BÀI SOẠN GIẢI TÍCH 2012-2013

Chia sẻ: Pham Xuan Dac | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:98

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giới hạn của dãy số thực: Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hội tụ. Số e. Giới hạn của hàm số: Định nghĩa, định lý giới hạn kẹp. Giới hạn một phía. Một số giới hạn quan trọng. Dạng vô định. Hàm số liên tục: Định nghĩa, các tính chất, liên tục một phía, tính liên tục của hàm sơ cấp. Hàm liên tục trên một khoảng đóng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÀI SOẠN GIẢI TÍCH 2012-2013

Chương 1 • Giới hạn của dãy số thực: Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hội tụ. Số e. • Giới hạn của hàm số: Định nghĩa, định lý giới hạn kẹp. Giới hạn một phía. Một số giới hạn quan trọng. Dạng vô định. • Hàm số liên tục: Định nghĩa, các tính chất, liên tục một phía, tính liên tục của hàm sơ cấp. Hàm liên tục trên một khoảng đóng.
ÁNH XẠ 1. Định nghĩa: Ánh xạ f từ X → Y là quy luật cho tương ứng với mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất y ∈ Y Ký hiệu f: X Y Y X x a y = f(x) 2. Phân loại ánh xạ Ánh xạ f là đơn ánh: mỗi y ∈ Y, có nhiều nhất một x ∈ X sao cho y = f(x). Ánh xạ f là toàn ánh: mỗi y ∈ Y, có ít nhất một x ∈ X sao cho y = f(x). Ánh xạ f là song ánh: mỗi y ∈ Y, có duy nhất x ∈ X sao cho y = f(x).
DÃY SỐ THỰC 1.Định nghĩa: Dãy số thực là một ánh xạ từ tập N* vào tập hợp các số thực R. Ký hiệu {xn}, n =1, 2,…, để chỉ một dãy số. Ví dụ: 1 1 1 a) { xn } ; xn = ; x1 = 1; x2 = ; L; xn = ;L n 2 n b) { xn } ; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; L; xn = 1;L c) { xn } ; xn = ( −1) ; x1 =−1; x2 = 1; L; xn = ( −1) ;L n n d) { xn } ; xn = n 2 ; x1 = 1; x2 = 4; L; xn = n 2 ;L n n � 1� 9 � 1� e) { xn } ; xn = �+ �; x1 = 2; x2 = ; L; xn = �+ � L 1 1 ; � n� 4 � n�
DÃY SỐ HỘI TỤ 1.Định nghĩa: Dãy số {xn} hội tụ về a giá trị xn “rất gần” a khi n đủ lớn. � ∃ a � ∀ >0, ∃N 0 : ∀n > N 0 :| x n - a| < ε R, ε Ký hiệu lim xn = a; lim xn = a n + Ví dụ: 1 a) lim 2 =0 n 1 b) lim n = 0 2
CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN 1. Nếu dãy số {xn} hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất 2. Nếu limxn, limyn tồn tại thì  lim(xn + yn) = limxn + limyn  lim(Cxn) = Climxn x n limx n  lim nyn= = limxnlimyn lim(x ) y n limy n  Ví dụ: �1 1 � a) lim � n + 2 � �2 n � � 1 � b) lim � n � 3. �2 �
DÃY SỐ PHÂN KỲ 1. Định nghĩa: Dãy {xn} phân kỳ nếu nó không hội tụ 2. Giới hạn vô hạn: Định nghĩa: Ta nói dãy số xn có giới hạn vô hạn nếu xn có giá trị tuyệt đối lớn tùy ý khi n đủ lớn. � ∀M > 0, ∃ N 0 , ∀n > N 0 : x n >M Ký hiệu lim x n = Nếu dãy số xn có giới hạn vô hạn và xác định dấu, tức là xn > 0 hoặc xn < 0 bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi, thì ta viết tương ứng. lim x n = + hoặc lim x n = − Ví dụ: Xét dãy số có số hạng tổng quát xn = Ank (n ∈N), trong đó A ≠ 0 và k > 0. Ta có lim An k = + nếu A > lim An k = − n ếu A < 0 0;
NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN Chuyển về các giới hạn cơ bản và thay vào biểu thức cần tính giới hạn (nếu giá trị biểu thức xác định) + a >1 + k>0 lim a = n lim n = k 0 0
TIÊU CHUẨN BA DÃY KẸP � n yn zn x ∃ � lim y n Định lý � � � n = limz n = a limx � yn = a lim 0 xn yn Hệ quả: � lim x n = 0 limy n = 0 nsinn Ví dụ: Chứng minh rằng lim 2 =0 n +1 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU Định nghĩa: Dãy {xn} được gọi là tăng nếu x n x n + 1 , ∀ n là giảm nếu x n x n +1 , ∀ n. Dãy tăng hay giảm được gọi là dãy đơn điệu. Dãy {xn} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực c sao cho c, ∀n xn , bị chặn dưới nếu tồn tại số thực d sao cho d, ∀n. xn
DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU Ví dụ: Xét các dãy số sau 1 xn = ( −1 ) n a) Dãy {xn} với xn = b) Dãy {xn} với n n � 1� c) Dãy {xn} với xn = n 2 d) Dãy {xn} với xn = � + 1 � � n� Định lý 1. Nếu dãy số {xn} tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. 2. Nếu dãy số {xn} giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. n � 1� Ví dụ: Dãy {xn} với x n = �+ � 1 � n� là một dãy tăng và bị chặn trên, do đó nó hội tụ. Gọi e là giới hạn của dãy ấy, ta được. n � 1� lim �+ �= e 1 � n�
HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số: f : X ̮�R Y R là quy tắc cho tương ứng với mỗi x ∈ X, với mỗi y ∈ Y. Ký hiệu: f : X ̮� R Y R x a y = f(x) Miền xác định : Df = {x : f(x) có nghĩa} Miền giá trị : Tf = { y = f(x) , với mọi x ∈ Df } Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) của mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bất kỳ lấy từ MXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương ứng của hàm số tại điểm x.
HÀM SỐ HỢP Định nghĩa: Nếu f là hàm số có miền xác định là D và ảnh f(x) của mọi x∈D đều nằm trong miền xác định D’ của hàm g, ta định nghĩa hàm gₒf (hàm hợp) của f và g, có miền xác định D sao cho gₒf(x) = g [f(x)] với mọi x∈D g f • x• u = f(x) • y= g(u)=g(f(x)) = gₒf g gₒf D D’ R Ví dụ: f(x) = x2, g(x) = cosx. Tìm hàm gₒf Chú ý: Ta có thể thành lập các hàm hợp khác t ừ hai hàm số cụ thể f, g nêu trên như fₒf, fₒg và gₒg
HÀM SỐ NGƯỢC Định nghĩa: Hai hàm số f (với miền xác định D) và g (với miền xác định D’) được gọi là ngược của nhau, ký hiệu g = f-1 hay f = g-1, nếu hàm f biến số thực a trong D thành số th ực b trong D’ thì hàm g biến số thực b trong D’ thành số th ực a trong D và ngược lại, nghĩa là b = f(a) � g(b) = a với mọi a ∈ D, b∈ D’ f (=g-1) )a= g(b) = f-1(b • • )b= f(a) = g-1(a g (=f-1) Ví dụ: D D’ x-1 Các hàm số f ( x ) = 3x + 1 và g ( x ) = 3 với miền xác định D = R là các hàm ngược của nhau
HÀM SỐ NGƯỢC Chú ý: 1. Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) là hai hàm ng ược c ủa nhau thì gₒf(a) = a và fₒg(b) = b. 2. f : D→ D’ có hàm số ngược khi và chỉ khi phương trình f(a) = b có nghiệm duy nhất a với mọi b∈Y. 3. Đồ thị của các hàm số ngược của nhau thì đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x (đường phân giác của góc phần tư thứ nhất) y = 3x +1 (b,a) x-1 y = y = g(x) (a,b) 3 y = f(x)
HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN Các cặp hàm số sơ cấp cơ bản 1. Hàm lũy thừa và căn thức: y = xn và y = x n n∈N 2. Hàm mũ và hàm logarit: y = ax và y = logax 0 < a ≠ 1 Đặc biệt a = e = 2,718… f(x) = ex ; logex = lnx. 3. Hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược  y = sinx và y = arcsinx  y = cosx và y = arccosx  y = tanx và y = arctanx  y = cotx và y = arccotx Tính chất của các hàm số sơ cấp cơ bản
HÀM SỐ SƠ CẤP Hàm sơ cấp là hàm được lập từ các hàm số cơ bản Ví dụ: Các hàm số sau hàm nào là hàm sơ cấp a ) y = sinx 2 b ) y = xx 1− x x 1 c) y= 0 x >1
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 1. Giới hạn tại một điểm x x0 ( { lim f ( x ) = a � ∀ � x n } : x n x0 f ( xn ) a) x+1 Ví dụ f ( x) = x-1 2. Giới hạn phải – giới hạn trái � xn x0 � lim+ f ( x ) = �∀ � { x n } : a � f ( xn ) a� � x x0 � xn > x0 � � xn x0 � lim− f ( x ) = a �∀ { x n } : � � f ( xn ) a� � x x0 � xn < x0 � x+1 x −1 Ví dụ: f ( x) = x x < −1
TÍNH CHẤT CỦA GIỚI (HH) CỦA HÀM SỐ Gỉa sử f và g là các hàm số có giới hạn hữu h ạn khi x →x 0 1. lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x) x x0 x x0 x x0 2. lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) lim g(x) x x0 x x0 x x0 � � x x 0 f(x) ( lim g(x) 0 ) f(x) lim 3. lim � � = x x0 � � lim g(x) g(x) x x0 x x0 4. lim f(x) = lim f(x) ; lim lnf(x) = ln lim f(x) x x0 x x0 x x0 x x0 5. lim f(x) tồn tại lim+ f(x) = lim− f(x) x x0 x x0 x x0 6. f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f(x) = f(x 0 ) x x0 x Ví dụ: lim không tồn tại x 0 x
GIỚI HẠN (VÔ CÙNG) CỦA HÀM SỐ lim f ( x ) = + x x0 ( ∀{ x } : x n n x0 f ( xn ) + ) lim f ( x ) = − �� lim �f ( x ) � + � − �= x x0 x x0 Giới hạn của hàm số khi x + (− ) cũng đ ược đ ịnh nghĩa tương tự. CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN sinx 1. lim = 1 từ kết quả này ta suy ra x 0 x sinαx sinx 1 limα ; lim = , β =0 x 0 xβx β x 0 sinαx α tanx lim = ,β 0; lim =1 x 0 sinβx β x 0 x
CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN x 1 � 1� 2. lim ( 1 + x ) = e x � lim � + � = e 1 x 0 x � x� ln ( 1 + x ) 3. lim =1 từ kết quả này ta suy ra x 0 x l og a ( 1 + x ) 1 lim = , 0< a 1 x 0 x ln a ex − 1 t lim = lim =1 x 0 x t 0 ln(t + 1) ax − 1 lim = ln a x 0 x
CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH 0 Các dạng vô định , , 0. , − , 00 , 0 ,1 0 Ví dụ: Tính các giới hạn sau x3 − 3x 2 + 2 2. lim x2 + 1 − x − 1 1. lim 2 x 1 x − 3x + 2 x 0 x2 + 2x x �x + 8 � x3 + 3x 2 − 5 x + 7 3. lim � � 4. lim x �x − 2 � x x3 − 3x + 2 �1 3 � sin 5 x − sin 3 x 5. lim � − 6. lim x 1 1− x 3 � sin x � 1− x � x 0 7. lim ( cos x ) x 0 1 x2 x + ( 8. lim x + 3 − x + x 2 2 )