Bài tập thể hiện phương pháp quy nạp, diễn dịch

Chia sẻ: Tan A Ngoc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

585
lượt xem 90
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hãy tìm trong sách giáo khoa và sách bài tập toán ở THCS và THPT những ví dụ bài tập thể hiện được các phương pháp quy nạp ,diễn dịch ,suy diễn ,phản chứng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập thể hiện phương pháp quy nạp, diễn dịch

Bài tập lớn chương 1 Hãy tìm trong sách giáo khoa và sách bài tập toán ở THCS và THPT những ví dụ bài tập thể hiện được các phương pháp quy nạp ,diễn dịch ,suy diễn ,phản chứng ,phân tích ,tổng hợp ,tổng quát hóa ,đặc biệt hóa ,tương tự hóa ,trừu tượng hóa ,cụ thể hóa,.hãy chọn một số bài điển hình để trinh bày theo các giai doạn của việc tìm tòi lời giải ( phân tích ,lời giải ,khai thác…. ) Bài tập thể hiện phương pháp quy nạp, diễn dịch Bài 1: CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức: n(3n + 1) 2 + 5 + 8 + …+ 3(n - 1) = (*) 2 1, Phân tích Đẳng thức trên liên quan đến tập số tự nhiên nên ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học. Từ đó ta có lời giải sau 2, Lời giải Thật vậy với n = 1, ta có: 1(3.1 + 1) 2= luôn đúng. 2 Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n = k, tức là k(3k + 1) (giả thiết quy nạp) 2 + 5 + 8 + … + (3k - 1) = 2 Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, nghĩa là (k + 1) [ 3.(k + 1) + 1] 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) - 1] = 2 Ta thấy: (k + 1) 3.(k + 1) + 1   2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) - 1] = 2 (k + 1)(3k + 4)  2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + 3(k + 2) = .(**) 2 Theo giả thiết quy nạp ta có: k(3k + 1) (k + 1)(3k + 4) (**)  + 3(k + 2) = 2 2 2 2 3k + k + 6k + 4 3k + 4k + 3k + 4 =  2 2 2 2 3k + 7k + 4 3k + 7k + 4 = (luôn đúng).  2 2 Vậy với mọi n ∈ N* ta luôn có : n(3n + 1) 2 + 5 + 8 + …+ 3(n - 1) = 2 3, Khai thác bài toán 10, CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức:
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2 20, CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức: 1 n+1 3 + 9 + 27 + … + 3n = (3 - 3) 2 Bài 2: CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức 3n ≥ 3k + 1 1, Phân tích Vì bài toán trên liên quan đến tập số tự nhiên N nên để chứng minh bài này ta nên sử dụng phương pháp quy nạp 2, Lời giải Xét n = 2 ta có : 32 = 9 > 7 (luôn đúng) Giả sử bài toán trên đúng với n = k ≥ 2 Tức là ta có 3k > 3k + 1 (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh bài toán trên cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh : 3k + 1 > 3(k + 1) + 1 hay 3k + 1 > 4k + 1 Thật vậy , theo giả thiết quy nạp 3k > 3k + 1  3.3k > (3k + 1) .3  3k +1 > 9k + 3 > 3k + 4 Hay 3k + 1 > 3k + 4 Kết luận : vậy 3n > 3n + 1 3, Khai thác 10, CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức 2n > 2n + 3 20, CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 3 ta có bất đẳng thức 3n > n2 + 4n + 5. Bài tập thể hiện phương pháp suy diễn: Bài tập thể hiện phương pháp phản chứng Bài 1:CMR nếu a5 + b5 mà chia hết cho 5 thì ta có a + b chia hết cho 5. 1, Phân tích: Đây là bài toán chứng minh sự chia hết có điều kiện. Có rất nhiều cách để chứng minh sự chia hết thì ta có thể sử dụng một trong số các cách sau tách tổng thành nhiều hạng tử chứng minh chia hết nhờ phân tích thành nhân tử ,có thể sử dụng nguyên tắc suy luận Dirichlet có thể sử dụng các định lý ơle định lý fercma ,hoặc có thể sử dụng phương pháp quy nạp … Tuy nhiên ở bài này chứng minh theo những cách đó rất khó vì bài toán có điều kiện ràng buộc,mà ta nhận thấy nếu a + b không chia hết cho 5 thì ta sẽ có (a5 + b5) – (a - b) = (a5 - a) + (b5 - b) không chia hết cho 5 Tuy nhiên ta lại có a5 – a = a (a4 - 1)= (a2 - 1)a(a2 + 1)
= (a - 1)a(a + 1)(a2 + 1) = (a - 1)a (a + 1)(a2 – 4 + 5) = (a - 1)(a - 1)a(a + 1)(a + 2)+ 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5. Và b5 – b cũng chia hết cho 5 Vì vậy ta sẽ chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng 2, Lời giải Giả sử ta có a5 + b5 M 5 nhưng a + b không chia hết cho 5  a5 + b5 – (a + b) không chia hết cho 5(1) Mà (a5 + b5) – (a - b) = (a5 - a) + (b5 - b) Mặt khác ta có a5 – a = a (a4 - 1)= (a2 - 1)a(a2 + 1) = (a - 1)a(a + 1)(a2 + 1) = (a - 1)a (a + 1)(a2 – 4 + 5) = (a - 1)(a - 1)a(a + 1)(a + 2)+ 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 Tương tự ta cũng có b5 – b chia hết cho 5 Nên (a5 + b5) – (a + b)chia hết cho 5 => (1) mâu thuẫn với điều này => giả sử là sai Vậy nếu ta có a5 – b5 chia hết cho 5 thì a + b chia hết cho 5. 3, Khai thác bài toán Bài toán tương tự: 10, chứng minh rằng nếu a7 - b7 chia hết cho 7 thì ta có a + b chia hết cho 7 20, Nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5. CM: giả sử n2 chia hết cho 5 nhưng n không chia hết cho 5 => n = 5k + m ( với m = 1, 2, 3, 4) Khi đó n2 = (5k + m) 2 = 25k2 + 10km + m2 Ta có 25k2 + 10km chia hết cho 5. nhưng m2 chỉ nhận các giá trị 1, 4, 9, 16 (vì m = 1, 2, 3, 4) cho nên m2 không chia hết cho 5. Nên ta có n2 không chia hết cho 5 mâu thuân với giả thiết là n2 chia hết cho 5. =>điều giả sử là sai Vậy nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5. Bài 2: CMR với mọi số thực a, b, x, y ta có (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 1, Phân tích Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta nhận thấy : (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = a2x2 + b2x2 + a2y2+ b2y2 - a2x2 - b2x2 + 2axby = a2y2+ b2y2 + 2axby = (ax + by)2 ≥ 0 Cho nên ta có thể sử dụng phương pháp phán chứng để chứng minh bất đẳng thức trên.
2, Lời giải Giả sử với mọi số thực a, b, x, y ta có (a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 < 0  a2x2 + b2x2 + a2y2+ b2y2 - a2x2 - b2x2 + 2axby < 0  (ax + by)2 < 0 => vô lí => điều giả sử là sai Vậy ta có (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 3, Khai thác 10, cho các số thực a, b , c, d thỏa mãn a + b = 2 cd Chưng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng : c2 ≥ a; d2 ≥ b 20, Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. CMR a + b + c ≥ 3. Bài tập thể hiện phương pháp phân tích Bài 1:CMR x3 + y3 ≥ x2y + xy2 ∀ x ≥ 0, y ≥ 0x3 + y3 ≥ x2y + xy2 1, Phân tích Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện.Ta thấy vế trái và vế phải của biểu thức có nhân tử chung là (x + y) từ đó ta có x3 + y3 - x2y - xy2 ≥ 0  (x + y)(x - y)2 ≥ 0 (*) Vì x ≥ 0, y ≥ 0 nên bất đẳng thức đúng , từ đó ta suy ra điều phải chứng minh. 2, lời giải x3 + y3 ≥ x2y + xy2  x3 + y3 –(x2y + xy2) ≥ 0  (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0  (x + y)(x - y)2 ≥ 0 Vì x ≥ 0, y ≥ 0 => x + y ≥ 0 => (x + y)(x - y)2 ≥ 0 ∀ x ≥ 0, y ≥ 0 Vậy x3 + y3 ≥ x2y + xy2 3, khai thác bài toán Ta có bài toán tương tự 10, Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.CM (b - c)2 < a2 20, CMR x4 - x 5 + x - x + 1 ≥ 0 ∀ x ≥ 0 Bài 2 : CM các đẳng thức sau cos(a - b) cota.cotb + 1 = cos(a + b) cota.cotb - 1 1, Phân tích Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức trên ta đi biến đổi vế trái , áp dụng công thức cộng lượng giác : cos(x + y) = cosxcosy – sinxsiny cos(x - y) = cosxcosy + sinxsiny
cota.cotb + 1 sau đó chia cả tử và mẫu cho sinasinb ta được cota.cotb - 1 Từ đó ta có lời giải toán sau 2, Lời giải Ta có cos(x + y) = cosxcosy – sinxsiny cos(x - y) = cosxcosy + sinxsiny cos(a - b) cosacosb + sinasinb => cos(a + b) = cosacosb - sinasinb Chia cả tử và mẫu cho sinasinb ta được cos(a − b) cota.cotb + 1 = cos( a + b) cota.cotb - 1 3, Khai thác bài toán Tương tự lời giải của bài toán trên ta có bài toán sau Chứng minh các đẳng thức sau 10, sin(a + b)sin(a - b) = sin2a – sin2b = cos2a – cos2b 20, cos(a + b)cos(a - b) = cos2a – sin2b = cos2a – sin2b 1 - sin 2 a 1 - tana 30, = 1 + sin 2a 1 + tanb Phương pháp tổng hợp Bài 1: CMR ∀ a ∈ R, a > 2 3a + 4a < 5a (1) 1, Phân tích 2 2 3  4 Ta có 3, 4, 5 là bộ số pitago: 3 + 4 = 5   ÷ +  ÷ = 1 2 2 2 4 5 2 2 3 4 Và các hàm số y =  ÷ và y =  ÷ nghịch biến. 5 5 Từ đó ta có lời giải sau 2, Lời giải 2 2 3  4 Bất đẳng thức (1)   ÷ +  ÷ < 1 4 5 x 3 3 Do < 1 => y =  ÷ nghịch biến 5 5 2 4 4 < 1 => y =  ÷ nghịch biến 5 5 Nên với a > 2 ta có a a 2 2 4 3 3 4  ÷
 3a + 4a < 5a. Khai thác bài toán 10, Bài toán tương tự : CM ∀ a > 2 , a ∈ R ta có 6a + 8a < 10a 20, Bài toán tổng quát CMR ∀ a > 2 , a ∈ R xa + ya < za (x, y, z là những bộ số pitago, nghĩa là x2 + y2 = z2, x, y, z∈ R ) Bài 2 : cho x ∈ [-2, 0].CMR |x + 1| ≤ 1 1, Phân tích Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh |x + 1| ≤ 1 ta cần chứng minh -1 ≤ x + 1 ≤ 1 Từ đó ta có lời giải sau 2, Lời giải Ta có x ∈ [-2, 0] => -2 ≤ x ≤ 0  -2 + 1 ≤ x + 1 ≤ 0 + 1  -1 ≤ x + 1 ≤ 1  |x| ≤ 1 3, Khai thác bài toán Bài toán tương tự 10, cho x ∈ [-8, 2] CMR |x2 + 3| ≤ 5 20, cho x ∈ [-23, 3] CMR |x + 10| ≤ 13 Bài tập thể hiện phương pháp tổng quát hóa và đặc biệt hóa Bài 1. Bài 2: xác định n ∈ N để 2n - 1M 7 1) Phân tích Đây là bài toán tìm số liên quan đến sự chia hết Nhận thấy 2n – 1 = 2n – 1n .Tổng quát bài toán ta thấy bài toán có dạng tìm số tự nhiên n sao cho an – bn chia hết cho c( a, b ,c là số nguyên)mà theo nhị thức newton ta có: an – bn = ( a – b ). A. Với a, b nguyên thì A nguyên , tức là an – bn chia hết cho (a – b) ta có thể dựa vào đó để tìm n sao cho an – bn chia hết cho c. Từ đó ta có lời giải sau: 2) Lời giải n có thể rơi vào các trường hợp : n = 3k, 3k + 1, 3k + 2
• với n = 3k ta có 2n – 1 = 23k – 1 = 23 - 1 = (23 - 1).A = 7.A M 7 K K => n = 3k thì 2n – 1 chia hết cho 7. • Với n = 3k + r với r = 1 hoặc n = 2 => 2n – 1 = 2 (3k + r) – 1 = 2(3k + r) – 2r + (2r – 1) = 2r. (23k - 1) + (2r - 1) Do 2r.(23k - 1) chia hết cho 7 còn 2r – 1 không chia hết cho 7 nên 2n – 1 không chia hết cho 7 => n = 3k + 1 hoặc n = 3k+ 2 thì 2n – 1 không chia hết cho 7 Kết luận: với n = 3k (k ∈ N) thì 2n – 1 chia hết cho 7 3) Khai thác bài toán 10, Tìm n sao cho 5n – 1 chia hết cho 9 20, tìm n sao cho 9n – 4n chia hết cho 5 Bài tập thể hiện phương pháp tương tự hóa Bai 1: Theo mâu: vì 22 = 4 nên 4 = 2 . Hay hoan thanh bai tâp sau: ̀ ̃ ̃ ̀ ̀ ̣̀ a. Vì 52 = 25 nên ... = 5 b. Vì 7 = 49 nên …= 7 c. Vì 1 = 1  nên 1 =… 2 2  d. Vì  ÷ =... nên …=… 3  ́ 1) Phân tich: Đây là bai toan về căn bâc hai số hoc cua môt sô; căn bâc hai số ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̣́ ̣ hoc cua môt số akhông âm là số x sao cho: x = a 2 ̣ ̉ ̣ Theo mâu ta co: Vì 22 = 4 nên 4 = 2 . Sử dung tinh chât nay ta sẽ ̃ ́ ̣ ́ ́̀ giai được bai tâp. Ta có lời giai sau: ̉ ̣̀ ̉ 2) Lời giai:̉ a. Vì 5 = 25 nên 25 =5 . 2 b. Vì 7 2 = 49 nên 49 =7 c. Vì 12 = 1 nên 1= 1 2 2 4 4 2 d. Vì  ÷ = =. nên 9 3  3 9 ́ ̀ ́ 3) Khai thac bai toan 2 4 1 . Vì  ÷ = ... 0 nên …=… 5  2 . Vì 122 =... 0 nên … = 12
2 4 16 16 4 1 . Vì  ÷ = = 0 nên 25 5 5  25 20. Vì 122 =144 144 = 12 nên Bai 2: Cho cac đa thức sau: ̀ ́ N = 15y3 + 5y 2 − y5 − 4y 3 − 2y M = y 2 + y3 − 3y +1 − y 2 + y 5 − y 3 + y 5 a. Thu gon cac đa thức trên. ̣ ́ b. Tinh N + M và M + N ́ 1) Phân tích Đây là những đa thức môt biên, để thu gon đa thức ta thực hiên ̣ ́ ̣ ̣ nhom phân hệ số cua những biên có cung số mũ với nhau. Sau đó thực ́ ̀ ̉ ́ ̀ hiên phep tinh giữa cac hệ sô, ta sẽ thu được biêu thức thu gon cân tim. ̣ ́́ ́ ́ ̉ ̣ ̀̀ Để công (trừ) hai đa thức cung biên với nhau ta công (trừ) phân hệ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ số cua những biên có cung số mũ cho nhau. Sau đo, ta sẽ thu được biêu ̉ ́ ̀ ́ ̉ thức cân tim. ̀̀ Ta có lời giai sau: ̉ Lời giải a. Thu gon cac đa thức ̣ ́ ́ Ta co: N = 15y 3 + 5y 2 - 4y 3 - 2 = -y5 + (15 - 4)y3 = (5-5)y 2 - 2y = -y 2 + 11y 3 - 2y Tương tự: M = y 2 + y 3 − 3y + 1 − y 2 + y 5 − y 3 + 7y 5 5 3 2 =(1 + 7)y + (1 - 1)y + (1 - 1)y - 3y + 1 5 =8y - 3y + 1. ́ b. Ta co: 5 3 5 N + M = (-y + 11y - 2y) + (8y - 3y + 1)¨ =-y5 +11y3 -2y+8y5 +3y-1 =(1+8)y5 +11y3 +(-2+3)y+1 =7y5 +11y3 -5y+1 N - M = (-y 5 + 11y 3 - 2y) - (8y 5 - 3y + 1)
= -y 5 + 11y 3 - 2y - 8y 5 + 3y - 1 = ( -1 - 8)y 5 + 11y 3 + ( -2 + 3)y - 1 = -9y 5 + 11y 3 + y - 1 2) Khai thác bài toán 1 . Cho hai đa thức: 0 1 P(x)=-5x 3 - +8x 4 +x 2 3 2 Q(x)=x 2 -5x-2x 3 +x 4 - . 3 2 0 . Cho: P(x) = 2x 4 - 2x 3 - x + 1 Q(x)= -x 3 + 5x 2 + 4x R(x)= -2x 4 + x 2 + 5 Tinh: P(x) + Q(x) + R(x) và P(x) - Q(x) - R(x) . ́ Bai 3: Cho p > 0, q > 0. Chứng minh răng: ̀ ̀ (p + 2)(q + 2)(q + p)³16.q.p.lim x →∞ ́ 1. Phân tich: - Đây là dang chứng minh bât đăng thức, có nhiêu cach để chứng ̣ ́̉ ̀ ́ minh. - Ta thây trong bai toan có dang cac tông cua cac chữ số không ́ ̀ ́ ̣ ́̉ ̉ ́ âm. Vì vây, ta sẽ ap dung bât đăng thức Côsi để chứng minh bât đăng ̣ ́ ̣ ́̉ ́̉ thức nay. ̀ - Bât đăng thức Côsi: Với moi a > 0, b> 0. Ta co: a + b ≥ 2 ab. ́̉ ̣ ́ Ta có lời giai sau: ̉ 2. Lời giai: ̉ Ap dung bât đăng thức Côsi cho hai số không âm p, 2. Ta co: ́ ̣ ́̉ ́ p +2 ≥ 2 2p (1) Tương tự, ta co: ́ q +2 ≥ 2 2q (2) p +q ≥ 2 pq (3) Nhân cac vế cua (1), (2), (3) với nhau ta được: ́ ̉ (p + 2)(q + 2)(p + q) ≥ 2 2p.2 2q.2 pq
(p + 2)(q + 2)(p + q) ≥ 16pq . ⇔ ́ ̀ ̉ Dâu băng xay ra khi p = q = 2. Vây, bât đăng thức được chứng minh. ̣ ́̉ ́ ̀ ́ 3. Khai thac bai toan: 1 0 . Chưng minh răng: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2( ab + bc + ca ) , với ́ ̀ a, b, c là độ dai ba canh cua môt tam giac. ̀ ̣ ̉ ̣ ́ 2 0 . Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 sao cho: x + y + z = 1. Hay tim giá trị lớn nhât cua biêu thức sau: ̃̀ ́̉ ̉ M = xy + yz + zx . TRỪU TƯỢNG HOA ́ ̀ Bai 1: Trong kho tang văn hoa dân gian Viêt Nam có bai toan: “Trăm trâu ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̉ trăm co” sau đây: ̉ “Trăm trâu trăm co, Trâu đứng ăn năm, ̀ Trâu năm ăn ba, Lụ khụ trâu gia, ̀ ̣ ́ Ba con môt bo. Hoi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu năm, bao nhiêu trâu gia?” ̉ ̀ ̀ ̀̀ Bai lam: ́ a. Phân tich: - Đây là dang bai tâp giai bai toan băng cach lâp hệ phương trinh. ̣ ̣̀ ̉̀ ́ ̀ ́ ̣ ̀ - Đề bai yêu câu tim số trâu đứng, số trâu năm, số trâu gia. Từ đây ̀ ̀̀ ̀ ̀ ta sẽ lâp được hệ phương trinh bâc nhât ba ân. Giả sử goi x là số ̣ ̀ ̣ ́ ̉ ̣ trâu đứng, y là số trâu năm, z là số trâu gia. ̀ ̀ - Từ thông tin đè bai đưa ra, ta sẽ thiêt lâp được môi quan hệ giữa ̀ ̣́ ́ x, y, z như sau: + Trước hêt đề bai cho biêt tông số trâu là “trăm trâu” suy ra: ́ ̀ ́̉ x + y + z = 100. + Đề bai cho biêt tông số cỏ là “trăm co”. Trong đo, trâu đứng ăn ̀ ́̉ ̉ ́ năm, trâu năm ăn ba, trâu già ba con môt bo. Ta sẽ có phương ̀ ̣ ́ ̀ trinh: 1 5x + 3y + y = 100. 3 Từ đó ta có lời giai sau: ̉ b. Lời giai: ̉ Goi số trâu dứng là x, số trâu năm là y, số trâu già là z ( x, y, z là ̣ ̀ những số nguyên dương nhỏ hơn 100).
Ta có hệ phương trinh: ̀  x + y + z = 100   1 5x + 3y + z = 100   3 Đây là hệ phương trinh bâc nhât ba ân, nêu không tinh đên điêu ̀ ̣ ́ ̉ ́ ́ ́ ̀ kiên cua ân thì hệ phương trinh nay có vô số nghiêm (nêu khử z ta được ̣ ̉̉ ̀ ̀ ̣ ́ môt phương trinh bâc nhât hai ân 7x + 4y = 100). ̣ ̀ ̣ ́ ̉ Tuy nhiên, vì x, y, z phai là những số nguyên dương nhỏ hơn 100 ̉ nên chỉ có môt số hữu han nghiêm, cụ thể ở đây có ba nghiêm: ̣ ̣ ̣ ̣ x3 = 4  x1 = 4 x 2 = 4     y1 = 18  y 2 = 18  y 3 = 18  z = 78  z = 78  z = 78 1 2 3 ́ ̀ ́ c. Khai thac bai toan Tương tự ta có cac bai toan sau: ́ ̀ ́ Bai 1: Có hai dây chuyên may ao sơmi. Ngay thứ nhât, cả hai dây ̀ ̀ ́ ̀ ́ chuyên may được 930 ao. Ngay thứ hai, do dây chuyên thứ nhât tăng ̀ ́ ̀ ̀ ́ năng suât 18%, dây chuyên thứ hai tăng năng suât 15% nên cả hai dây ́ ̀ ́ chuyên may được 1083 ao. Hoi trong ngay thứ nhât môi dây chuyên bao ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̃ ̀ nhiêu ao sơmi. ́ Bai 2: Cho môt số có hai chữ sô. Nêu viêt thêm hai chữ số vao bên ̀ ̣ ́ ́ ́ ̀ phai số đó thì được số mới lớn hơn số đã cho 1995 đơn vi. Tim số đã ̉ ̣̀ cho và hai chữ số viêt thêm. ́ Bai 3: Môt ô tô chở 2190 kg gao, đựng trong 37 bao. Có ba loai: ̀ ̣ ̣ ̣ 62 kg, 60 kg và 50 kg. Số bao 62 kg nhiêu gâp đôi số bao 60 kg. Hoi số ̀ ́ ̉ ̃ ̣ bao môi loai? Bai 2: Toan cô: “Quyt ngon môi quả chia ba. Cam ngon môi quả chia ra ̀ ́ ̉ ́ ̃ ̃ lam mười. Môi người môt miêng, trăm người. Có mười bay quả không ̀ ̃ ̣ ́ ̉ đủ để chia. Hoi có bao nhiêu cam? Bao nhiêu quyt?” ̉ ́ ̀̀ Bai lam: ́ a. Phân tich - Đây là dang bai tâp giai bai toan băng cach lâp hệ phương trinh. ̣ ̣̀ ̉̀ ́ ̀ ́ ̣ ̀ - Dựa vao cac dữ kiên bai toan cho để tim môi liên hệ giữa ân với ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̉ nhau. - Bai toan yêu câu tim số cam và số quyt,. Goi số cam là x, số quyt là ̀ ́ ̀̀ ́ ̣ ́ ́ y. Ta co: x + y = 17
- Lai có môi quả quyt chia ba, môi quả cam chia ra lam mười, môi ̣ ̃ ́ ̃ ̀ ̃ người môt miêng, trăm người. Từ đo, ta có phương trinh: ̣ ́ ́ ̀ 10x + 3y = 100 Từ đo, ta đi giai hệ phương trinh bâc nhât hai ân ta sẽ tim được số ́ ̉ ̀ ̣ ́ ̉ ̀ cam và số quyt. Ta có lời giai sau: ́ ̉ b. Lời giai ̉ Goi x là số cam cân tim, y là số quyt cân tim (x, y là những số ̣ ̀̀ ́̀̀ nguyên dương nhỏ hơn 17). Theo bai ra ta có hệ phương trinh: ̀ ̀  x + y = 17 (1)  (2) 10x + 3y = 100 Từ (1) suy ra: x = 17 – y , thay vao (2) ta được: ̀ 10(17 - y) + 3y = 10 ⇔ 170 - 7y = 10 ⇒ y = 10 ⇒ x=7 Vây, có 7 quả cam và 10 quả quyt. ̣ ́ ́ c. Khai thac Ta có bai toan tương tự sau: ̀ ́ Bai 1: Khôi hoc sinh lớp 6 gôm 480 em, đi tham quan công trinh ̀ ́ ̣ ̀ ̀ thuy điên sông Đa. Có hai loai xe ô tô: loai trở 50 hoc sinh và loai trở 40 ̉ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ hoc sinh, cả thay là 10 xe. Hoi có bao nhiêu xe ô tô môi loai? ̣ ̉ ̉ ̃ ̣ Bai 2: Có 7 cai banh chia đêu cho 12 em. Chia như thế nao để ̀ ́́ ̀ ̀ không chia bât cứ banh nao thanh 12 phân băng nhau ca? ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ̉ CỤ THỂ HOA ́ a2 1 ≤. Bai 1: Chưng minh răng với moi a : ̀ ́ ̀ ̣ a 4 +1 2 ́ a. Phân tich Đây là dang toan chứng minh bât đăng thức. Ta có thể ap dung đinh ̣ ́ ́̉ ́ ̣ ̣ nghia : A ≥ B  A – B ≥ 0 để chứng minh bât đăng thức. ̃ ́̉ Kêt hợp với phep biên đôi tương đương ta sẽ chứng minh được bât ́ ́ ́ ̉ ́ đăng thức đã cho. ̉ Từ đó ta có lời giai sau: ̉ b. Lời giai: ̉ 1 2a 2 − a 4 − 1 (a 2 − 1) a2 −= =− ≤ 0, ∀a. ́ 2 ( a 4 + 1) Ta co: a4 +1 2 2(a 4 + 1)
̣ Vây: a2 1 ≤ , ∀a. a4 +1 2 Dâu băng xay ra khi và chỉ khi a 2 − 1 = 0 ⇔ a = ±1. ́ ̀ ̉ ́ ̀ ́ c. Khai thac bai toan Tương tự ta có cac bai toan sau: ́ ̀ ́ Bai toan 1: Chứng minh răng với moi a > 0, b > 0 thì ̀ ́ ̀ ̣ 2 ≤ ab. 11 + ab Bai toan 2: Chứng minh răng: ∀a, b, c, d ≥ 0 thì ̀ ́ ̀ (a+b)(c+d) ≤ ac + bd. Bai 2: Giai và biên luân phương trinh: ̀ ̉ ̣ ̣ ̀ 2x - m = 2 - x. (1) ́ a. Phân tich: Đây là dang bai tâp giai và biên luân phương trinh có chứa dâu giá ̣ ̣̀ ̉ ̣ ̣ ́ trị tuyêt đôi. Để giai được bai toan ta cân khử dâu giá trị tuyêt đôi ̣ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ́ trong phương trinh băng cach sử dung cac tinh chât cua trị tuyêt ̀ ̀ ́ ̣ ́́ ́̉ ̣ đôi. Ta có thể sử dung tinh chât sau: ́ ̣ ́ ́ B ≥ 0  A = B A = B ≥ 0   A = −B.  Từ đo, ta có lời giai sau: ́ ̉ b. Lời giai:̉ ́ Ta co:
x ≤ 2  2 - x ≥ 0   x = m + 2 2x − m = 2 − x ⇔  (1) ⇔   3.  2 − x ≥ 0  x ≤ 2  2x − m = x − 2 x = m − 2    m+2 ≤ 2 ⇔ m ≤ 4. + Trường hợp 1: 3 + Trường hợp 2: m − 2 ≤ 2 ⇔ m ≤ 4. ́ ̣ Kêt luân: m+2  x= Với m ≤ 4 : phương trinh (1) có nghiêm  3. ̀ ̣ -  x = m − 2 Với m > 4 : Phương trinh (1) vô nghiêm. ̀ ̣ - ́ ̀ ́ c. Khai thac bai toan Bai 1: Giai và biên luân phương trinh sau theo tham số m: ̀ ̉ ̣ ̣ ̀ mx - 2 = 2x + m . Bai 2: Xac đinh m để phương trinh sau co nghiêm duy nhât: ̀ ̣́ ̀ ̣ ́ x + 1-x =m.