. Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 3.1.1. Định nghĩa biến đổi Fourier Biến đổi Fourier (Fourier Tranform: FT) Biến đổi Fourier của một tín hiệu x  n  được định nghĩa như sau: 110
 X (e j )   x(n)e n    jn (3.1) Ký hiệu toán tử:   FT x(n)  X e j xn  X e FT j (3.2) Ta thấy rằng e j  cos   j sin  tuần hoàn với chu kỳ 2π, do vậy khi thể hiện X e j  ta chỉ cần thể hiện với dải từ 0 đến 2π hoặc từ -π đến π rồi lấy tuần hoàn. * Các cách thể hiện X e j  Biểu diễn theo phần thực phần ảo: Bởi vì X e j  là một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó trong miền tần số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức dưới đây: X (e j )  X R ( )  jX I () (3.3) Theo công thức Euler có :   X (e )   x ( n ) e j  j . n   x (n)  cos(n)  j sin(n) (3.4) n  n  Hàm phần thực :  X R ( )  Re[ X (e j )]   x(n)cos(n) n  (3.5) Hàm phần ảo :  X I ( )  Im[ X (e j )]    x(n)sin(n) (3.6) n  Đây là dạng biểu diễn quen thuộc của số phức. Biểu diễn theo Modul và Argument: X (e j )  X (e j ) e j ( ) (3.7) Modul : X (e j )  X R2 ( )  X I2 ( ) (3.8)  X ( )  Argumen :  ( )  arg  X (e j )   arctg  I  (3.9)  X R ( )  X (e j ) được gọi là phổ biên độ tần số. Phổ biên độ tần số là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung : X (e j )  X (e j ) .  ( ) được gọi là phổ pha tần số. Phổ pha tần số là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ:  ( )    ( ) . 111
Biểu diễn theo độ lớn và pha: j X (e )  A(e j )e j ( )  A(e j ) e j ( ) (3.10) Hàm độ lớn A(ej) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và : A(e j )  X (e j ) (3.11) Còn : arg[ A(e j )]   ( )   ( ) (3.12) Hàm pha :  ( )   ( )  arg[ A(e j )] (3.13) j Với arg[ A(e j )] phụ thuộc vào dấu của hàm A(e ) như sau : j  2k  Khi A(e j )  0; k  0, 1, 2... arg[ A(e )]   (3.14)   Khi A(e j )  0 Một cách tổng quát, có thể viết :   A(e j )   arg[ A(e )]  2k  j 1 2  j   A(e )  (3.15)    2 k   2  1 Sgn  A(e j )     Ví dụ 1: Cho phổ của tín hiệu x  n  như sau: X (e j )  e j sin 4 a. Hãy biểu diễn phổ này ở dạng: - Phần thực, phần ảo - A(e j ), ( ) - X (e j ) , ( ) b. Hãy biểu diễn bằng đồ thị A(e j ),  ( ) , X (e ) ,  ( ) trong đoạn  0,2  j Giải: a. Từ biểu thức đã cho của đầu bài ta có: X (e j )  sin 4e j  sin 4 (cos  j sin  )  sin 4 cos  j sin 4 sin  ) Vậy phần thực là: sin 4 cos  Phần ảo là: - sin 4 sin  X (e j )  sin 4e  j  A(e j )e j ( )  A(e j )  sin 4   ( )   112
X (e j )  A(e j )  sin 4 Vì  ( )   ( )  arg[ A(e j )]  víi sin4  0   ( )      víi sin4  0 b. Đồ thị của A(e j ),  ( ) , X (e ) ,  ( ) trong đoạn  0,2  được cho trên j hình 3.2. A(e j ) 1 0    2  -1 4 2 X (e j ) 1 0    2  4 2    0 2   2     2   Hình 3.2. A(e j ),  ( ) , X (e j ) ,  ( ) trong đoạn 0,2  . 113
Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về biến đổi Fourier rời rạc thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 2: Hãy tìm biến đổi Fourier các dãy sau đây: a. x1  n     n  3    n  3 b. x2 n  u(n) c. x3  n   2n u(n  2) n d. x4  n    1  u (n  4) 4 e. x5  n    0,5n cos  n0  u  n   1  n f. x6  n    3  n= 0,2,4… 0  Với các trường hợp khác Giải: a. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x1 n   X 1  e j    x  n e 1  j n n     [  n  3    n  3]e n   j n       n  3 e n   j n     n  3 e  jn n  e 3 j e 3 j b. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x2 n   X 2  e j    x  n e2  j n n      u  n e jn   e jn n  n 0 Chuỗi này không tồn tại vì e  jn  1 . Vậy ta nói chuỗi x2 n  không có biến đổi Fourier. c. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x3 n   X 3  e j    x  n e 3  j n n    n   2n u  n  2 e jn    2e j  n  n2 114
 n Vì  2e   2  1  j nên chuỗi   2e   j không hội tụ. Vậy ta nói chuỗi x2 n  n2 không có biến đổi Fourier. d. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x4 n   X 4  e j    x  n e 4  j n n  n n  1   1      u  n  4 e  jn    j  n   4  n  4  4e  4  1   j  X 4  e j    4e  1 1  j 4e 1 1 Vì j  1 4e 4 e. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x5  n  Vì: e j  cos   j sin  e j  cos   j sin  x5  n    0,5  cos  n0  u  n  n 1   0,5 e j n  e j n  u  n  n 0 0 2 1 1   0,5  e j nu  n    0,5  e  j nu  n  n n 0 0 2 2  X 5  e j    x  n e 5  j n n  1  0,5 e j nu  n e jn  1    2  0,5 e j nu  n   n n 0 0 n   2  1  1     0,5e j (  ) n     0,5e j (  )  n 0 0 2 n 0 2 n 0 1 1 1     2 1  0,5e j (   ) 1  0,5e j (  ) 0 0 f. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x6  n   X 6  e j    x ne 6  j n n  n   1   x6  n  e  j n     e  jn n  0,2,4 n 0,2,4  3  115
Đặt n=2m (Với m nguyên dương) 2m m  1    1  X 6  e     j  1 j    2 j   m  0  3e  m  0  9e  1 1 9e2 j 1 1 Vì 2 j  1 9e 9 Như vậy, thông qua các ví dụ trên chúng ra thấy rằng không phải đối với tín hiệu trời rạc x  n  nào cũng thực hiện được biến đổi Fourier, rõ ràng phải có một điều kiện để cho biến đổi Fourier tồn tại. 3.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier Biến đổi Fourier của một dãy x  n  sẽ tồn tại nếu và chỉ nếu:   n  x ( n)   (3.16)  (Có nghĩa là chuỗi  n  x(n) hội tụ)  2 Từ đó suy ra: Ex=  n  x ( n)   (3.17) Nói cách khác phép biến đổi Fourier luôn hội tụ với các tín hiệu có năng lượng hữu hạn. Ví dụ: Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau : n n a. 2 u (n) b. 2 u ( n) c.  (n) d.  (n  k ) e. rect N (n) Giải :   a. 2 n   n u ( n)  2 n 0 n  Hàm 2nu(n) không thoả mãn (3.16) nên không tồn tại biến đổi Fourier.     n 1 b. 2 u ( n)  2 n  2 n   n  0 1  2 1 Hàm 2-nu(n) thoả mãn (3.16) nên tồn tại biến đổi Fourier :  2       j .n   j .n .e  j n n n 1 n FT [2 u (n)]  2 u (n).e  2 e  n   n 0 n 0 116
1 1 Vậy : FT [2  n u (n)]   1  2 1.e  j 1  0,5e  j  c.   ( n) n    1 Hàm (n) thoả mãn (3.16) nên tồn tại biến đổi Fourier :  FT[ (n)]    (n).e n    j .n  1.e  j 0  1  d.   (n  k ) n   1 Hàm (n - k) thoả mãn (3.16) nên nó có biến đổi Fourier :  FT[ (n  k )]    (n  k ).e n    jn  e  jk  N 1 e.  rect n   N ( n)  1 n 0 N  Hàm rect N(n) thoả mãn (3.16) nên tồn tại biến đổi Fourier : 1  e  jN  e   N 1 FT[rect N (n)]   n   rect N (n).e  jn  n 0  j n  1  e  j Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi (3.16) của nó hội tụ. 3.1.3. Biến đổi Fourier ngƣợc IFT: Inverse Fourier Transform Biến đổi Fourier ngược của phổ tín hiệu X e j  được định nghĩa như sau:  1  X (e j x ( n)  ).e jn d (3.18) 2  Ký hiệu: IFT [ X (e j )]  x(n) (3.19) X (e j )   x(n) IFT Hay : (3.20) Ở đây biến đổi Fourier ngược giúp ta xác định được x  n  từ X (e j ) Ví dụ: Hãy tìm tín hiệu số x  n  có hàm phổ là X (e )  cos( ).e j  j 2 . Giải : 117
 1  cos( )e e jn d  j 2 Theo có : x(n)  2   1 (e j  e j ) 1   d   e  e j ( n3)  d  j 2 j n j ( n 1) x ( n)  e e 2  2 4  1 1 j ( n 1)  1 j ( n 3)   x ( n)   e |  e | 4  j (n  1)  j (n  3)   1  e j ( n 1)  e  j ( n 1) e j ( n 3)  e  j ( n 3)  x ( n)     4  j (n  1) j (n  3)  [e j ( n 1)  e  j ( n 1) ] 1 1 [e j ( n 3)  e  j ( n 3) ] x ( n)  .  . 2(n  1) j2 2(n  3) j2 1 sin[(n  1) ] 1 sin[(n  3) ] x ( n)   2 (n  1) 2 (n  3) sin[(n  k ) ]  1 khi n  k sin[(n  k ) ] Vì :     (n  k ) (n  k ) 0 khi n  k (n  k ) 1 1 Nên : x ( n)   (n  1)   (n  3) 2 2 3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 3.2.1. Tính chất tuyến tính Biến đổi Fourier của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các biến đổi Fourier của thành phần. Giả sử có hai tín hiệu x1 (n) , x2 (n) và biến đổi Fourier của chúng là: FT  x1 (n)  X 1 (e j ) FT  x2 (n)  X 2 (e j ) Chúng ta coi x(n) được tạo bởi tổ hợp tuyến tính của hai dãy x1 (n) và x2 (n) như sau: x(n)  ax1 (n)  bx2 (n) (3.21) Với a, b là các hằng số. Biến đổi Fourier của x(n) được cho bởi: FT  x(n)   X (e j )     ax (n)  bx (n)e n  1 2  j n 118
   a  x1 (n)e jn  b  x2 (n)e  jn n  n   aX1 (e j )  bX 2 (e j ) (3.22) Ví dụ: Hãy xác định biến đổi Fourier của tín hiệu số 1 1 x(n)   (n  1)   (n  3) 2 2 Giải : Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có :    2  (n  1)e  2  (n  3)e j 1  j n 1  j n 1 1 X (e )   e j  e j 3 n  n  2 2 (e j  e j ) X (e j ) e j 2  cos( )e j 2 2 3.2.2. Tính chất trễ Khi dịch trễ dãy x  n  đi k mẫu thì phổ biên độ tần sốX(ej) không thay đổi, chỉ có phổ pha tần số () bị dịch đi lượng k. Nếu : FT [ x(n)]  X (e j )  X (e j ) .e j ( ) (3.23) Thì : FT  x(n  k )  e jk X (e j )  X (e j ) .e j[ ( )k ] (3.24) Nếu k > 0 là x  n  bị trễ k mẫu, nếu k < 0 là x  n  được dịch sớm k mẫu. Ví dụ: Hãy tìm : X (e j )  FT[2  n rect N (n)] Giải : Có 2 n rect (n) N  2 n u(n)  2 n u(n  N ) j Nên : X (e )  FT [2 n u(n)]  FT [2 N.2( n N ) u(n  N )] Ta có:   FT [2 n u (n)]  2 n  n u (n)e  jn   (2e j )  n n 0 n    1    1 1 j    1  0, 5e  j n  0  2e  1 1 2e j 1 FT [2  N 2  ( n N ) u (n  N )]  2 N e j N 1  0, 5e  j 119
1 1 Vậy : X (e j )  2 N e j N 1  0, 5e 1  0, 5e  j  j  j N j 1  (0, 5.e ) X (e )  FT [2 rect N (n)]  n  j 1  0, 5e 3.2.3. Tính chất đối xứng Xét tín hiệu rời rạc x  n  là tín hiệu phức ta có thể viết: x( n )  Re  x( n )  j Im  x( n ) (3.25) Vậy dãy x*(n) là liên hợp phức của x  n  có dạng: x* ( n )  Re  x( n )  j Im  x( n ) (3.26) Ta có: FT [x(n)]=X (e j ) FT [x *(n)]=X *(e j ) (3.27) Trong đó X*(e j ) là liên hợp phức của X(e j ) Nếu x  n  là thực thì: x(n)  x *(n) và FT [x *(n)]=FT [x(n)] Vậy đối với tín hiệu x  n  thực ta có quan hệ sau đây: X *(e j )=X (e j ) (3.28) X *(e j )=X (e j ) (3.29) Từ quan hệ (3.28) và (3.29) ta có thể nói rằng phổ của tín hiệu thực có tính đối xứng Hermit. Re  X(e j )  Re  X(e j ) (3.30) Im X(e j )    Im X(e j )  (3.31) Tức là: Re  X(e j ) là hàm chẵn của  . Im  X(e j )  là hàm lẻ của  . Tương tự ta có: X (e j )  X (e j ) (3.32) arg  X (e j )    arg  X (e j )  (3.33) 120
Ví dụ: n 3 Cho x(n)    u (n) 4 Tính X (e j ) , Re  X (e j )  , Im  X (e j )  , X (e j ) và arg  X (e j )  . Giải: n   3 FT [x(n)]=X (e )=  x(n)e j  j n     e  jn n  n   4   3 j  n 1  e   3  1  4    4e n    j     3  j  3 j   1  3 e j 1  e 1  e  4  4  4  3 3 1  cos   j sin   4 4 2 3 3 1  cos     2 4 Vậy ta có: 3 1  cos  Re  X (e j )   4 2 3 3 1  cos     2 4 3 sin  Im  X (e j )    4 2 3 3 1  cos     2 4 1 X (e j )  2 3 3 1  cos     4 4 3 sin  arg  X (e )   arctg  j 4 3 1  cos  4 Đồ thị của x  n  , Re  X  e j  , Im  X  e j  , X  e j  và arg  X  e j  121
x n 1 0 1 2 3 4 n Re  X  e j   5   0     2 2 Im  X  e j   2   0     2 2 -2 X  e j  4    122
arg  X  e j    2   0     2 2  2 Hình 3.3. Đồ thị của x  n  , Re  X  e j  , Im  X  e j  , X  e j  và arg  X  e j  3.2.4. Tính chất biến đảo Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x  n  và x  n  là hai hàm liên hợp phức. Nếu : FT [ x( n )]  X ( e j )  X( e j ) .e j (  ) FT  x(n)  X (e j ) Nếu x(n) là thực thì từ tính đối xứng Hermit (3.28) và (3.29) ta có: FT  x(n)  X (e  j )  X * (e j ) j arg  X ( e j )   j arg  X ( e j )  (3.34)  j j  X (e ) .e  X (e ) .e Như vậy ta thấy rằng phổ biên độ của 2 tín hiệu x  n  và x  n  như nhau, còn phổ pha của chúng thì trái dấu. Ví dụ: Hãy tìm X  e j   FT  2n u  n  Giải :  FT [ 2 n u( n )]  2 n  n u( n )e  jn  n   1    1 1     2e j  j  1 1  0 ,5e n 0 1 2e j Theo tính chất biến đảo có : 1 FT  2n u (n)   1  0,5e j 123
3.2.5. Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy bằng tích của hai biến đổi Fourier thành phần. j j Nếu : FT[ x1 (n)]  X 1 (e ) và FT[ x2 (n)]  X 2 (e ) Thì : Y (e j )  FT x1 (n) * x2 (n)  X 1 (e j ).X 2 (e j ) (3.35) Ví dụ: Hãy tìm X  e j   FT 2 n u  n  *   n  1 Giải : Ta có: 1 FT  2 n u  n     j và FT   n  1  e j 1  0,5e 1 e j Vậy : X e j   e  j  1  0,5e j 1  0,5e j 3.2.6. Biến đổi Fourier của tích hai dãy Biến đổi Fourier của tích hai dãy bằng tích chập của hai biến đổi Fourier thành phần. j j Nếu : FT [ x1 (n)]  X 1 (e ) và FT [ x2 (n)]  X 2 (e )  FT  x1 (n).x2 (n)  1  X (e ). X 2 (e j ( ) )d j  Thì : (3.36) 2 1  Hay : FT  x1 (n).x2 (n)  X1 (e j ) * X 2 (e j ) (3.37) Quan hệ (3.36) và (3.37) được gọi là tích chập liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2 . Nhận xét: Tích x3 (n)  x1 (n).x2 (n) thường được dùng trong trường hợp chúng ta nghiên cứu x1 (n) có chiều dài rất dài, để giới hạn chiều dài của x1 (n) ta nhân nó với x2 (n) có chiều dài hữu hạn gọi là cửa sổ, như ta có thể dùng cửa sổ chữ nhật x2 (n)  rect N  n  . Sau này ta sẽ dùng rất nhiều kỹ thuật cửa sổ này để tổng hợp bộ lọc số FIR. 3.2.7. Vi phân trong miền tần số Nếu FT [x(n)]=X (e j ) Thì: 124
dX (e j ) FT [nx(n)]=j (3.38) d Ví dụ: n Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy x(n)  2 n.u(n) Giải : 1 Có : FT  2 n u  n    1  0,5e j d  1  0,5.e j FT [2  n n.u (n)]  j      Theo (3.38) có : d  1 0,5e j   j   10,5e 2 3.2.8. Trễ tần số j 0 n Khi nhân dãy x  n  với e j , trong đó 0 là hằng số, thì hàm tần số X(e ) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng 0 , theo chiều ngược với dấu của 0. Nếu : FT [ x(n)]  X (e j ) Thì : FT e j n x(n)   X (e j (  ) ) 0 0 (3.39) Nhận xét: Việc nhân dãy x  n  với e j n trong miền tần số n sẽ tương đương với 0 việc dịch chuyển tần số của phổ X (e j ) đi một lượng 0 . Ví dụ: Tín hiệu số x  n  có phổ tần số là X (e j )  FT [ x(n)] . Tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên y(n)  x(n).cos(0n)  Vẽ dạng phổ của y(n) biết phổ của x  n  như hình vẽ với 0  . 2 Giải : e j n  e j n 0 0 Có : cos(0 n)  2 Do đó : 1  1  FT[ x(n). cos( 0 n)]  FT  x(n).e j0 n   FT  x(n).e  j0 n  2  2  Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được : 125
1 j (  0 ) 1 j (  0 ) FT[ x(n). cos( 0 n)]  X (e ) X (e ) 2 2 X  e j  1 2    2    0 2 2 Y  e j  1 2 2    2    0 2 2   1 j (  ) 1 j (  ) X (e 2 ) X (e 2 ) 2 2 Hình 3.4. Phổ của x  n  và y(n) 3.2.9. Công thức Parseval   1  x1  n x2  n     X1(e j )X 2 (e j )d (3.40) n  2  Quan hệ (3.40) gọi là quan hệ Parseval. Trong trường hợp x1  n   x2  n   x  n  quan hệ Parseval cho ta:   E x   x ( n)  1  2 j ) d 2 X (e (3.41) n  2    E x   x ( n)  1 S ( ).d 2 Hay : (3.42) 2 xx n   2 Trong đó : S xx ( )  X (e j ) (3.43) S xx   được gọi là phổ mật độ năng lượng của tín hiệu số x  n  , nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, phổ mật độ năng lượng S xx   chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục tần số. Ví dụ: 126
Xác định năng lượng của tín hiệu số x(n)  2 n u(n) theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được. Giải : Theo hàm thời gian có :    Ex   u (n)   (2 n ) 2   4 n  2 1 4 2 n  n  n 0 n 0 (1  4 ) 1 3 Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm :  2 j 1 1 X (e )  n u (n).e jn   j  n  1  0, 5e 1  0, 5 cos   j.0, 5 sin  1 1 Vậy : X (e j )   (10,5 cos  )2 (0,5 sin  )2 1,25cos  Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval (3.41): 1  1 1 2  (1, 25  1).tg (  )   Ex   .d  arctg   | 2 . 2  1, 25  cos  2 2 1, 25  1  1, 252  1   Ex  1 0, 75  2 2  arctg 3. tg  tg     1 0, 75 arctg (0)   0, 75  4 3 Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau (ở đây, nếu lấy arctg (0)  0 thì E x  0 , nên phải lấy arctg (0)   ). 3.2.10. Phổ tần số của hàm tƣơng quan và hàm tự tƣơng quan Nếu : FT [ x(n)]  X (e j ) và FT [ y(n)]  Y (e j ) Thì : Rxy (e j )  FT rxy (n)   X (e j ).Y (e j ) (3.44) Nhận xét: Nếu y (n) là thực ta có: Rxy (e j )  X (e j ).Y (e j )  X (e j ).Y * (e j ) (3.45) Nếu x(n)  y(n) ta có hàm tự tương quan Rxx (e j )  X (e j ) X (e j ) (3.46) Nếu hàm tự tương quan của x(n) thực ta có: Rxx (e j )  X (e j ) X * (e j )  X (e j )  S xx  e j  2 (3.47) 127
Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng của tín hiệu. Rxx (e j )  S xx  e j  (3.48) Quan hệ (3.48) ở trên gọi là định lý Weiner- Khintchine. j Đối với biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo ta còn gọi Rxy (e ) là phổ mật độ năng lượng chéo của x(n) và y(n) ký hiệu là S xy (e j ) Rxy (e j )  S xy (e j )  X (e j ).Y (e j ) (3.49) Ví dụ: Cho hai tín hiệu số x(n)  2 n u(n) và y(n)   (n  1) . Hãy phổ mật độ năng lượng chéo Rxy (e j )  FT rxy  n  của hai tín hiệu. Giải : 1 Ta có: X (e j )   j , Y (e j )  e j 1  0, 5e j j  j 1 j e j Rxy (e )  X (e )Y (e )  j e   j 1  0, 5e 1  0, 5e 3.3. So sánh biến đổi Fourier với biến đổi Z Theo biểu thức định nghĩa của biến đổi Z có :  ZT [( x(n)]  X ( z )   x(n) z  n (3.50) n  Với RC[ X ( z)] : Rx  | z |  Rx Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực : z = r.ej (3.51) Với |z|= r và arg [z] =    Vậy : X ( z )  X (re j )   x(n)(re j )  n   x(n)r  ne  jn (3.52) n  n  Khi |z|= r = 1 thì z = ej  Nên : X ( z ) z  e j  X (e j )   x(n)e  jn (3.53) n  Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được đánh giá trên vòng tròn đơn vị  z  = 1. Như vậy biến đổi Fourier chỉ là trường hợp riêng của biến đổi Z. Ví dụ 1: Cho dãy tín hiệu: 128
n 1 x  n    u  n 4 Hãy tìm X  z  và X  e j  . Giải: n 1  1 1 X  z      z n  z  n 0  4  1 4 1  z 1 4 Vậy X  z  hội tụ trên vòng tròn đơn vị nên X  e j  tồn tại, ta có: 1 X (e j )  X ( z ) z  e j  1 1  e j 4 Ví dụ 2: Cho dãy tín hiệu: x  n  u  n Hãy tìm X  z  và X  e j  . Giải:  1 z X  z    z n   z 1 n 0 1 z 1 z 1 Trong trường hợp này vòng tròn đơn vị z  1 không nằm trong miền hội tụ của X  z  , vậy X  e j  không tồn tại, tức là chuỗi :  FT  x  n   FT u  n    e  jn sẽ phân kỳ n 0 3.4. Biểu diễn hệ thống rời rạc dùng biến đổi Fourier Trong miền thời gian rời rạc n ta có đặc trưng cho hệ thống tuyến tính bất biến là đáp ứng xung h(n) và quan hệ vào/ra của hệ thống được thể hiện bởi tích chập: y(n)  x(n)  h(n) x(n) y(n) h(n) Hình 3.5. Hệ thống tuyến tính bất biến. Trong miền tần số  ta thấy rằng: x(n)  FT  X (e j ) h(n)  FT  H (e j ) y (n)  FT  Y (e j ) 129