BÀI TẬP VỀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET_2

Chia sẻ: Trần Lê Kim Yến | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

130
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài viết 'bài tập về nguyên lý dirichlet_2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÀI TẬP VỀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET_2

Bài 1: CMR: tồn tại một số tự nhiên x
trên luôn tìm được 4 đội ABC thỏa mãn A thắng B,C,D ; B thắng C,D ; C thắng D . Bài 8: Cho bảng vuông kích thước nxn trong mỗi ô vuông khích thước 1x1 ta ghi 1 trong các số 0,1,2 . CM k0 tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên 1 cột , 1 hàng hoặc 1 đường chéo là các số khác nhau . Bài 9: Cho 9 đường thẳng song song nằm ngang và 9 đường thẳng song song nằm dọc. Người ta đánh dấu các giao điểm của chúng hoặc bằng màu xanh hoặc bằng màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại hai đường nằm ngang và hai đường nằm dọc mà giao điểm của chúng được đánh dấu cùng màu. Trả lời ≥ 1 vì nếu xét x = 0 thì quá tầm thường. Bài 1: Tất nhiên ta xét Ta xét 16 số (25 − 1) với k = 1, 2, ..., 16. Ta phải cmr với một k nào đó số 25 − 1 chia hết cho 17. Ta cm bằng phản chứng. Giả sử với mọi 1≤ ≤ 16 số (25 − 1) không chia hết cho 17. => trong 16 số trên không có 2 số nào cho cùng số dư khi chia cho 17. Thật thế nếu với 1 ≤ < ≤ 16 có (25 − 1) = 17 + và (25 − 1) = 17 + – ⇒ 17( − ) = (25 − 1) − (25 − 1) = 25 (25 − 1) ⇒ (25 − 1) chia hết cho 17 với n = j - i và 1 < ≤ 16 − 1 = 15 trái với giả thiết là với ∀ ∈ [1,16] số (25 − 1) không chia hết cho 17 Vậy trong 16 số đang xét không có 2 số nào cho cùng số dư khi chia cho
17 và từ giả thiết không có số nào cho số dư 0 khi chia cho 17. Theo nguyên lý Dirichlet (16 số dư khác nhau được xếp vào 16 ngăn kéo dư khác nhau từ 1 đển 16) thì với n nào đó mà 1
nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 2 tổng có cùng giá trị (dpcm) Bài 4:Ta xét 6 điểm trong đường tròn. Ta cmr khoảng cách giữa 2 điểm nào đó = cạnh của ngũ giác > bán kính = 1 (Ta xét cạnh P1P2. Trong tg OP1P2 cạnh P1P2 đối điện với góc 720 nên lớn hơn OP1 và OP2 là những cạnh đối diện với góc 540) Bài 5: Lấy điểm P1 là tâm kẻ đường tròn C1 với bán kính bằng 1. Nếu C1 chứa 25 điểm đã cho thì ta có dpcm. Giả sử P2 không thuộc C1 tức P1P2 > 1. Lấy điểm P2 là tâm kẻ đường tròn C2 với bán kính bằng 1. Ngoài C1 và C2 không còn điểm nào đã cho Thật thế nếu P3 nằm ngoài C1 và C2 thì ta có P1P2 > 1, P1P3 > 1, P2P3 > 1, vô lý vì trong tg P1P2P3 phải có 1 cạnh nhỏ hơn 1; 25 điểm nằm trong 2 đường tròn nên theo nguyên lý Dirichlet trong 1 đường tròn có ít nhất 13 điểm đã cho
Bài 6: "CM trong 1005 số tùy ý chọn được ít nhát 2 số mà số này là bội số kia" hay "CM trong 1005 số tùy ý chọn được có ít nhất 2 số mà số này là bội số kia"? Nếu ta chọn 1005 số: A = (1005, 1006, ..., 2009) thì trong A không có số ≥ 2010 (tức 2*1005) nào là bội của số kia vì bội của mỗi số trong nên các bội đó không nằm trong dãy, và do đó không thể có trong A. Bài 7; Ta xét "biết đến cuối giải KHÔNG có trận nào hòa". Có tất cả 28 trận đấu (bằng 2C8, hoặc ai chưa học tổ hợp thì bằng 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1: đội đầu đá với 7 đội còn lại, 1 trong 7 đội đó đấu với 6 đội còn lại ...) Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 1 đội, ta gọi đó là đội A, có số trân thắng ít nhất là 4. Gọi 4 đội thua A là B, C, D, E. 4 đội này có với nhau 6 trận đá, vậy theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 1 đội, ta gọi đó là đội B, có số trân thắng ít nhất là 2. Gọi 2 đội thua B là C và D. Do không có trận hoà nên ta gọi đội thắng trong trân C-D là C. A, B, C, D là các đội cần tìm. Bài 8: "CM k0 tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên 1 cột , 1
hàng hoặc 1 đường chéo là các số khác nhau" có nghĩa là các tổng này không thể khác nhau từng đôi một? Ta có tổng cộng tất cả (2n + 2) hàng, cột và đường chéo (n hàng, n cột, 2 đường chéo). Các tổng là những số thỏa mãn 0
hình chữ nhật nào có cả 4 ô vuông xanh, nên các hình chiếu là đôi một . = 36 hình chiếu, nên khác nhau. Nhưng do chỉ có tối đa ( ) ∑ ≤ 36 ⇔ ∑ ≤ 72 + ≤ 9∑ Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ≤ 9( + 72) , và đến đây dễ dàng giải ra S 41 Vậy điều giả sử là sai và ta có đpcm./.