Bài tập toán cao cấp-Chương 1

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

341
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình tham khảo toán cao cấp

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập toán cao cấp-Chương 1

Bài t p chương 1 2 1 −1 −2 1 0 . Tính 3A ± 2B ; A A; A A . Bài 1.1. Cho A = ,B = 0 1 −4 −3 2 2 Bài 1.2. Tìm x, y, z và w bi t r ng xy x 6 4 x+y 3 = + . −1 2 w zw z+w 3 Bài 1.3. Tính các tích    1 −3 2 256 a)  3 −4 1   1 2 5  ; 2 −5 3 132   6   50 23  −2  b)  4 1 5 3   7 ;  3 1 −1 2 4 Bài 1.4. Tính AB − BA n u 2 −3 1 2 a) A = ,B= ; 4 −1 −4 1     111 753 b) A =  0 1 1 , B =  0 7 5  . 001 007 Bài 1.5. Tính A A và AA v i 1 21 3 (a) A = ; 4 −1 5 −1   −1 −2 3 1 (b)A =  0 −1 −1 −2  ; 2 −1 3 −2 1
  010 Bài 1.6. Cho A =  0 0 1 , tính A2 và A3 . 000 Bài 1.7. Tìm t t c các ma tr n c p 2 giao hoán v i 12 A= . 01 Bài 1.8. Tìm t t c các ma tr n c p 3 giao hoán v i   10 1 A =  0 1 −2  . 00 2 Bài 1.9. Hãy xác đ nh f (A) trong các trư ng h p sau: 2 −1 ; f (x) = 2x3 + 3x2 − 7x + 5. a) A = 3 −2 13 ; f (x) = 3x3 − 2x2 − x + 2. b) A = 24   011 c) A =  1 0 1  ; f (x) = 4x2 − 3x + 4. 110   1 −1 0 1 −1  ; f (x) = x2 + 4x − 5. d) A =  0 −1 0 1 Bài 1.10. Tính Ak , k ∈ N bi t r ng: 2 −1 1α a) A = ; b) A = ; 3 −2 01 2
  111 αβ d) A =  1 1 1  ; c) A = ; 0α 111     111 110 e) A =  0 1 1  ; f) A =  0 1 1  . 001 001 Bài 1.11. * Cho A ∈ Mn (K ) có t t c các ph n t đ u b ng α (α ∈ K ). Hãy tính Ak , k ∈ N. Bài 1.12. Xác đ nh h ng c a các ma tr n sau:     357 113 a)  1 2 3  ; b)  2 1 4 ; 135 125     1 1 −3 123 4 c)  −1 0 2 ; d)  2 4 6 8  ; −3 5 0 3 6 9 12     4322 1236 e)  0 2 1 1  ; f)  2 3 1 6  ; 0033 3126     1 −1 5 −1 3 −2 −1 1 1 −2 5 −2 1 3; h)  2 1  . g)   3 −1 8 1 1 1 6 13  3 −9 −2 −6 1 7 8 10 Bài 1.13. Tìm và bi n lu n h ng c a các ma tr n sau theo tham s m, n ∈ K :     1 1 −3 5m −m m a)  2 1 m  ; b)  2m m 10m ; −m −2m −3m 1m 3     3 1 14 m00n m 4 10 1   n m 0 0  0 n m 0 . c)  ; d*)   1 7 17 3  2 2 41 0 0 nm Bài 1.14. Dùng Thu t toán Gauss ho c Gauss-Jordan, gi i các h phương trình sau: 3
  2x1 + x2 − 2x3 = 10; 3x1 + 2x2 + 2x3 = 1; a) 5x1 + 4x2 + 3x3 = 4.    x1 − 2x2 + x3 = 7; 2x1 − x2 + 4x3 = 17; b) 3x1 − 2x2 + 2x3 = 14.    x1 + 2x2 − x3 = 3; 2x1 + 5x2 − 4x3 = 5; c) 3x1 + 4x2 + 2x3 = 12.    2x1 + x2 − 3x3 = 1; 5x1 + 2x2 − 6x3 = 5; d) 3x1 − x2 − 4x3 = 7.    2x1 + x2 − 2x3 = 8; 3x1 + 2x2 − 4x3 = 15; e) 5x1 + 4x2 − x3 = 1.    x1 + 2x2 − 3x3 = 1; 2x1 + 5x2 − 8x3 = 4; f) 3x1 + 8x2 − 13x3 = 7.    x1 + 2x2 − 2x3 = −1; 3x1 − x2 + 2x3 = 7; g) 5x1 + 3x2 − 4x3 = 2.    2x1 − 5x2 + 3x3 + 2x4 = 4; 3x1 − 7x2 + 2x3 + 4x4 = 9; h) 5x1 − 10x2 − 5x3 + 7x4 = 22.    x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2; 2x1 + 5x2 − 2x3 + x4 = 1; i) 5x1 + 12x2 − 7x3 + 6x4 = 7.    x1 + x2 = 7;  x2 − x3 + x4 = 5;  j)  x1 − x2 + x 3 + x4 = 6;  − x4 x2 = 10.  4
  x1 + 2 x2 + 3 x3 = 14;   3x1 + 2 x2 + x3 = 10;   x1 + x2 + x3 = 6; k) − x3  2x1 + 3 x2 = 5;    x1 + x2 = 3.  Bài 1.15. Gi i các h phương trình tuy n tính thu n nh t sau:   x1 + 2x2 + x3 = 0; 2x1 + 5x2 − x3 = 0; a) 3x1 − 2x2 − x3 = 0.    x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0; 2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 0; b) 5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 0.    2x1 − 2x2 + x3 = 0; 3x1 + x2 − x3 = 0; c) x1 − 3x2 + 2x3 = 0.   − 2x2 − 5x3  3x1 + x4 = 0;  − 3x2 + x3 2x1 + 5 x4 = 0;  d) − 4x4  x1 + 2 x2 = 0;  − x2 − 4x3 x1 + 9 x4 = 0.    x1 + x2 − 3x3 + 2x4 = 0;  x1 − 2x2 − x4 = 0;  e) x2 + x3 + 3 x4 = 0;   2x1 − 3x2 − 2x3 = 0.   − 2x3  x1 + 3 x2 + x4 = 0;  − x2 x1 + x3 + x4 = 0;  f) − x2 − x3 −  4x1 x4 = 0;  − 4x3 − 4x1 + 3 x2 x4 = 0.   − 5x2  6x1 + 7 x 3 + 8 x4 = 0;  6x1 + 11x2 + 2 x 3 + 4 x4 = 0;  g)  6x1 + 2x2 + 3 x 3 + 4 x4 = 0;  x1 + x2 + x3 = 0.  5
  x1 + 2 x2 + x3 = 0;  x2 + 3 x3 + x4 = 0;  h) 4x1 + x3 + x4 = 0;   x1 + x2 + 5 x4 = 0.  Bài 1.16. Gi i các phương trình sau:  − 2x4  x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1;  − x2 − 2x3 − 3x4 2x1 = 2;  a) − x3 = −5;  3x1 + 2 x2 + 2 x4  − 3x2 2x1 + 2 x3 + x4 = 11,   − x2 −  x1 + 2 x3 3x4 = 1;  − x3 − = −2; x1 + 4 x2 2x4  b) − 4x2 − = −2;  x1 + 3 x3 2x4  − 8x2 − = −2, x1 + 5 x3 2x4   −  2x1 5x2 + 3 x3 + x4 = 5;  − − x4 = −1; 3x1 7x2 + 3 x3  c) −  5x1 9x2 + 6 x3 + 2 x4 = 7;  − − x4 4x1 6x2 + 3 x3 = 8,   − 2x2 − x4  2x1 + x3 + x5 = 1;  − x3 − 2x5 x1 + 2x2 + x4 = 1;  d) − 10x2 − 5x4  4x1 + 5 x3 + 7x5 = 1;  − 14x2 − 7x4 = −1. 2x1 + 7 x3 + 11x5  Bài 1.17. Gi i và bi n lu n các h phương trình sau theo các tham s m ∈ R:   x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = m; x1 + x2 − x3 + x4 = 2m + 1; a) x1 + 7x2 − 5x3 − x4 = −m,   −  3x1 + 4 x2 + 4 x3 17x4 = 11m + 7;  − 2x1 + 3 x2 + 2 x3 12x4 = 8m + 5;  b) −  5x1 + 6 x2 + 8 x3 27x4 = 18m + 10;  + (m − 20)x4 3x1 + 5 x2 + 2 x3 = 13m + 8,   − 3x3  x1 + 2x2 + 4x4 = 1;  − 7x3 2x1 + 4x2 + 9x4 = 2;  c) − 17x3 5x1 + 10x2 + 23x4 = 1;   − 10x3 13 − m, 3x1 + 6x2 + mx4 =  6
 − 2x2 − x4  x1 + x3 + x5 = m;  − − 2x5 2x1 + x2 x3 + 2 x4 = 3 m;  d) − 2x2 − − x5 3x1 x3 + x4 = m + 1;   − 5x2 − 2x4 m − 1. 2x1 + x3 + 2 x5 =  Bài 1.18. Cho h phương trình   x1 + x2 − x3 = 1; 2x1 + 3x2 + kx3 = 3; x1 + kx2 + 3x3 = 2.  Xác đ nh tr s k ∈ K sao cho: a) h có m t nghi m duy nh t; b) h không có nghi m; c) h có vô s nghi m. Bài 1.19. Cho h phương trình   kx1 + x2 + x3 = 1; x1 + kx2 + x3 = 1; x1 + x2 + kx3 = 1.  Xác đ nh tr s k ∈ K sao cho: a) h có m t nghi m duy nh t; b) h không có nghi m; c) h có vô s nghi m. Bài 1.20. Cho h phương trình  −  5x1 3x2 + 2 x3 + 4x4 = 3;  − 4x1 2x2 + 3 x3 + 7x4 = 1;  − − x3 − 5x4  8x1 6x2 = 9;  − 7x1 3x2 + 7 x3 + 17x4 = λ.  Xác đ nh tham s λ ∈ K sao cho: a) h vô nghi m; b) h tương thích và gi i tìm nghi m. 7
Bài 1.21. Cho h phương trình   3x1 + 2 x2 + 5 x3 + 4x4 = 3;  2x1 + 3 x2 + 6 x3 + 8x4 = 5;  − 6x2 − − 20x4 = −11;  x1 9x3  4x1 + x2 + 4 x3 + λx4 = 2.  Xác đ nh tham s λ ∈ K sao cho: a) h vô nghi m; b) h tương thích và gi i tìm nghi m. Bài 1.22. B ng phương pháp Gauss-Jordan, hãy tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n sau (n u có):   1 02 35 b) A =  2 −1 3  ; a) A = ; 23 4 18     1 −2 2 2 −4 1 c) B =  2 −3 6  ; d) A =  −1 −1 5 ; 7 −3 1 17 2     1 3 −4 2 5 7 e) B =  1 5 −1  ; f) A =  6 3 4 ; 3 13 −6 5 −2 −3     5 3 −2 322 h) A =  −1 2 g) A =  1 3 1  ; 4 ; 534 73 6     13 −8 −12 3 10 i) A =  12 −7 −12 ; j) A =  −1 −1 2  ; 6 −4 −5 1 11     1 −1 0 0 1 1 1 1 1 −1 −1  0 3 1 4 1 k) A =  ; l) A =  ; 6 −1   1 −1 2 7 0 0 2 −1 1 −1 1 2 0 0     1 −1 0 0 1 1 1 1 1 −1 −1  0 3 1 4 1  m) A =  ; n) A =  ;  1 −1 1 −1 1 −1  0 0  1 −1 −1 0 0 1 1 1 8
  1 −3 1 1 0 1 0 0 sin α cos α o) A =  ; p) A = . 2 −3  − cos α sin α 1 1 4 −5 2 2 11 21 Bài 1.23. Cho A = ,B = . Hãy tính 01 32 (B −1 AB )k , k ∈ N. 5 4 ∈ M2 (R). Bài 1.24. Cho A = −4 −3 a) Ch ng minh A2 − 2A + I2 = 0. Suy ra A kh ngh ch và tìm A−1 . b) V i m i n ∈ N, đ t B = I2 + A + A2 + · · · + An . Tính An và B theo A; I2 và n. Bài 1.25. Gi i các phương trình ma tr n 12 35 X= ; a) 34 59 3 −2 −1 2 b) X = ; 5 −4 −5 6 3 −1 56 14 16 X = ; c) 5 −2 78 9 10     2 −3 1 −3 0 1 2 −4  X =  10 d)  3 2 7 ; 2 −1 0 10 78     2 −2 1 730 2 −4  X =  6 8 4  ; e)  3 2 −1 0 105    13 −8 −12 123 f) X  12 −7 −12  =  4 5 6  ; 6 −4 −5 789 9
    3 10 1 1 1 00 1 g)  −1 −1 2  X  1 1 −1  =  1 1 0 . 1 −1 −1 0 1 −1 1 11 Bài 1.26. Gi i các h phương trình sau b ng phương pháp ma tr n ngh ch đ o:   x1 + x2 − 3x3 = −2; x1 + 2x2 − 3x3 = 6; a) 2x1 + 4x2 − 5x3 = −6.    x1 + x2 + x3 + x4 = 1;  x1 + x2 − x3 − x4 = 1;  b)  x1 − x2 = −1;  x3 − x4 = −1.   = −1;  x1 + x2 + x3 + x4  − − x1 + x2 x3 x4 = 1;  c) − − = −1;  x1 x2 + x3 x4  − − x1 x2 x3 + x4 = 1.  10