Bài tập sức bền vật liệu - 1

Chia sẻ: Vũ đình Công | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

865
lượt xem 204
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong những chương trước ta đã nghiên cứu các trường hợp chịu lực đơn giản (cơ bản) khi trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại 1 (thanh chịu kéo-nén đúng tâm, thanh chịu xoắn thuần túy, thanh chịu cắt, chịu uốn thuần túy phẳng) hoặc 2 (thanh chịu uốn ngang phẳng) trong 6 thành phần ứng lực kể trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập sức bền vật liệu - 1

Chương 8. Thanh chịu lực phức tạp Chương 8. Thanh chịu lực phức tạp 8.1. Các khái niệm chung 8.1.1. Chịu lực đơn giản Trong trường hợp tổng quát, trên mặt cắt ngang của một thanh chịu tác dụng của ngoại lực có sáu thành phần ứng lực: - Lực dọc: Nz - Lực cắt : Qx, Qy - Mô men uốn: Mx, My Mx Qx - Mô men xoắn: Mz x Nz Qy Mz z My y Hình 8.1 Trong những chương trước ta đã nghiên cứu các trường hợp chịu lực đơn giản (cơ bản) khi trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại 1 (thanh chịu kéo-nén đúng tâm, thanh chịu xoắn thuần túy, thanh chịu cắt, chịu uốn thuần túy phẳng) hoặc 2 (thanh chịu uốn ngang phẳng) trong 6 thành phần ứng lực kể trên. 8.1.2. Chịu lực phức tạp Thực tế ta thường gặp những trường hợp chịu lực phức tạp – là tổ hợp những trường hợp chịu lực đơn giản - Uốn xiên: uống ngang phẳng đồng thời trong hai mặt phẳng - Uốn và kéo (nén) đồng thời - Uốn và xoắn đồng thời - Chịu lực tổng quát a. Phương pháp tính • Để giải quyết các bài toán chịu lực phức tạp ta sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng - Nếu trên một thanh chịu tác dụng của một hệ ngoại lực thì ứng suất biến dạng hay chuyền vị trong thanh là tổng thì ứng suất biến dạng hay chuyền vị do từng thành phần ngoại lực gây ra riêng rẽ. Trần Minh Tú Đại học Xây dựng 1
Chương 8. Thanh chịu lực phức tạp • Điều kiện để sử dụng được nguyên lý độc lập tác dụng: Trần Minh Tú Đại học Xây dựng 2
+ Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi (quan hệ ứng suất - biến dạng là bậc nhất. + Biến dạng và chuyển vị của thanh là bé • Trong các bài toán chịu lực phức tạp ta bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt b. Qui ước chiều dương các thành phần ứng lực: - Nz >0: đi ra khỏi mặt cắt - Mx>0: căng thớ về phía dương của trục y Mx - My>0: căng thớ về phía dương Mz của trục x x Nz M y - Mz>0: nhìn vào mặt cắt thấy quay z thuận chiều kim đồng hồ y Hình 8.2 8.2. Uốn xiên 8.2.1. Định nghĩa Một thanh được gọi là chịu uốn xiên khi trên mặt cắt ngang tồn tại đồng thời hai thành phần ứng lực là các mô men uốn Mx, My nằm trong các mặt quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (hình 8.3a). F1 F F F1 x F2 x F 2 y a b c a b y (a) (b) Hình 8.3 Định nghĩa khác: Thanh chịu uốn xiên là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen uốn M nằm trong mặt phẳng chứa trục z của thanh nhưng không trùng với mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào của mặt phẳng ngang (hình 8.3b). - Mặt phẳng tải trọng: là mặt phẳng chứa tải trọng và trục thanh
- Đường tải trọng: giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang (đi qua gốc toạ độ và vuông góc với phương của vectơ mô men tổng) - Vec tơ mô men có chiều được xác định theo qui tắc vặn nút chai §uêng t¶i träng x Mx My M y MÆt ph¼ng t¶i träng Hình 8.4 8.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 0 Gọi α - góc giữa hướng của trục x và đường tải trọng (α0 khi chiều quay từ trụ x đén đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ - hình 8.4) M x = M sin α Ta có: M y = M cosα (8.1) Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng My Mx (M y) (M x) σz = σ z + σz y+ x (8.2) = Ix Iy Trong đó: - (x, y) là toạ độ điểm tính ứng suất trên mặt cắt ngang - Mx, My – các thành phần ứng lực tại mặt cắt ngang đang xét - Ix, Iy – các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện. Trong (8.1) phải chú ý dấu của toạ độ x, y theo chiều các trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và dấu của Mx, My theo qui ước =>
Công thức kỹ thuật: Mx My σz = ± (8.3) y± x Ix Iy
Trong (8.3) , dấu (+) hay dấu (-) trước mỗi số hạng tùy thuộc vào tác dụng của Mx, My gây nên ứng sất kéo hay nén tại điểm đang xét. Hình 8.5 minh hoạ cách phân vùng ứng suất pháp σ z lần lượt do Mx, My gây ra. Từ đây có thể suy ra ứng suất pháp tại điểm B(xB, yB): My Mx σz = + + y xB B Ix Iy σmin Mx Mx x x x x My x x z My z z B σ y y z y B B B σmax y y y σmin (c) (a) (b) B σz σ max Hình 8.5 8.2.3. Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất Nếu ứng suất tại mỗi điểm biểu diễn bằng một vec tơ thì phương trình (8.2) biểu diễn mặt phẳng quĩ tích những đầu mút của vec tơ ứng suất - gọi là mặt ứng suất. Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hoà – quĩ tích những điểm có ứng suất pháp bằng không, phương trình có dạng: My Mx y+ x =0 (8.4) Ix Iy My Ix Có thể viết dưới x => NHẬN XÉT: y=− dạng: Mx Iy - Đường trung hoà là đường thẳng đi qua gốc toạ độ với hệ số góc (chiều dương qui ước như góc α - hình 8.6): Mx Iy My Ix k = tan β = − =−
1 Ix (8.5) tan α I y
§uêng t¶i träng §uêng trung hoà x x y y Hình 8.6 - Những điểm cùng trên một đường thẳng song song với đường trung hoà thì có ứng suất pháp như nhau => Chuyển việc vẽ biểu đồ ứng suất pháp trong không gian bằng việc vẽ biểu đồ ứng suất pháp trong mặt phẳng một cách đơn giản (hình 8.7): a. Tìm trọng tâm C của mặt cắt ngang, xác định hệ trục quán tính chính trung tâm K y K §uêng trung hoà σmax x x x K N yN N y σm i n Hình 8.7 b. Tính các giá trị nội lực Mx, My tại mặt cắt ngang đang xét và các đặc trưng hình học mặt cắt ngang Ix, Iy. c. Dựng đường trung hoà với hệ số góc theo (8.5) d. Kéo dài đường trung hoà, từ điểm K xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo, và điểm N xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu nén, kẻ hai đường thẳng song song với đường trung hoà. Kẻ đường vuông góc
với đường trung hoà là đường chuẩn
e. Tính các giá trị ứng suất cực trị tại K và N theo (8.3) và dựng các tung độ tương ứng . 8.2.4. Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền Sau khi dựng đường trung hoà, ta xác định được toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo và vùng chịu nén, từ đó xác định ứng suất pháp cực trị theo: Mx My σ =+ max x max + y z max k k Ix Iy Mx My σ =− max max (8.6) − y x z min n n Ix Iy trong đó - ( x max , ykmax ) là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu k - ( x max , ynmax ) kéo là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng n CHÚ Ý: chịu nén - Với mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, mặt cắt có 2 trục đối xứng nội tiếp được trong hình chữ nhật, thì các điểm có ứng suất pháp cực trị chỉ ở các điểm góc nên: My Mx σ =σ (8.7) = + z max z min Wx Wy - Với mặt cắt ngang tròn hay đa giác đều, thanh chỉ chịu uốn phẳng do 2 2 Mx + M y M vậy σ =σ u = = (8.8) z max z min W W u x Trên mặt cắt nguy hiểm của thanh ( M x , M cùng lớn), điều kiện bền có y dạng: σ z max ≤ [σ ]k ⎫⎪ - Vật liệu dòn: (8.9) ⎬ ≤ [σ ] σ
⎪⎭ z min n - Vật liệu dẻo: max {σ z max , σ z min } ≤ [σ (8.10) ] Chẳng hạn với vật liệu dẻo, mặt cắt ngang chữ nhật điều kiện dạng: bền có
My Mx ≤ [σ ] + (8.11) Wx Wy Từ điều kiện bền (8.11) ta rút ra ba bài toán cơ bản: • Bài toán kiểm tra bền: Biết tải trọng, kích thước mặt cắt ngang và vật liệu, kiểm tra xem điều kiện bền (8.11) có thỏa mãn hay không? • Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang: vì có hai ẩn Wx, Wy nên ta giải theo phương pháp đúng dần. Điều kiện bền (8.11) có thể viết dưới dạng: ⎞ 1⎛ W M x + x M y ≤ [σ ] (8.12) W⎜ ⎟ W ⎝ ⎠ x y Wx theo kinh nghiệm (mặt cắt ngang chữ nhật • Chọn trước tỉ số Wy Wx h W = , mặt cắt ngang chữ I chọn x = 8 ÷ 10 , mặt cắt ngang chọn Wy b Wy Wx = 5 ÷ 7 ) sau đó tính Wx. chữ [ chọn Wy • Bài toán xác định tải trọng cho phép: tùy thuộc bài toán cụ thể, tải trọng cho phép suy ra từ điều kiện bền. 8.2.5. Chuyển vị của dầm chịu uốn xiên G Gọi và f y là độ võng tại mặt cắt ngang bất kỳ do riêng Mx và My gây nên. Độ G G võng toàn phần f là tổng hình học của f x và f y , tức là: G 2 2 f= fx + fy (8.13) 8.3. Thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời
8.3.1. Định nghĩa Một thanh được gọi là chịu uốn và kéo (nén) đồng thời khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh tồn tại các thành phần ứng lực mô men uốn Mx, My và lực dọc Nz (hình 8.8a). Ví dụ: Ống khói chịu nén đúng tâm do trọng lượng bản thân Q, vừa chịu uốn do tải trọng q (hình 8.8b). Cột điện chịu sức căng F của dây cáp điện có
phương không vuông góc với trục cột, thành phần vuông góc với trục cột F1 gây uốn và thành phần F2 theo phương trục cột gây nén đúng tâm (hình 8.8c). F1 F2 F q Mx x Q x Nz z My y B y (a) (b) (c) Hình 8.8 8.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Ứng suất pháp tại điểm B(x, y) trên mặt cắt ngang có các thành phần ứng lực Nz, Mx, My tính theo công thức: My Mx N (My) σ z = σ z( N z ) + σz ( M x ) + σz (8.14) = y+ x + z A Ix Iy Và theo công thức kỹ thuật: Nz My Mx σz = ± (8.15) y± x ± A Ix Iy Việc chọn dấu trước mỗi số hạng tùy thuộc vào các thành phần nội lực gây ra ứng suất kéo hay nén tại điểm tính ứng suất. 8.3.3. Kéo (nén) lệch tâm Trường hợp riêng của bài toán uốn và kéo (nén) đồng thời là bài toán kéo (nén) lệch tâm P1 Ví dụ: Trường hợp chịu lực của P3 P2 trục giá cần cẩu P4
Hình 8.9
Định nghĩa: Một thanh gọi là chịu kéo (nén) z lệch tâm khi hợp lực N của ngoại lực có phương N song song với trục thanh nhưng không trùng với trục thanh. x O K x N - lực lệch tâm y K K K(xK, yK) - toạ độ điểm đặt lực lệch tâm OK = e - độ lệch tâm Dời N từ K về trọng tâm O của mặt cắt ngang ta được 3 thành phần ứng lực: Hình 8.10 - Lực dọc Nz - Mô men uốn Mx=N.yK, và My=N.xK. Tương tự như (8.14) ta có công thức tính ứng suất pháp: N NyK NxK σz = (8.16) + y+ x A Ix Iy Đặt N/A làm thừa số chung và ký hiệu rx, ry là các bán kính quán tính trung tâm: Iy Ix r2= ; r2= ta được: x y A A N⎛ x⎞ y σ= 1 + K2 y + K 2 x (8.17) A⎜ r⎟ z r ⎝ ⎠ x y 8.3.4. Đường trung hoà và lõi mặt cắt ngang Từ phương trình (8.14), phương trình đường trung hoà trong trường hợp uốn và kéo (nén) đồng thời có dạng: My Nz Mx y+ x =0 (8.18) + A Ix Iy Ta nhận thấy đường trung hoà không đi qua trọng tâm mặt cắt ngang, các điểm xa đường trung hoà nhất là các điểm có ứng suất pháp cực trị σ max , σ min .
Cách vẽ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang tương tự như bài toán uốn xiên. Với bài tóan kéo (nén) lệch tâm, phương trình đường trung hoà có dạng:
⎛ x⎞ y 1+ K y+ K x =0 (8.18) ⎜ ⎟ 2 2 r r ⎠ ⎝ x y x y hay (8.19) + =1 a b ry2 rx2 với a = − ; b =− (8.20) xK yK Tính chất đường trung hoà: - Đường trung hòa không đi qua góc phần tư chứa điểm đặt lực (a ngược dấu xK, b ngược dấu yK). Điểm đặt lực nằm trên trục nào thì đường trung hoà song song với trục còn lại. - Vị trí đường trung hoà chỉ phụ thuộc vào toạ độ điểm đặt lực K và 2 2 hình dạng kích thước của mặt cắt ngang (xr y, r ) mà không phụ thuộc vào giá trị lực lệch tâm. - Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì đường trung hoà tương ứng sẽ quay quanh một điểm cố định nào đó. - Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên đường thẳng đi qua gốc toạ độ thì đường trung hoà tương ứng sẽ dịch chuyển song song với chính nó. Nếu điểm đặt lực di chuyển gần vào trọng tâm thì đường trung hoà ra xa trọng tâm và ngược lại. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang - Thường gặp những vật liệu chịu nén tốt, chịu kéo kém (gạch, đá, bê tông,…) => Khi tính toán, thiết kế các cấu kiện chịu uốn và nén đồng thời hay chịu nén lệch tâm ta phải tìm vị trí điểm đặt lực lệch tâm sao cho trên mặt cắt ngang chỉ chịu ứng suất nén. Muốn vật đường trung phải nằm ngoài mặt cắt ngang hoặc cùng lắm là tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang. - Lõi mặt cắt ngang là miền diện tích bao quanh trọng tâm mặt cắt ngang sao cho khi điểm đặt lực lệch tâm nằm bên trong hoặc trên chu vi miền này thì ứng suất pháp trên mặt cắt ngang chỉ mang một dấu (hoặc kéo, hoặc nén).
- Các bước xác định lõi mặt cắt ngang • Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang
• Tính các mô men quán tính chính trung tâm Ix, Iy; các bán kính quán tính rx, ry. • Lần lượt vẽ các đường trung hoà tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang. Vị trí đường trung hoà thứ i được xác định bởi các toạ độ ai, bi tương ứng. Từ đó xác định toạ độ điểm đặt lực lệch tâm: 2 ry 2 = − ; y i = − rx i x K ai K bi • Nối các điểm đặt lực Ki để nhận được lõi mặt cắt ngang Chú ý khi mặt cắt ngang là một đa giác lõm (chữ I, chữ T, chữ U,..), chọn đường trung hoà tiếp xúc với mặt cắt ngang nhưng không được cắt qua mặt cắt ngang. 8.4. Thanh chịu uốn và xoắn đồng thời 8.4.1. Định nghĩa Một thanh được gọi là chịu uốn và xoắn khi đồng thời khi trên các mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là mô men uốn Mx, My và cả mô men xoắn Mz. Thanh chịu uốn và xoắn đồng thời khi tải trọng tác dụng vào thanh là các lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc với trục thanh nhưng không cắt trục thanh (hình 8.11a), hoặc các trục truyền động (hình 8.11b), … Ta chỉ xét các thanh có mặt cắt ngang tròn và hình chữ nhật. A F Q2 x C Q1 B t 2 z T T t 1 2 1 y (b) (a) Hình 8.11 8.4.2. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang tròn