Bài tập đại số tuyến tính: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:82

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Đại số tuyến tính qua các ví dụ & bài tập" phần 1 trình bày các nội dung chính sau: Không gian véc tơ; Độc lập tuyến tính - hệ sinh; Ma trận; Các phép toán cơ bản của ma trận; Ma trận nghịch đảo; Hạng của ma trận; Định thức; Hoán vị;... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập đại số tuyến tính: Phần 1

* ĩ 0 B ộ SÁCH T O Á N CAO CẤP - VIỆN T O Á N H Ọ C rinh oi LÊ T U Ấ N H O A D Ạ I S Ô T U Y Ê N T Í N H • Qua các ui DỤ Se Bái TẬP e NHÀ XUÂT BAN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ©GÍ
SÁCH ĐÀ IN T R O N G B Ộ NÀY: 2000: Phương trình vi phân đạo hàm riêng (Tập 1) Tràn Đức Vãn 2001: Giảo trinh Đai số tuyến tính N jó Việt Tvmụi f Phương trinh vi phân đạo hàm riêng (Tập 1+2) Tràn Đúc Vãn Nhập mòn Lý thuyết điểu khiến Vũ Ngọc ĩlhit 2002: Giãi tích các hàm nhiều biến Đ.T. Lục, P.H. ĐiểnyT.D. pímớiụ) Lý thuyết Hệ động lực Nguyễn Đình Cõng 2003: Lôgic toan và Cơ sơ toán học ?inm Đi nỉ) Diêu Giáo trinh Đại số hiện đại Nguyền T ụ Otơih) Lý thuyết không gian Orlicz Hà Huy Bùn) Đại số máy tinh: Cơ sớ Groebner Lê Tuấn Hoa Hàm thực và Giải tích hàm Hoàng TUY) Số học thuạt toán H.H. nhoai, P.H. Điên 2004: Mã hóa thòng tin: Cơ sớ toán học và ứng dụng P.H. Điếu, H.H. KÍ;odi Lý thuyết Tò' họp và Đổ thị Ngô ĐÁC Tân Xác suất và Thống kê Trần Mạn/; Tuấn 2005: Giai tích Toan học: Hàm số mỏi biến Đ.T. Lục, P.H. Điếu, T.D. pímơìu] Lý thuyêt Phương trinh vi phân đạo hàm riêng (Toàn tập) Trấn Đúc Ván Còng thức kiêu Hopí-Lax-Oleinik cho phương trinh Hamilton-Ịacobi Tràn Đúc Van Đại số tuyến tính qua các vi du và bài tập Lé Tuấn Hoa Lý thuyết Galois Nỹõ Việt Trui!.í Cỏ thê đặt mua sách trực tiếp tại Viện Toán học, 18 Hoàng Quôc Việt. Hà Nội Điện thoại 84-4-7563474/205 (Văn phòng); 84-4-7563474/302 (Thư viện) Fa\: 84-4-7564303 E-mail: nklan li maih.ne.\ n (VP), ciKinlì ứ maduic.N n (TV)
Đ Ạ I S Ố T U Y Ế N T Í N H Q U A C Á C V Í D Ụ V À B À I T Ậ P Lê Tuấn Hoa Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam N H À XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ N Ộ I
-é o *• 1 -Ó ; i T L 0 Ì mề I k i ho n oi B ộ S Á C H T O Á N C A O CẤP - V I Ệ N T O Á N H Ọ C H Ộ I Đ Ồ N G B I Ê N TẬP Hà Huy Khoái (CMtịcã) N g ô V i ệ t Trung Phạm Huy Đ i ể n {Tim ký)
ỳ\ g i ớ i t h i ệ u T r o n g những năm gần đây, nhu cầu sách tham khảo tiếng Việt về tí cùa sinh viên các trưụng Đại học, nghiên cứu sinh, cán bộ nghiên c và ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt. Bộ sách "Toán cao cấp" ( Viện Toán học ra đụi nham góp phần đáp ứng yêu cầu đó, làm phong phú th nguồn sách tham khảo và giảo trình đại học von có. Bộ sách Toán cao cáp sẽ bao gồm nhiều tập, đề cập đến hầu hết các lĩnh Ì khác nhau cùa toán học cao cấp, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các hưc đang phát triển mạnh cùa toán học hiện đại, có tầm quan trọng trong sự phát ừ lý thuyết và ứng dụng thực tiễn. Các tác giả cùa bộ sách này là những ngưụi nhiều kinh nghiệm trong câng tác giảng dạy đại học và sau đại học, đồng thụ những nhà toán học đang tích cực nghiên cứu. Vì thế, mục tiêu cùa các cuốn Si trong bộ sách này là, ngoài việc cung cấp cho ngưụi đọc những kiến thức cơ i nhất, còn co gắng hướng họ vào các vấn đề thụi sự liên quan đến lĩnh vực mà CI sách đề cập đến. Bộ sách Toán cao cấp có được là nhụ sự ùng hộ quý báu của Viện Khoa ì và Công nghệ Việt Nam, đặc biệt là sự cổ vũ của Giáo sư Đặng Vũ Minh và G sư Nguyễn Khoa Son. Trong việc xuất bản Bộ sách, chúng tôi cũnẹ nhận được giúp đỡ tận tình của Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. Nhiều nhà toán ì trong và ngoài Viện Toán học đã tham gia viết, thẩm định, góp ý cho bộ sách. V Toán học xin chân thành cám ơn các cơ quan và cá nhân kể trên. Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Toán cao cáp chác chăn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp cùa độc già đê bộ Si được hoàn thiện hơn. Chủ tịch Hội đồng biên tập GS-TSKH Hà Huy Khoái Ì
M ụ c l ụ c Lời nói đầu Phần ì: Tóm tắt lí thuyết, ví dụ và đề bài Ì Không gian véc tơ Ì Các cách nhận biết một không gian véc tơ 2 Độc lập tuyến tính - Hệ sinh 4 Tổng trực tiếp ; 2 Ma trận í 5 Các phép toán cơ bản của ma trận ! 6 Ma trận nghịch đảo 7 Hạng của ma trận Ì 8 Ma trận đa thức I 3 Định thứcỉ 9 Hoán vị í 10 Các phương pháp tính I 11 Một số tính chất của định thức 12 Các bài toán tổng hớp về định thức 4 Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn í 13 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính í 14 Không gian thường và các định lí đồng cấu ! 15 Các cách xác định một ánh xạ tuyến tính ! 5 Hệ phương trình tuyến tính lí 16 Cấu trúc tập nghiệm 1( 17 Phương pháp giải ì: 3
4 MỤC LỤC 6 Toán t ử tuyến tính l i 7 18 Véc tơ riêng và giá trị riêng : l i ' 19 Không gian con bất biến 123 20 Toán t ử đa thức Ì 2 8 21 Không gian xích 134 22 Dạng chuẩn .lordan 137 7 Không gian ơclit và không gian unita 145 23 Dinh nghĩa và các tính chất cơ bản 145 24 Góc, véc tơ chiếu và thể tích 155 25 Toán tử trực giao và toán t ử unita 161 26 Toán t ử liên hớp và toán t ử t ự liên hớp 171 8 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương 179 27 Định nghĩa và các tính chất 179 28 Dạng toàn phương thực 189 29 Dạng Hermite và dạng toàn phương Hermite 197 9 Đại số đa tuyến tính 203 30 Ánh xạ đa tuyến tính 203 31 Tích tenxơ . 206 32 Dại số đối xứng và đ ạ i số ngoài 212 10 Hình học giải tích 221 33 Không gian afin và ánh xạ afìn 221 34 Không gian con aíìn 226 35 Không gian Oclit, afin 231 36 Siêu mặt bậc hai trong không gian afm 238 36.1 Siêu mặt, bậc hai trong không gian afin tổng quát . 238 36.2 Siêu mặt bậc hai trong không gian afin trên trường số thực 240 36.3 Siêu mặt bậc hai trong không gian ơclit afin . . . . 241 li Đôi điều tản mạn 249 37 Một vài ứng dụng 249 37.1 Định lí cơ bản của Dại số 249 37.2 Qui hoạch tuyến tính 251
MỤC LỤC 38 Sử dụng M A P L E 25 P h ầ n l i : L ờ i g i ả i , chỉ d ẫ n , đ á p số Lời giải, chỉ dẫn chương Ì 26 Lời giải, chỉ d ẫ n chương 2 27 Lời giải, chỉ d ẫ n chương 3 29 Lời giải, chỉ d ẫ n chương 4 31 Lời giải, chỉ d ẫ n chiíơng 5 32 Lời giải, chỉ d ẫ n chương 6 33 Lời giải. chỉ d ẫ n chương 7 3£ Lời giải, chỉ d ẫ n chương 8 37 Lời giải, chỉ d ẫ n chương 9 3Í Lời giải, chỉ d ẫ n chương lo 4 1 Lời giải, chỉ d ẫ n chướng li 4Í Tài liệu tham khảo 4Z Tra cứu 4 /
L ờ i n ó i đ ầ u Đại số tuyến tính là một môn học cơ bản của Toán cao cấp và đước dạy ngay t ừ n ă m t h ứ nhất ở các trường đ ạ i học, cao đẳng. Bởi vậy có không ít sách bài t ậ p về môn này, chẳng hạn xem (8. l i , 12, 14. 16]. Vậy t ạ i sao cần có một quyển sách bài t ậ p mới? Có một số lí do để tác giả thực hiện công trình này. Tníớc hết, theo tác giả, muốn nắm vững kiến thức môn học này - một trong những môn học đ ầ u tiên của Toán học t r ừ u tướng - thì sinh viên cần biết kĩ ví d ụ minh họa từng khái niệm và ví dụ vận dụng kết quả mới. Do hạn chế về mặt, thời gian và số lướng trang, điều này không thể nào the hiện đầy đủ đước ở các sách giáo trình cũng n h ư các bài giảng. Vì vậy mục đích đ ầ u tiên của quyển sách này là thông qua việc cung cấp hơn 100 ví d ụ sẽ giúp sinh viên có the hiểu sâu hơn môn học. T i ế p theo, tác giả cho rằng việc làm một số bài tập tính toán là cần thiết, nhưng để hiểu đước bản chất môn học thì không cần làm quá nhiều bài tập loại này. Nhất là hiện nay với sự trớ giúp của các phần mềm toán học mạnh n h ư Maple, Mathematika,... thì sau khi nắm vững kiến thức, ta có t h ể dễ d à n g giải đước nhiều bài tập tính toán trong thời gian không đáng kể. Trong khi đó, việc giải một số bài tập có tính chất, lí thuyết, dù là đơn giản, sẽ giúp sinh viên hiểu kĩ hơn môn học rất nhiều. Rất tiếc, trong các sách bài tập bằng tiếng Việt về Đ ạ i số, chỉ có một, ít bài t ậ p n h ư vậy. Đối với độc giả V i ệ t Nam ta, quyển sách nổi tiếng của Proskulyakov [14] có t h ể xem n h ư một quyển bách khoa về bài t ậ p môn này. Tuy nhiên quyển này hiện không đước lưu h à n h rộng rãi (một phần cũng vì ít người biết tiếng Nga). M ộ t lí do nữa là không có quyển giáo trình nào trình bày một cách hệ thống các phương p h á p giải bài tập. Chỉ có thể bổ sung điều này trong sách bài tập. Trên t h ế giới t ừ lâu cũng đã có những tác giả thực hiện việc đó. chẳng hạn xem Ị12]. Nhưng cách giải bài tập thì muôn hình muôn vẻ, không thể có hi vọng viết nên một, cam nang đầy đủ. Đây là chỗ có thể t ì m tòi tiếp. Trong quyển sách này, sau khi nêu những khái niệm hoặc kết 7
8 Lụi nói dâ u quả then chốt là phần trình bày phương p h á p giải. Nếu phương p h á p giải đã đước nêu sẵn trong bản t h â n kết quả, thì những ví dụ kèm theo sẽ chỉ cho độc giả thấy rõ điều đó. Trong nhiều trường hớp. những phương p h á p đơn lẻ đước trình bày t h ô n g qua các bài t ậ p và chỉ d ẫ n của chúng. M ộ t khi nắm t ố t những phương p h á p chính nêu ra trong quyển sách, độc giả có thê dễ d à n g giải đước các bài tập tính toán, và có t h ể giải đước nhiều bài t ậ p lí thuyết. Phần lớn bài trong số hơn 800 bài t ậ p của quyển này đước tuyển chon t ừ quyển sách [14] đã nêu ở trên. Dù rằng tác giả đ ã sưu t ầ m t h ê m một số lướng khá lớn bài tập khác (chủ yếu t ừ các quyển sách [5, 7, 10, 13]), nhirng đó không phải là điểm khác biệt chính. Ngoài điểm khác biệt lớn nhất là cung cấp khá hệ thống ví dụ và phương p h á p giải n h ư đ ã nên ỏ trên, thì điểm khác biệt lớn tiếp theo là trong quyển sách này là trình bày lời giải hoặc chỉ d ẫ n khá chi t i ế t cho tuyệt đ ạ i đ a số bài tập. Vì vậy nhiều bài t ậ p với những chỉ d ẫ n đơn sơ (hoặc không có) trong quyển [14] là khá khó hoặc rất khó. thì bây giò có thể trở nên vừa t ầ m hơn đ ố i với phần lớn sinh viên đ ạ i học tong hớp. Cũng cần nói ngay là quyển sách này không nhằm mục đích cung cấp lời giải cho quyển [14]. Do vậy rất nhiều bài t ậ p tính t o á n và một số bài t ậ p khó của quyển đó không đước nêu ở đây. Độc giả nào muốn t h ử sức của mình, nên tìm hiểu quyển sách đó với gần 2000 bài tập- Như trên đã nêu, mục đích chính của bài t ậ p là để hiểu kĩ và sâu hơn lí thuyết. Ngước l ạ i , để làm t ố t đước bài tập thì phải hiểu kĩ lí thuyết. Vì vậy, trước m ỗ i phần bài tập là phần tóm t ắ t lý thuyết. Điều đó không chỉ tạo điều kiện dỗ d à n g cho việc theo dõi phương p h á p hoặc chỉ d ẫ n cách giải bài tập, mà còn giúp độc giả hệ thống hóa l ạ i kiến thức đã học. Đối tướng chính quyển sách này nhằm phục vụ là sinh viên các trường tổng hớp và sư phạm. Tuy nhiên nó cũng sẽ bổ ích cho sinh viên các trường đại học khác muốn tìm hiểu kĩ hơn về môn Đ ạ i số tuyến tính. Mặc d ù phần lời giải sơ lước và chỉ d ẫ n đủ để một sinh viên khá có t h ể giải đước t ấ t cả các bài tập, tác giả không khuyến khích sinh viên xem ngay phần này khi chưa đ ầ u t ư đủ thời gian để suy nghĩ. Ngước l ạ i , nếu ai đó xem phần chỉ d ẫ n (hoặc t h ậ m chí lời giải sơ lước) mà trình bày đước chi tiết lời giải thì củng là điều bổ ích. Việc chia chương mục ở quyển sách dựa theo truyền thống của hầu hết sách về D ạ i số tuyến tính. Nó gồm 10 chương chính. Tuy nhiên, vì đây không phải là giáo trình, cho nên trình t ự kiến thức không nhất thiết đươc trình bày t u ầ n tự, mà có t h ể lặp đi lặp l ạ i . Lí do chủ yếu là nhiều khi vận dụng kiến thức học sau đó, ta l ạ i có t h ê m công cụ để giải quyết các bài t ậ p trước đó. Ngước l ạ i , vì chủ ý của tác giả là cung cấp một cách có hệ thống
Lụi nói đần, 9 các phương p h á p giải, nên đối với người mới bắt đ ầ u học môn này, có một, số bài t ậ p để giải nó cần những kiến thức vướt quá phần lí thuyết (nhiều hay ít còn t ù y thuộc vào trình t ự kiến thức của giáo trình đước học). Điều này khó có t h ể đánh dấu chính xác đước, song hầu n h ư (mặc dù không luôn luôn) có t h ể nhận biết đước dỗ dàng qua đề bài. Khi đó độc giả cứ việc bỏ qua những bài tập n h ư vậy, và hãy quay trở lại khi đã đước học t h ê m kiến thức mới. Cách tiếp cận này có thể hơi rối rắm, nhưng bù lại tác giả t i n rằng nó sẽ khá him ích với những người muốn ôn l ạ i môn học này. Ngay cả những sinh viên lần đ ầ u học môn này, trong quá trình học cũng có thể thỉnh thoảng nhìn l ạ i để có cách nhìn nhất. quán hơn các phần đ ã học. Chương cuối cùng (Chương l i ) có hai mục đích. M ộ t mặt, nó cung cấp cho độc giả một giải trí nho nhỏ sau thời gian dài mệt mỏi với phần bài tập, bằng cách giới t h i ệ u vài ứng dụng lí thú. M ặ t khác nó chỉ d ẫ n cho độc giả cách sử dụng một phần mềm toán học là Maple để giải các bài tập tính toán bằng số, hoặc t h ậ m chí t ự ra đề bài đước. Dù trình bày ở chương cuối, tác giả khuyên các sinh viên nên đọc Mục 38 sớm để có the dùng máy tính kiểm tra các kết quả tính toán của mình. Hi vọng là khi đó độc giả sẽ thấy bài tập môn này khá dỗ! Quyển sách đước biên soạn bằng phần mềm L A T E X . Độc giả có thể tham khảo quyển sách [4| về cách sử dụng. Các mục đước đánh số độc lập với chương. Các định nghĩa, định lí, bài tập, ... đước đánh số theo mục. Bài tập khó đước đ á n h dấu *. K h i nào trường số không đước nêu rõ thì ta xem đó là trường số thực. Quyển sách này đước viết dựa trên kinh nghiệm bản t h â n tác giả thu đước t ừ quá trình học đ ạ i học, nghiên cứu, cũng như những n ă m dạy đ ạ i học và sau đ ạ i học gần đây. Mặc dù vậy, quyển sách không t r á n h khỏi t h i ế u sót. Tác giả cũng đã nhận đước những lời góp ý quý báu của giáo sư Nguyễn T ự Cường và giáo sư Đỗ Long Vân - những người đã đọc rất kĩ bản thảo. Qua đó một số t h i ế u sót cũng như một số l ỗ i ấn loát đã đước kịp thời sửa chữa. Tuy nhiên, chắc chắn vẫn còn t i ề m ẩn những sai sót và chỉ có bản t h â n tác giả là người phải chịu trách nhiệm về nó. Tác giả hi vọng sẽ nhận đước sự đóng góp ý kiến của độc giả và đồng nghiệp để có thể chỉnh lí trong những lần tái bản sau. Cuối năm 2005 Tác giả
P h ầ n I TÓM TẮT LÍ THUYẾT, V Í D Ụ V À D Ề B À I li
C h ư ơ n g Ì Không gian véc tơ Ì Các cách nhận biết một không gian véc tơ Trong toàn bộ quyển sách này, nếu không nói gì khác thì K là một, trường tùy ý. Chẳng hạn K có t h ể là trường các số hữu t ỷ Q, trường các số thực R, trường các số phức c , hay trường hữu hạn gồm q phần t ử Fạ. Dể chứng tỏ một, tập hớp là không gian véc tơ (trên trường K), có hai phương p h á p chính. Phương pháp 1: SÍT dụng định nghĩa. Định nghĩa 1.1 Tập hớp VỶ 0 cùng với phép cộng véc tơ V X V —» V : {x,y) H> X + y và p h é p n h â n vô hướng K xV —>v : (Q, X) H-> a i đước gọi - là không gian véc tơ trên trường K nếu với mọi x,y,zeVvka,PeK các điều kiện sau đây thỏa mãn: (i) (X + ỳ) + z = X + (y + z). (li) X + y = y + X. (ni) Tồn tại véc tơ 0, gọi là véc tơ không, có tính chất 0 + X = X + 0 = X. (iv) Tồn tại véc tơ —X, gọi là véc tơ đối của X, sao cho X + (-x) = ( - x ) + X = 0. (v) (ap)x = a(0x). (vi) (ừ + ậ)x = QX + 0X. (vii) a(x + y) = Otx + ày. 13
14 Chương 1. Không gian véc tơ (viii) Ix = X. Ta gọi phần tử của V là véc tơ, phần tử của K là phần tử vô hướng. Dưới đây là một số ví dụ đơn giản về không gian véc tơ: Ví dụ 1.1 (i) Từ định nghĩa trên ta thấy ngay trường K là một không gian véc tơ trên chính nó. ở đây phần t ử của K vừa đóng vai t r ò là véc tơ, vừa là phần t ử vô hướng. (li) Tập các véc tơ tự do trên mặt phang hoặc trong không gian thỏa mãn t ấ t cả các tiên đề trên. Để kiểm tra điều đó, ta cần phải chú ý rằng các véc tơ cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau (trên quan điểm lí thuyết t ậ p hớp, mỗi véc tơ t ự do là một lớp tương đương của các đoạn thẳng định hướng), còn phép cộng đước định nghĩa theo qui tắc hình bình hành. K h i đó việc kiểm tra các tính chất trên là những bài tập đơn giản của hình học sơ cấp. Vậy các véc tơ t ự do t r ê n mặt phang hoặc trong không gian lập t h à n h các không gian véc tơ trên trường số thực. (iii) Nếu K là trường con của trường L và V là không gian véc tơ trên L, thì nó cũng là không gian véc tơ trên K. Chẳng hạn c vừa là không gian véc tơ trên chính nó, vừa là không gian véc tơ trên K và cũng là không gian véc tơ trên Q. Mặc dù về nguyên tắc phải kiểm tra tất cả tám tiên đề trên, song trong phần lớn các trường hớp, chủ yếu chỉ cần chứng t ỏ các p h é p t o á n cộng và n h â n vô hướng đước hoàn toàn xác định. nghĩa là các qui tắc nêu ra đúng là các p h é p toán, và sau đó phải chỉ ra phần t ử đ ố i và phần t ử không. Ví dụ 1.2 (i) Xét tập tất cả các đa thức một biến K[x} với phép cộng đa thức thông thường và phép n h â n đ a thức với phần t ử của trường. Vì tổng của hai đ a thức l ạ i là một đa thức, và tích của đ a thức với phần t ử của trường l ạ i là đ a thức, nên các phép cộng và p h é p n h â n thông thường thực sự là các phép toán trên K[x]. Đa thức 0 đóng vai trò véc tơ không, còn đa thức đối là véc tơ đ ố i . Các tiên đề còn lại là những tính chất quen biết của đ a thức. Vậy K[x] lập t h à n h một không gian véc tơ. (i') Tương tự, tập tất cả các đa thức một biến K[x\ bậc nhỏ hơn hoặc bằng một số n > 0 cho trước là một không gian véc tơ.
Các cách nhận biết một không gian véc tơ 15 Tuy nhiên t ậ p t ấ t cả các đ a thức một biến K[x\ bậc lớn hơn hoặc bằng một số Tí > 0 cho trước với phép cộng đa thức t h ô n g thường và phép n h â n đ a thức với phần t ử của trường nêu trên không phải là một không gian véc tơ. Lí do ở đây là tong của hai đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng n có thể có bậc nhỏ hơn n, nên p h é p cộng t h ô n g thường không phải là p h é p toán (trên t ậ p đ a n g xét)! (Trong khi đó, cả 8 tiên đề trên đều thỏa mãn!) Ta cũng có t h ể mở rộng các kết, quả trên ra cho vành đa thức nhiều biến trên một trường. Tập hớp các hàm số thực xác định trên đoạn thẳng [a, b}, a < b, với các phép cộng và phép n h â n với một, số t h ô n g thường rõ r à n g thỏa mãn cả 8 tiên đề nêu t r ê n với véc tơ 0 là h à m đồng nhất bằng 0 và véc tơ đ ố i của f ( x ) là h à m —f(x). Vậy nó là một không gian véc tơ. Xét tập hớp C[a, b] các hàm số liên tục trên đoạn thẳng thực [ạ, 6], CL < b. Tổng của hai h à m liên tục l ạ i là một h à m liên tục, và tích của một số với một h à m liên tục l ạ i là h à m liên tục. Vậy các p h é p cộng và phép n h â n t h ô n g thường là các p h é p t o á n trên t ậ p C[a, bị. H à m số đồng nhất bằng không cũng thuộc t ậ p này, và đóng vai t r ò là véc tơ 0. Nếu f ( x ) liên tục thì —f(x) cũng liên tục, và đóng vai t r ò là véc tơ đ ố i . Bây giờ ta thấy ngay 8 tính chất nêu trên là những tính chất quen biết của h à m số. Tuy nhiên tập các hàm không liên tục trên đoạn thẳng thực [à, b) với phép cộng và p h é p n h â n (với một số) t h ô n g thường không lập t h à n h không gian véc tơ. Lí do là tổng của hai h à m không liên tục có t h ể là h à m liên tục (hãy chỉ ví dụ). Do đó phép cộng thông thường không phải là phép t o á n trên t ậ p này! Cho Vị, ị € ì. là một họ các không gian véc tơ trên trường K. Trên tích Đề-các V = Y\ ieI Vị, với u — V = {Vi) i e V và a e ie K, ta định nghĩa u + v = {uị + Vị) i,ie au = (aui) . ieỊ Với mỗi i € ì, Vi là không gian véc tơ. Do đó Uj + Vi G Vị và auị 6 Vị, tức là u + V G V và au G V. Vậy các p h é p cộng và n h â n ở trên đúng là các p h é p toán. Phần t ử 0 = ( 0 j ) ị / , trong đó 0, là các véc tơ Ễ không của Vi, đóng vai t r ò là véc tơ 0 của V, còn (—Uị)i j đóng vai e t r ò là véc tơ đ ố i của u = (Uị) j. Bây giờ ta thấy rằng việc kiểm tra ie 8 tiên
16 Chương ỉ. Không gian véc tơ đề trên đ ố i với V đước đưa về việc kiểm tra chúng trên từng t h à n h phần Vị. Nhưng các tiên đề đó đương nhiên thỏa m ã n vì t ấ t cả Vi là không gian véc tơ. Vậy V lập t h à n h không gian véc tơ trên K. đước gọi là tích Dề-các của các không gian véc tơ. Phương pháp 2: Kiểm tra xem nó có là không gian con của một không gian véc tơ không, dựa vào kết quả sau: Bổ đề 1.2 Cho u là một tập con khác rỗng của không gian véc tơ V trên trưụng K. Các điều kiện sau là tương đương: (ỉ) Ù là không gian con của V, nghĩa là ụ đóng với phép cộng và phép nhãn vô hướng, và cùnq với hai phép toán cảm. sinh, bản thăn nó là một không gian véc tơ trên trưụng K. (ti) u đóng với phép cộng và phép nhân vô hưởng. Ý nghĩa của điều kiện (ri) trong bổ đề trên là ỏ chỗ đó là một điều kiện cần và đủ để qui tắc cộng và nhân (của không gian V) khi hạn chế t r ê n u thực sự là các phép toán trên u. M ộ t khi (ii) đ ã thỏa mãn, thì khẳng định (i) của bổ đề nói rằng t ự khắc u đã là không gian véc tơ. Hệ quả 1.3 Nếu u là không gian con của V, thì 0 € u. Khi áp dụng bổ đề trên, để chứng tỏ một tập hớp E nào đó là (hoặc không là) không gian véc tơ, trước hết ta phải xem nó n h ư là một t ậ p con của một không gian véc tơ V đã biết với "phép t o á n " giống n h ư p h é p toán đ ì a V. (Chữ "phép t o á n " đ ầ u đước để trong dấu nháy vì thực ra nó có thể không phải là phép toán trên E, còn chữ sau phản ánh đ ú n g nghĩa của nó!) Chẳng hạn, nếu như công nhận Ví d ụ 1.2(i), thì ta có cách giải khác đ ố i với các Ví dụ 1.2(1'), (li") như sau: t ậ p t ấ t cả các đ a thức một biến K[x) bậc nhỏ hơn hoặc bằng một số n > 0 là tập con khác rỗng của t ậ p t ấ t cả các đa thức, và đóng với cả hai phép toán. Do đó nó là không gian con, tức là một, không gian véc tơ. Còn tập t ấ t cả các đa thức một biến K[x} bậc lớn hơn hoặc bằng một số n > 0 không đóng kín đ ố i với phép cộng, nên nó không là không gian véc tơ. Tương tự, nếu công nhận Ví dụ 1.2(ii), thì t ậ p hớp trong Ví dụ 1.2(iii) đóng với cả hai phép toán, nên nó là không gian con, còn tập hớp trong Ví d ụ 1.2(iii') không là không gian con vì nó không đóng với phép cộng (nó cũng không đóng với phép n h â n vì O i = 0 không thuộc t ậ p này). Sau đây là các ví dụ khác.
ỉ. Các cách nhận biết một không gian véc tơ 17 V í d ụ 1.3 Cho Vi, i € / , là một, họ các không gian véc tơ trên trường K. Tập con u = ©te/Vi của tích Đề-các V = Yíiel Vi sầm các phần t ử u = ( « i ) j / , sao cho Ui = 0j t r ừ một số hữu hạn chỉ số ỉ € / , là không gian e con của V. T h ậ t vậy, nếu u = (ui)i£i € u với tập chỉ số A = {i; Ui Ỷ 0 j } hữu hạn và ữ G K, thì (ữíí), = 0 với mọi i ^ A, nên au G c/. Nếu lí = (l>ị)ie/ £ í/ là một véc tơ t h ứ hai với t ậ p chỉ số B = {í; Ui Ỷ Oi} hữu hạn, thì (u + ư)j = Ui + Vị = Oi với mọi i ị A u B. Do A u 5 cũng hữu hạn, nên li + V € Lĩ. Vậy t / đóng với cả hai phép toán. Do đó nó là không gian con theo bổ đề trên. Ta gọi lĩ là tông trực tiếp ngoài của các không gian Vị. Chủ ý rằng khi / hữu hạn thì khái niệm tổng trực tiếp ngoài t r ù n g với khái niệm tích Đề-các, tức \ầ~@ĩ Vi = n r = i Vi- =l Ví dụ 1.4 Giao của một họ không gian con là một không gian con. T h ậ t vậy, cho Vi, i € ì.: là một họ không gian con của V. Cho u,v € f)Vị và a G K. K h i đó với mọi i E ì, u,v £ Vị. Theo B ổ đề 1.2, u + w G Vị và a u G Ví. Do đó u + v, au € P\Vị. L ạ i theo Bổ đề 1.2, nV; là không gian con. Bài tập Bài 1.1 Phương trình tuyến tính nẩn trên trường K là biểu thức có dạng ữiXi H Ị- a x = /3, n n trong đó ai -a , /3 G Nếu /3 = 0 thì nó đước gọi là phương trình tuyến n tính thuần nhất. Chứng minh rằng t ậ p hớp nghiệm của một hệ (hữu hạn hoặc vô hạn) phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn trên trường K lập t h à n h một không gian véc tơ trên K. Bài 1.2 Chứng tỏ rằng tập hớp nghiệm của một hệ (hữu hạn hoặc vô hạn) phương trình tuyến tính khống thuần nhất n ẩn trên trường K không lập t h à n h một không gian véc tơ t r ẽ n K. B à i 1.3 Cho a < b là hai số thực. Xét, xem t ậ p hớp nào trong số các t ậ p hớp sau đây với phép cộng và phép nhân (với một số) thông thường lập t h à n h không gian véc tơ trên M: r T H U - VĩÉ'.N
18 Chương 1. Không gian véc tơ c) Tập c (a. 6) các h à m thực khả vi vô hạn lần. x d) Tập các h à m thực bị chặn trên đoạn [a, òỊ. e) Tập các h à m không bị chặn trên đoạn [a,b]. f) Tập các h à m thực / thỏa mãn / ( a ) = 0. g) Tập các h à m thực / thỏa mãn f(a) = —ì. h) Tập các h à m thực đơn điệu t ă n g trên [à, b]. B à i 1.4 Xét xem t ậ p hớp nào trong số các tập hớp sau đây với p h é p cộng và phép nhân (với một số) thông thường lập t h à n h không gian véc tơ trên E: ai Tập các dãy số thực hội tụ. b) Tập các dãv số thực phân kì. c) Tập các dãy số thực bị chặn. d) Tập các dãy số thực thỏa mãn Y^Lỵ l nl hội tụ, trong đó p là một a p số thực khác 0. Bài 1.5 Xét xem tập hớp nào trong số các tập hớp sau đây với phép cộng và phép nhân (với một số) thông thường lập t h à n h không gian véc tơ t r ê n trường K: a) Tập các ma trận trên trường K với lĩ hàng. m cột. b) Tập các ma trận vuông đối xứng trẽn trường K. c) Tập các ma trận vuông trên trường K giao hoán với một họ ma trận cho trước. d) Tập các ma trận vuông trên trường K với đường chéo chính bằng 0. e) Tập các ma trận (vuông) đường chéo trên trường K . ĩ) Tập các ma trận vuông trên trường K với định thức bằng 0. Bài 1.6 Kí hiêu R là tập các số thực dương. Chứng tỏ rằng tập hớp này + lập t h à n h không gian véc tơ với hai phép toán đước định nghĩa n h ư sau: nếu X. y G E+ và Q 6 R. thì a) P h é p cộng (x.y) H> xy (phép n h â n thông thường). - b) P h é p nhân vô hướng: (Q. X) t > x . — a
ĩ. Các cách nhận biết. một không giãn véc tơ 19 B à i 1.7 Cho s là một t ậ p hớp khác rỗng tùy ý và V là một khống gian véc tơ trên K. Kí hiên M(S, V) là tập t ấ t cả các ánh xạ t ừ s vào V. Với f , g e M{S, V) và a e K , ta định nghĩa P h é p cộng: ( / + g){s) = / ( s ) + #(s) với mọi s Ê 5. P h é p n h â n vô hướng: (ũíf)(s) = a f ( s ) . ChiÝng tỏ rằng với hai phép toán trên, M(S,V) lập t h à n h một không gian véc tơ trên K. Bài 1.8 Cho V = K X K với các phép toán xác định như sau: (a.b) + (c,d) = (a + c,b + d) và fc(a, 6) = (fca, 0). Chứng tỏ ràng V không là không gian véc tơ. Bài 1.9 Cho u là không gian con của V. Chứng tỏ rằng hiệu tập hớp v\u không bao giờ là không gian con đ ì a V. Bài 1.10 Cho Vị, ỉ G / là một họ không gian con của V. Kí hiệu Y^iel Vị là t ậ p các phần t ử có dạng Xi + • • • + Xị , trong đó li, ...,i 1 n G ì (n thay n đổi) và Xi G Vi với mọi í = Ì, ...,n. Chứng t ỏ rằng tập này lập t h à n h một không gian con của V (đước gọi là tổng của các không gian con). Bài 1.11* Cho K là một trường vô hạn và VỊ, v là các không gian con n của V. Chứng minh rằng Vị u ... u v là không gian con khi và chỉ khi có n một không gian con V chứa t ấ t cả các không gian còn l ạ i . K h i trường K t hữu hạn thì sao? Bài 1.12 Cho X là một họ không gian con của V thỏa mãn: nếu Vi, V2 € X thì tồn t ạ i v% € X chứa cả Vi, Vo. Chứng tỏ rằng hớp các không gian con trong X lập t h à n h một không gian con của V. Bài 1.13* Một số phức đước gọi là số đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỉ. Chứng minh rằng t ậ p các số đ ạ i số lập t h à n h một không gian véc tơ trên Q. Bài 1.14 Cho K là trường vô hạn. Chứng tỏ rằng mọi không gian véc tơ khônơ t ầ m thường trên K có vô số phần tử. Bài 1.15 Chứng tỏ rằng trên tập Q có thể định nghĩa vô hạn cấu trúc không gian véc tơ trên Q, nhưng không thể xác định một cấu trúc không gian véc tơ trên E.
20 Chương Ì. Không giãn véc B à i 1.16 Cho Ư và Vi, Vi là các không gian con của V. Chứng tỏ lằng {U n Vi) + (U n Vì) c t/ n (Vi + Vi). Tìm ví dụ để có bao hàm thức thực sự. Bài 1.17 Cho Ụ là một không gian con của V. Chứng tỏ rằng tồn tại không gian con w sao cho ý = ự + IV* và u n ÍT = ũ. Bài 1.18 Cho lị I là các iđêan thuần nhất khác iđêan thuần nhất cực T đ ạ i của vành đa thức K[x\, ...,x ) trên trường vỗ hạn K. Chứng t ỏ rằng n tồn t ạ i một dạng tuyến tính không nằm trong Li Iị. r i=l 2 Độc lập tuyến tính - Hệ sinh Các khái niệm then chốt trong mục này là Định nghĩa 2.1 Cho V là không gian véo tơ trên trường K. Ta nói các véc tơ ỉ.'Ì v phụ thuộc tuyến tính nếu tồn t ạ i Oi n a £ K không đồng n thời bằng 0 sao cho a i Vi H + av = 0.n n Ta nói t ậ p véc: tơ s là phụ thuộc tuyến tính nếu nó chứa một hệ hữu hạn véc tơ phụ thuộc tuyến tính. Tập véc tơ không phu thuộc tuyến tính đước gói là độc lập tuyến tính. Biển thức + • ••+ av đxtơc gọi là một to hợp tuyến tính của các n n phần t ử í'1 v . Nếu V là một tổ hớp tuvến tính của Vi,..., v thì ta cũng n n nói í' biên diễn tuyến tính qua V\ v . n Từ định nghĩa trôn ta ró: Phương pháp 1: Dể chứng tỏ hệ s phụ thuộc tuyến tính thì phải chỉ ra bộ n i a„ không đồng thời bằng 0 thỏa mãn hệ thức trên. Một cách đối ngẫu. muốn chứng minh một tập s các véc tơ là độc láp tuyến tính. thông thường ta giả sử có một quan hệ tuyến tính Qii'H h a v = 0. H n trong đó Vi v„ là các phần tử khác nhau trong 5. Sau đó chứng \nh m ràng Oi = • • • = Q = 0. n Nhìn chung trong cả hai trường hớp. để xét tính độc lập tuyến tính của hệ véc tơ 1'1 v , ta đều đi đến g i ả i m ộ t h ệ p h ư ơ n g t r ì n h t u y ế n t í n h n