intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập giải tích 12 - Nguyên hàm, tích phân

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST
Báo xấu
815
lượt xem 269
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập giải tích 12 - nguyên hàm, tích phân', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập giải tích 12 - Nguyên hàm, tích phân

  1. TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12 TAÄP 3 OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2009
  2. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng CHÖÔNG III NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG I. NGUYEÂN HAØM 1. Khaùi nieäm nguyeân haøm · Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu: F '( x ) = f ( x ) , "x Î K · Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø: ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Î R. · Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân K ñeàu coù nguyeân haøm treân K. 2. Tính chaát · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò f '( x )dx = f ( x ) + C · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0) 3. Nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp ax · ò 0dx = C · ò a x dx = + C ( 0 < a ¹ 1) ln a · ò dx = x + C · ò cos xdx = sin x + C xa +1 · ò xa dx = + C, (a ¹ -1) · ò sin xdx = - cos x + C a +1 1 1 ò x dx = ln x + C dx = tan x + C ò · · cos2 x · ò e x dx = e x + C 1 dx = - cot x + C ·ò sin 2 x 1 1 · ò eax + b dx = eax +b + C , (a ¹ 0) · ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0) a a 1 1 1 · ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) dx = ln ax + b + C ·ò a ax + b a 4. Phöông phaùp tính nguyeân haøm a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá Neáu ò f (u)du = F (u) + C vaø u = u( x ) coù ñaïo haøm lieân tuïc thì: ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [ u( x )] + C b) Phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K thì: ò udv = uv - ò vdu Trang 78
  3. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân VAÁN ÑEÀ 1: Tính nguyeân haøm baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn. Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi: – Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm. – Naém vöõng pheùp tính vi phaân. Baøi 1. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2x4 + 3 1 x -1 2 a) f ( x ) = x – 3 x + b) f ( x ) = c) f ( x ) = x x2 2 x ( x 2 - 1)2 1 2 e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x d) f ( x ) = f) f ( x ) = - 3 2 x x x x g) f ( x ) = 2 sin 2 h) f ( x ) = tan 2 x i) f ( x ) = cos2 x 2 1 cos 2 x k) f ( x ) = l) f ( x ) = m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x sin 2 x.cos2 x sin 2 x.cos2 x æ e- x ö x( x ) x p) f ( x ) = e3 x +1 n) f ( x ) = e e – 1 o) f ( x ) = e ç 2 + ÷ ç 2÷ cos x ø è Baøi 2. Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc: a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5; F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 - 5 cos x; F (p ) = 2 3 - 5x2 x2 + 1 3 c) f ( x ) = ; F ( e) = 1 d) f ( x ) = ; F (1) = 2 x x x3 - 1 1 e) f (x )= ; F (-2) = 0 f) f ( x ) = x x + ; F (1) = -2 x2 x 3x 4 - 2 x 3 + 5 æp ö g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; F 'ç ÷ = 0 h) f ( x ) = ; F (1) = 2 è3ø x2 x3 + 3x 3 + 3x - 7 x æp ö p k) f ( x ) == sin 2 ; i) f ( x ) = ; F (0) = 8 Fç ÷ = 2 è2ø 4 2 ( x + 1) Baøi 3. Cho haøm soá g(x). Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc: æp ö a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; Fç ÷ = 3 è2ø b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = 0 c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F (2) = -2 Baøi 4. Chöùng minh F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x): ì ì ï F ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5 ï F ( x ) = (4 x - 5)e x a) í b) í 5 3 x ï f ( x ) = (4 x - 1)e ï f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3 î î ì ì x2 - x 2 + 1 æ x2 + 4 ö F ( x ) = ln ï F ( x ) = ln ç ï ÷ ç2 ÷ x2 + x 2 + 1 ï ï è x +3ø c) í d) í 2 -2 x ï f ( x ) = 2 2( x - 1) ï f (x) = ï ï ( x 2 + 4)( x 2 + 3) x4 +1 î î Trang 79
  4. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng Baøi 5. Tìm ñieàu kieän ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x): ì F ( x ) = ln x 2 - mx + 5 ì F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 ï ï a) í b) í . Tìm m. . Tìm m. 2x + 3 2 ï f (x) = 2 ï f ( x ) = 3 x + 10 x - 4 î x + 3x + 5 î ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x ï ï c) í . Tìm a, b, c. d) í . Tìm a, b, c. x ï f ( x ) = ( x - 3)e ï f ( x ) = ( x - 2) x 2 - 4 x î î ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x ï ï e) í f) í . Tìm a, b, c. . Tìm a, b, c. 2 -2 x 2 -x ï f ( x ) = -(2 x - 8x + 7)e ï f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e î î b c ì ï g) í F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c. ï f ( x ) = cos x î ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3 ï 20 x 2 - 30 x + 7 h) í . Tìm a, b, c. f (x) = ï 2x - 3 î VAÁN ÑEÀ 2: Tính nguyeân haøm ò f ( x )dx baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá g [ u( x )] .u '( x ) thì ta ñaët t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx . · Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: f(x) = ò f ( x )dx = ò g(t )dt , trong ñoù ò g(t )dt deã daøng tìm ñöôïc. Khi ñoù: Chuù yù: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x). · Daïng 2: Thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau: f(x) coù chöùa Caùch ñoåi bieán p p x = a sin t, - £t£ a2 - x 2 2 2 x = a cos t , 0£t £p hoaëc p p x = a tan t, -
  5. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân e x dx x e 2 +1 o) ò x.e x n) p) dx dx ò ò x x e -3 ln3 x etan x dx q) r) ò s) ò x dx dx ò ex + 1 cos2 x Baøi 2. Tính caùc nguyeân haøm sau (ñoåi bieán soá daïng 2): dx dx 1 - x 2 .dx a) ò b) ò c) ò (1 + x 2 )3 (1 - x 2 )3 dx dx e) ò x 2 1 - x 2 .dx d) f) ò ò 1 + x2 4 - x2 x 2 dx dx i) ò x 3 x 2 + 1.dx g) h) ò ò 2 x + x +1 1 - x2 VAÁN ÑEÀ 3: Tính nguyeân haøm baèng phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn Vôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau: ò P( x ).cos xdx ò P( x ).sin xdx ò P( x ).ln xdx x ò P( x ).e dx u P(x) P(x) P(x) lnx cos xdx sin xdx dv P(x) x e dx Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau: c) ò ( x 2 + 5)sin xdx a) ò x.sin xdx b) ò x cos xdx d) ò ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx e) ò x sin 2 xdx f) ò x cos 2 xdx 2 h) ò x 3e x dx g) ò x.e x dx i) ò ln xdx l) ò ln 2 xdx m) ò ln( x 2 + 1)dx k) ò x ln xdx n) ò x tan 2 xdx o) ò x 2 cos2 xdx p) ò x 2 cos 2 xdx q) ò x ln(1 + x 2 )dx r) ò x.2 x dx s) ò x lg xdx Baøi 2. Tính caùc nguyeân haøm sau: ln xdx x a) ò e b) c) ò sin x dx dx ò x f) ò sin 3 xdx d) ò cos x dx e) ò x. sin x dx ln(ln x ) g) h) ò sin(ln x )dx i) ò cos(ln x )dx dx ò x Baøi 3. Tính caùc nguyeân haøm sau: b) ò e x (1 + tan x + tan 2 x )dx a) ò e x .cos xdx c) ò e x .sin 2 xdx ln(cos x ) ln(1 + x ) x d) e) f) dx dx dx ò ò ò 2 2 cos2 x cos x x Trang 81
  6. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng ( )dx 2 x ln x + x 2 + 1 x3 æ ln x ö g) h) i) ò ç dx ÷ dx ò ò èxø x2 + 1 1 + x2 VAÁN ÑEÀ 4: Tính nguyeân haøm baèng phöông phaùp duøng nguyeân haøm phuï Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x), ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x). Böôùc 1: Tìm haøm g(x). Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø: ì F ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 (*) í F ( x ) - G( x ) = B( x ) + C î 2 1 [ A( x ) + B( x )] + C laø nguyeân haøm cuûa f(x). Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra F ( x ) = 2 Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau: sin x cos x sin x a) b) c) ò sin x - cos x dx ò sin x - cos x dx ò sin x + cos x dx sin 4 x cos4 x cos x d) e) f) ò sin x + cos x dx dx dx ò ò sin 4 x + cos 4 x sin 4 x + cos 4 x ex g) ò 2 sin 2 x.sin 2 xdx h) ò 2 cos2 x.sin 2 xdx i) ò dx e x - e- x e- x ex e- x k) l) m) ò dx dx dx ò ò e x - e- x e x + e- x e x + e- x VAÁN ÑEÀ 5: Tính nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp P( x ) 1. f(x) laø haøm höõu tæ: f ( x ) = Q( x ) – Neáu baäc cuûa P(x) ³ baäc cuûa Q(x) thì ta thöïc hieän pheùp chia ña thöùc. – Neáu baäc cuûa P(x) < baäc cuûa Q(x) vaø Q(x) coù daïng tích nhieàu nhaân töû thì ta phaân tích f(x) thaønh toång cuûa nhieàu phaân thöùc (baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh). 1 A B Chaúng haïn: = + ( x - a)( x - b) x - a x - b 1 A Bx + C , vôùi D = b2 - 4 ac < 0 = + x - m ax + bx + c 2 2 ( x - m)(ax + bx + c) 1 A B C D = + + + x - a ( x - a) x - b ( x - b )2 2 2 2 ( x - a ) ( x - b) 2. f(x) laø haøm voâ tæ æ ax + b ö ax + b + f(x) = R ç x, m ® ñaët t=m ÷ cx + d ø cx + d è 1 æ ö + f(x) = R ç ® ñaët t = x+a + x+b ç ( x + a)( x + b) ÷ ÷ è ø Trang 82
  7. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân · f(x) laø haøm löôïng giaùc Ta söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thích hôïp ñeå ñöa veà caùc nguyeân haøm cô baûn. Chaúng haïn: sin [( x + a) - ( x + b)] 1 1 sin( a - b) ö æ . ç söû duïng 1 = + , = ÷ sin( x + a).sin( x + b) sin(a - b) sin( x + a).sin( x + b) sin( a - b) ø è sin [( x + a) - ( x + b)] æ 1 1 sin( a - b) ö . , ç söû duïng 1 = + = ÷ cos( x + a).cos( x + b) sin(a - b) cos( x + a).cos( x + b ) è sin( a - b) ø cos [( x + a) - ( x + b)] æ 1 1 cos(a - b) ö . , ç söû duïng 1 = + = ÷ sin( x + a).cos( x + b) cos(a - b ) sin( x + a ).cos( x + b ) è cos(a - b) ø + Neáu R(- sin x, cos x ) = - R(sin x, cos x ) thì ñaët t = cosx + Neáu R(sin x , - cos x ) = - R(sin x, cos x ) thì ñaët t = sinx + Neáu R(- sin x, - cos x ) = - R(sin x, cos x ) thì ñaët t = tanx (hoaëc t = cotx) Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau: x2 + 1 dx dx a) b) c) ò 2 dx ò x( x + 1) ò ( x + 1)(2 x - 3) x -1 dx dx dx d) e) f) ò ò ò x 2 - 7 x + 10 x2 - 6 x + 9 x2 - 4 x3 x x g) ò h) i) dx dx dx ò ò ( x + 1)(2 x + 1) 2 x2 - 3x - 2 x2 - 3x + 2 dx dx x k) l) m) ò ò dx ò x ( x 2 + 1) 1 + x3 x3 - 1 Baøi 2. Tính caùc nguyeân haøm sau: 1 x +1 1 a) ò b) c) dx dx ò 1 + 3 x + 1dx òx 1+ x +1 x -2 1 x x d) e) f) dx dx ò x( x + 1)dx ò ò 4 3 x+ x x- x 1 - x dx 1 - x dx dx g) h) i) ò ò 3 1+ x ò 1+ x x x x + 3 x + 24 x dx dx dx k) l) m) ò3 ò ò (2 x + 1)2 - 2 x + 1 x2 - 5x + 6 x2 + 6 x + 8 Baøi 3. Tính caùc nguyeân haøm sau: c) ò (tan 2 x + tan 4 x )dx a) ò sin 2 x sin 5 xdx b) ò cos x sin 3 xdx cos 2 x dx dx d) e) f) ò 1 + sin x cos x dx ò 2 sin x + 1 ò cos x sin 3 x 1 - sin x dx g) h) i) ò cos x dx ò cos x dx ò æ pö cos x cos ç x + ÷ 4ø è l) ò cos3 xdx m) ò sin 4 xdx k) ò cos x cos 2 x cos3 xdx Trang 83
  8. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng CHÖÔNG III NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG II. TÍCH PHAÂN 1. Khaùi nieäm tích phaân · Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b Î K. Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân K thì: b F(b) – F(a) ñgl tích phaân cuûa f töø a ñeán b vaø kí hieäu laø ò f ( x )dx . a b ò f ( x )dx = F (b) - F (a) a · Ñoái vôùi bieán soá laáy tích phaân, ta coù theå choïn baát kì moät chöõ khaùc thay cho x, töùc laø: b b b f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a ) ò a a a · YÙ nghóa hình hoïc: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân ñoaïn [a; b] thì dieän tích S cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa y = f(x), truïc Ox vaø hai ñöôøng b S = ò f ( x )dx thaúng x = a, x = b laø: a 2. Tính chaát cuûa tích phaân 0 b a b b f ( x )dx = 0 f ( x )dx = - ò f ( x )dx · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const) ò ò · · 0 a b a a b b b b c b ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ò · · a a a a a c b · Neáu f(x) ³ 0 treân [a; b] thì ò f ( x )dx ³ 0 a b b · Neáu f(x) ³ g(x) treân [a; b] thì ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx a a 3. Phöông phaùp tính tích phaân a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá u( b) b f [u( x )] .u '( x )dx = f (u)du ò ò u(a) a trong ñoù: u = u(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K, y = f(u) lieân tuïc vaø haøm hôïp f[u(x)] xaùc ñònh treân K, a, b Î K. b) Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K, a, b Î K thì: b b b ò udv = uv a - ò vdu a a Trang 84
  9. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân Chuù yù: – Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm. b – Trong phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, ta caàn choïn sao cho ò vdu deã tính a b hôn ò udv . a VAÁN ÑEÀ 1: Tính tích phaân baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn. Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x), roài söû duïng tröïc tieáp ñònh nghóa tích phaân: b ò f ( x )dx = F (b) - F (a) a Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi: – Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm. – Naém vöõng pheùp tính vi phaân. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 2 2 2 x -1 3 ò ( x + 2 x + 1)dx b) ò ( x 2 + ò a) c) + e 3 x +1 )dx 3 dx x2 x 1 1 1 (x ) 2 e 2 -1 11 x +4 4 + x 2 )dx ò d) e) f) ò ( x + dx ò + dx x x2 2 x2 +2 -1 x 1 -2 2 2 ò( ) 4 h) ò ( x 2 + x x + 3 x )dx g) ò ( x + 1)( x - x + 1)dx i) x + 23 x - 44 x dx 1 1 1 e2 8æ ö 2 x2 - 2 x 1 2 x + 5 - 7x k) l) m) ò ç 4 x - dx dx ÷dx ò ò ç ÷ x x3 3 3 x2 1è ø 1 1 Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: 2 5 2 dx c) ò ( x 2 + x x + 3 x )dx a) x + 1dx b) ò ò x+2 + x-2 1 2 1 2 3x xdx 2 2 4 x 2 + 9dx d) e) f) dx dx ò0 x ò0 ò0 3 1 - x2 1 + x3 Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau: p p 2 6 p p ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx a) ò sin(2 x + b) c) ò (2 sin x + 3cosx + x )dx )dx 6 0 p 0 3 p p p 4 3 4 tan x .dx 2 2 d) e) f) ò 3 tan ò (2 cot x + 5) dx ò x dx 2 cos x 0 p p 4 6 Trang 85
  10. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng p p p 2 2 2 1 - cos x dx 2 x.cos2 xdx i) g) h) ò sin ò 1 + cos x dx ò 1 + sin x 0 0 0 p p p p sin( - x ) 3 2 4 4 (tan x - cot x )2 dx 4 k) l) m) ò cos x dx ò ò dx p sin( + x ) 0 p -p - 4 6 2 Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau: 1x 2 e - e- x 2x ( x + 1).dx -4 1e a) dx b) c) dx ò ò ò0 2 x -x x x + x ln x e +2 0e +e 1 e- x ex x 1e 2x ln 2 d) e) e (1 - )dx f) dx dx ò0 ò ò0 1 x ex + 1 2x p x 1 + ln x 4e e 2 e cos x g) sin xdx h) i) dx dx ò ò1 ò1 0 x x 1 e ln x 1 1 2 xe x dx k) l) m) dx dx ò1 ò0 ò x x 0 1+ e VAÁN ÑEÀ 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá b Daïng 1: Giaû söû ta caàn tính ò g( x )dx . a u( b ) b Neáu vieát ñöôïc g(x) döôùi daïng: g( x ) = f [ u( x )] .u '( x ) thì ò g( x )dx = f (u)du ò u( a ) a b Daïng 2: Giaû söû ta caàn tính ò f ( x )dx . a Ñaët x = x(t) (t Î K) vaø a, b Î K thoaû maõn a = x(a), b = x(b) b b b ( g(t) = f [ x (t )] .x '(t )) ò f ( x )dx = ò f [ x(t )] x '(t )dt = ò g(t )dt thì a a a Daïng 2 thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau: f(x) coù chöùa Caùch ñoåi bieán p p x = a sin t, - £t£ a2 - x 2 2 2 x = a cos t , 0£t £p hoaëc p p x = a tan t, -
  11. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (ñoåi bieán soá daïng 1): 1 1 1 x3 x5 ò x(1 - x) dx ò (1 + x 2 ) 3 ò x 2 + 1 dx a) b) c) 19 0 0 0 1 1 1 xdx e) ò x 1 - x 2 dx f) ò x 3 1 - x 2 dx ò d) 2x + 1 0 0 0 ln 2 ex 3 23 x + 2x 5 3 dx ò ò g) h) i) dx ò dx 1 + ex 1+ x2 x x2 + 4 0 0 5 ln 3 x e dx e e 2 + ln x dx 1 + 3 ln x ln x ò ò k) l) m) ò dx ( e + 1) 2x x 3 0 x 1 1 p p p 3 6 2 2 sin 2 x cos x. sin x sin 2 x ò ò ò 2 sin n) o) p) dx dx dx 0 1 + sin x x + cos 2 x 2 2 cos 2 x + 4 sin 2 x 0 0 Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau (ñoåi bieán soá daïng 2): 1 1 2 x 2 dx 2 dx ò ò òx a) b) c) 4 - x 2 dx 2 1- x 4-x 2 2 0 0 1 3 1 1 dx dx xdx òx ò (x òx d) e) f) +3 + 1)( x 2 + 2) + x2 +1 2 2 4 0 0 0 0 dx 2 1 x2 -1 dx ò ò g) h) i) ò dx (1 + x ) x3 x2 + 2x + 2 25 -1 1 0 2 2 2 x2 3 2 dx m) ò x 2 x - x 2 dx k) l) dx ò ò x x2 - 1 1 - x2 2 0 0 VAÁN ÑEÀ 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn Vôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau: b b b b x ò P( x ).e dx ò P( x ).cos xdx ò P( x ).sin xdx ò P( x ).l n xdx a a a a u P(x) P(x) P(x) lnx cos xdx sin xdx dv P(x) e x dx Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: p p 2p 4 2 ò x sin 2 xdx ò ( x + sin x) cos xdx òx a) b) c) 2 2 cos xdx 0 0 0 p2 p 4 3 1 x tan 2 xdx f) ò ( x - 2)e 2 x dx ò d) x co s e) x dx ò 0 p 0 4 Trang 87
  12. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng ln 2 e 3 ò xe dx ò x ln xdx i) ò ln( x 2 - x)dx g) h) x 0 1 2 p p e 2 2 k) ò e 3 x sin 5 xdx l) ò e cos x sin 2 xdx m) ò ln 3 xdx 0 0 1 e e 0 ln x ò òx ò x (e o) p) q) + 3 x + 1)dx 3 ln 2 xdx 2x dx 2 1x -1 1 e VAÁN ÑEÀ 4: Tính tích phaân caùc haøm soá coù chöùa giaù trò tuyeät ñoái Ñeå tính tích phaân cuûa haøm soá f(x) coù chöùa daáu GTTÑ, ta caàn xeùt daáu f(x) roài söû duïng coâng thöùc phaân ñoaïn ñeå tính tích phaân treân töøng ñoaïn nhoû. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 2 2 2 ò ò òx a) b) c) x - 2 dx x 2 - x dx + 2 x - 3 dx 2 0 0 0 3 5 3 x 2 - 1 dx x d) e) ( x + 2 - x - 2 )dx f) ò2 - 4 dx ò ò -3 -2 0 4 1 3 x 2 - 6 x + 9dx ò g) h) i) 4 - x dx ò ò x 3 - 4 x 2 + 4 x dx 1 -1 0 Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: p p 2 2p ò a) b) 1 - sin 2 x .dx c) sin x dx ò ò 1 - cos 2 x dx 0 p 0 - 2 2p p p d) 1 - sin xdx e) 1 + cos xdx f) 1 + cos 2 xdx ò ò ò 0 0 -p p p 2p 3 3 tan 2 x + cot 2 x - 2 dx cos x cos x - cos3 xdx i) g) h) 1 + sin xdx ò ò ò 0 p p - 6 2 VAÁN ÑEÀ 5: Tính tích phaân caùc haøm soá höõu tæ Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá höõu tæ. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 3 1 3 x 3 dx dx dx ò x + x3 ò x 2 - 5x + 6 ò x 2 + 2x + 1 a) b) c) 1 0 0 1 3 4 x 2 dx x dx ò (1 + 2 x ) ò (1 - x )9 òx d) e) f) dx (1 + x) 3 2 0 2 1 (4 x + 11)dx 1 x3 + x + 1 1 4 dx ò x( x - 1) òx g) h) i) ò x + 1 dx + 5x + 6 2 0 2 0 Trang 88
  13. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân 0 3 1 2 x3 - 6 x2 + 9x + 9 3x2 + 3x + 3 x2 k) l) m) dx dx dx ò ò ò x2 - 3x + 2 x3 - 3x + 2 3 0 (3 x + 1) -1 2 Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: (3x ) 2 3 2 x3 + 2x 2 + 4x + 9 +2 2 dx a) ò 2 ò c) ò b) dx dx 0 x - 2x + 2 x +1 x2 + 4 2 0 0 1 1 1 x3 + x + 1 1 x d) e) ò f) dx dx dx ò ò 2 2 2 4 0 ( x + 2) ( x + 3) 0 x +1 0 1+ x 2 2 3 1 - x 2008 4 1 x g) h) i) dx dx dx ò ò ò 4 2008 2 - 1)2 x(1 + x ) x (1 + x ) 2 (x 1 1 2 2 1 1 - x2 2 - x4 1 k) l) m) dx dx dx ò ò ò 2 4 2 0 4+ x 1 1+ x 0 1+ x VAÁN ÑEÀ 6: Tính tích phaân caùc haøm soá voâ tæ Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 22 1 1 x3 dx ò ò x+ ò a) b) c) x x 2 + 1dx dx x +1 + x x2 +1 0 0 0 6 dx 2 2 x4 x ò1+ ò d) e) f) ò 2x +1+ dx dx x -1 4x +1 x5 + 1 2 1 0 10 dx 1 1 4x - 3 ò x x + 1dx ò2+ g) h) i) ò 3 2 dx 3x + 1 x - 2 x -1 5 0 0 7 23 3 x 5 + x3 dx x +1 3 ò k) l) m) ò dx ò dx 3x + 1 2 2 3 x x +4 1+ x 0 5 0 2 2 2 3 2 1+ x dx dx n) o) p) ò dx ò ò 1- x x x2 - 1 x x3 + 1 1 0 2 Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: 1 3 1 x2 + 1 dx a) ò x 2 1 + x 2 dx b) c) dx ò ò x2 x2 + 1 (1 + x 2 )3 1 0 0 2 3 1 x 2 + 2008dx e) ò x 3 10 - x 2 dx 1 + x 2 dx d) f) ò ò 1 0 0 1 2 1 x 3 dx dx dx g) h) i) ò ò ò x + x2 + 1 x 2 + 2008 x + x2 + 1 -1 1 + 1 0 2 2 5 2 2 2 4 dx x dx 12 x - 4 x 2 - 8dx k) l) m) ò ò ò (1 - x 2 )3 1 - x2 0 0 1 Trang 89
  14. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau: p p p 2 2 2 cos xdx cos xdx cos x - cos2 xdx a) b) ò sin x c) ò ò 7 + cos 2 x 2 + cos2 x 0 0 0 p p p 2 2 3 sin 2 x + sin x cos xdx 6 1 - cos3 x sin x cos5 xdx d) e) f) dx ò ò ò 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 0 p p p 2 3 2 cos xdx sin 2 x + sin x tgx g) h) i) dx ò ò ò dx 1 + 3 cos x 1 + cos2 x cos x 1 + cos2 x 0 0 p 4 Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau: ln 3 ln 2 e e2 x dx 1 + 3 ln x ln x dx a) b) c) dx ò ò ò x ex + 1 ex + 1 0 0 1 ln 3 0 ln 2 ln 2 x e x dx x (e2 x + 3 x + 1)dx d) e) f) dx ò ò ò x ln x + 1 (e x + 1)3 ln 2 -1 0 ln 3 1 ln 2 ex ex e x - 1dx g) h) i) dx dx ò ò ò (e x + 1) e x - 1 e x + e- x 0 0 0 VAÁN ÑEÀ 7: Tính tích phaân caùc haøm soá löôïng giaùc Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá löôïng giaùc. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: p p p 4 4 2 sin x a) ò sin 2 x. cos xdx ò tan xdx ò 1 + 3 cos x dx b) c) 0 0 0 p p p 2 d) ò sin xdx e) ò sin xdx f) ò cos 2 3 x 3 2 0 0 0 p p p 2 2 2 2 x cos4 xdx 4 x cos5 xdx h) ò sin 2 x cos 3 xdx g) ò sin i) ò sin 0 0 0 p p p 3 2 2 cos x 2 sin 2 x cos x 3 x + cos3 x )dx ò k) ò (sin l) m) ò cos x + 1 dx dx 1 + cos x 0 0 0 p p p 4 3 3 dx 3 4 n) ò tan o) p) ò tan xdx ò xdx sin x.cos3 x 0 p p 4 4 p p p /3 sin 3 x cos3 x 2 2 dx q) r) ò s) dx dx ò ò 1 + cos x 4 2 1 + cos x p /6 sin x.cos x 0 0 Trang 90
  15. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: p p p 1 + sin 2 x + cos 2 x 3 2 2 tan x ò b) ò ò cos x a) c) 1 - cos 3 x sin x cos 5 xdx dx dx sin x + cos x 1 + cos 2 x p p 0 6 4 p p 2 p ò (1 + sin x ) 2 4 x + cos4 x )dx 3 ò d) ò cos 2 x(sin e) f) (tan x + e sin x cos x)dx 2 sin 2 xdx 4 0 0 0 p p p 3 3 4 3 sin x 1 g) ò sin x.ln(cos x )dx h) i) dx ò ò dx 2 2 5 2 2 0 (tan x + 1) .cos x p sin x + 9 cos x 0 - 3 Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau: p p p 2 2 2 1 1 dx a) b) c) ò 2 + sin x dx ò sin x dx ò 2 - cos x 0 0 p 3 p p p 2 2 2 cos x cos x sin x d) e) f) ò 1 + cos x dx ò 2 - cos x dx ò 2 + sin x dx 0 0 0 p p p 4 2 2 1 sin x - cos x + 1 dx g) h) i) ò ò sin x + cos x + 1 dx ò dx sin x + 2 cos x + 3 p cos x cos( x + ) 0 0 p - 4 2 p p p 2 3 3 (1 - sin x ) cos x dx dx k) l) m) dx ò ò ò p p (1 + sin x )(2 - cos2 x ) sin x cos( x + ) sin x sin( x + ) 0 p p 4 6 4 6 Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau: p p p 3 2 4 xdx x a) ò (2 x - 1) cos xdx ò 1 + cos 2 x ò cos b) c) dx 2 x 0 0 0 p p p 2 2 2 2 2 x +1 3 d) ò sin e) cos xdx f) ò sin 2 x.e xdx òx dx 0 0 0 p p 2 3 2 ln(sin x ) 2 g) ò cos(ln x )dx h) i) ò (2 x - 1) cos dx xdx ò 2 cos x p 1 0 6 p p p 4 2x 2 2 2 k) sin xdx l) ò x tan m) ò x sin x cos òe xdx xdx 0 0 0 p p p 2 4 4 dx 2 sin x sin x cos3 xdx ò cos n) o) ò ln(1 + tan x )dx p) òe 4 x 0 0 0 Trang 91
  16. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng VAÁN ÑEÀ 8: Tính tích phaân caùc haøm soá muõ vaø logarit Söû duïng caùc pheùp toaùn veà luyõ thöøa vaø logarit. Xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 1 1 1 ln 2 e x dx dx ò 1+ ex ò a) b) c) dx ò x e +5 x 0e +4 0 0 ln 8 ln 2 1- ex x e ln 8 ò ò ò d) e) f) e x + 1.e 2 x dx dx dx 1+ ex ex +1 ln 3 ln 3 0 2 2 1 e2 x e- x 1 g) h) i) dx dx dx ò ò ò -x x -x 1 1- e 0 e +1 +1 0e 1 ln 3 e e-2 x ln x 1 k) l) m) dx dx dx ò ò ò 2 -x 1 x (ln x + 1) +1 0e x e +1 0 Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: p 2 1 2 a) ò e x sin xdx ò xe dx ò xe b) c) -x 2x dx 0 0 0 p e 1 + ln 2 x 1 2 ò x ln(1 + x )dx d) ò (e x + cos x) cos xdx e) f) dx ò x 1 0 0 e2 e3 ln x + ln(ln x ) ln(ln x ) e æ ln x ö h) ò ç g) i) dx dx ò ò + ln 2 x ÷dx ç ÷ x x 1 è x ln x + 1 ø e2 e p 2 1 3 ln x ln( x + 1) ln(sin x ) k) l) m) dx dx ò ò ò dx x2 cos2 x x +1 1 0 p 6 VAÁN ÑEÀ 9: Moät soá tích phaân ñaëc bieät Daïng 1. Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû a f ( x )dx = 0 · Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì ò -a a a f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx · Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá chaün treân [-a; a] thì ò 0 -a Vì caùc tính chaát naøy khoâng coù trong phaàn lyù thuyeát cuûa SGK neân khi tính caùc tích phaân coù daïng naøy ta coù theå chöùng minh nhö sau: æ ö 0 0 a a a Böôùc 1: Phaân tích I = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ç J = ò f ( x )dx; K = ò f ( x )dx ÷ ç ÷ è ø 0 0 -a -a -a 0 f ( x )dx baèng phöông phaùp ñoåi bieán. Ñaët t = – x. Böôùc 2: Tính tích phaân J = ò -a – Neáu f(x) laø haøm soá leû thì J = –K ÞI=J+K=0 Trang 92
  17. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân – Neáu f(x) laø haøm soá chaün thì J = K Þ I = J + K = 2K Daïng 2. Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì: a a f ( x) (vôùi a Î R+ vaø a > 0) dx = ò f ( x )dx ò x -a a + 1 0 Ñeå chöùng minh tính chaát naøy, ta cuõng laøm töông töï nhö treân. æ f (x) ö 0 0 a a a f ( x) f (x) f (x ) f ( x) dx; K = ò I= ò dx = ò dx + ò dx çJ = ò dx ÷ ç ax + 1 ÷ ax + 1 ax + 1 ax + 1 ax + 1 è ø 0 0 -a -a -a t = –x. Ñeå tính J ta cuõng ñaët: p p 2 2 é pù Daïng 3. Neáu f(x) lieân tuïc treân ê 0; ú thì f (sin x )dx = f (cos x )dx ò ò ë 2û 0 0 p Ñeå chöùng minh tính chaát naøy ta ñaët: t= -x 2 Daïng 4. Neáu f(x) lieân tuïc vaø f (a + b - x ) = f ( x ) hoaëc f (a + b - x ) = - f ( x ) thì ñaët: t=a+b–x Ñaëc bieät, neáu a + b = p thì ñaët t=p–x neáu a + b = 2p thì ñaët t = 2p – x Daïng 5. Tính tích phaân baèng caùch söû duïng nguyeân haøm phuï Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x). Ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: Böôùc 1: Tìm haøm g(x). Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø: ì F ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 (*) í F ( x ) - G( x ) = B( x ) + C î 2 1 [ A( x ) + B( x )] + C laø nguyeân haøm cuûa f(x). Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra F ( x ) = 2 Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (daïng 1): 1 p p 7 5 3 4 2 2 x - x + x - x +1 æ 1- x ö cos x ln( x + 1 + x 2 )dx c) a) b) cos x.ln ç ò ò ò dx ÷dx è 1+ x ø 4 cos x 1 p p - - - 4 2 2 ( ) 1 1 1 x dx x 4 + sin x ln x + 1 + x 2 dx d) e) f) dx ò ò ò 4 - x2 + 1 x2 + 1 -1 x -1 -1 p p p 5 2 2 2 x + cos x xdx sin x g) h) ò ò dx ò dx i) 2 4 - sin 2 x 1 + cos x 4 - sin x p p p - - - 2 2 2 Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau (daïng 2): 1 1 1 x4 1 - x2 dx a) b) c) ò x dx dx ò ò + 1)( x 2 + 1) x x -1 2 + 1 1+ 2 -1 (e -1 Trang 93
  18. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng 1 sin 2 x p dx 3 x2 +1 e) ò d) f) dx ò ò dx + 1)( x 2 + 1) x x -31 + 2 x 3 +1 -1 (4 -p p p p 6 6 x 2 sin 2 x 2 4 2 sin x sin 3 x cos 5 x sin x + cos x g) h) i) ò ò ò dx dx dx 1 + ex 6x + 1 1 + 2x p p p - - - 2 4 2 Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau (daïng 3): p p p 7 n 2 2 2 cos x sin x sin x dx (n Î N*) b) a) ò c) dx dx ò ò 7 7 n n sin x + cos x cos x + sin x sin x + cos x 0 0 0 p p p 2009 4 sin 4 x 2 2 2 sin cos x x d) e) ò f) dx dx dx ò ò sin 2009 x + cos 2009 x 4 4 cos4 x + sin 4 x 0 cos x + sin x 0 0 Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau (daïng 4): p p p 2 x.sin x x + cos x æ 1 + sin x ö a) b) c) ò ln ç 1 + cos x ÷dx dx dx ò ò 4 - cos2 x 4 - sin 2 x è ø 0 0 0 p 2p p 4 x.cos3 xdx 3 d) ò ln(1 + tan x )dx e) f) ò x.sin xdx ò 0 0 0 p p p x sin x x sin x x g) h) i) ò 1 + sin x dx ò 2 + cos x dx dx ò 2 0 1 + cos x 0 0 p p p 4 x sin x 4 k) ò sin 4 x ln(1 + tan x )dx l) m) ò x sin x cos dx xdx ò 2 9 + 4 cos x 0 0 0 Baøi 5. Tính caùc tích phaân sau (daïng 5): p p p 2 2 2 sin x cos x sin x a) b) c) ò sin x - cos x dx ò sin x - cos x dx ò sin x + cos x dx 0 0 0 p p p sin 4 x cos4 x 2 2 2 cos x d) e) f) dx dx dx ò ò ò sin x + cos x sin 4 x + cos4 x sin 4 x + cos4 x 0 0 0 p p p 6 6 2 2 2 sin x cos x 2 g) h) i) ò 2 sin x.sin 2 xdx dx dx ò ò 6 6 6 6 sin x + cos x sin x + cos x 0 0 0 p 1 1 ex e- x 2 2 k) ò 2 cos x.sin 2 xdx l) m) dx dx ò ò x - e- x x - e- x -1 e -1 e 0 1 1 ex e- x n) o) dx dx ò ò x + e- x x + e- x -1 e -1 e Trang 94
  19. Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân VAÁN ÑEÀ 10: Thieát laäp coâng thöùc truy hoài b Giaû söû caàn tính tích phaân I n = ò f ( x , n)dx (n Î N) phuï thuoäc vaøo soá nguyeân döông n. Ta a thöôøng gaëp moät soá yeâu caàu sau: · Thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø bieåu dieãn In theo caùc In-k (1 £ k £ n). · Chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc. · Tính moät giaù trò I n cuï theå naøo ñoù. 0 Baøi 1. Laäp coâng thöùc truy hoài cho caùc tích phaân sau: p 2 ì n -1 · Ñaët íu = sin x a) I n = ò sin n xdx îdv = sin x.dx 0 p 2 ì n -1 · Ñaët íu = cos x b) I n = ò cosn xdx îdv = cos x.dx 0 p 4 · Phaân tích: tan n x = tan n -2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x c) I n = ò tan n xdx 0 p 2 ì n · Ñaët íu = x n d) I n = ò x cos x.dx îdv = cos x.dx 0 p 2 ì n · Ñaët íu = x x n sin x.dx Jn = ò îdv = sin x.dx 0 1 ìu = x n ï e) I n ò x n e x dx · Ñaët í x ïdv = e .dx î 0 e ì n · Ñaët íu = ln x f) I n = ò ln n x.dx îdv = dx 1 1 ì 2n Ñaët íu = sin t g) I n = ò (1 - x 2 )n dx · Ñaët x = cos t ® îdv = sin t.dt 0 1 1 + x2 x2 1 dx h) I n = ò · Phaân tích = - x 2 )n (1 + x 2 )n (1 + x 2 )n (1 + x 2 )n 0 (1 + ìu = x 1 x2 ï x Tính Jn = ò dx . Ñaët í dv = dx x 2 )n 0 (1 + ï (1 + x 2 )n î 1 ìu = x n ï i) I n = ò x n 1 - x .dx · Ñaët í ïdv = 1 - x .dx î 0 p 4 1 cos x 1 dx k) I n = dx · Phaân tích ® Ñaët t = ò = n +1 cosn+1 x n n cos x cos x cos x 0 Trang 95
  20. Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng III. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN 1. Dieän tích hình phaúng · Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. – Truïc hoaønh. – Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b. b S = ò f ( x ) dx laø: (1) a · Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò cuûa caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. – Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b. b S = ò f ( x ) - g( x ) dx laø: (2) a Chuù yù: b b f ( x ) dx = ò f ( x )dx ò · Neáu treân ñoaïn [a; b], haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu thì: a a · Trong caùc coâng thöùc tính dieän tích ôû treân, caàn khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân. Ta coù theå laøm nhö sau: Böôùc 1: Giaûi phöông trình: f(x) = 0 hoaëc f(x) – g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]. Giaû söû tìm ñöôïc 2 nghieäm c, d (c < d). Böôùc 2: Söû duïng coâng thöùc phaân ñoaïn: b c d b f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx ò a a c d c d b f ( x )dx + f ( x )dx + ò f ( x )dx = ò ò a c d (vì treân caùc ñoaïn [a; c], [c; d], [d; b] haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu) · Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò cuûa x = g(y), x = h(y) (g vaø h laø hai haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [c; d]) – Hai ñöôøng thaúng x = c, x = d. d S = ò g( y ) - h( y ) dy c 2. Theå tích vaät theå · Goïi B laø phaàn vaät theå giôùi haïn bôûi hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi caùc ñieåm caùc ñieåm a vaø b. S(x) laø dieän tích thieát dieän cuûa vaät theå bò caét bôûi maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x (a £ x £ b). Giaû söû S(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. b V = ò S( x )dx Theå tích cuûa B laø: a · Theå tích cuûa khoái troøn xoay : Theå tích cuûa khoái troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: Trang 96
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
922 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2