Bài tập môn giải tích hàm

Chia sẻ: Vu Duy Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

180
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bµi 5. Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn và x0 . Chứng minh rằng: a) Ánh xạ f: X xác định bởi công thức f(x) = x + x0 là một phép đẳng cự từ X lên X. b) Nếu E là một tập hợp mở (đóng) trong X thì là một tập hợp mở (đóng) trong X. c) Nếu U là một tập hợp mở trong X và E là một tập bất kỳ trong X thì là một tập hợp mở trong X.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập môn giải tích hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Khoa Sau đại học Bµi tËp M«n gi¶i tÝch hµm Th¸i nguyªn, th¸ng 04 n¨m 2007 bµi tËp ch¬ng 1 1
§¹i c¬ng vÒ kh«ng gian banach Bµi 1. Chøng minh r»ng c lµ mét kh«ng gian Banach víi chuÈn x = sup ξn , n trong ®ã x = (ξn ) c lµ mét d·y sè thùc (hoÆc phøc) héi tô. Gi¶i. Ta biÕt: + Kh«ng gian l lµ c¸c d·y sè thùc (hoÆc phøc) bÞ chÆn lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn x = sup ξn . n + c lµ mét kh«ng gian con tuyÕn tuyÕn cña l + Kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian Banach lµ kh«ng gian Banach. VËy ta sÏ chøng minh c lµ kh«ng gian con ®ãng cña l , tøc lµ d·y {xn} c , bÊt kú th× x n héi tô ®Õn mét phÇn tö x thuéc c, limx n = x l : n ( x n = ξ(n) k ) k =1 ( ξk ) k=1 ε Cho ε > 0 tïy ý. V× lim x n − x = 0 nªn víi n0 ®ñ lín ta cã x n − x < . Víi mäi k, l n 3 nguyªn d¬ng, ta cã ξ k − ξl = ξ k − ξ(n0 ) + ξ(n0 ) − ξ(n0 ) + ξ(n0 ) − ξ l k k l k ξ k − ξ(n0 ) + ξ(n0 ) − ξ(n0 ) + ξ (n0 ) − ξ l k k l k ε ε (1) x − x n0 + ξ(n0 ) − ξ(n0 ) + x n0 − x � ξ k − ξl < + ξ(n0 ) − ξ(n0 ) + k l k l 3 3 V× d·y sè x n0 = ξ n0 k ( ) k =1 c héi tô x n0 lµ d·y Cauchy nªn ∃N nguyªn d¬ng sao ε cho k � l � � ξ(n0 ) − ξ(n0 ) < N, N k l (2). 3 Tõ (1), (2) suy ra k � l � � ξ k − ξl < ε . VËy d·y x = ( ξ k ) héi tô, tøc lµ x N, N c. Bµi 2. Chøng minh r»ng nÕu x = ( ξn ) lµ mét phÇn tö cña kh«ng gian c th× x = ξe0 + ( ξn − ξ ) en trong ®ã en = ( δnk ) k =1 , e0 = (1,1,...,1,...), ξ=lim ξn . n n=1 Gi¶i. 2
� n � Ta chøng minh lim x − �e0 + ξ ( ξ k − ξ ) ek �= 0 . ThËt vËy, ta cã n � k =1 � n x − ξe0 + ( ξ k − ξ ) ek = ( ξ1, ξ2,...,ξn ,...) − ( ( ξ,ξ,...,ξ,...) + ( ξ1 − ξ,ξ2 − ξ,...,ξ n − ξ,0,...) ) = k =1 ( 0,0,...,0, ξn+1 − ξ,ξn+2 − ξ,...) . � n � ��ngh�c� chu� theo nh a a n Do ®ã x − �e0 + ξ ( ξ k − ξ ) ek � = sup ξ k − ξ n 0 , v× ξ=lim ξn . n � k =1 � k n+1 Bµi 3. Chøng minh r»ng c lµ mét kh«ng gian kh¶ li. Gi¶i. Ta xÐt 2 trêng hîp: a) c lµ kh«ng gian thùc Gäi L = {y: y = (r1,...,rn ,...) }; rk � , k = 1,n , trong ®ã n lµ mét sè nguyªn d¬ng bÊt ﾤ kú. Khi ®ã L lµ tËp hîp con cña kh«ng gian c vµ L lµ ®Õm ®îc (do ﾤ lµ tËp ®Õm ®îc). Ta chøng minh L = c . + Râ rµng L c . Ngîc l¹i, gi¶ sö x = ( ξn ) c , ε > 0 cho tríc bÊt kú. ε Khi ®ã lim ξn = ξ ﾤ , ∃N nguyªn d¬ng sao cho n > N � ξn − ξ < . n 2 ε ε ε LÊy r ﾤ : ξ−r < . Ta cã ξn − r = ξn − ξ + ξ − r ξn − ξ + ξ − r < + = ε víi 2 2 2 n > N . LÊy c¸c sè h÷u tØ r1,r2 ,...,rN : rk − ξ k < ε víi k = 1, 2, ..., N. Khi ®ã y = (r1,r2 ,...,rN ,r,r,...) L vµ x − y = sup{ ξ1 − r1 ,..., ξN − rN , ξn+1 − r , ξ n+2 − r ,...} ε , tøc lµ x n y L. Khi ®ã x ή� L c L. VËy L = c . b) c lµ kh«ng gian phøc Gäi L = {y: y = (r1,...,rn ,...) }víi rk = pk + iqk ,k = 1,n; pk ,qk ﾤ , n nguyªn d¬ng bÊt kú . L lµ tËp hîp con ®Õm ®îc cña kh«ng gian c. Ta chøng minh L = c . + Râ rµng L c . Ngîc l¹i, gi¶ sö x = ( ξn ) c , ε > 0 cho tríc bÊt kú. Khi ®ã 3
lim ξn = ξ ﾤ , ∃N nguyªn d¬ng sao cho n > N � ξ − ξ < ε . n n 2 ε ε ε LÊy r ﾤ : ξ−r < . Ta cã ξn − r = ξn − ξ + ξ − r ξn − ξ + ξ − r < + = ε víi 2 2 2 n > N . LÊy c¸c sè h÷u tØ r1,r2 ,...,rN : rk − ξ k < ε víi k = 1, 2, ..., N. Khi ®ã y = (r1,r2 ,...,rN ,r,r,...) L vµ x − y = sup{ ξ1 − r1 ,..., ξN − rN , ξn+1 − r , ξ n+2 − r ,...} ε , tøc lµ x n y L. Khi ®ã x ή� L c L. VËy L = c . Bµi 4. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn, λ lµ mét sè kh¸c kh«ng. a) Chøng minh r»ng ¸nh x¹ A : X X x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc Ax = λx , x X lµ mét phÐp ®ång ph«i tuyÕn tÝnh tõ X lªn X. b) TÝnh A c) Chøng minh r»ng nÕu E lµ mét tËp hîp më (®ãng) trong X th× λE = { λx : x E} lµ mét tËp hîp më (®ãng) trong X víi mäi λ 0 . Gi¶i. a), b) Ta c�n� λ ή K * th�nh x� : X X l � �to� t� � t� , u � A m t n tuy n nh. x a Ax = λx ThËt vËy, ∀x,y �X;∀µ �K , ta cã X l � � gian tuy� t� kh ng n nh + A(x + y) = λ(x + y) = λx + λy = Ax + Ay X l � � gian tuy� t� kh ng n nh + A(µx) = λ(µx) = µ(λx) = µAx Ta cã Ax = y � λx = y �� = λ −1y , vËy víi ∀y X, ∃x = λ −1y ®Ó Ax = y, do λ 0 x tøc lµ A lµ toµn ¸nh, suy ra A lµ song ¸nh. Ax λx Ta cã A = sup = sup = λ , A bÞ chÆn nªn A liªn tôc. x 0 x x 0 x ¸nh x¹ ngîc A −1 cña A x¸c ®Þnh bëi A −1x = λ −1x , ta cã 4
−1 A −1x λ −1x A = sup = sup = λ −1 , A-1 bÞ chÆn nªn A-1 liªn tôc. x 0 x x 0 x VËy A lµ mét phÐp ®ång ph«i tuyÕn tÝnh. c) Do A lµ mét phÐp ®ång ph«i tuyÕn tÝnh nªn víi E lµ tËp më (®ãng) trong X th× A −1(E) = { λx : x � = λE còng lµ tËp më (®ãng) trong X víi mäi λ 0 . E} Bµi 5. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn vµ x0 X . Chøng minh r»ng: a) ¸nh x¹ f: X X x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc f(x) = x + x0 lµ mét phÐp ®¼ng cù tõ X lªn X. b) NÕu E lµ mét tËp hîp më (®ãng) trong X th× x 0 + E = {x 0 + x : x E} lµ mét tËp hîp më (®ãng) trong X. c) NÕu U lµ mét tËp hîp më trong X vµ E lµ mét tËp bÊt kú trong X th× E + U = {x + y : x �� U} lµ mét tËp hîp më trong X. E,y Gi¶i. a) Tríc hÕt ta chØ ra f lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh. ThËt vËy, víi ∀x,y �X,∀k � , víi x0 K X , do X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh nªn 2x0 X , 2x0 = x0 + x0 vµ kx0 X , k(x + x0) = kx + kx0. Khi ®ã, ta cã + f(x + y) = x + y + 2x0 = (x + x0 )+ (y + x0) = f(x) + f(y). + f(kx) = kx + kx0 = k(x + x0) = kf(x) Ta sÏ chøng minh f lµ phÐp ®¼ng cù, tøc lµ ∀x �X, f (x) = x . x0 X ThËt vËy, ∀x �X, f (x) = x + x 0 = sup{x + x 0} = sup{x} = x . x�X x�X VËy f lµ mét phÐp ®¼ng cù tuyÕn tÝnh tõ X lªn X. b) Ta biÕt r»ng hai kh«ng gian ®¼ng cù tuyÕn tÝnh th× còng ®ång ph«i tuyÕn tÝnh. Do f lµ ®¼ng cù tuyÕn tÝnh nªn f còng ®ång ph«i tuyÕn tÝnh. Khi ®ã nÕu E lµ mét tËp hîp më (®ãng) trong X th× f-1(E) = {x 0 + x : x E} = x0 + E lµ mét tËp hîp më (®ãng) trong X. c) Ta cã E + U = U(x + U) , theo b) x + U lµ tËp më trong X víi ∀x E . Do ®ã E x E + U lµ mét tËp më. 5
Bµi 6. Cho mét toµn ¸nh tuyÕn tÝnh A : X Y , trong ®ã X, Y lµ nh÷ng kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó cho A cã to¸n tö ngîc A-1 bÞ chÆn lµ tån t¹i mét sè d¬ng m sao cho A m x , ∀x X . Gi¶i. a) §iÒu kiÖn cÇn. Do A-1 : Y X bÞ chÆn. Khi ®ã ∃M > 0 sao cho A −1y M y , ∀y Y (1). Víi x X, ®Æt y = Ax, ta ®îc x = A-1y. 1 Thay vµo (1), ta cã Ax m x (2) (trong ®ã m = ) M b) §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc (2) víi ∀x X , trong ®ã m lµ h»ng sè d¬ng. NÕu Ax = A0 = 0 th× 0 = Ax mx 0 x =0 x = 0, vËy A lµ ®¬n ¸nh. Do ®ã A lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh vµ A cã to¸n tö ngîc A-1: Y X . Víi ∀y Y , ®Æt x = A-1y, ta ®îc y = Ax. Thay vµo (2), ta ®îc 1 y m A −1y A −1y y , ∀y Y . VËy A-1 lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn. m Bµi 7. Chøng minh r»ng nÕu kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X ®ång ph«i tuyÕn tÝnh víi kh«ng gian Banach Y th× X lµ mét kh«ng gian Banach. Gi¶i. Gi¶ sö A: X Y lµ mét phÐp ®ång ph«i tuyÕn tÝnh tõ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X lªn kh«ng gian Banach Y. Gi¶ sö {xn} lµ mét d·y Cauchy bÊt kú nh÷ng phÇn tö cña X, tøc lµ ∀ε > 0, ∃no �ﾤ : ∀m,n > n0 : x m − x n < ε . Víi mäi n, ®Æt yn = Axn. Ta cã y m − y n = Ax m − Ax n = A(x m − x n ) A x m − x n . Ta cã ∀ε > 0, ∃no �ﾤ : ∀m,n > n0 : y m − y n < A ε . Khi ®ã {yn} lµ mét d·y Cauchy trong Y. V× Y lµ kh«ng gian ®Çy ®ñ nªn d·y {yn} héi tô, tøc lµ limy n = y0 Y . Do A-1 n −1 −1 −1 liªn tôc nªn tõ ®ã suy ra limA y n = A y0 = x 0 X hay limA Ax n = x 0 X , tøc lµ n n 6
limx n = x 0 X . VËy X lµ kh«ng gian ®Çy ®ñ, kÕt hîp víi X lµ kh«ng gian tuyÕn n tÝnh ®Þnh chuÈn, ta cã X lµ kh«ng gian Banach. Bµi 8. Gi¶ sö Y lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn. Chøng minh r»ng nÕu víi mçi kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X, L(X, Y) ®Òu lµ mét kh«ng gian Banach th× Y lµ mét kh«ng gian Banach. Gi¶i. Gi¶ sö Y lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn trªn trêng K. Tõ gi¶ thiÕt, mçi kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X (tøc lµ X tuú ý, vËy ta lÊy X = K) suy ra L(K, Y) lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã Y ®¼ng cù tuyÕn tÝnh víi L(K, Y). ThËt vËy, Víi mçi y Y , gäi Ty : K Y lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh bëi (Ty )(λ) = λy . Khi ®ã Ty lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh v× víi ∀λ,µ �K;∀η �K + (Ty )(λ + µ) = (λ + µ)y = λy + µy = (Ty )(λ) + (Ty )(µ) + (Ty )(ηλ) = ηλy = η(Ty )(λ) λx H¬n n÷a, Ty = sup = x . λ 0 λ ¸nh x¹ T : Y L(K, Y), y a Ty = Ty lµ mét phÐp ®¼ng cù v× + T lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh . Tríc hÕt ta cã Ty lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh nªn (Tx + Ty )(λ) = Tx (λ) + Ty (λ) vµ Ty (kλ) = kTy (λ) , ∀λ K ; Tx + y (λ) = λ(x + y) = λx + λy = Tx (λ) + Ty (λ) = (Tx + Ty )(λ) , Tky (λ) = λky = kλy = Ty (kλ) = (kTy )(λ) ∀λ K do ®ã Tx + y = Tx + Ty , Tky = kTy . Khi ®ã ∀x,y Y , ∀k K ta cã T(x + y) = Tx + y = Tx + Ty = T(x) + T(y) vµ T(ky) = Tky = kTy = kT(y) . + Do dimK = 1 nªn dimY = dim (L(K, Y)). V× vËy ®Ó chøng minh T lµ song ¸nh ta sÏ chØ ra T lµ toµn ¸nh. ThËt vËy, ∀A L(K, Y), A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn tõ K vµo Y vµ y Y th× Ty = A � (Ty )(λ) = A(λ) , víi ∀λ K , tøc lµ λy = A(λ) víi λ K bÊt kú cho nªn ta lÊy λ = 1 th× y = A(1). VËy ∀A L(K, Y), ∃y = A(1) , y Y sao cho T(y) = Ty = A. VËy T lµ toµn ¸nh. 7
Nh vËy, Y ®¼ng cù tuyÕn tÝnh víi L(K, Y). Khi ®ã, Y ®ång ph«i tuyÕn tÝnh víi L(K, Y) mµ L(K, Y) lµ kh«ng gian Banach nªn theo kÕt qu¶ bµi 7 ta cã Y lµ mét kh«ng gian Banach. Bµi 9. Chøng minh r»ng nÕu L lµ mét kh«ng gian con tuyÕn tÝnh thùc sù cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X th× L lµ mét tËp hîp tha trong X. Gi¶i. Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö IntA , tøc lµ x 0 IntA . Khi ®ã r > 0: B(x 0 ,r) L . V× L lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh cña X nªn tõ ®ã suy ra B(0,r) = B(x 0 ,r) − x 0 L. x x x x Víi ∀x X, ta cã −0 = = < r , víi n ®ñ lín. Do ®ã L , tõ ®ã x L . n n n n VËy X L , râ rµng L X . VËy X = L. §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt L lµ mét kh«ng gian con thùc sù cña X. Do ®ã, IntA = �� L lµ mét tËp hîp tha trong X. Bµi 10. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn, L lµ mét kh«ng gian con tuyÕn tÝnh trï mËt cña X, A 0 : L Y lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn tõ L vµo kh«ng gian Banach Y. Chøng minh r»ng ∃! to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn A: X Y sao cho A L = A 0 vﾵ A = A 0 . Gi¶i. Gi¶ sö x lµ mét phÇn tö bÇt kú cña X. V× L = X nªn ∃{x n} nh÷ng phÇn tö cña L sao cho limx n = x . V× A 0x m − A 0x n = A 0 (x m − x n ) n A 0 x m − x n víi mäi m, n mµ {xn} lµ d·y Cauchy nªn {A0xn} còng lµ mét d·y Cauchy trong kh«ng gian Banach Y. Do ®ã d·y {A0xn} héi tô: limA 0x n = y Y . Giíi h¹n y kh«ng phô thuéc n vµo c¸ch chän d·y {xn} trong L. ThËt vËy, gi¶ sö { x 'n } lµ mét d·y phÇn tö cña L sao cho limx n = x . ' n Khi ®ã A 0x n − A 0x n = A 0 (x n − x n ) A 0 x 'n − x n x − x = 0. ' ' n Do ®ã limA 0x n = limA 0x n . ' n n 8
§Æt Ax = y = limA 0x n , trong ®ã {xn} n L , limx n = x , ta ®îc ¸nh x¹ A tõ X vµo Y. n A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh v×, ∀x,y �X,∀k � ta cã {x n} K L mµ limx n = x vµ {y n} n L mµ limy n = y th× n n ( x ) A(x + y) = A lim(x n + y n ) = limA 0 (x n + y n ) = limA 0 (x n ) + limA 0 (y n ) = Ax + Ay. x x n ( n ) A(kx) = A limkx n = limA 0 (kx n ) = k limA 0 (x n ) = k(Ax) . n + NÕu x L th× ta lÊy xn = x víi ∀n . Do ®ã Ax = A0x, tøc lµ A L = A 0 . Ngoµi ra, Ax = lim A 0x n n A 0 lim x n = A 0 x , ∀x X . x VËy A lµ bÞ chÆn vµ A A 0 . V× A lµ mét th¸c triÓn cña A0 nªn A A0 . Do ®ã A = A 0 . To¸n tö A lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö B: X Y lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn sao cho B L = A 0 vµ x lµ mét phÇn tö bÊt kú cña X. Gäi {xn} lµ mét d·y phÇn tö cña L sao cho limx n = x . Khi ®ã, v× B liªn tôc nªn n Bx = limBx n = limA 0x n = Ax . VËy B = A. n n Bµi 11. Gi¶ sö L lµ mét kh«ng gian con tuyÕn tÝnh ®ãng cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X. Chøng minh r»ng t«p« sinh bëi chuÈn trªn kh«ng gian th¬ng X/L trïng víi t«p« th¬ng, tøc lµ t«p« m¹nh nhÊt trªn X/L sao cho to¸n tö th¬ng ծ�= = + �L :X X / ( % ) x x x L,x X liªn tôc. Gi¶i. Gäi τ lµ t«p« trªn X/L sinh ra bëi chuÈn vµ τ lµ t«p« th¬ng trªn X/L, tøc lµ t«p« m¹nh nhÊt trªn X/L sao cho ¸nh x¹ th¬ng ծ : X % X / L, x a x = x + L liªn tôc. Ta biÕt r»ng lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh. Víi ∀x X , ta cã % �x = x = inf u �x . % u x VËy to¸n tö ծ : X ( X / L, ) bÞ chÆn, do ®ã liªn tôc. 9
Tõ ®Þnh nghÜa cña τ suy ra τ yÕu h¬n τ . §¶o l¹i, gi¶ sö V �τ , tøc V lµ mét tËp hîp më trong X/L ®èi víi t«p« th¬ng vµ % x0 V % Ta cã �x 0 = x 0 . V× ¸nh x¹ ծ : X (X / L, τ) liªn tôc nªn ∃δ > 0 sao cho x − x 0 < δ �� V . x % ( ) Ta chØ ra r»ng h×nh cÇu më B x 0 ,δ trong kh«ng gian X/L chøa trong V. ThËt % ( ) % % % % vËy, nÕu �x = x �B x 0 ,δ th× x − x 0 < δ . V× x − x 0 = inf x − x 0 + u: u L nªn % ∃u L : x − x 0 + u < δ . Do ®ã �(x + u) � , tøc lµ x V . V % Bµi 12. Gi¶ sö L lµ mét kh«ng gian con tuyÕn tÝnh ®ãng cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X. Gäi ծ�= = + �L :X X / ( % ) x x x L,x X lµ to¸n tö th¬ng. Chøng minh r»ng lµ mét ¸nh x¹ më. Gi¶i. Gi¶ sö U lµ mét tËp më trong kh«ng gian X. Ta chøng minh (U) lµ mét tËp më trong kh«ng gian ( X / L, ). ﾤ ThËt vËy, nÕu x 0 = �x 0 �(U) , víi x 0 U th× v× U lµ tËp më trong X nªn ∃r > 0: BX (x 0 ,r) % U . Khi ®ã BX / L (x 0 ,r) % (U) (1), tøc lµ x 0 lµ mét ®iÓm trong cña % % % % (U) . Ta chøng minh (1). NÕu x 0 B(x 0 ,r) th× x − x 0 < r . ∃u �L : x − x 0 + u < r , tøc lµ x + u B(x 0 ,r) . % Do ®ã x + u U vµ x = �(x + u) �(U) . Bµi 13. Cho m kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn m ( )( ) ( ) X 1, . 1 , X 2 , . 2 ,..., X m , . m . Trªn kh«ng gian tuyÕn tÝnh X k ta ®a vµo k =1 c¸c chuÈn sau: 10
1 m ( ) , x = � x k 2 �, ' m 2 x = xk , x = max x1 1 , x 2 2 ,..., x m '' k m � k� k =1 �=1 k � m trong ®ã x = (x1, x2, ..., xm) Xk . k =1 Chøng minh r»ng c¸c chuÈn trªn lµ t¬ng ®¬ng. Gi¶i. m Víi mäi x = (x1, x2, ..., xm) X k , ta cã k =1 m ( max x1 1 , x 2 2 ,..., x m m ) k =1 xk k ( m.max x1 1 , x 2 2 ,..., x m m ) hay x ' x m x ' . VËy x ; x ' . 1 � m 2� ( ) ( ) 2 vµ max x1 , x 2 ,..., x m � xk k � m.max x1 1 , x 2 2 ,..., x m hay 1 2 m m �=1 k � x' x '' m x ' . VËy x ' ; x '' . Do ®ã c¸c chuÈn lµ t¬ng ®¬ng. bµi tËp ch¬ng 2 ba nguyªn lý c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm Bµi 1. Gi¶ sö X, Y, Z lµ nh÷ng kh«ng gian Banach, {A n} lµ mét d·y c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn tõ X vµo Y, {Bn} lµ mét d·y c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn tõ Y vµo Z. Chøng minh r»ng nÕu d·y {A n} héi tô ®iÓm ®Õn A L(X, Y) vµ d·y {Bn} héi tô ®iÓm ®Õn B L(Y, Z) th× d·y {Bn0An} héi tô ®iÓm ®Õn B0A. 11
Gi¶i. Víi mçi x X , ta cã Bn (A nx) − B(Ax) Bn (A nx) − Bn (Ax) + Bn (Ax) − B(Ax) Bn A nx − Ax + Bn (Ax) − B(Ax) (1). V× A n �m i� A vﾵ Bn �m i� B nﾵn limA nx = Ax vﾵ limBn (Ax) = B(Ax) . V× víi mçi y Y , d·y {Bny} héi tô trong Z n n nªn lim Bn < + . Do ®ã, vÕ ph¶i cña (1) dÇn ®Õn 0 khi n n . Tõ (1) suy ra limBn (A nx) = B(Ax), v�∀x X . VËy Bn o A n n i �m i� BoA . Bµi 2. Cho 2 kh«ng gian Banach X, Y vµ phiÕm hµm song tuyÕn tÝnh B: X Y ﾤ liªn tôc ®èi víi mçi biÕn riªng rÏ (tøc lµ víi mçi phÇn tö cè ®Þnh x cña X, B(x,.) : Y ﾤ , y a B(x,y) lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn Y vµ víi mçi phÇn tö cè ®Þnh y cña Y, B(.,y) : X ﾤ lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn X). Chøng minh r»ng B lµ mét phiÕm hµm liªn tôc (®ång thêi ®èi víi c¶ 2 biÕn). NÕu bá gi¶ thiÕt B lµ song tuyÕn tÝnh th× kÕt luËn trªn cßn ®óng n÷a kh«ng? Gi¶i. Gi¶ sö {xn}, {yn} lµ 2 d·y phÇn tö cña X vµ Y sao cho limx n = x 0 � vﾵ limy n = y0 �Y . Khi ®ã X n n B(x n ,y n ) − B(x 0 ,y0 ) B(x n ,y n ) − B(x 0,y n ) + B(x 0,y n ) − B(x 0,y 0 ) (1). Tõ gi¶ thiÕt ta cã lim B(x 0 ,y n ) − B(x 0,y 0 ) = 0 (2), víi mçi n, gäi x*n : X n ﾤ lµ phiÕm hµm x¸c ®Þnh bëi x a x*n (x) = B(x,y n ) . Theo gi¶ thiÕt, x*n lµ nh÷ng phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn X vµ víi mçi x X , limx n (x) = limB(x,y n ) = B(x,y 0 ) , tõ ®ã suy ra * n n B(x n ,y n ) − B(x 0 ,y0 ) x *n (x n ) − x *n (x 0 ) x *n x n − x 0 K x n − x0 n 0 (3). Tõ (1), (2), (3) suy ra limB(x n ,y n ) = B(x 0 ,y0 ) . VËy B liªn tôc t¹i ®iÓm (x 0 ,y0 ) n 12
(®ång thêi ®èi víi c¶ 2 biÕn). NÕu B kh«ng ph¶i lµ phiÕm hµm song tuyÕn tÝnh th× kÕt luËn trªn kh«ng ®óng. xy v� (x, y) (0,0) i VÝ dô. XÐt hµm sè f (x,y) = x + y 2 2 0 v� (x, y)=(0,0) i Râ rµng hµm sè f liªn tôc ®èi víi mçi biÕn riªng rÏ t¹i ®iÓm (0, 0). Tuy nhiªn f kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm (0, 0). ThËt vËy, lÊy y = x vµ cho x 0 , ta ®îc x2 1 lim f (x,y) = lim = f (0,0) . y =x 0 x 0 2x 2 2 Bµi 3. Víi mçi sè nguyªn d¬ng n, gäi A n : l 2 l 2 lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh bëi c«ng n thøc A nx = ξ k ek , trong ®ã x = (ξ k ) lµ mét phÇn tö cña l2, ek = ( δ kl ) l =1 . k =1 a) Chøng minh r»ng An lµ nh÷ng to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ tÝnh A n . b) Chøng minh r»ng d·y {An} héi tô ®iÓm ®Õn ¸nh x¹ ®ång nhÊt I trªn l2 nh- ng kh«ng héi tô ®Òu ®Õn I. Gi¶i. Ta ®· biÕt x = ( ξn ) �l th� = ξ nen 2 x n=1 a) An lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh v× víi v�∀x = (ξ k ) � , ∀y = ( ζ n ) � , ∀k K ta i l2 l2 cã n n n + A n (x + y) = (ξ k + ζ k )ek = ξ k ek + ζ k ek = Anx + Any víi ek = ( δ kl ) l =1 . k =1 k =1 k =1 n n + A n (kx) = �(kξ k )ek = k �ξ k ek = k ( A nx ) , víi ek = ( δ kl ) l =1 k =1 k =1 n H¬n n÷a, A nx = ξ k ek = ( ξ1, ξ2 ,..., ξ n ,...) . k =1 13
1 1 Do ®ã A nx = � ξ k 2 � � ξn 2 � = x , v�∀x = (ξ k ) l 2 . n 2 2 �� i �=1 k � �=1 n � VËy An bÞ chÆn vµ A n = sup A nx x 1 1 (1). MÆt kh¸c, lÊy x = e1, ta ®îc e1 �l , e1 = 1 vﾵ A ne1 = e1 . 2 Do ®ã, 1 = A ne1 A n e1 = A n (2). Tõ (1), (2) suy ra: A n = 1, v�∀n ﾤ * i n b) limA nx = lim � k ek = � nen = x = Ix , v�∀x = (ξ k ) l 2 . VËy A n n n ξ ξ i �m i� I. k =1 n=1 Tuy nhiªn {An} kh«ng héi tô ®Òu ®Õn I. C¸ch 1. ThËt vËy, nÕu {An} héi tô ®Òu ®Õn I th× lim A n − I = 0 A n0 − I < 1 víi n0 ®ñ lín. LÊy x = en0 + 1, ta ®îc en0 + 1 l 2 , n en0 + 1 = 1 vµ A n0 en0 +1 − en0 +1 = (A n0 − I)en0 +1 A n0 − I en0 +1 < 1 (1). MÆt kh¸c, ta cã A n0 en0 +1 = 0 . Do ®ã A n0 en0 +1 − en0 +1 = en0 +1 = 1 (2). Ta thÊy (1) m©u thuÉn víi (2), tøc lµ {An} kh«ng héi tô ®Òu ®Õn I. en+1(0,0,..., 1 2 4 ,0,...) 4 13 C¸ch 2. LÊy v� � � + 1 tr th n víi en+1 = 1. Ta cã (A n − I)en+1 = A nen+1 − en+1 = (0,0,...,0,...) − (0,0,...,0,1) = −en+1 (A n − I)en+1 = 1 A n − I = sup (A n − I)x −en+1 = 1 . x 1 VËy An kh«ng héi tô theo chuÈn ®Õn I. M©u thuÉn. Bµi 4. Gi¶ sö X, Y lµ hai kh«ng gian Banach. Chøng minh r»ng kh«ng gian L(X, Y) ®Çy ®ñ theo nghÜa héi tô ®iÓm, tøc lµ nÕu víi mçi phÇn tö x cña X, {A nx} lµ mét d·y Cauchy trong Y th× tån t¹i mét to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn A : X Y sao cho nlim A nx = Ax, víi ∀x X + . 14
Bµi 5. Gi¶ sö X, Y lµ hai kh«ng gian Banach, {A n} lµ mét d·y c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn tõ X vµo Y. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó d·y {A n} héi tô ®iÓm lµ: a) sup A n < + n b) D·y {Anx} héi tô trªn mét tËp hîp P trï mËt tuyÕn tÝnh trong X. Gi¶i. + §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö {An} héi tô ®iÓm. Khi ®ã sup A n < + n vµ D·y {Anx} héi tô trªn mét tËp hîp P trï mËt tuyÕn tÝnh trong X. + §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö d·y to¸n tö {A n} L(X, Y) tháa m·n 2 ®iÒu kiÖn a), b). Khi ®ã tån t¹i mét sè K > 0 sao cho A n K, v�∀n . Tõ gi¶ thiÕt b) suy i m ra d·y {Anx} héi tô víi mçi x LinP. ThËt vËy, nÕu x LinP th× x = λkx k , k =1 m trong ®ã λ k K, x k P . Khi ®ã A nx = λ k A nx k v�∀n . i k =1 V× c¸c d·y {Anxk} héi tô nªn d·y {Anx} héi tô. B©y giê gi¶ sö x �LinP vﾵ ε > 0 lµ mét s« cho tríc bÊt kú. ε Khi ®ã ∃u �LinP: x − u < . Víi mäi m, n ta cã 3K A m x − A nx A m (x − u) + A mu − A nu + A n (u − x) ε ε A m x − u + A mu − A nu + A n u − x K. + A mu − A nu + K. 3K 3K 2 = A m u − A nu + ε . 3 ε V× d·y {Anu} héi tô nª ∃N : m �� N N, n A mu − A nu < . 3 15
ε Do ®ã, m � n � � A mx − A nx < . N, N 3 VËy {Anx} lµ mét d·y Cauchy trong kh«ng gian Banach Y. Do ®ã nã héi tô. Bµi 6. Gi¶ sö L, M lµ 2 kh«ng gian con tuyÕn tÝnh ®ãng cña kh«ng gian Banach X. Chøng minh r»ng nÕu mçi phÇn tö x cña X ®Òu ®îc biÓu diÔn mét c¸ch duy nhÊt díi d¹ng x = y + z, trong ®ã y �L,z � th× tån t¹i mét sè M K sao cho y K x, z K x ,∀x X. Gi¶i. V× L vµ M ®Òu lµ nh÷ng kh«ng gian Banach nªn L M lµ mét kh«ng gian Banach víi chuÈn (y,z) = y + z . Khi ®ã ¸nh x¹ A: L M X, (y, z) a x = y + z lµ mét song ¸nh tuyÕn tÝnh v× ∀(y1,z1 ); (y 2 ,z2 ) δ L M , ∀k K th× A((y1,z1 ) + (y 2 ,z2 )) = A(y1 + y 2 ,z1 + z2 ) = y1 + y 2 + z1 + z2 = = (y1 + z1 ) + (y2 + z2 ) = A(y1,z1) + A(y 2 ,z2 ) , râ rµng A lµ song ¸nh. A(y,z) = y + z y + z = (y,z) H¬n n÷a . VËy A bÞ chÆn nªn A liªn tôc. Theo ®Þnh lý Banach vÒ ¸nh x¹ më th× A lµ mét phÐp ®ång ph«i, tøc lµ ∃K > 0: A −1x = A −1(y + z) = (y,z) K x y + z K x , víi ∀x X . VËy . y y + z K x z y + z K x ∀x X. Suy ra , , Bµi 7. Gi¶ sö X, Y lµ hai kh«ng gian Banach, A: X Y la mét toµn ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ X lªn Y. Chøng minh r»ng kh«ng gian th¬ng X/N(A) ®ång ph«i tuyÕn tÝnh víi kh«ng gian Y. Gi¶i. Gäi A W: X / N(A) % Y lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh bëi A Wx = A W(x + N(A)) = Ax . Khi % �ή=Ax ®ã A W lµ mét ®¬n ¸nh v× nÕu A Wx = 0 th� = 0 x N(A) % x 0. Do ®ã A W lµ mét song ¸nh tuyÕn tÝnh. 16
W% Ta cã A x = A(x + u) A x + u v�∀u N(A) i W% % Do ®ã A x A inf x + u = A x , vËy A W lµ bÞ chÆn. V× A W lµ mét u N(A ) song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ kh«ng gian Banach X/N(A) lªn kh«ng gian Banach Y nªn theo ®Þnh lý Banach vÒ ¸nh x¹ më, A W lµ mét phÐp ®ång ph«i. Bµi 8. Gi¶ sö X, Y, Z lµ nh÷ng kh«ng gian Banach, F lµ mét hä nh÷ng hä to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn tõ Y vµo Z, t¸ch c¸c ®iÓm cña Y, tøc lµ: nÕu y lµ mét phÇn tö cña Y sao cho By = 0 víi ∀B F th× y = 0. Chøng minh r»ng nÕu A: X Y lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh sao cho B0A L(X, Z) víi ∀B F th× A liªn tôc. Gi¶i. Ta chøng minh A lµ to¸n tö ®ãng, tøc lµ ®å thÞ ﾤ = { (x,Ax) : x X} lµ mét tËp hîp ®ãng trong kh«ng gian X Y . ThËt vËy, gi¶ sö {xn} X vµ lim(x n ,Ax n ) = (x 0,y 0 ) trong X Y . n Khi ®ã limx n = x 0 trong X (1) vﾵ limAx n =y 0 trong Y. (2) n n V× víi mçi B F , B liªn tôc nªn tõ (2) suy ra limB(Ax n ) = By0 (3) n V× víi mçi B F , B0A liªn tôc nªn tõ (1) suy ra limB(Ax n ) = B(Ax 0 ) (4) n Tõ (3) vµ (4) suy ra By0 = B(Ax 0 ), t� l � 0 − Ax 0 ) = 0 víi ∀B F .V× hä F c B(y t¸ch c¸c ®iÓm cña Y nªn tõ ®ã suy ra y0 - Ax0 = 0 tøc lµ y0 = Ax0. VËy (x0, y0) ﾤ. V× X, Y ®Òu lµ nh÷ng kh«ng gian Banach nªn to¸n tö ®ãng A: X Y lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. bµi tËp ch¬ng 3 kh«ng gian liªn hîp - t«p« yÕu vµ tÝnh ph¶n x¹ 17
Bµi 1. Gäi x* lµ phiÕm hµm x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian C[0, 1] bëi c«ng thøc 1 x* (x) = x(t)dt , trong ®ã x lµ hµm sè liªn tôc trªn [0, 1]. 0 * Chøng minh r»ng x* lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh bÞ chÆn vµ tÝnh x . Gi¶i. x* lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn C[0, 1] v× v�∀x,y C[0,1] , ∀k K ta cã i 1 1 1 + x (x + y) = (x + y)(t)dt, (x,y C[0,1]) = � x(t)dt + � y(t)dt = x* (x) + x* (y) * 0 0 0 1 �1 � + x* (kx) = � = kx(t)dt = k �x(t)dt � kx* (x) � 0 �0 � Víi mäi x C[0,1] , ta cã 1 1 x (x) = � * x(t)dt � dt = x x . 0 0 * VËy x* bÞ chÆn vµ x 1 (1) 0 v� 0 t ε i MÆt kh¸c, x 0 C[a,b] x¸c ®Þnh bëi x 0 (t) = 1 v� ε < t 1 i trong ®ã ε lµ mét sè d¬ng cho tríc bÊt kú. Ta cã x 0 C[a,b] , x 0 = max x(t) = 1. H¬n n÷a t [ 0,1] 1 ε 1 1 x* (x 0 ) = � (t)dt = � (t)dt + � (t)dt = 1 ε = 1 − ε = 1 − ε . x0 x0 x0 0 0 ε Do ®ã 1 − ε 1 − ε = x* (x 0 ) x* x 0 = x* , víi ∀ε > 0 bÐ tïy ý. VËy x* 1. (2) Tõ (1), (2) ta cã x = 1 . * 18
0 1 Chøng minh r»ng phiÕm hµm x (x) = � x(t)dt − � x(t)dt x � −1,1] lµ * Bµi 2. C[ −1 0 * mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trªn kh«ng gian C[-1, 1] vµ tÝnh x . Gi¶i. x8 lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn C[-1, 1] v× v�∀x,y � −1,1] , ∀k K ta i C[ cã 0 1 + x (x + y) = � + y)(t)dt − � + y)(t)dt x,y � −1,1] * (x (x C[ −1 0 0 1 0 1 � − � + � − � = x (x) + x (y) * * = x(t)dt x(t)dt y(t)dt y(t)dt −1 0 −1 0 0 1 �0 1 � + x (kx) = � kx(t)dt − � kx(t)dt = k � x(t)dt − � = * � x(t)dt � kx * (x) −1 0 �1 − 0 � Víi mäi x � −1,1] , ta cã C[ 0 1 1 1 x* (x) � dt + � dt = x(t) x(t) � dt x(t) �x dt = 2 x . −1 0 −1 −1 * VËy x* bÞ chÆn vµ x 2 (1) MÆt kh¸c, gäi x0 lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn [-1, 1] bëi 1 v� -1 t -ε i t x 0 (t) = - v� -ε < t < ε i ε -1 v� i ε t 1 trong ®ã ε lµ mét sè d¬ng cho tríc bÊt kú. Ta cã x 0 � −1,1] , x 0 = tmax = 1 vµ C[ �−1,1] [ −ε 0 1 � t � ε� t � 1 0 x (x 0 ) = � (t)dt − � (t)dt = � + � � − � � − �1)dt = 2 − ε . Do ®ã * x0 x0 dt � dt � ε dt ( − − − −1 0 −1 −ε � ε � 0� � ε 19
2−ε x* x 0 = x* v�∀ε > 0 b�� i t y x* 2 (2) Tõ (1), (2) suy ra x = 2 . * Bµi 3. Cho X, Y lµ 2 kh«ng gian Banach vµ A : X Y lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh. Chøng minh r»ng nÕu víi mäi y* Y * , ¸nh x¹ hîp y* o A ®Òu lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn X th× A liªn tôc. Gi¶i. Ta chøng minh A lµ to¸n tö ®ãng, tøc lµ ®å thÞ ﾤ = { (x,Ax) : x X} lµ mét tËp hîp ®ãng trong kh«ng gian X Y . ThËt vËy, gi¶ sö {xn} X vµ lim(x n ,Ax n ) = (x 0,y 0 ) trong X Y . n Khi ®ã limx n = x 0 trong X (1) vﾵ limAx n =y 0 trong Y. (2) n n Tõ (2) suy ra limy (Ax n ) = y (y0 ) v�∀y * * * i Y * (3). V× theo gi¶ thiÕt y* o A liªn n Y * , nªn tõ (1) suy ra limy A(x n ) = y (Ax 0 ) víi ∀y* * * tôc trªn X víi ∀y* n Y * (4). Tõ (3), (4) suy ra y* (y0 ) = y* (Ax 0 ) y* (y 0 − Ax 0 ) = 0 víi ∀y* Y* . Theo hÖ qu¶ 1 cña ®Þnh lý Han- Banach, tõ ®ã suy ra y0 - Ax0 = 0, tøc lµ y0 = Ax0. VËy (x0, y0) ﾤ. V× A lµ mét to¸n tö ®ãng tõ kh«ng gian Banach X vµo kh«ng gian Banach Y nªn A liªn tôc. Bµi 4. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn. Chøng minh r»ng nÕu kh«ng gian liªn hîp X* cña X kh¶ li th× X kh¶ li. Gi¶i. Gi¶ sö X8 lµ kh«ng gian kh¶ li. Khi ®ã tån t¹i mét tËp con ®Õm ®îc {x*n} cña X* sao cho {x*n} = X * . V× x n = sup x n (x) nªn ∃x n �X : x n = 1 vµ * * x =1 1 * x*n (x n ) x n . (1) 2 DÔ dµng thÊy r»ng Lin{xn} lµ mét kh«ng gian con tuyÕn tÝnh kh¶ li cña X. Ta sÏ chØ ra r»ng Lin{x n} = X . ThËt vËy, gi¶ sö 20