Bài Tập Hình Học Vi Phân

Chia sẻ: Hoang Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

338
lượt xem 79
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho hàm f : R2 −→ R, (x, y) −→ sin x. Dùng đ nh nghĩa ch ng minh Df (a, b) = α, v i α xác đ nh b i α(x, y) = (cos a)x. Bài t p 1.2. Cho hàm f : Rn −→ R th a mãn đi u ki n |f (x)| ≤ x 2 . Ch ng minh f kh vi t i x = 0 và Df (0) = 0. Bài t p 1.3. Cho hàm f : R2 −→ R xác đ nh b i: x|y| , + y 2 )2 n u (x, y) = (0, 0) n u (x, y) = (0, 0)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài Tập Hình Học Vi Phân

Phép tính vi phân trên Rn 1 BÀI T P CHƯƠNG 1 Bài t p 1.1. Cho hàm f : R2 −→ R, (x, y ) −→ sin x. Dùng đ nh nghĩa ch ng minh Df (a, b) = α, v i α xác đ nh b i α(x, y ) = (cos a)x. Bài t p 1.2. Cho hàm f : Rn −→ R th a mãn đi u ki n |f (x)| ≤ x 2 . Ch ng minh f kh vi t i x = 0 và Df (0) = 0. Bài t p 1.3. Cho hàm f : R2 −→ R xác đ nh b i: x|y |  , n u (x, y ) = (0, 0)   (x2 + y 2 )2 f (x, y ) =  0 n u (x, y ) = (0, 0) (a) Tính D1 f (0, 0) và D2 f (0, 0). (b) Ch ng minh f không kh vi t i (0, 0). Bài t p 1.4. Tìm đ o hàm c a các ánh x sau: (a) f (x, y, z ) = xy , x > 0. (b) f (x, y, z ) − (xy , x2 + z ), x > 0. (c) f (x, y ) = sin(x sin y ). (d) f (x, y ) = (sin(xy ), sin(x sin y ), xy ), x > 0. Bài t p 1.5. S d ng ví d x 1   + x2 sin , x=0 2 x f (x) = 0 x=0  Ch ng t r ng đi u ki n liên t c trong đ nh lí hàm ngư c không th b đư c. Bài t p 1.6. Cho hàm g liên t c trên đư ng tròn đơn v S1 th a mãn đi u ki n  g (0, 1) = g (1, 0) = 0  g (−x) = −g (x) 
2 Bài t p chương 1 Xét hàm f : R2 −→ R xác đ nh b i: x  xg , x=0  x f (x) =  0, x=0 v i m i x ∈ R2 . (a) Ch ng minh v i x ∈ R2 c đ nh cho trư c, hàm s h : R −→ R, h(t) = f (t, x) kh vi trên R. (b) Ch ng minh f không kh vi t i (0, 0) tr khi hàm g = 0. Bài t p 1.7. Cho hàm f : R2 −→ R kh vi liên t c. Ch ng minh r ng f không th là đơn ánh. Bài t p 1.8. Cho f : Rn −→ Rm , g : Rm −→ R kh vi l p C ∞ . Ch ng minh r ng (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ . Bài t p 1.9. Cho L : Rn −→ Rm là m t ánh x tuy n tính, ch ng minh r ng L liên t c, kh vi t i m i đi m x ∈ Rn . Bài t p 1.10. Ch ng minh r ng phép t nh tuy n và phép v t trên Rn là các ánh x liên t c. Bài t p 1.11. Cho U là m t t p m trong Rn và f : U −→ Rm , m ≤ n là m t ánh x thu c l p C 1 . Gi s r ng f là m t đơn ánh và f −1 : A −→ U , v i A = f (U ) cũng thu c l p C 1 . Ch ng minh r ng m không th nh hơn n. (Đây là m t đ nh lý y u c a Brouwer: Không t n t i 1 đ ng t m t t p m U ⊂ Rn vào Rm v i m < n). Bài t p 1.12. Cho f : Rn −→ Rn là m t ánh x kh vi, chính qui trên Rn , ch ng minh r ng f là m t ánh x m . Bài t p 1.13. Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ m t ánh x trơn F là m t vi phôi t W vào F (W ) là F là m t đơn ánh và DF không có đi m kì d trên W . Bài t p 1.14. Ch ng minh r ng không t n t i 1 vi phôi t m t t p m c a Rn vào m t t p m c a Rm n u m < n.
3 Lý thuy t đư ng BÀI T P CHƯƠNG 2 Bài t p 2.1. Hãy xác đ nh v t c a các đư ng tham s sau: (a) (Đư ng hình s 8), xác đ nh b i c(t) = (sin t, sin 2t) (b) (Đư ng cubic), xác đ nh b i c(t) = (t, t2 , t3 ) Bài t p 2.2. Tìm m t đư ng tham s α(t) mà v t là đư ng tròn x2 + y 2 = 1 sao cho α(t) ch y quanh đư ng tròn cùng chi u kim đ ng h và α(0) = (1, 0). Bài t p 2.3. Cho đư ng tròn tham s α(t) không đi qua g c. Gi s α(t0 ) là đi m trên v t c a g n v i g c t a đ nh t. Hãy ch ng minh r ng vector α(t0 ) tr c giao v i vector α (t0 ). Bài t p 2.4. Gi s α(t) là đư ng tham s mà α (t) = 0 v i m i t. Chúng ta có th k t lu n gì v α(t)? Bài t p 2.5. Cho đư ng tham s α : I −→ R3 và → là vector c đ nh. Gi s −v → v i m i t ∈ I và α(0) cũng tr c giao v i →. Ch ng − − r ng α (t0 ) tr c giao v i v v minh r ng v i m i t ∈ I , α(t ) tr c giao v i →. − v 0 Bài t p 2.6. Cho đư ng tham s α : I −→ R3 , v i α (t) = 0, ∀t ∈ I . Hãy ch ng minh r ng |α(t)| = a (a là h ng s khác không) khi và ch khi α(t) tr c giao α (t) v i m i t ∈ I . Bài t p 2.7. V t c a các đư ng tham s sau n m trên nh ng m t quen thu c nào. a2 t2 (a) c : t → at cos t , at sin t , 2 (b) c : t → (sin 2t , 1 − cos 2 t , 2 cos t) Bài t p 2.8. Hãy ch ng minh r ng các ti p tuy n c a đư ng tham s α (t) = 3 t , 3 t2 , 2 t3 t o m t góc không đ i v i đư ng th ng c đ nh y = 0; z = x. Bài t p 2.9. M t đĩa tròn bán kính 1 trong m t ph ng Oxy lăn không trư t d c theo tr c Ox. Khi đó m t đi m n m trên biên c a đĩa v ch ra m t đư ng cong g i là đư ng Cycloid (Hình 2.0.1). (a) Hãy tìm m t tham s hoá c a đư ng Cycloid và hãy xác đ nh các đi m kỳ d .
4 Bài t p chương 2 Hình 2.0.1: Đư ng cycloid (b) Tính đ dài m t c a đư ng Cycloid ( ng v i m t vòng quay c a đĩa). Bài t p 2.10. Tính đ dài c a các đư ng tham s ph ng sau trên đo n [A, B] (a) c : t → t , t2 (b) c : t → (t , ln t) t (c) c : t → t , cosh a (d) c : t → (a sin t , a (1 − cos t)) a>0 t (e) c : t → a (ln tan 2 + cos t) , a sin t a > 0. Bài t p 2.11. Tính đ dài c a các đư ng tham s sau: t (a) c :→ a (t − sin t) , a (1 − cos t) , 4 a cos , gi a hai giao đi m c a 2 đư ng v i m t ph ng y = 0; (b) c : t → cos3 t , sin3 t , cos2t m t vòng khép kín; (c) c : t → (a cosh t , a sinh t , at), trong kho ng [0, b]; Bài t p 2.12. Tính đ dài c a ph n đư ng cong.   x3 = 3a2 y  2xz = a2 gi a hai m t ph ng y = a/3 và y = 9a, v i a > 0. Bài t p 2.13. Cho OA = 2a, a > 0 là đư ng kính c a đư ng tròn (S ), hai đư ng Oy và AV là hai ti p tuy n c a (S ) t i O và A. Tia Or c t đư ng tròn (S ) t i C và AV t i B . Trên OB l y đi m P sao cho OP = CB . N u ta quay tia Or quanh đi m O thì các đi m P v nên đư ng cong g i là đư ng xixôit c a Diocles (cissoid of Diocles). Ch n OA làm tr c hoành và Oy là tr c tung. Hãy
5 Lý thuy t đư ng ch ng minh r ng (a) V t c a đư ng 2at2 2at3 ,t ∈ R α (t ) = , 1 + t2 1 + t2 là đư ng xixôit c a Diocles (t = tan θ xem Hình 2.0.2) Hình 2.0.2: Đư ng xixôit c a Diocles Hình 2.0.3: Đư ng Tractrix (cissoid of Diocles) (b) G c t a đ O(0, 0) là đi m kì d c a đư ng xixôit. (c) Khi t −→ ∞ thì đư ng cong d n v đư ng th ng x = 2a và α (t) −→ (0, 2a). Do đó, khi t −→ ∞ thì đư ng cong và ti p tuy n c a nó d n v đư ng th ng x = 2a. Ta g i đư ng th ng x = 2a là đư ng ti m c n (asymptote) c a đư ng xixôit.
6 Bài t p chương 2 Bài t p 2.14. Cho α : (0 , π ) → R2 đư c xác đ nh b i tham s t α (t) = sin t , cos t + ln tan (2.0.1) 2 đây t là góc gi a tr c Oy v i vector α (t). V t c a α đư c g i là đư ng tractrix. (Hình 2.0.3). Hãy ch ng minh r ng: (a) α là đư ng tham s kh vi, chính qui ngo i tr t = π/2. (b) Kho ng cách t ti p đi m đ n giao đi m c a ti p tuy n v i tr c Oy luôn b ng 1. Bài t p 2.15. Cho đư ng tham s α : (−1 , +∞) → R3 xác đ nh b i : 3at2 3at α(t) = ( , ) (2.0.2) 1 + t3 1 + t3 Ch ng minh r ng: (a) T i t = 0, α ti p xúc v i tr c Ox. (b) Khi t −→ ∞, thì α(t) → (0, 0) và α (t) → (0, 0). (c) L y đư ng cong v i hư ng ngư c l i. Khi đó n u t → −1. Đư ng cong và ti p tuy n c a nó ti n t i đư ng th ng x + y + a = 0. H p c a 2 đư ng v a mô t là 1 đư ng đ i x ng qua đư ng th ng y = x và đư c g i là lá Descartes (folium of Descartes) (Hình 2.0.4) Hình 2.0.4: Lá Descartes
7 Lý thuy t đư ng Bài t p 2.16. Cho đư ng tham s α(t) = (aebt cos t, aebt sin t), t ∈ R a và b là h ng s , a > 0, b < 0. (a) Hãy ch ng t r ng khi t → ∞, thì α(t) ti n d n t i g c O và xo n quanh g c O, vì th v t c a nó (Hình 2.0.5) đư c g i là đư ng xo n logarithm (loga- rithmic Spiral). t (b) Hãy ch ng t r ng α (t) → (0, 0) khi t → ∞ và lim |α (t)|dt là h u t→∞ t0 h n; nghĩa là α có đ dài h u h n trên đo n [t0 , ∞). Hình 2.0.5: Đư ng xo n logarithm Bài t p 2.17. Cho α : I −→ R3 là m t đư ng cong đơn, liên t c (thu c l p C 0 ). Chúng ta nói r ng α có ti p tuy n y u (weak tangent) t i t0 n u đư ng th ng xác đ nh b i α(t0 + h) và α(t0 ) có cùng m t v trí t i h n khi h → 0. Chúng ta nói r ng α có ti p tuy n m nh (strong tangent) t i t = t0 n u đư ng th ng xác đ nh b i α(t0 + h) và α(t0 + k ) có cùng m t v trí t i h n khi h, k → 0. Ch ng t r ng: (a) Đư ng tham s α(t) = (t3 , t2 ), t ∈ R, có ti p tuy n y u nhưng không có ti p tuy n m nh t i t = 0. (b) N u đư ng tham s α : I −→ R3 thu c l p C 1 và chính qui t i t = t0 khi đó α có ti p tuy n m nh t i t = t0 .
8 Bài t p chương 2 (c) Đư ng tham s α cho b i  22 n ut≥0 (t , t ) α(t) = 2 (t , −t2 ) n ut≤0 thu c l p C 1 nhưng không thu c l p C 2 . Hãy v phác th o đư ng cong và các véctơ ti p xúc c a nó. Bài t p 2.18. (Đo n th ng là ng n nh t). Cho c : I −→ R3 là đư ng tham s , l y [a, b] ⊂ I và đ t α(a) = p, α(b) = q . (a) Hãy ch ng t r ng v i m i véc tơ h ng, đơn v → (|→| = 1), ta luôn có −− v v b b (q − p).→ = − α (t).→dt ≤ − |α (t)|dt. v v a a p−q (b) Đ t → = − v và ch ng minh r ng |p − q | b |α(b) − α(a)| ≤ |α (t)|dt. a Có nghĩa là cung có đ dài ng n nh t n i p và q là đo n th ng. Bài t p 2.19. Ch ng minh r ng đư ng tham s chính qui ph ng v i tham s đ dài cung có đ cong k = const > 0 khi và ch khi v t c a nó là m t đư ng tròn (ho c là m t ph n c a đư ng tròn). Bài t p 2.20. Xác đ nh trư ng m c tiêu Frenet và tìm đ cong, đ xo n t i đi m tuỳ ý c a các đư ng tham s sau: (a) c(t) = (t2 , 1 − t, t3 ) (b) c(t) = (a cosh t, a sin t, at) √ (c) c(t) = (et , e−t , 2t) (d) c(t) = (cos3 t, sin3 t, cos 2t) (e) c(t) = (2t, ln t, t2 ) Bài t p 2.21. Cho đư ng tham s s ss α(s) = a cos , a sin , b , s ∈ R c cc
9 Lý thuy t đư ng v i c2 = a2 + b2 . (a) Ch ng minh r ng tham s s là đ dài cung. (b) Xác đ nh hàm đ cong và đ xo n c a α(s). (c) Xác đ nh m t ph ng m t ti p c a α(s). (d) Ch ng minh r ng đư ng pháp tuy n n(s) và đi qua α(s) c t tr c Oz theo m t góc b ng π/2. (e) Ch ng minh r ng ti p tuy n c a α t o v i tr c Oz m t góc không đ i. Bài t p 2.22. Tìm các đi m trên đư ng tham s c(t) = a(t − sin t), a(1 − t cos t), 4a cos , t ∈ R, mà t i đó bán kính cong đ t c c tr đ a phương. 2 Bài t p 2.23. Ch ng minh r ng n u m t ph ng pháp di n c a đư ng tham s song chính qui trong R3 t i m i đi m đ u ch a m t vector c đ nh thì cung đã cho là đư ng ph ng. Bài t p 2.24. (a) M t đư ng tham s chính quy liên thông ph ng c(t) có tính ch t là m i ti p tuy n luôn đi qua m t đi m c đ nh. Ch ng minh r ng v t c a α là m t đư ng th ng ho c m t đo n c a đư ng th ng. (b) Ch ng minh r ng n u vector trùng pháp c a m t đư ng tham s song chính qui trong R3 t i m i đi m là m t vector c đ nh thì cung đã cho là đư ng ph ng. Bài t p 2.25. Vi t phương trình m t ph ng ti p xúc, m t ph ng pháp và m t ph ng m t ti p c a đư ng cong c(t) = (t3 − t−3 − 1, t2 , t−2 − t) t i đi m c(2). Vi t phương trình m t ph ng ti p xúc, m t ph ng pháp và m t ph ng m t ti p c a đư ng cong c(t) = (t2 − t−3 − 1, t2 + t, t−2 − t) 25 9 , 2, . t i đi m 8 4 Bài t p 2.26. Cho đư ng tham s (helix) c(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, b = 0.
10 Bài t p chương 2 (a) Hãy vi t phương trình ti p tuy n, pháp tuy n chính, trùng pháp tuy n, m t ph ng m t ti p, m t ph ng tr c đ c t i m t đi m tuỳ ý. (b) Ch ng minh r ng các ti p tuy n c a nó nghiêng m t góc không đ i v i m t ph ng z = 0, còn các pháp tuy n chính c t tr c Oz . Bài t p 2.27. Ch ng t r ng có th đưa đư ng tham s c : a, b −→ Rn , v i a, b ∈ R, v đư ng tham s tương đương α : 0, 1 −→ Rn . Bài t p 2.28. Cho c : I → R3 , t → (t, f (t), g (t)), v i f (t), g (t) là các hàm trơn, là m t đư ng tham s . (a) Ch ng minh r ng c là đư ng tham s chính qui. (b) Tìm vector ti p xúc c a c trong trư ng h p f (t) = sin t + t2 và g (t) = et (1 − t3 ). Bài t p 2.29. (đi u ki n c n và đ đ đư ng tham s n m trên m t m t c u). Gi s α là đư ng cong có τ = 0 và k = 0. Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ v t c a α n m trên m t m t c u là R2 + (R )2 T 2 = const đây R = 1/k , T = 1/τ và R là đ o hàm c a R theo s. Bài t p 2.30. (đi u ki n c n và đ đ đư ng tham s n m trên m t m t c u). Cho α : I −→ R3 là là đư ng tham s song chính qui v i tham s đ dài cung. Gi s τ = 0 và k > 0 (a) Ch ng minh r ng n u C = c(I ) n m trên m t c u a, bán kính r. thì / 1 1 1 c − a = − .n − . .b k k τ 2 1 /1 1 2 T đây suy ra r = 2 + k k τ2 1 /1 1 (b) Ngư c l i, n u 2 + = const > 0 thì C = c(I ) n m trên m t k kτ m t c u. Bài t p 2.31. Ch ng t r ng các đư ng tham s hóa sau không tương đương
11 Lý thuy t đư ng (a) c1 (t) = (t, 1 − t), t ∈ (0, 1); √ (b) c2 (t) = ( cos t, sin t), t ∈ (0, π/2); (c) c3 (t) = (−t, 1 − t2 ), t ∈ (0, 1). Bài t p 2.32. Ch ng minh r ng đư ng cong trong không gian có ti p tuy n t o v i m t đư ng th ng c đ nh m t góc không đ i khi và ch khi t s gi a đ xo n và đ cong t i m t đi m tùy ý là h ng s . Bài t p 2.33. Cho α : I −→ R3 là m t đư ng cong tham s hóa t nhiên có đ cong k (s) > 0, ∀s ∈ I . G i P là m t ph ng th a hai đi u ki n sau: (a) P ch a t t c các ti p tuy n c a c t i s0 ; (b) V i m i lân c n J ⊂ I c a s0 , luôn t n t i nh ng đi m c a c(J ) n m trong P . Ch ng minh r ng P là m t ph ng ti p xúc c a c t i s0 . Bài t p 2.34. Trong trư ng h p t ng quát, m t đư ng tham s α đư c g i là m t helix (xo n c) n u các ti p tuy n c a α t o m t góc không đ i v i m t phương c đ nh. Gi s r ng τ = 0, ch ng minh r ng : (a) α là m t đư ng xo n c n u và ch n u k/τ là m t hàm h ng. (b) α là m t đư ng xo n c n u và ch n u các đư ng pháp tuy n c a α song song v i m t m t ph ng c đ nh. (c) α là m t đư ng xo n c n u và ch n u các đư ng trùng pháp tuy n c a α t o m t góc không đ i v i m t phương c đ nh. Bài t p 2.35. Cho α : I −→ R3 là m t đư ng cong tham s hóa t nhiên có đ cong k (s) > 0, ∀s ∈ I . Ch ng minh r ng (a) M t ph ng ti p xúc c a c t i s0 chính là gi i h n c a các m t ph ng qua 3 đi m c(s0 ), c(s0 + h1 ), c(s0 + h2 ) khi h1 , h2 → 0. (b) Gi i h n c a các đư ng tròn đi qua 3 đi m c(s0 ), c(s0 + h1 ), c(s0 + h2 ) là m t đư ng tròn n m trong m t ph ng ti p xúc c a c t i s0 , có tâm n m trên pháp tuy n t i s0 c a c và bán kính b ng 1/k (s0 ). Đư ng tròn này g i là đư ng tròn m t ti p (osculating circle) c a c t i s0 . Bài t p 2.36. Ch ng minh r ng đ dài c a đư ng cong, đ cong và đ xo n là các khái ni m Euclide (t c là nó b t bi n qua phép bi n đ i đ ng c ).
12 Bài t p chương 2 Bài t p 2.37. Gi s r ng t t c các pháp tuy n c a m t đư ng tham s chính qui ph ng luôn đi qua m t đi m c đ nh. Ch ng minh r ng đư ng là m t đư ng tròn ho c m t ph n c a đư ng tròn. Bài t p 2.38. Tìm các đư ng tham s song chính qui c a R3 mà các m t ph ng m t ti p th a mãn m t trong các đi u ki n sau: (a) Vuông góc v i m t phương c đ nh; (b) Song song v i m t đư ng th ng c đ nh và ti p tuy n không song song v i đư ng th ng đó; (c) Đi qua m t đi m c đ nh và các ti p tuy n đi qua đi m đó. Bài t p 2.39. Ch ng minh r ng các tính ch t sau c a các đư ng song chính qui đ nh hư ng trong R3 là tương đương: (a) Ti p tuy n t o m t góc không đ i v i phương c đ nh; (b) Pháp tuy n chính song song v i m t m t ph ng c đ nh; (c) Trùng pháp tuy n t o m t góc không đ i v i m t phương c đ nh (v i đi u ki n đ xo n khác không t i m i đi m); (d) T s gi a đ cong và đ xo n là m t hàm h ng. Bài t p 2.40. M t đư ng tham s chính qui ph ng α có tính ch t m i ti p tuy n luôn đi qua m t đi m c đ nh. ch ng minh r ng v t c a nó là m t đư ng th ng ho c m t đo n c a đư ng th ng. Bài t p 2.41. Xác đ nh đư ng túc b và đư ng thân khai c a các đư ng tham s ph ng sau: (a) Đư ng tractrix. (b) Đư ng hyperbol. (c) Đư ng Cycloid. Bài t p 2.42. Cho đư ng tham s α(t) = (t, cosh t), t ∈ R. 1 (a) Hãy ch ng t r ng đ cong có d u c a là k (t) = cosh2 t (b) Ch ng t r ng đư ng túc b c a α là β (t) = (t − sin t cosh t, 2cosh t) Bài t p 2.43. Tìm đ cong (có d u) c a ellipse t i các đ nh c a nó.
13 Lý thuy t đư ng Bài t p 2.44. Cho đư ng tham s hoá c(t) = (ϕ(t), tϕ(t)). Hãy tìm đi u ki n c a đ c là m t cung th ng. Bài t p 2.45. Cho α là m t đư ng cong ph ng, chính qui. G i β là đư ng túc b c a α. Ch ng minh r ng (a) Ti p tuy n c a β t i t0 là pháp tuy n c a α t i t0 . (b) Xét hai pháp tuy n c a α t i hai đi m t1 và t2 , cho t1 d n v t2 , hãy ch ng minh r ng giao đi m c a hai pháp tuy n này d n v m t đi n n m trên đư ng túc b β . Bài t p 2.46. Ch ng minh r ng đ cong k (t) = 0 c a m t đư ng cong tham s chính qui c : I −→ R3 là đ cong c a đư ng cong ph ng π ◦ c, v i π là phép chi u tr c giao c a α lên m t ph ng ti p xúc c a c t i t. Bài t p 2.47. Cho k (s) là m t hàm kh vi ∀s ∈ I , hãy ch ng t r ng đư ng tham s ph ng nh n k (s) làm hàm đ cong đư c cho b i tham s α (t ) = cos θ (s) ds + a, sin θ (s) ds + b v i θ (s ) = k (s) ds + ϕ và các đư ng cong đó đư c xác đ nh sai khác m t phép t nh ti n theo vectorr →(a, b) và m t phép quay góc ϕ. −v Bài t p 2.48. Đư ng tham s ph ng trong h t a đ c c đư c xác đ nh b i tham s ρ = ρ(θ), θ ∈ [a, b]. Hãy ch ng minh r ng (a) Đ dài c a ρ đư c xác đ nh b i công th c b 2 ρ2 + (ρ ) dθ l(ρ) = a đây d u ph y là ký hi u cho đ o hàm theo bi nθ . (b) Đ cong đ i s c a ρ(s) đư c xác đ nh b i công th c 2 2(ρ ) − ρρ + ρ2 k (s) = 1 2 2 ρ2 (ρ ) − Bài t p 2.49. Có t n t i không m t đư ng cong ph ng, đóng có chi u dài b ng 6 cm, bao m t mi n có di n tích b ng 3 cm2 .
14 Bài t p chương 2 Bài t p 2.50. Cho AB là m t đo n th ng và l là s th c dương, l n hơn đ dài c a đo n th ng AB . Ch ng minh r ng đư ng cong c n i hai đi m A và B , có chi u dài b ng l, và cùng v i đo n th ng AB bao m t mi n có di n tích l n nh t là m t cung c a đư ng tròn qua hai đi m A và B . (Hình 2.0.6) Hình 2.0.6: Bài t p 2.51. Cho α(s), s ∈ I là m t đư ng cong ph ng đơn, đóng và l i. Đư ng cong β (s) = α(s) + r.n(s) v i r > 0 đư c g i là đư ng cong song song v i α. Ch ng minh r ng (a) l(β ) = l(α) + 2πr (b) A(β ) = A(α) + rl + πr2 (c) kβ (s) = kα (s)/(1 + r) Bài t p 2.52. Cho α(s), s ∈ I là m t đư ng cong đơn, đóng. Gi s r ng đ cong k (s) c a α th a đi u ki n 0 < k (s) < c v i c là m t h ng s dương (t đây suy ra α cong ít hơn đư ng tròn bán kính 1/c). Ch ng minh r ng l(α) ≥ 2π/c. Bài t p 2.53. Ch ng minh r ng n u α là m t đư ng cong ph ng đơn, đóng và l i thì nó bao m t t p l i trong m t ph ng. Bài t p 2.54. Ch ng minh r ng có th thay gi thuy t đư ng cong đơn, đóng trong bài toán đ ng chu b i gi thuy t đư ng cong đơn, đóng và l i.
15 Lý thuy t m t Bài t p 2.55. (a) Cho α là m t đư ng cong đơn, đóng và l i. Ch ng minh r ng n u m t đư ng th ng L c t α thì ho c L là m t ti p tuy n c a α ho c L c t α t i đúng hai đi m. (b) S d ng k t qu này, ch ng minh r ng đ đo c a t p t t c các đư ng th ng c t α (không tính s đi m l p) b ng đ dài c a đư ng cong α.
16 Bài t p chương 3 BÀI T P CHƯƠNG 3 Bài t p 3.1. Ch ng minh r ng m t tr C = {(x, y, z ) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1} là m t m t chính qui và hãy tìm h các b n đ mà các lân c n t a đ ph nó. Bài t p 3.2. T p {(x, y, z ) ∈ R3 : z = 0, x2 + y 2 ≤ 1} có ph i là m t chính qui không? T p {(x, y, z ) ∈ R3 : z = 0, x2 + y 2 < 1} có ph i là m t chính qui không? Bài t p 3.3. Cho f (x, y, z ) = x2 . Ch ng minh r ng 0 không ph i là giá tr chính qui c a hàm f nhưng f −1 (0) l i là m t m t chính qui. Bài t p 3.4. Cho P = {(x, y, z ) ∈ R3 : x = y } và ánh x f : U ⊂ R2 −→ R3 đư c xác đ nh b i X (u, v ) = (u + v, u + v, uv ) v i U = {(u, v ) ∈ R2 : u > v }. Rõ ràng X (u, v ) ⊂ P . Có ph i X là m t tham s hóa c a P không? Bài t p 3.5. Cho hàm f (x, y, z ) = (x + y + z − 1)2 . (a) Tìm các đi m t i h n và xác đ nh giá tr t i h n c a hàm f . (b) V i giá tr nào c a c thì t p f (x, y, z ) = c là m t m t chính qui. (c) Cùng câu h i tương t cho hàm (x, y, z ) = xyz 2 . Bài t p 3.6. Cho X : U ⊂ R2 −→ R3 là m t m t chính qui. Ch ng minh r ng X là đơn ánh khi và ch khi {Xu , Xv } đ c l p tuy n tính. Bài t p 3.7. Cho V là m t t p m trong m t ph ng Oxy . Ch ng minh r ng tp S = {(x, y, z ) ∈ R3 : z = 0, (x, y ) ∈ V } là m t m t chính qui. Bài t p 3.8. Ch ng minh r ng t p S = {(x, y, z ) ∈ R3 : z = x2 − y 2 } là m t m t chính qui và ki m tra các ánh x sau là các tham s hóa c a S . (a) X (u, v ) = (u + v, u − v, 4uv ), (u, v ) ∈ R2 . (b) X (u, v ) = (u cosh v, u sinh v, u2 ), (u, v ) ∈ R2 , u = 0.
17 Lý thuy t m t Bài t p 3.9. Tìm m t tham s hóa c a hyperbolic hai t ng x2 + y 2 − z 2 = −1. Bài t p 3.10. Cho C là m t hình s "8" trong m t ph ng Oxy và S là m t m t tr đ ng trên C (Hình 3.0.1); nghĩa là Hình 3.0.1: S = {(x, y, z ) ∈ R3 : (x, y ) ∈ C }. S có ph i là m t chính qui không? Bài t p 3.11. Ch ng minh r ng X : U ⊂ R2 −→ R3 đư c cho b i X (u, v ) = a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u , a, b, c = 0 v i 0 < u < 2π , 0 < v < 2π là m t tham s hóa c a ellipsoid x2 y 2 z 2 + + 2 = 1. a2 b2 c Mô t các đư ng cong u = const trên ellipsoid. Bài t p 3.12. Cho p(t) và q (t) là hai đi m di chuy n cùng v n t c. Đi m p b t đ u t đi m (0, 0, 0) và di chuy n d c tr c Oz và q b t đ u t đi m (a, 0, 0) di chuy n song song tr c Oy . Ch ng minh r ng đư ng th ng n i p và q t o nên m t t p trong R3 đư c cho b i đ ng th c y (x − a) + xz = 0. Nó có ph i là m t m t chính qui không?
18 Bài t p chương 3 Bài t p 3.13. M t phương pháp khác đ thành l p các h t a đ đ a phương c a m t c u S2 là xét m t c u x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1 và phép chi u n i π : S2 \ {N } −→ R2 chi u m i đi m trên m t c u S2 tr c c b c N (0, 0, 2) thành giao đi m c a m t ph ng Oxy v i đư ng th ng n i c c b c và đi m p (Hình 3.0.2). G i (u, v ) = π (x, y, z ), v i (x, y, z ) ∈ S \ {N } vào (u, v ) ∈ R2 . Hình 3.0.2: Phép chi u n i (stereographic projection) (a) Ch ng minh r ng π −1 : R2 −→ S2 \ {N } đư c xác đ nh b i bi u th c 4u  x = 2 + v2 + 4  u   4v   π −1 : y= u2 + v 2 + 4  2(u2 + v 2 )    z=x= 2   u + v2 + 4 (b) Ch ng minh r ng có th dùng phép chi u n i đ ph m t c u S2 b i 2 h t a đ đ a phương. Bài t p 3.14. Đ nh nghĩa đư ng cong chính qui tương t như m t chính qui. Ch ng minh r ng (a) Ngh ch nh giá tr chính qui c a hàm kh vi f : R2 −→ R là m t đư ng cong ph ng chính qui. Cho ví d m t đư ng cong như th mà không liên thông.
19 Lý thuy t m t (b) Ngh ch nh giá tr chính qui c a hàm kh vi f : R3 −→ R là m t đư ng cong chính qui trong R3 . Ch ra m i quan h gi a m nh đ này v i cách đ nh nghĩa c đi n c a đư ng cong chính qui là giao c a hai m t chính qui. (c) Ch ng minh r ng t p C = {(x, y ) ∈ R2 : x2 = y 3 } không ph i là m t đư ng cong chính qui. Bài t p 3.15. Cho S2 là m t c u đơn v trong không gian R3 . Ch ng minh r ng ánh x A : S2 −→ S2 , (x, y, z ) −→ (−x, −y, −z ) là m t vi phôi. Bài t p 3.16. Cho S là m t m t chính qui π : S −→ R2 bi n m i đi m p thành hình chi u tr c giao c a nó lên m t ph ng R2 = {(x, y, z ) ∈ R3 : z = 0}. Ánh x π có kh vi không? Bài t p 3.17. Ch ng minh r ng parabolid (P ) : z = x2 + y 2 đ ng phôi v i m t ph ng R2 . Bài t p 3.18. Xây d ng m t vi phôi t ellipsoid x2 y 2 z 2 (E ) : + + 2 =1 a2 b2 c vào m t c u đơn v S2 . Bài t p 3.19. Cho S là m t m t chính qui, d là hàm kho ng cách t đi m p ∈ S đ n đi m c đ nh p0 ∈ S , nghĩa là d : S −→ R+ , p −→ |p − p0 |. Ch ng / minh r ng hàm f kh vi. Bài t p 3.20. Ch ng minh r ng đ nh nghĩa ánh x kh vi gi a hai m t chính qui không ph thu c vào vi c ch n tham s . Bài t p 3.21. Ch ng minh r ng quan h đ ng phôi là m t quan h tương đương trong t p các m t chính qui. Bài t p 3.22. Cho S2 là m t c u đơn v và H = {(x, y, z ) ∈ R3 : x2 + y 2 − z 2 = 1}. G i N (1, 0, 0) và S (0, 0, −1) là c c b c và c c nam c a m t c u S2 . Xét ánh x F : S2 \ {N ∪ S } −→ H đư c xác đ nh như b i: v i m i p ∈ S2 \ {N ∪ S } d ng m t ph ng α qua p vuông góc v i tr c Oz , c t tr c Oz t i q . G i l là tia
20 Bài t p chương 3 Hình 3.0.3: qp, khi đó F (p) = l ∩ H (3.0.3). Ch ng minh r ng F là ánh x kh vi. Bài t p 3.23. Cho C là đư ng cong ph ng n m v m t phía c a đư ng th ng r và nó c t r t i hai đi m p, q v i đi u ki n nào c a C thì m t đư c sinh ra là m t tròn xoay m r ng. Bài t p 3.24. Ch ng minh r ng phép quay m t tròn xoay S quanh tr c c a nó là m t vi phôi c a m t S . Bài t p 3.25. M t tham s hóa thư ng đư c xem là các m t chính qui ngoài tr h u h n đi m và h u h n đư ng th ng. Xét C là v t c a m t đư ng tham s chính qui α : (a, b) −→ R3 mà nó không đi qua g c t a đ O. Cho là m t sinh ra b i các tia Op v i p là m t đi m chuy n đ ng trên C (Hình 3.0.4). (a) Tìm tham s hóa c a m t X mà v t c a nó là . (b) Xác đ nh các đi m không chính qui trên . (c) Chúng ta nên lo i kh i nh ng đi m nào đ thu đư c m t m t chính qui? Bài t p 3.26. Ch ng minh r ng đ nh nghĩa hàm kh vi f : V ⊂ S −→ R, v i S là m t chính qui tương đương v i đ nh nghĩa: hàm f kh vi t i p nó là thu h p c a m t ánh x kh vi lên t p V ch a p. Bài t p 3.27. Cho A ⊂ S là m t t p con c a m t chính qui S . Ch ng minh r ng A là m t m t chính qui khi và ch khi A là m t t p m trên S . Nghĩa là